2025屆齊齊哈爾市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題含解析

2025屆齊齊哈爾市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足公比0＜q＜1，＜0，則下列說法不正確的是（）A.一定單調(diào)遞減 B.一定單調(diào)遞增C.式子-≥0恒成立 D.可能滿足=，且k≠12．已知橢圓，則它的短軸長(zhǎng)為（）A.2 B.4C.6 D.83．直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為A.相切B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心D.相離4．如圖所示，在三棱錐中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.5．正方體的棱長(zhǎng)為，為側(cè)面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則△面積的最小值為（）A. B.C. D.6．如圖，已知四棱錐，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，且，E為AD的中點(diǎn)，，則異面直線PC與BE所成角的余弦值為（）A. B.C. D.7．已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.2C.或2 D.或8．有下列三個(gè)命題:①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題;②“若，則”的逆否命題;③“若，則”的否命題.其中真命題的個(gè)數(shù)是A.0 B.1C.2 D.39．三個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.C.或 D.或10．已知數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.11．某中學(xué)的校友會(huì)為感謝學(xué)校的教育之恩，準(zhǔn)備在學(xué)校修建一座四角攢尖的思源亭如圖它的上半部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為30°，側(cè)棱長(zhǎng)為米，則以下說法不正確（）A.底面邊長(zhǎng)為6米 B.體積為立方米C.側(cè)面積為平方米 D.側(cè)棱與底面所成角的正弦值為12．已知三棱錐O—ABC，點(diǎn)M，N分別為線段AB，OC的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知一個(gè)四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球的表面上，且，，則__________14．已知等差數(shù)列的公差為1，且是和的等比中項(xiàng)，則前10項(xiàng)的和為___________.15．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.16．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，側(cè)棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，（1）求證：平面ACF；（2）在線段PB上是否存在一點(diǎn)H，使得CH與平面ACF所成角的正弦值為？若存在，求出線段PH的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由18．（12分）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角正弦值.19．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)積，數(shù)列為等差數(shù)列，且，（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和20．（12分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面PBC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，M，N分別為AB，AP的中點(diǎn)．過MN的平面與側(cè)面PBC交于EF（1）求證：；（2）若平面平面ABC，，求直線PB與平面PAC所成角的正弦值21．（12分）設(shè)圓的圓心為﹐直線l過點(diǎn)且與x軸不重合，直線l交圓于A，B兩點(diǎn).過作的平行線交于點(diǎn)P.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，直線l交E于M，N兩點(diǎn)，C在線段上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于C的對(duì)稱點(diǎn)為Q，求四邊形面積的取值范圍；22．（10分）已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，若右焦點(diǎn)為且離心率為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，是上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切且，，三點(diǎn)共線，求線段的長(zhǎng)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和的意義，可逐項(xiàng)分析求解.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足公比0＜q＜1，＜0，所以當(dāng)時(shí)，由可得，故數(shù)列為增函數(shù)，故B正確；由0＜q＜1，＜0知，所以，故一定單調(diào)遞減，故A正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以，即-，當(dāng)時(shí)，，綜上，故C正確；若=，且k≠1，則，即，因?yàn)?，故，故矛盾，所以D不正確.故選：D2、B【解析】根據(jù)橢圓短軸長(zhǎng)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，所以該橢圓的短軸長(zhǎng)為，故選：B3、B【解析】求出圓心到直線的距離d，與圓的半徑r比較大小即可判斷出直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)判斷圓心是否在直線上，即可得到正確答案解：由圓的方程得到圓心坐標(biāo)（0，0），半徑r=1則圓心（0，0）到直線y=x+1的距離d==＜r=1，把（0，0）代入直線方程左右兩邊不相等，得到直線不過圓心所以直線與圓的位置關(guān)系是相交但直線不過圓心故選B考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系4、D【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以，，所以，故選：D5、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)由，得出點(diǎn)的軌跡方程，由幾何性質(zhì)求得，再根據(jù)垂直關(guān)系求出△面積的最小值【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，設(shè)所以，得，所以因?yàn)槠矫?，所以故△面積的最小值為故選：B6、B【解析】根據(jù)異面直線的定義找出角即為所求，再利用余弦定理解三角形即可得出.【詳解】分別取BC，PB的中點(diǎn)F，G，連接DF，F(xiàn)G，DG，如圖，因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，所以，所以（其補(bǔ)角）是異面直線PC與BE所成的角因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為4菱形，且，，由余弦定理可知，所以，所以，所以異面直線PC與BE所成角的余弦值為，故選：B7、C【解析】根據(jù)成等比數(shù)列求得，再根據(jù)離心率計(jì)算公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)成等比數(shù)列，故可得，解得或；當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，此時(shí).故選：C.8、B【解析】①寫出命題的逆命題，可以進(jìn)行判斷為真命題；②原命題和逆否命題真假性相同，而通過舉例得到原命題為假，故逆否命題也為假；③寫出命題的否命題，通過舉出反例得到否命題為假【詳解】①“若,則互為相反數(shù)”的逆命題是，若互為相反數(shù),則；是真命題；②“若,則”，當(dāng)a=-1,b=-2,時(shí)不滿足，故原命題為假命題，而原命題和逆否命題真假性相同，故得到命題為假；③“若,則”的否命題是若,則，舉例當(dāng)x=5時(shí)，不滿足不等式，故得到否命題是假命題；故答案為B.