甘肅省白銀市育正學(xué)校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

甘肅省白銀市育正學(xué)校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（2017新課標全國卷Ⅲ文科）已知橢圓C：的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A. B.C. D.2．設(shè)橢圓：的右頂點為，右焦點為，為橢圓在第二象限內(nèi)的點，直線交橢圓于點，為原點，若直線平分線段，則橢圓的離心率為A. B.C. D.3．如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點為O，點M在上，且，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.4．已知函數(shù).設(shè)命題的定義域為，命題的值域為.若為真，為假，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.5．如圖，在長方體中，，，則直線和夾角余弦值為（）A. B.C. D.6．已知，，，若，，共面，則λ等于（）A. B.3C. D.97．已知是橢圓兩個焦點，P在橢圓上，，且當(dāng)時，的面積最大，則橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.8．已知，，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A. B.C. D.9．某超市收銀臺排隊等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率如下：排隊人數(shù)01234概率0.10.16030.30.10.04則至少有兩人排隊的概率為（）A.0.16 B.0.26C.0.56 D.0.7410．經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.11．已知函數(shù)，若對任意，都有成立，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.12．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則（）A0 B.2C.4 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點和，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，為兩曲線的一個公共點，且（為坐標原點）．若，則的取值范圍是______14．空間四邊形中，，，，，，，則與所成角的余弦值等于___________15．正方體，點分別是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為___________.16．在一平面直角坐標系中，已知，現(xiàn)沿x軸將坐標平面折成60°的二面角，則折疊后A，B兩點間的距離為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，，且底面，點分別在棱、上·（1）若P是的中點，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積18．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓C上，且滿足（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于不同的兩點M，N，且（O為坐標原點）．證明：總存在一個確定的圓與直線l相切，并求該圓的方程19．（12分）2021年11月初某市出現(xiàn)新冠病毒感染者，該市教育局部署了“停課不停學(xué)”的行動，老師們立即開展了線上教學(xué)．某中學(xué)為了解教學(xué)效果，于11月30日復(fù)課第一天安排了測試，數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高二年級學(xué)生這次測試的數(shù)學(xué)成績與每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長之間的相關(guān)關(guān)系，對在校高二學(xué)生隨機抽取45名進行調(diào)查，了解到其中有25人每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時，并得到如下的統(tǒng)計圖：（1）根據(jù)統(tǒng)計圖填寫下面列聯(lián)表，是否有95%的把握認為“高二學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績與其每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長有關(guān)”；數(shù)學(xué)成績不超過120分數(shù)學(xué)成績超過120分總計每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時25每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時總計45（2）從被抽查的，且這次數(shù)學(xué)成績超過120分的學(xué)生中，按分層抽樣的方法抽取5名，再從這5名同學(xué)中隨機抽取2名，求這兩名同學(xué)中至多有一名每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時的概率附：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82820．（12分）在①，；②，；③，.這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.問題：已知數(shù)列的前n項和為，，___________.（1）求數(shù)列的通項公式（2）已知，求數(shù)列的前n項和.21．（12分）已知橢圓的離心率為，以為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知點和平面內(nèi)一點，過點任作直線與橢圓相交于，兩點，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，，試求，滿足的關(guān)系式.22．（10分）已知等差數(shù)列的公差為2，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標原點，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A.【名師點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及取值范圍問題，其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.2、B【解析】如上圖，設(shè)AC中點為M,連OM，則OM為的中位線，易得∽，且,即可得，選B.點睛：本題主要考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，本題的關(guān)鍵是利用中位線定理和相似三角形定理3、D【解析】根據(jù)平行六面體的幾何特點，結(jié)合空間向量的線性運算，即可求得結(jié)果.【詳解】因為平行六面體中，點M在上，且故可得故選：D.4、C【解析】根據(jù)一元二次不等式恒成立和二次函數(shù)值域可求得為真命題時的取值范圍，根據(jù)和的真假性可知一真一假，分類討論可得結(jié)果.【詳解】若命題為真，則在上恒成立，，；若命題為真，則的值域包含，則或，；為真，為假，一真一假，若真假，則；若假真，則；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故選：C.5、D【解析】如圖建立空間直角坐標系，分別求出的坐標，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖：以為原點，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，所以，所以直線和夾角的余弦值為，故選：D.6、C【解析】由，，共面，設(shè)，列方程組能求出λ的值【詳解】∵，，共面，∴設(shè)(實數(shù)m、n)，即，∴，解得故選：C7、A【解析】由題意知c＝3，當(dāng)△F1PF2的面積最大時，點P與橢圓在y軸上的頂點重合，即可解出【詳解】由題意知c＝3，當(dāng)△F1PF2的面積最大時，點P與橢圓在y軸上的頂點重合，∵時，△F1PF2的面積最大，∴a＝＝，b＝∴橢圓的標準方程為故選：A8、B【解析】計算出、的值，執(zhí)行程序框圖中的程序，進而可得出輸出結(jié)果.