專題02三角函數(shù)值的相關計算與應用（11大題型）（原卷版）2

專題02三角函數(shù)值的相關計算與應用（11大題型）【題型目錄】題型一求特殊角的三角函數(shù)值題型二特殊角三角函數(shù)值的混合運算題型三由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀題型四由計算器求銳角三角函數(shù)值題型五根據特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)題型六已知角度比較三角函數(shù)值的大小題型七根據三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍題型八利用同角三角函數(shù)關系求值題型九求證同角三角函數(shù)關系式題型十互余兩角三角函數(shù)的關系題型十一三角函數(shù)綜合【知識梳理】知識點1：特殊銳角三角比的值1.特殊銳角的三角比的值30°45°1160°3.通過觀察上面的表格，可以總結出：當090，的正弦值隨著角度的增大而增大，的余弦值隨著角度的增大而減??；的正切值隨著角度的增大而增大，的余切值隨著角度的增大而減?。窘浀淅}一求特殊角的三角函數(shù)值】1．（22·23·杭州·中考真題）如圖，矩形的對角線相交于點．若，則（

）

A． B． C． D．2．（22·23下·婁底·一模）定義一種運算：，例如：當，時，，則的值為()A． B． C． D．3．（22·23·榆林·三模）如圖，在菱形中，．點分別為四邊的中點，連接，則．

4．（22·23下·二模）小明在計算時，先對題目進行了分析，請你根據他的思路填空：（1）原式中“”可以轉化為，的值為.（2）原式中“”的結果為；（3）原式中“”的結構特征滿足某個乘法公式，該公式為；（4）原式的最終結果為1.5．（2023秋·全國·九年級專題練習）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中；．【經典例題二特殊角三角函數(shù)值的混合運算】1．（22·23上·洛陽·期末）下列計算錯誤的個數(shù)是（

）①；；③；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（22·23上·泰州·階段練習）下列各式中不成立的是（

）A． B．C． D．3．（2020上·萬州·期中）計算：=．4（2022上·永州·期末）某中學數(shù)學興趣小組在一次課外學習與探究中遇到一些新的數(shù)學符號，他們將其中某些材料摘錄如下：對于三個實數(shù)a，b，c，用表示這三個數(shù)中最大的數(shù)，例如，．請結合上述材料，求．5．（上海市閔行區(qū)20232024學年九年級上學期期中數(shù)學試題）計算：【經典例題三由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀】1．（22·23上·盤錦·期末）在中，、均為銳角，且，則是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形2．（2017下·蕪湖·一模）在ABC中，，則ABC一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形3．（22·23上·嘉峪關·期末）在中，，則的形狀是．4．（2021下·孝感·二模）如圖，在四邊形中，連接，，，．若，，則．5．（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，在平面坐標系內，點，．點為軸上動點，求的最小值．【經典例題四由計算器求銳角三角函數(shù)值】1．（2022·山東東營·模擬預測）若用我們數(shù)學課本上采用的科學計算器進行計算，其按鍵順序及結果如下：2yx3－16＝，按鍵的結果為m；2ndF64－2x2＝，按鍵的結果為n；9ab/c

2

－

cos

60＝，按鍵的結果為k．下列判斷正確的是（

）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k2．（2023秋·九年級課時練習）請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按第一題計分．A．若正多邊形的一個內角等于140°，則這個正多邊形的邊數(shù)是．B．用科學計算器計算：13××sin14°≈（結果精確到0.1）3．（2023秋·九年級課時練習）用計算器求下列各式的值（精確到0.0001）：(1)；(2)；(3)；(4)．【經典例題五根據特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)】1．（22·23上·西安·階段練習）如圖，點A為反比例函數(shù)圖像上一點，B、C分別在x、y軸上，連接AB與y軸相交于點D，已知，且的面積為2，則k的值為（

）

A．2 B． C． D．42．（22·23下·九江·三模）如圖，已知在拋物線上有一點，軸于B點，連接，將繞O點順時針方向旋轉一定的角度后，該三角形的A．B兩點中必有一個頂點落在拋物線上，這個角度是（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，頂點為的拋物線經過點和軸正半軸上的點，．

(1)求這條拋物線的表達式；(2)聯(lián)結，求的度數(shù)；(3)聯(lián)結、、，若在坐標軸上存在一點，使，求點的坐標．【經典例題六已知角度比較三角函數(shù)值的大小】1．（2019上·淮北·階段練習）已知，那么銳角的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022上·邵陽·期末）下列說法中正確的是（

