2025屆福州市重點(diǎn)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2025屆福州市重點(diǎn)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段OA上，且OM=2MA，則（）A. B.C. D.2．曲線在處的切線的傾斜角是（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A. B.C. D.4．拋物線的焦點(diǎn)是A. B.C. D.5．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值是()A. B.C. D.6．?dāng)?shù)列中，，，則（）A.32 B.62C.63 D.647．已知雙曲線方程為，過點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則符合題意的直線的條數(shù)共有（）A.4條 B.3條C.2條 D.1條8．已知直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于，兩點(diǎn)，若滿足，則直線的方程為（）A. B.C. D.9．等差數(shù)列中，已知，則（）A.36 B.27C.18 D.910．某大學(xué)數(shù)學(xué)系共有本科生1500人，其中一、二、三、四年級(jí)的人數(shù)比為，要用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為300的樣本，則應(yīng)抽取的三年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為（）A.20 B.40C.60 D.8011．2019年湖南等8省公布了高考改革綜合方案將采取“”模式即語文、數(shù)學(xué)、英語必考，考生首先在物理、歷史中選擇1門，然后在思想政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門，一名同學(xué)隨機(jī)選擇3門功課，則該同學(xué)選到歷史、地理兩門功課的概率為（）A. B.C. D.12．已知，分別為雙曲線：的左，右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的右支在第一象限交于點(diǎn)，直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，點(diǎn)恰好為線段的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn))，則雙曲線的離心率等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程是______.14．已知正數(shù)、滿足，則的最大值為__________15．如圖，在正四棱錐中，為棱PB的中點(diǎn)，為棱PD的中點(diǎn)，則棱錐與棱錐的體積之比為______16．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M的準(zhǔn)線為l且與x軸相交于點(diǎn)B，A為M上的一點(diǎn)，直線AO與直線l相交于C點(diǎn)，若，，則M的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，是底面邊長為1的正三棱錐，分別為棱上的點(diǎn)，截面底面，且棱臺(tái)與棱錐的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)（1）求證：為正四面體；（2）若，求二面角的大小；（3）設(shè)棱臺(tái)的體積為，是否存在體積為且各棱長均相等的直四棱柱，使得它與棱臺(tái)有相同的棱長和?若存在，請(qǐng)具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)直四棱柱，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.18．（12分）設(shè)等差數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，且滿足對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱這樣的數(shù)列具有性質(zhì)（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列是否具有性質(zhì)？并說明理由；（2）若，求出具有性質(zhì)的數(shù)列公差的所有可能值；（3）對(duì)于給定的，具有性質(zhì)的數(shù)列是有限個(gè)，還是可以無窮多個(gè)？(直接寫出結(jié)論)19．（12分）設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，若橢圓過點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓E的上頂點(diǎn)P分別作斜率為，的兩條直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，且，試探究過C，D兩點(diǎn)的直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，說明理由.20．（12分）在2021年“雙11”網(wǎng)上購物節(jié)期間，某電商平臺(tái)銷售了一款新手機(jī)，現(xiàn)在該電商為調(diào)查這款手機(jī)使用后的“滿意度”，從購買了該款手機(jī)的顧客中抽取1000人，每人在規(guī)定區(qū)間內(nèi)給出一個(gè)“滿意度”分?jǐn)?shù)，評(píng)分在60分以下的視為“不滿意”，在60分到80分之間（含60分但不含80分）的視為“基本滿意”，在80分及以上的視為“非常滿意”.現(xiàn)將他們的評(píng)分按，，，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求這1000人中對(duì)該款手機(jī)“非常滿意”的人數(shù)和“滿意度”評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值.（2）若按“滿意度”采用分層抽樣的方法從這1000名被調(diào)查者中抽取20人，再從這20人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中對(duì)該款手機(jī)“非常滿意”的人數(shù)為X.