【詳解】，，則，執(zhí)行如圖所示的程序，，成立，則，不成立，輸出的值為.故選：B.9、D【解析】利用互斥事件概率計算公式直接求解【詳解】由某超市收銀臺排隊等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率表，得：至少有兩人排隊的概率為：故選：D【點睛】本題考查概率的求法、互斥事件概率計算公式，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題10、A【解析】根據(jù)點斜式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為，經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程為，即.故選：A11、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再對給定不等式等價變形，分離參數(shù)借助均值不等式計算作答.【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)得：，，，則，，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時“=”，于是得，解得，所以a的取值范圍為.故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問題的關(guān)鍵.12、D【解析】由導(dǎo)數(shù)運算法則求出導(dǎo)函數(shù)，再計算導(dǎo)數(shù)值【詳解】由題意，，所以故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)出半焦距c，用表示出橢圓的長半軸長、雙曲線的實半軸長，由可得為直角三角形，由此建立關(guān)系即可計算作答,【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，它們的半焦距為c，于是得，，由橢圓及雙曲線的對稱性知，不妨令焦點和在x軸上，點P在y軸右側(cè)，由橢圓及雙曲線定義得：，解得，，因，即，而O是線段的中點，因此有，則有，即，整理得：，從而有，即有，又，則有，即，解得，所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：①定義法：通過已知條件列出方程組，求得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.14、【解析】計算出的值，利用空間向量的數(shù)量積可得出的值，即可得解.【詳解】，，所以，，所以，.所以，與所成角的余弦值為.故答案為：.15、【解析】以為坐標原點建立空間直角坐標系，根據(jù)異面直線所成角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】以為坐標原點，為軸可建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為，則，，，，，，，即異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.16、【解析】平面直角坐標系中，沿軸將坐標平面折成的二面角后，在平面上的射影為，作軸，交軸于點，通過用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解距離即可.【詳解】在直角坐標系中，已知，現(xiàn)沿軸將坐標平面折成的二面角后，在平面上的射影為，作軸，交軸于點，所以,所以，所以,故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算知，即可證得結(jié)論；（2）利用空間向量結(jié)合已知的面面角余弦值可求得，再利用線面平行的已知條件求得，再將四面體視為以為底面的三棱錐，利用錐體的體積公式即可得解.【小問1詳解】以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，設(shè)，其中，，若是的中點，則，，，于是，∴，即【小問2詳解】由題設(shè)知，，，是平面內(nèi)的兩個不共線向量設(shè)是平面的一個法向量，則，取，得又平面的一個法向量是，∴，而二面角的余弦值為，因此，解得或（舍去），此時設(shè)，而，由此得點，，∵平面，且平面的一個法向量是，∴，即，解得，從而將四面體視為以為底面的三棱錐，則其高，故四面體的體積【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.18、（1）；（2）理由見解析，圓的方程為.【解析】(1)根據(jù)給定條件可得，結(jié)合勾股定理、橢圓定義求出a，b得解.(2)聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，利用給定條件求出k，m的關(guān)系，再求出原點O到直線l的距離即可推理作答.【小問1詳解】因，則，點在橢圓C上，則橢圓C的半焦距,，，因此，，解得，，所以橢圓C的標準方程是：.【小問2詳解】由消去y并整理得：，依題意，，設(shè)，，因，則，于是得，此時，，則原點O到直線l的距離，所以，存在以原點O為圓心，為半徑的圓與直線l相切，此圓的方程為.【點睛】思路點睛：涉及動直線與圓錐曲線相交滿足某個條件問題，可設(shè)直線方程為，再與圓錐曲線方程聯(lián)立結(jié)合已知條件探求k，m的關(guān)系，然后推理求解.19、（1）表格見解析，有（2）【解析】（1）根據(jù)統(tǒng)計圖計算填表即可；（2）根據(jù)古典概型計算公式計算即可.【小問1詳解】根據(jù)統(tǒng)計圖可得：每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時數(shù)學(xué)成績不超過120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時數(shù)學(xué)成績超過120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時數(shù)學(xué)成績不超過120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時數(shù)學(xué)成績超過120分的有人，可得列聯(lián)表如下：數(shù)學(xué)成績不超過120分數(shù)學(xué)成績超過120分總計每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時151025每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時51520總計202545根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，所以有95%的把握認為“高二學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績與其每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長有關(guān)”【小問2詳解】由列聯(lián)表可得，被抽查學(xué)生中這次數(shù)學(xué)成績超過120分的有25人，其中每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時的有10人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時的有15人，人數(shù)比為2∶3，按分層抽樣每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時的抽2人，記為：1，2；每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時的抽3人，記為：a，b，c.所有可能結(jié)果如下：，共計10種．設(shè)事件A為“兩名同學(xué)中至多有一名每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時長超過一小時”包含這7種可能結(jié)果所以20、（1）（2）【解析】（1）選①，利用化已知等式為，得是等差數(shù)列，公差，求出其通項公式后，再由求得通項公式，注意；選②，由可變形已知條件得是等差數(shù)列，從而求得通項公式；選③，已知式兩邊同除以，得出，以下同選①；（2）由錯位相減法求和【小問1詳解】選①，由得，，所以，即，所以是等差數(shù)列，公差，又，，，所以，，時，也適合所以；選②，由得，所以等差數(shù)列，公差為，又，所以；選③，由得，以下同選①，【小問2詳解】