2025屆黑龍江綏化一中數學高二上期末監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆黑龍江綏化一中數學高二上期末監(jiān)測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．劉老師在課堂中與學生探究某個圓時，有四位同學分別給出了一個結論.甲：該圓經過點.乙：該圓半徑為.丙：該圓的圓心為.丁：該圓經過點，如果只有一位同學的結論是錯誤的，那么這位同學是（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁2．雙曲線：（，）的左、右焦點分別為、，點在雙曲線上，，，則的離心率為（）A. B.2C. D.3．已知，是雙曲線的左右焦點，過的直線與曲線的右支交于兩點，則的周長的最小值為（）A. B.C. D.4．計算復數：（）A. B.C. D.5．圓的圓心坐標和半徑分別為（）A.和 B.和C.和 D.和6．某產品的銷售收入（萬元）是產量x（千臺）的函數，且函數解析式為，生產成本（萬元）是產量x（千臺）的函數，且函數解析式為，要使利潤最大，則該產品應生產（）A.6千臺 B.7千臺C.8千臺 D.9千臺7．過圓外一點引圓的兩條切線，則經過兩切點的直線方程是A. B.C. D.8．已知，是空間中的任意兩個非零向量，則下列各式中一定成立的是（）A. B.C. D.9．已知是等差數列，，，則公差為（）A.6 B.C. D.210．已知F是拋物線x2＝y(tǒng)的焦點，A、B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到x軸的距離為（）A. B.C.1 D.11．箱子中有5件產品，其中有2件次品，從中隨機抽取2件產品，設事件=“至少有一件次品”，則的對立事件為（）A.至多兩件次品 B.至多一件次品C.沒有次品 D.至少一件次品12．如圖，函數的圖象在P點處的切線方程是,若點的橫坐標是5，則()A. B.1C.2 D.0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．二進制數轉化成十進制數為______.14．某商場對華為手機近28天的日銷售情況進行統(tǒng)計，得到如下數據，t36811ym357利用最小二乘法得到日銷售量y（百部）與時間t（天）的線性回歸方程為，則表格中的數據___________.15．如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進行過研究，其中比利時數學家（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面，截面相切，兩個球分別與截面相切于，在截口曲線上任取一點，過作圓錐的母線，分別與兩個球相切于，由球和圓的幾何性質，可以知道，，于是.由的產生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以為焦點的橢圓.如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源，則球在桌面上的投影是橢圓.已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為___________.16．已知橢圓的離心率為.（1）證明：；（2）若點在橢圓的內部，過點的直線交橢圓于、兩點，為線段的中點，且.①求直線的方程；②求橢圓的標準方程.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，△ABC中，，，在三角形內挖去一個半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點C，M，與BC交于點N），將△ABC繞直線BC旋轉一周得到一個旋轉體（1）求該幾何體中間一個空心球表面積的大小；（2）求圖中陰影部分繞直線BC旋轉一周所得旋轉體的體積18．（12分）已知正項等比數列的前項和為，滿足，.記.（1）求數列的通項公式；（2）設數列前項和，求使得不等式成立的的最小值.19．（12分）已知橢圓經過點，且離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知點A，B是橢圓C的上，下頂點，點P是直線上的動點，直線PA與橢圓C的另一交點為E，直線PB與橢圓C的另一交點為F．證明：直線EF過定點20．（12分）已知等差數列的前n項和為，等比數列的前n項和為，且，，（1）求，；（2）已知，，試比較，的大小21．