①寫出X的分布列，并求數(shù)學(xué)期望；②若被抽取的這3人中對(duì)該款手機(jī)“非常滿意”的被調(diào)查者將獲得100元話費(fèi)補(bǔ)貼，其他被調(diào)查者將獲得50元話費(fèi)補(bǔ)貼，請(qǐng)求出這3人將獲得的話費(fèi)補(bǔ)貼總額的期望.21．（12分）已知數(shù)列中，.（1）證明是等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使恒成立的最小的整數(shù)k.22．（10分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】解：∵N為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段OA上，且OM=2MA，且，，，故選：D.2、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出并借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】由求導(dǎo)得：，則有，因此，曲線在處的切線的斜率為，所以曲線在處切線的傾斜角是.故選：D3、D【解析】原不等式等價(jià)于，根據(jù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得和的解集，再分情況或解不等式即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象可知：在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由可得，所以或，即或，解得：或，所以原不等式的解集為：，故選：D.4、D【解析】先判斷焦點(diǎn)的位置，再從標(biāo)準(zhǔn)型中找出即得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】焦點(diǎn)在軸上，又，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.【點(diǎn)睛】求圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，首先要把圓錐曲線的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到焦點(diǎn)的位置和焦點(diǎn)的坐標(biāo).5、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)即可求解.【詳解】為等比數(shù)列，，，，；為等差數(shù)列，，，，，∴.故選：B.6、C【解析】把化成，故可得為等比數(shù)列，從而得到的值.【詳解】數(shù)列中，，故，因?yàn)?，故，故，所以，所以為等比?shù)列，公比為，首項(xiàng)為.所以即，故，故選C.【點(diǎn)睛】給定數(shù)列的遞推關(guān)系，我們常需要對(duì)其做變形構(gòu)建新數(shù)列（新數(shù)列的通項(xiàng)容易求得），常見的遞推關(guān)系和變形方法如下：（1），取倒數(shù)變形為；（2），變形為，也可以變形為；7、A【解析】利用雙曲線漸近線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，右頂點(diǎn)為.①直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；②過點(diǎn)平行于漸近線時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；③設(shè)過的切線方程為與雙曲線聯(lián)立，可得，由，即，解得，直線的條數(shù)為1.綜上可得，直線的條數(shù)為4.故選：A,.8、C【解析】求出拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)出直線方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量坐標(biāo)表示，解得，即可得出直線的方程.【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線為，則，整理得，則，.由可得，代入上式即可得，所以，整理得：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，主要考查韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.9、B【解析】直接利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】解：由題得.故選：B10、C【解析】根據(jù)給定條件利用分層抽樣的抽樣比直接計(jì)算作答.【詳解】依題意，三年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)為，從1500人中用分層隨機(jī)抽樣抽取容量為300的樣本的抽樣比為，所以應(yīng)抽取的三年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為.故選：C11、A【解析】先由列舉法計(jì)算出基本事件的總數(shù)，然后再求出該同學(xué)選到歷史、地理兩門功課的基本事件的個(gè)數(shù)，基本事件個(gè)數(shù)比即為所求概率.【詳解】由題意，記物理、歷史分別為、，從中選擇1門；記思想政治、地理、化學(xué)、生物為、、、，從中選擇2門；則該同學(xué)隨機(jī)選擇3門功課，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共個(gè)基本事件；該同學(xué)選到歷史、地理兩門功課所包含的基本事件有：，，共個(gè)基本事件；該同學(xué)選到物理、地理兩門功課的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題型.12、C【解析】設(shè)，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，在中由勾股定理列方程可得，在中由勾股定理可得關(guān)于，的方程，再由離心率公式即可求解.【詳解】設(shè)，則，由雙曲線的定義可得：，，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，所以，即，解得：，在中，，，，由可得，即，所以雙曲線離心率為，故選：C.第II卷（非選擇題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)出直線的方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程.【詳解】設(shè)過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程為，將代入，則，解得：，所以直線的方程為.