）A． B．若為銳角，則C．對于銳角，必有 D．若為銳角，則3．（2021春·全國·九年級專題練習）我們知道，銳角的三角函數(shù)值都是隨著銳角的確定而確定、變化而變化的，如圖所示.（1）試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的三角函數(shù)值的變化規(guī)律；（2）根據你探索到的規(guī)律，試分別比較，，，角的正弦，余弦，正切值的大小.【經典例題七根據三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍】1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級校聯(lián)考開學考試）已知，則銳角的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2022春·九年級課時練習）如圖，在矩形ABCD中，O是對角線AC的中點，E為AD上一點，若，則AB的最大值為．3．（2022春·九年級單元測試）（1）如圖，銳角的正弦和余弦都隨著銳角的確定而確定，也隨著其變化而變化，試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的正弦值和余弦值的變化規(guī)律；（2）根據你探索到的規(guī)律，試比較，，，，，這些角的正弦值的大小和余弦值的大??；（3）比較大?。海ㄔ诳崭裉幪顚憽埃肌被颉?gt;”或“=”）若，則___________；若，則__________；若，則__________；（4）利用互余的兩個角的正弦和余弦的關系，比較下列正弦值和余弦值的大小：，，，．【經典例題八利用同角三角函數(shù)關系求值】1．（22·23·婁底·中考真題）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作《數(shù)學九章》一書中，給出了這樣的一個結論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022下·專題練習）已知，關于角的三角函數(shù)的命題有：①，②，③，④，其中是真命題的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022·湖南湘潭·?？家荒＃┩瑢W們，在我們進入高中以后，還將學到下面三角函數(shù)公式：，；，．例：．(1)試仿照例題，求出的值；(2)若已知銳角α滿足條件，求的值．【經典例題九求證同角三角函數(shù)關系式】1．（2021春·九年級課時練習）在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記作cotA＝.則下列關系式中不成立的是()A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosAC．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝12．（2022春·全國·九年級專題練習）下列結論中（其中，均為銳角），正確的是．（填序號）①；②；③當時，；④．3．（2022春·九年級單元測試）如圖，在中，、、三邊的長分別為、、，則，，．我們不難發(fā)現(xiàn)：，試探求、、之間存在的一般關系，并說明理由．

【經典例題十互余兩角三角函數(shù)的關系】1．（2022秋·廣西百色·九年級?？计谀┫铝惺阶又?，不成立的是（）A． B．C． D．2．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）同學們，在我們進入高中以后，還將學到下面三角函數(shù)公式：，，，．例：．若已知銳角滿足條件，則．3．（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，根據圖中數(shù)據完成填空，再按要求答題．(1)；；．(2)觀察上述等式，猜想：在中，，都有；(3)如圖④，在中，，，，的對邊分別是，，，利用三角函數(shù)的定義和勾股定理，證明你的猜想；(4)若，且，求的值．【經典例題十一三角函數(shù)綜合】1．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形紙片中，E為的中點，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長為（

）

A．3 B． C． D．2．（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）如圖，點在正方形的邊上，的平分線交邊于點，連接，如果正方形的面積為12，且，那么的值為．3．（2022秋·江蘇徐州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖（1），中，于點D．由直角三角形邊角關系，可將三角形的面積公式變形為，即三角形的面積等于兩邊之長與夾角正弦值之積的一半

如圖（2），在中，于點D，，，∵，由公式①，得，即：．(1)請證明等式：；(2)請利用結論求出的值．【重難點訓練】1．（23·24上·廣元·階段練習）在中，，若，則的值為（）A． B． C． D．2．（23·24上·聊城·階段練習）在中，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．3．（22·23下·階段練習）如圖，中，，，，，則（）

A． B． C． D．4．（22·23下·恩施·一模）如圖，在矩形紙片中，E為的中點，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長為（

）

A．3 B． C． D．5．（22·23下·西安·模擬預測）如圖，D為邊上一點，且，，，，于點E，則線段的長為（

）A． B． C． D．6．（23·24上·威?！るA段練習）在中，，，，則邊的長為．7．（22·23上·青島·階段練習）如圖（1）中，是一張正方形紙片，，分別為，的中點，沿過點的折痕將翻折，使得點落在（）中上，折痕交于點，那么．

8．（22·23下·六安·二模）如圖，過原點，與軸、軸分別交于兩點，已知，則弧的長為．

9．（22·23下·咸陽·二模）如圖，在中，，，點P是邊上的動點，在邊上截取，連接，則的最小值為．

10．（22·23下·張家口·一模）如圖，矩形紙片中，，，P為邊上一點，將沿折疊，得到．（1）當時，點E落在上；（2）點E，F(xiàn)關于對稱，若，則=．11．（22·23上·哈爾濱·專題練習）如圖，在中，于點D，點E為的中點，與交于點G，點F在邊上．

(1)如圖l，，，求證：；(2)如圖2，，，求的值．四、計算題12．（23·24上·泰安·階段練習）計算：(1)；(2)．13．（23·24上·泰安·階段練習）計算：(1)(2)五、證明題14．（22·23上·徐州·階段練習）如圖（1），中，于點D．由直角三角形邊角關系，可將三角形的面積公式變形為，即三角形的面積等于兩邊之長與夾角正弦值之積的一半

如圖