（12分）設函數（1）若，求的單調區(qū)間和極值；（2）在（1）的條件下，證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點；（3）若存在，使得，求的取值范圍22．（10分）已知數列的首項，前n項和為，且滿足.（1）求證：數列是等比數列；（2）設，求數列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分別假設甲、乙、丙、丁是錯誤的，看能否推出矛盾，進而推導出答案.【詳解】假設甲的結論錯誤，根據丙和丁的結論，該圓的半徑為6，與乙的結論矛盾；假設乙的結論錯誤，圓心到點的距離與圓心到點的距離不相等，不成立；假設丙的結論錯誤﹐點到點的距離大于，不成立；假設丁的結論錯誤，圓心到點的距離等于，成立.故選：D2、C【解析】根據雙曲線定義、余弦定理，結合題意，求得關系，即可求得離心率.【詳解】根據題意，作圖如下：不妨設，則，，①；在△中，由余弦定理可得：，代值得：，②；聯(lián)立①②兩式可得：；在△和△中，由，可得：，整理得：，③；聯(lián)立②③可得：，又，故可得：，則，則，故離心率為.故選：C.3、C【解析】根據雙曲線的定義和性質，當弦垂直于軸時，即可求出三角形的周長的最小值.【詳解】由雙曲線可知：的周長為.當軸時,周長最小值為故選：C4、D【解析】直接利用復數代數形式的乘除運算化簡可得結論.【詳解】故選：D.5、C【解析】利用圓的一般方程的圓心和半徑公式，即得解【詳解】可化為，由圓心為，半徑，易知圓心的坐標為，半徑為.故選：C6、A【解析】構造利潤函數，求導，判斷單調性，求得最大值處對應的自變量即可.【詳解】設利潤為y萬元，則，∴.令，解得（舍去）或，經檢驗知既是函數的極大值點又是函數的最大值點，∴應生產6千臺該產品.故選：A【點睛】利用導數求函數在某區(qū)間上最值的規(guī)律：(1)若函數在區(qū)間上單調遞增或遞減，與一個為最大值，一個為最小值(2)若函數在閉區(qū)間上有極值，要先求出上的極值，與，比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成(3)函數在區(qū)間上有唯一一個極值點，這個極值點就是最大(或小)值點，此結論在導數的實際應用中經常用到7、A【解析】過圓外一點，引圓的兩條切線，則經過兩切點的直線方程為，故選8、C【解析】利用向量數量積的定義及運算性質逐一分析各選項即可得答案.【詳解】解：對A：因為，所以，故選項A錯誤；對B：因為，故選項B錯誤；對C：因為，故選項C正確；對D：因為，故選項D錯誤故選：C.9、C【解析】設的首項為，把已知的兩式相減即得解.【詳解】解：設的首項為，根據題意得，兩式相減得.故選：C10、B【解析】根據拋物線的方程求出準線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，列出方程求出，的中點縱坐標，求出線段的中點到軸的距離【詳解】解：拋物線的焦點準線方程，設，，，解得，線段的中點縱坐標為，線段的中點到軸的距離為，故選：B【點睛】本題考查解決拋物線上的點到焦點的距離問題，利用拋物線的定義將到焦點的距離轉化為到準線的距離，屬于基礎題11、C【解析】利用對立事件的定義，分析即得解【詳解】箱子中有5件產品，其中有2件次品，從中隨機抽取2件產品，可能出現(xiàn)：“兩件次品”，“一件次品，一件正品”，“兩件正品”三種情況根據對立事件的定義，事件=“至少有一件次品”其對立事件為：“兩件正品”，即”沒有次品“故選：C12、C【解析】函數的圖象在點P處的切線方程是，所以，在P處的導數值為切線的斜率，2，故選C考點：本題主要考查導數的幾何意義點評：簡單題，切線的斜率等于函數在切點的導函數值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、13【解析】根據二進制數和十進制數之間的轉換方法即可求解.【詳解】.故答案為：13.14、1【解析】根據已知條件，求出，的平均值，再結合線性回歸方程過樣本中心，即可求解【詳解】解：由表中數據可得，，，線性回歸方程為，，解得故答案為：115、##0.5【解析】利用球與圓錐相切，得出截面，在平面圖形中求解，以及圓錐曲線的來源來理解切點為橢圓的一個焦點，求出，得出離心率.【詳解】設球切于，切于E，，球半徑為2，所以，，∴，又中，，，故橢圓長軸長為,,根據橢圓在圓錐中截面與二球相切的切點為橢圓的焦點知：球O與相切的切點為橢圓的一個焦點，且，，橢圓的離心率為.故答案：.16、（1）證明見解析；（2）①；②.