故答案為：14、【解析】直接利用均值不等式得到答案.【詳解】，當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.15、【解析】根據(jù)圖形可求出與棱錐的體積之比，即可求出結(jié)果【詳解】如圖所示：棱錐可看成正四棱錐減去四個(gè)小棱錐的體積得到，設(shè)正四棱錐的體積為，為PB的中點(diǎn)，為PD的中點(diǎn)，所以，而，同理，故棱錐的體積的為，即棱錐與棱錐的體積之比為故答案為：.16、【解析】先利用相似關(guān)系計(jì)算，求得直線OA的方程，再聯(lián)立方程求得，利用拋物線定義根據(jù)即得p值，即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，則，如圖，，故，解得，所以，直線OA的斜率為，OA的方程，聯(lián)立直線OA與拋物線方程，解得，所以，故，則拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）；（3）存在，構(gòu)造棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為的直四棱柱即滿足條件.【解析】（1）由棱臺(tái)、棱錐的棱長和相等可得，再由面面平行有，結(jié)合正四面體的結(jié)構(gòu)特征即可證結(jié)論.（2）取BC的中點(diǎn)M，連接PM、DM、AM，由線面垂直的判定可證平面PAM，即是二面角的平面角，進(jìn)而求其大小.（3）設(shè)直四棱柱的棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為，結(jié)合已知條件用表示出即可確定直四棱柱.【小問1詳解】由棱臺(tái)與棱錐的棱長和相等，∴，故.又截面底面ABC，則，，∴，從而，故為正四面體.【小問2詳解】取BC的中點(diǎn)M，連接PM、DM、AM，由，，得：平面PAM，而平面PAM，故，從而是二面角的平面角.由（1）知，三棱錐的各棱長均為1，所以.由D是PA的中點(diǎn)，得.在Rt△ADM中，，故二面角的大小為.【小問3詳解】存在滿足條件的直四棱柱.棱臺(tái)的棱長和為定值6，體積為V.設(shè)直四棱柱的棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為，則該四棱柱的棱長和為6，體積為.因?yàn)檎拿骟w的體積是，所以，，從而，故構(gòu)造棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為的直四棱柱，即滿足條件.18、（1）數(shù)列具有性質(zhì)，理由見解析；（2），；（3）有限個(gè).【解析】（1）由題意，由性質(zhì)定義，即可知是否具有性質(zhì).（2）由題設(shè)，存在，結(jié)合已知得且，則，由性質(zhì)的定義只需保證為整數(shù)即可確定公差的所有可能值；（3）根據(jù)（2）的思路，可得且，由為整數(shù)，在為定值只需為整數(shù)，即可判斷數(shù)列的個(gè)數(shù)是否有限.【小問1詳解】由，對(duì)任意正整數(shù)，，說明仍為數(shù)列中的項(xiàng)，∴數(shù)列具有性質(zhì).【小問2詳解】設(shè)的公差為．由條件知：，則，即，∴必有且，則，而此時(shí)對(duì)任意正整數(shù)，，又必一奇一偶，即為非負(fù)整數(shù)因此，只要為整數(shù)且，那么為中的一項(xiàng).易知：可取，對(duì)應(yīng)得到個(gè)滿足條件的等差數(shù)列.【小問3詳解】同（2）知：，則，∴必有且，則，故任意給定，公差均為有限個(gè)，∴具有性質(zhì)的數(shù)列是有限個(gè).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)性質(zhì)的定義，在第2、3問中判斷滿足等差數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合各項(xiàng)均為整數(shù)，判斷公差的個(gè)數(shù)是否有限即可.19、（1）；（2）過定點(diǎn)，坐標(biāo)為.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線斜率公式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓離心率為，所以有.橢圓過點(diǎn)，所以，由可解：，所以該橢圓方程為：；【小問2詳解】由（1）可知：，設(shè)直線的方程為：，若，由橢圓的對(duì)稱性可知：，不符合題意，當(dāng)時(shí)，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立得：，設(shè)，，，因?yàn)?，所以，把代入得：，所以有或，解得：或，?dāng)時(shí)，直線，直線恒過定點(diǎn)，此時(shí)與點(diǎn)重合，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，直線恒過點(diǎn)，當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，此時(shí)，，因?yàn)?，所以，兩點(diǎn)不在橢圓上，不符合題意，綜上所述：過C，D兩點(diǎn)的直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.20、（1）65分（2）①分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；②172.5元【解析】（1）由圖可知中位數(shù)在第二組，則設(shè)中位數(shù)為，從而得，解方程可得答案，（2）①由題意可求得“不滿意”與“基本滿意”的用戶應(yīng)抽取17人，“非常滿意”的用戶應(yīng)抽取3人，則X的可能取值分別為0，1，2，3，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，從而可求得其分布列和期望，②設(shè)這3人獲得的話費(fèi)補(bǔ)貼總額為Y，則，然后由①結(jié)合期望的性質(zhì)可求得答案【小問1詳解】這1000人中對(duì)該款手機(jī)“非常滿意”的人數(shù)為.由頻率分布直方圖可得，得分的中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)為65分.【小問2詳解】①若按“滿意度”采用分層抽樣的方法從這1000名被調(diào)查者中抽取20人，則“不滿意”與“基本滿意”的用戶應(yīng)抽取人，“非常滿意”的用戶應(yīng)抽取人，X的可能取值分別為0，1，2，3，，，，，則X的分布列為X0123