專題06直角坐標系中三角形面積的相關問題(原卷版+解析)

七年級數學下冊解法技巧思維培優(yōu)專題06直角坐標系中三角形面積的相關問題典例題型一利用點的坐標求面積1．如圖，三角形ABC的頂點坐標分別是A（﹣1，2），B（﹣3，0），C（2，0），求△ABC的面積．2．（2020?信豐期末）在平面直角坐標系中，已知點A（1，﹣1），B（1，4），C（﹣3，1）、（1）在圖中畫出△ABC；（2）求△ABC的面積．3．（2020?河北期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，4），B（8，0），C（8，6）三點．（1）求△ABC的面積；（2）如果在第二象限內有一點P（m，1），且四邊形ABOP的面積是△ABC的面積的兩倍；求滿足條件的P點的坐標．典例題型二利用面積求點的坐標4．已知A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣2，1），點D是y軸上的一點．（1）若A、B、C、D所組成的四邊形的面積為15，求D點坐標；（2）若A、B、C、D所組成的四邊形面積小于15，求D點縱坐標的取值范圍．5．已知平面直角坐標系中，A（﹣1，2），B（2，1），線段AB交y軸于C點（1）求點C的坐標；（2）在y軸上的點P，若△ABP≤6，求出P點縱坐標的取值范圍．6．（2020?金鄉(xiāng)縣校級期末）如圖，在△AOB中，A、B兩點的坐標分別為（2，4）和（6，2），求△AOB的面積．7．如圖所示，在平面直角坐標系中，三角形ABC的邊在AB在x軸，A（﹣2，0），C（2，4），S△ABC＝6，畫出符合條件的三角形ABC，并直接寫出點B的坐標．鞏固練習1．在平面直角坐標系中有兩個動點A（a，0）、B（0，a）和一個固定的點C（6，1）（a＞0），若△ABC的面積是5，求a的值．2．（2020?南通月考）在平面直角坐標系中，A、B、C三點的坐標分別為（﹣2，4）、（﹣3，0）、（4，0）．（1）畫出△ABC；（2）△ABC的面積為__________．3．（2029?成武期末）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD各頂點的坐標分別是A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）．（1）在坐標系中，畫出此四邊形；（2）求此四邊形的面積．4．（2020?九龍坡區(qū)期末）在平面直角坐標系中，有A（0，a），B（b，0）兩點，且a，b滿足b=（1）求A，B兩點的坐標；（2）若點P在x軸上，且△PAB的面積為6，求點P的坐標．5．（2020?濉溪期末）在如圖所示的平面直角坐標系中，作出下列坐標的A（﹣3，2），B（0，﹣4），C（5，﹣3），D（0，1）．并求出四邊形ABCD的面積．6．（2020?越秀區(qū)校級月考）如圖，已知△ABC（網格中每個小正方形的邊長均為1）．（1）三個頂點坐標分別為：A__________，B__________，C__________；（2）求三角形ABC的面積．七年級數學下冊解法技巧思維培優(yōu)專題06直角坐標系中三角形面積的相關問題典例題型一利用點的坐標求面積1．如圖，三角形ABC的頂點坐標分別是A（﹣1，2），B（﹣3，0），C（2，0），求△ABC的面積．【點睛】根據點的坐標得到BC＝5，BC上的高為2，然后根據三角形面積公式計算即可．【詳解】解：△ABC的面積=12．（2020?信豐期末）在平面直角坐標系中，已知點A（1，﹣1），B（1，4），C（﹣3，1）、（1）在圖中畫出△ABC；（2）求△ABC的面積．【點睛】（1）描點、連線即可得；（2）根據三角形的面積公式計算可得．【詳解】解：（1）如圖所示，△ABC即為所求：（2）△ABC的面積為123．（2020?河北期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，4），B（8，0），C（8，6）三點．（1）求△ABC的面積；（2）如果在第二象限內有一點P（m，1），且四邊形ABOP的面積是△ABC的面積的兩倍；求滿足條件的P點的坐標．【點睛】（1）由點的坐標得出BC＝6，即可求出△ABC的面積；（2）求出OA＝4，OB＝8，由S四邊形ABOP＝S△AOB+S△AOP和已知條件得出方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵B（8，0），C（8，6），∴BC＝6，∴S△ABC=1（2）∵A（0，4）（8，0），∴OA＝4，OB＝8，∴S四邊形ABOP＝S△AOB+S△AOP=12×4×8+12又∵S四邊形ABOP＝2S△ABC＝48，∴16﹣2m＝48，解得：m＝﹣16，∴P（﹣16，1）．典例題型二利用面積求點的坐標4．已知A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣2，1），點D是y軸上的一點．（1）若A、B、C、D所組成的四邊形的面積為15，求D點坐標；（2）若A、B、C、D所組成的四邊形面積小于15，求D點縱坐標的取值范圍．【點睛】（1）可分別點D在y軸的正半軸上和點D在y軸的負半軸上兩種情況計算；（2）由（1）中點D的坐標可確定出D的取值范圍．【詳解】解：（1）如圖1所示：設點D的坐標為（0，m）．∵SABCD＝S△ABC+SBCEF﹣S△CED﹣S△BDF，∴12解得：m＝6.75．如圖2所示：∵SACBD＝S△ABC+SABD，∴12解得：m＝﹣5．綜上所述點M的坐標為（0，﹣5）或（0，6.75）．