【解析】（1）由可證得結論成立；（2）①設點、，利用點差法可求得直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程；②將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由可得出，利用平面向量數量積的坐標運算可得出關于的等式，可求出的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】（1），，因此，；（2）①由（1）知，橢圓的方程為，即，當在橢圓的內部時，，可得.設點、，則，所以，，由已知可得，兩式作差得，所以，所以，直線方程為，即.所以，直線的方程為；②聯(lián)立，消去可得.，由韋達定理可得，，又，而，，，解得合乎題意，故，因此，橢圓的方程為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】根據旋轉體的軸截面圖，根據已知條件求球的半徑與長，再利用球體、圓錐的面積、體積公式計算即可.【小問1詳解】連接，則，設，在中，，；【小問2詳解】，∴圓錐球.18、（1），.（2）5.【解析】(1)根據數列的遞推公式探求出其項間關系，由此求出的公比，進而求得，的通項公式.(2)利用(1)的結論結合錯位相減法求出，再將不等式變形，經推理計算得解.【小問1詳解】解：設正項等比數列的公比為，當時，，即，則有，即，而，解得，又，則，所以，所以數列，的通項公式分別為：，.【小問2詳解】解：由(1)知，，則，則，兩式相減得：于是得，由得：，即，令，，顯然，，，，，，由，解得，即數列在時是遞增的，于是得當時，即，，則，所以不等式成立的n的最小值是5.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據題意，列出的方程組，通過解方程組，即可求出答案.（2）法一：設，，；當時，根據點的坐標寫出直線PA的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可求出點的坐標；同理可求出點的坐標，然后即可求出直線EF的方程，從而證明直線EF過定點.法二：首先根據時直線EF的方程為，可判斷出直線EF過的定點M必在y軸上，設為；然后同方法一，求出點，的坐標，根據，即可求出的值.【小問1詳解】由題意，知，解得，所以橢圓C的標準方程為【小問2詳解】法一：設，，，當時，直線PA的方程為，由，得解得，所以．所以同理可得所以直線EF的斜率為，所以直線EF的方程為，整理得，所以直線EF過定點當時，點E，F(xiàn)在y軸上，EF的方程為，顯然過點綜上，直線EF過定點法二：當點P在y軸上時，E，F(xiàn)分別與B，A重合，直線EF的方程為，若直線EF過定點M，則M必在y軸上，可設當點P不在y軸上時，設，，，則直線PA的方程為，由，得，解得，所以，所以，同理可得，所以，因為E，F(xiàn)，M三點共線，所以，所以，整理得，因為，所以，解得，即所以直線EF過定點20、（1），；（2）.【解析】(1)設等差數列的公差，等比數列的公比，由已知列式計算得解.(2)由(1)的結論，用等比數列前n項和公式求出，用裂項相消法求出，再比較大小作答.【小問1詳解】設等差數列的公差為，等比數列的公比為，依題意，，整理得：，解得，所以，.【小問2詳解】由(1)知，，數列是首項為，公比為的等比數列，則，，，則，用數學歸納法證明，，①當時，左邊，右邊，左邊>右邊，即原不等式成立，②假設當時，不等式成立，即，則，即時，原不等式成立，綜合①②知，，成立，因此，，即，所以.21、（1）遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，極小值（2）證明見解析（3）【解析】（1）對函數進行求導通分化簡，求出解得，在列出與在區(qū)間上的表格，即可得到答案.（2）由（1）知，在區(qū)間上的最小值為，因為存在零點，所以，從而．在對進行分類討論，再利用函數的單調性得出結論.（3）構造函數，在對進行求導，在對進行分情況討論，即可得的得到答案.【小問1詳解】函數的定義域為，，由解得與在區(qū)間上的情況如下：–↘↗所以，的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是；在處取得極小值，無極大值【小問2詳解】由（1）知，在區(qū)間上的最小值為因為存在零點，所以，從而當時，在區(qū)間上單調遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點當時，在區(qū)間上單調遞減，且，所以在區(qū)間上僅有一個零點綜上可知，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點【小問3詳解】設，①若，則，符合題意②