高中數學導數滿分通關專題13 導數中對數單身狗指數找基友的應用(原卷版)

專題13導數中對數單身狗指數找基友的應用導數在高考中占據了及其重要的地位，導數是研究函數的一個重要的工具，在判斷函數的單調性、求函數的極值、最值與解決函數的零點(方程的根)、不等式問題中都用到導數．而這類問題都有一條經驗性規(guī)則：對數單身狗，指數找基友，指對在一起，常常要分手．考點一對數單身狗【方法總結】在證明或處理含對數函數的不等式時，如f(x)為可導函數，則有(f(x)lnx)′＝f′(x)lnx＋eq\f(f(x),x)，若f(x)為非常數函數，求導式子中含有l(wèi)nx，這類問題需要多次求導，煩瑣復雜．通常要將對數型的函數“獨立分離”出來，這樣再對新函數求導時，就不含對數了，只需一次就可以求出它的極值點，從而避免了多次求導．這種相當于讓對數函數“孤軍奮戰(zhàn)”的變形過程，我們形象的稱之為“對數單身狗”．1．設f(x)>0，f(x)lnx＋g(x)>0lnx＋eq\f(g(x),f(x))>0，則(lnx＋eq\f(g(x),f(x)))′＝eq\f(1,x)＋(eq\f(g(x),f(x)))′，不含超越函數，求解過程簡單．或者f(x)lnx＋g(x)>0f(x)(lnx＋eq\f(g(x),f(x)))>0，即將前面部分提出，就留下lnx這個單身狗，然后研究剩余部分．2．設f(x)≠0，f(x)lnx＋g(x)＝0lnx＋eq\f(g(x),f(x))＝0，則(lnx＋eq\f(g(x),f(x)))′＝eq\f(1,x)＋(eq\f(g(x),f(x)))′，不含超越函數，求解過程簡單．或者f(x)lnx＋g(x)＝0f(x)(lnx＋eq\f(g(x),f(x)))＝0，即將前面部分提出，就留下lnx這個單身狗，然后研究剩余部分．【例題選講】[例1](2016·全國Ⅱ)已知函數f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．(1)當a＝4時，求曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程；(2)若當x∈(1，＋∞)時，f(x)＞0，求a的取值范圍．[例2]已知函數f(x)＝eq\f(alnx,x＋1)＋eq\f(b,x)，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為x＋2y－3＝0．(1)求a，b的值；(2)證明：當x＞0，且x≠1時，f(x)＞eq\f(lnx,x－1)．【對點精練】1．若不等式xlnx≥a(x－1))對所x≥1有都成立，求實數a的取值范圍．2．(2017·全國Ⅱ)已知函數f(x)＝ax2－ax－xlnx，且f(x)≥0．(1)求a；(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點x0，且e－2<f(x0)<2－2．3．(2018·全國Ⅲ)已知函數f(x)＝(2＋x＋ax2)·ln(1＋x)－2x．(1)若a＝0，證明：當－1<x<0時，f(x)<0；當x>0時，f(x)>0；(2)若x＝0是f(x)的極大值點，求a．

考點二指數找基友【方法總結】在證明或處理含指數函數的不等式時，通常要將指數型的函數“結合”起來，即讓指數型的函數乘以或除以一個多項式函數，這樣再對新函數求導時，只需一次就可以求出它的極值點，從而避免了多次求導．這種相當于讓指數函數尋找“合作伙伴”的變形過程，我們形象的稱之為“指數找基友”．1．由ex＋f(x)>01＋eq\f(f(x),ex)>0，則(1＋eq\f(f(x),ex))′＝eq\f(f′(x)－f(x),ex)是一個多項式函數，變形后可大大簡化運算．2．由ex＋f(x)＝01＋eq\f(f(x),ex)＝0，則(1＋eq\f(f(x),ex))′＝eq\f(f′(x)－f(x),ex)是一個多項式函數，變形后可大大簡化運算．【例題選講】[例3](2018·全國Ⅱ)已知函數f(x)＝ex－ax2．(1)若a＝1，證明：當x≥0時，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一個零點，求a．[例4](2020·全國Ⅰ)已知函數f(x)＝ex＋ax2－x．(1)當a＝1時，討論f(x)的單調性；(2)當x≥0時，f(x)≥eq\f(1,2)x3＋1，求a的取值范圍．【對點精練】1．已知函數f(x)＝ex－1－x－ax2，當x≥0時，f(x)≥0恒成立，求實數a的取值范圍．2．已知函數f(x)＝e－x＋ax(a∈R)．(1)討論f(x)的最值；(2)若a＝0，求證：f(x)>－eq\f(1,2)x2＋eq\f(5,8)．3．已知函數f(x)＝a(x－1)，g(x)＝(ax－1)·ex，a∈R．(1)求證：存在唯一實數a，使得直線y＝f(x)和曲線y＝g(x)相切；(2)若不等式f(x)＞g(x)有且只有兩個整數解，求a的取值范圍．

考點三指對在一起，常常要分手【方法總結】設f(x)為可導函數，則有(exlnx－f(x))′＝exlnx＋eq\f(ex,x)－f′(x)，若f(x)為非常數函數，求導式子中還是含有ex，lnx，針對此類型，可以采用作商的方法，構造eq\f(exlnx－f(x),ex)＝lnx－eq\f(f(x),ex)，從而達到簡化證明和求極值、最值的目的，exlnx膩在一起，常常會分手．【例題選講】[例5](2014·全國Ⅰ)設函數f(x)＝aexlnx＋eq\f(bex－1,x)，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線為y＝e(x－1)＋2．(1)求a，b；(2)證明：f(x)＞1．[例6]已知函數f(x)＝eq\f(1,x)＋alnx，g(x)＝eq\f(ex,x)．(1)討論函數f(x)的單調性；(2)證明：a＝1時，f(x)＋g(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(e,x2)))lnx＞e．【對點精練】1．設函數f(x)＝eq\f(lnx＋1,x)，求證：當x＞1時，不等式eq\f(f(x),e＋1)＞eq\f(2ex－1,(x＋1)(xex＋1))．2．已知f(x)＝ex－alnx－a，其中常數a>0．(1)當a>e時，求函數f(x)的極值；(2)求證：e2x－2－ex－1lnx－x≥