（2）由（1）可知點D縱坐標的取值范圍是﹣5＜Dy＜6.75．5．已知平面直角坐標系中，A（﹣1，2），B（2，1），線段AB交y軸于C點（1）求點C的坐標；（2）在y軸上的點P，若△ABP≤6，求出P點縱坐標的取值范圍．【點睛】（1）運用待定系數法可求出直線AB的解析式，只需令x＝0，就可得到直線AB與y軸交點C的坐標；（2）運用割補法可得到CP的范圍，然后根據CP＝|yP﹣yC|，就可求出P點縱坐標的取值范圍．【詳解】解：（1）設直線AB的解析式為y＝kx+b，則有?k+b=22k+b=1解得k=?1故直線AB的解析式為y=?13x當x＝0時，y=5則點C的坐標為（0，53（2）∵A（﹣1，2），B（2，1），∴|xA|＝1，|xB|＝2，∴S△ABP＝S△ACP+S△BCP=12CP?|xA|+12CP=12CP?1+=32∵S△ABP≤6，∴32CP∴CP≤4，∴|yP?5∴﹣4≤yP?5∴?73≤y∴P點縱坐標的取值范圍為?73≤y6．（2020?金鄉(xiāng)縣校級期末）如圖，在△AOB中，A、B兩點的坐標分別為（2，4）和（6，2），求△AOB的面積．【點睛】過A作水平線l交y軸于點E，過B作垂線，交直線l與點C，交x軸于點D，四邊形面積ECDO為24．△OAB的面積為24減去三個直角三角形的面積，△ABO面積為24﹣4﹣6﹣4＝10．【詳解】解：如圖，過A作水平線l交y軸于點E，過B作垂線，交直線l與點C，交x軸于點D，則S矩形ECDO＝6×4＝24，SRt△AEO=1SRt△ABC=1SRt△OBD=1則S△OAB＝S矩形ECDO﹣SRt△ABC﹣SRt△AEO﹣SRt△OBD＝10．故三角形AOB的面積是10．7．如圖所示，在平面直角坐標系中，三角形ABC的邊在AB在x軸，A（﹣2，0），C（2，4），S△ABC＝6，畫出符合條件的三角形ABC，并直接寫出點B的坐標．【點睛】建立平面直角坐標系并分點B在點A的左邊和右邊兩種情況寫出點B的坐標即可．【詳解】解：∵AB在x軸，A（﹣2，0），C（2，4），S△ABC＝6，∴AB＝3，△ABC如圖所示，點B在點A的左邊時，﹣2﹣3＝﹣5，所以，點B的坐標為（﹣5，0），點B'在點A的右邊時，﹣2+3＝1，所以，點B'的坐標為（1，0）；鞏固練習1．在平面直角坐標系中有兩個動點A（a，0）、B（0，a）和一個固定的點C（6，1）（a＞0），若△ABC的面積是5，求a的值．【點睛】過點C作CD⊥x軸于D，然后分a＞6和a＜6兩種情況表示出△ABC的面積，再解關于a的方程即可得解．【詳解】解：過點C作CD⊥x軸于D，①a＞6時，如圖1，S△ABC=12a2?12（1+a）×6整理得，a2﹣7a﹣10＝0，解得a1=7+892，a②a＜6時，如圖2，S△ABC=12（1+a）×6?12（6﹣a）×1整理得，a2﹣7a+10＝0，解得a1＝2，a2＝5，綜上所述，a的值為7+892．（2020?南通月考）在平面直角坐標系中，A、B、C三點的坐標分別為（﹣2，4）、（﹣3，0）、（4，0）．（1）畫出△ABC；（2）△ABC的面積為14．【點睛】（1）根據A、B、C三點的坐標分別為（﹣2，4）、（﹣3，0）、（4，0）．畫出△ABC即可；（2）根據網格即可求出△ABC的面積．【詳解】解：（1）如圖，△ABC即為所求；（2）△ABC的面積為：12故答案為14．3．（2020?成武期末）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD各頂點的坐標分別是A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）．（1）在坐標系中，畫出此四邊形；（2）求此四邊形的面積．【點睛】（1）補充成網格平面直角坐標系，然后確定出點B、C、D的位置，再與點A順次連接即可；（2）利用四邊形所在的矩形的面積減去四周三個小直角三角形的面積，列式計算即可得解．【詳解】解：（1）四邊形ABCD如圖所示；（2）四邊形的面積＝9×7?12×2×7?＝63﹣7﹣5﹣7，＝63﹣19，＝44．4．（2020?九龍坡區(qū)期末）在平面直角坐標系中，有A（0，a），B（b，0）兩點，且a，b滿足b=（1）求A，B兩點的坐標；（2）若點P在x軸上，且△PAB的面積為6，求點P的坐標．【點睛】（1）由二次根式的被開方數是非負數可以求得a、b的值．則易求點A、B的坐標．（2）設P（x，0），由三角形的面積公式解答．【詳解】解：（1）依題意，得：a2解得a＝﹣2；則b＝﹣3．所以A（0，﹣2），B（﹣3，0）；（2）設P（x，0），由題意知，12|x解得x＝3或x＝﹣9．所以點P的坐標（3，0）或（﹣9，0）．5．（2020?濉溪期末）在如圖所示的平面直角坐標系中，作出下列坐標的A（﹣3，2），B（0，﹣4），C（5，﹣3），D（0，1）．并求出四邊形ABCD的面積．【點睛】根據三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】解：如圖所示，S四邊形ABCD=16．（2020?越秀區(qū)校級月考）如圖，已知△ABC（網格中每個小正方形的邊長均為1）．（1）三個頂點坐標分別為：A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）；（2）求三角形ABC的面積．【點睛】（1）根據圖象得出點的坐標即可；（2）根據A、B、C的坐標求出正方形EFGB的邊長，求出△AEB、△AFC、△BGC的邊長，再根據面積公式求出即可．【詳解】解：（1）A點的坐標是（﹣1，4），B點的坐標是（﹣4，﹣1），C點的坐標是（1，1），故答案為：