高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)專題07 導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題(解析版)

專題07導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題在學(xué)習(xí)指對數(shù)的運(yùn)算時(shí)，曾經(jīng)提到過兩個這樣的恒等式：(1)當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，有，(2)當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，有再結(jié)合指數(shù)與對數(shù)運(yùn)算法則，可以得到下述結(jié)論(其中x＞0)(“ex”三兄弟與“l(fā)nx”三姐妹)(3)，(4)，(6)，再結(jié)合常用的切線不等式：，，，等，可以得到更多的結(jié)論(7)，．，．(8)，，(9)，，1．已知不等式最小值為（）B.C.D.【解析】，只需考慮其為負(fù)數(shù)的情況，，，令故2．已知對任意給定的的取值范圍為：．【解析】顯然成立，顯然.3．若對任意，恒有，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】由題意可知，不等式變形為.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增.則在上有且只有一個極值點(diǎn)，該極值點(diǎn)就是的最小值點(diǎn).所以，即在上單調(diào)遞增.若使得對任意，恒有成立.則需對任意，恒有成立.即對任意，恒有成立，則在恒成立.設(shè)則.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減則在上有且只有一個極值點(diǎn)，該極值點(diǎn)就是的最大值點(diǎn).所以，即，則實(shí)數(shù)的最小值為.故選：D4．若關(guān)于x的不等式恒成立，則a的取值范圍是______．【解析】整理為：，其中，故，令，則，，注意到：，其中，當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：，則，滿足題意；當(dāng)時(shí)，令得：，令得：，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；故不滿足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，令得：，令得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，故不合題意，舍去.綜上：a的取值范圍是.5．已知，對任意的，不等式恒成立，則的最小值為___________.【解析】∵對于任意，，不等式恒成立∴對于任意，，即恒成立當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，由，知，即，即設(shè)，，求導(dǎo)，令，得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；∴在處取得極大值，且為最大值，所以時(shí)，不等式恒成立，故答案為：6．若關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．【解析】若，時(shí)，，，∴，此時(shí)不恒成立，∴，，令，，時(shí)，，，，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，∴，，時(shí)，，，原不等式恒成立；時(shí)，，令，，，時(shí)，，時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，∴，∴，即，∴，∴．故答案為：.7．已知函數(shù)，若，求的取值范圍.【解析】將按照左右結(jié)構(gòu)相同、變量移至一邊的原則進(jìn)行變形：由移項(xiàng)得：即，兩邊同時(shí)加（）得即，設(shè)，則，所以單增所以，即設(shè)，則，所以在單減，在單增，所以，所以.8．對于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求的取值范圍.【解析】解法一：將變形為，（說明：將參數(shù)移至一邊）兩邊同時(shí)乘x得（說明：目的是湊右邊的結(jié)構(gòu)）即（說明：目的是湊左右兩邊的結(jié)構(gòu)相同）（#）設(shè)，則，單增故由（#）得，再令，則，易知當(dāng)所以，即.解法二：將變形為，即，設(shè)，易知單增故（以下同解法一，從略）.9．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，．函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單減區(qū)間為．(2)要使函數(shù)有兩個零點(diǎn)，即有兩個實(shí)根，即有兩個實(shí)根．即．整理為，設(shè)函數(shù)，則上式為，因?yàn)楹愠闪ⅲ詥握{(diào)遞增，所以．所以只需使有兩個根，設(shè)．由（1）可知，函數(shù)）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單減區(qū)間為，故函數(shù)在處取得極大值，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，要想有兩個根，只需，解得：．所以a的取值范圍是．10．已知，，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．【解析】(1)，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，故函數(shù)不存在極值；當(dāng)時(shí)，令，得，x+0-增函數(shù)極大值減函數(shù)故，無極小值.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，，不存在極小值．(2)顯然，要證：，即證：，即證：，即證：．令，故只須證：．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，所以，從而有．故，即．11．已知(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)性；(2)討論的零點(diǎn)個數(shù)．【解析】(1)因?yàn)?，，所以，令，，所以在單增，且，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增(2)解：因?yàn)榱睿字谏蠁握{(diào)遞增，且，故的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為即，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，故為上的增函數(shù)，而，，故在上有且只有一個零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，若，則；，則；故，若，則，故在上有且只有一個零點(diǎn)；若，則，故在上無零點(diǎn)；若，則，此時(shí)，而，，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，故此時(shí)在上有且只有兩個不同的零點(diǎn)；綜上：當(dāng)時(shí)，0個零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，1個零點(diǎn)；時(shí)，2個零點(diǎn)；12．已知函數(shù)(1)請討論函數(shù)的單調(diào)性(2)當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】(1)當(dāng)時(shí)，在上遞增當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞減在上，單調(diào)遞增(2)原式等價(jià)于，設(shè)，由（1）當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，，∴等式等價(jià)于恒成立，時(shí)，成立，時(shí)，，設(shè)，，，設(shè)，所以在上為增函數(shù)，又因?yàn)?，所以在上，，，為減函數(shù)，在上，，，為增函數(shù)，，．13．已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使對恒成立，若存在，求出a的值或取值范圍；若不存在，請說明理由.【解析】(1)因?yàn)椋?，?當(dāng)時(shí)，，令，則，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)設(shè)，，易知在單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?所以的值域?yàn)?故對于上任意一個值，都有唯一的一個正數(shù)，使得.因?yàn)?，?設(shè)，，所以要使，只需.當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以不符合題意.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增.所以.設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減.所以，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.又因?yàn)?，所以，所?綜上，存在a符合題意，.14．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求證：函數(shù)有兩個零點(diǎn)，且.【解析】(1)定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，無零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由，得，即，設(shè)，則有，因?yàn)樵谏铣闪?，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以等價(jià)于，即，所以的零點(diǎn)與在上的零點(diǎn)相同.若，由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以在和上各有一個零點(diǎn)，即在上有兩個零點(diǎn)，綜上有兩個零點(diǎn).不妨設(shè)，則，相減得，設(shè)，則，代入上式，解得，所以，因?yàn)?，所以，因此要證，只需證，即證，設(shè)，則，所以在遞增，，即，因?yàn)椋钥苫?，又因?yàn)?，所?15．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(2)若在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)時(shí)設(shè)，則即在遞減，在遞增，當(dāng)，當(dāng)而當(dāng)所以當(dāng)遞減；遞增.故函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為(2)，令在遞增，而，，使，即當(dāng)時(shí)，在遞減，當(dāng)時(shí)，在遞增因?yàn)榭勺冃螢橛衷谶f增，由（**）可得故取值范圍為16．已知函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的極值；(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，（是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)），求a的取值范圍．【解析】(1)，令，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極大值為，函數(shù)的極小值為．(2)，，即，即，設(shè)，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則由，得在上恒成立，即在上恒成立．設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在（0，e）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故．17．已知，若對任意，不等式恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】由題意，恒成立，即恒成立，所以恒成立，構(gòu)造函數(shù)，易知在R上單增，所以恒成立，即，令，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以正實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【解析】(1)∵，∴，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又，，∴當(dāng)或時(shí)，，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，綜上，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；(2)∵，，要證，即證，也就是證，設(shè)，則，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∴，由（1）可知當(dāng)時(shí)，，即，∴當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，.19．已知函數(shù)．(1)討論f(x)的單調(diào)性．(2)若a＝0，證明：對任意的x>1，都有．【解析】(1)由題意可得．當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由