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了命題真假的判斷，涉及命題的否定，命題的否命題，逆否命題，逆命題的相關(guān)概念，注意原命題和逆否命題的真假性相同，故需要判斷逆否命題的真假時(shí)，只需要判斷原命題的真假9、D【解析】根據(jù)三個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，解得，然后分，討論求解.【詳解】因?yàn)槿齻€(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，所以，解得，當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，所以，所以，當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，所以，所以，故選：D10、A【解析】根據(jù)遞推關(guān)系依次求出即可.【詳解】，，，，，.故選：A.11、D【解析】連接底面正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)，連接，則為該正四棱錐的高，即平面，取的中點(diǎn)，連接，則的大小為側(cè)面與底面所成，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，求出該正四棱錐的底面邊長(zhǎng)，斜高和高，然后對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】連接底面正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)，連接則為該正四棱錐的高，即平面取的中點(diǎn)，連接，由正四棱錐的性質(zhì)，可得由分別為的中點(diǎn)，所以，則所以為二面角的平面角，由條件可得設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則,又則,解得故選項(xiàng)A正確.所以,則該正四棱錐的體積為，故選項(xiàng)B正確.該正四棱錐的側(cè)面積為，故選項(xiàng)C正確.由題意為側(cè)棱與底面所成角，則，故選項(xiàng)D不正確.故選：D12、A【解析】利用空間向量基本定理進(jìn)行計(jì)算.【詳解】.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意可得，該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)位于一個(gè)長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)上，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高為，由題意可得：，據(jù)此可得：，則球的表面積：，結(jié)合解得：.點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.14、【解析】利用等比中項(xiàng)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出前10項(xiàng)的和.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，由已知條件得，即，，解得，則.故答案為：.15、【解析】首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)存在最大值，可判斷極大值點(diǎn)就是最大值點(diǎn)，列式求解.【詳解】由題可知：所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故函數(shù)的極大值為.所以在開區(qū)間內(nèi)的最大值一定是又，所以得實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)若存在最大值，即極大值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，同時(shí)還得滿足極大值點(diǎn)是最大值，還需列不等式，不要忽略這個(gè)不等式.16、【解析】因?yàn)椋?，即，故三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）存在，的長(zhǎng)為或，理由見解析.【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面.（2）設(shè)，求出，根據(jù)與平面所成角的正弦值列方程，由此求得，進(jìn)而求得的長(zhǎng).小問1詳解】依題意，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，側(cè)棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面法向量為，則，故可設(shè)，由于，所以平面.【小問2詳解】存在，理由如下：設(shè)，，，，依題意與平面所成角的正弦值為，即，，解得或.，即的長(zhǎng)為或，使與平面所成角的正弦值為.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再通過計(jì)算，根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論；（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面PAM一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果【詳解】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且連結(jié)因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，且由知由知平面?）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系由已知得取平面的法向量設(shè)，則設(shè)平面的法向量為由得，可取所以．由已知得所以．解得(舍去)，所以又，所以所以與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”19、（1），.（2）.【解析】（1）由已知得，，兩式相除得，由已知得，求得數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得；（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求得.【小問1詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)積，所以，所以，兩式相除得，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，，所以，即，所以數(shù)列的公差為，所以，所以，【小問2詳解】解：由（1）得，所以，，所以，所以.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意先證明平面PBC，然后由線面平行的性質(zhì)定理可證明.（2）由平面平面ABC，取BC中點(diǎn)O，則平面ABC，可得，由條件可得，以O(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，AO，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因?yàn)镸，N分別為AB，AP的中點(diǎn)，所以，又平面PBC，所以平面PBC，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以【小?詳解】因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，取BC中點(diǎn)O，連接PO，AO，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，所以平面ABC，故，又因，所以，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，AO，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得：，，，，，所以，，，設(shè)平面PAC的法向量為，則,則，令，得，，所以，所以直線PB與平面PAC所成角的正弦值為21、（1）（2）【解析】（1）由得，，再由，可得的軌跡方程；（2）設(shè)四邊形的面積為，，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入，整理后再利用函數(shù)單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】（1）圓的圓心為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又，且，，所以?/p>