2025屆北京市北京四中高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2025屆北京市北京四中高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數(shù)在上可導，則等于（）A. B.C. D.以上都不對2．長方體中，，，，為側面內（含邊界）的動點，且滿足，則四棱錐體積的最小值為（）A. B.C. D.3．如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設CD與OM交于點P，則點P的軌跡是（）A.圓 B.雙曲線C.拋物線 D.橢圓4．設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．命題“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.?x∈R，|x|+x2<0 B.?x∈R，|x|+x2≤0C.?x0∈R，|x0|+<0 D.?x0∈R，|x0|+≥06．方程表示橢圓的充分不必要條件可以是（）A. B.C. D.7．下列雙曲線中，以為一個焦點，以為一個頂點的雙曲線方程是（）A. B.C. D.8．已知直線交圓于A，B兩點，若點滿足，則直線l被圓C截得線段的長是（）A.3 B.2C. D.49．中秋節(jié)吃月餅是我國的傳統(tǒng)習俗，若一盤中共有兩種月餅，其中5塊五仁月餅、6塊棗泥月餅，現(xiàn)從盤中任取3塊，在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是（）A B.C. D.10．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，點在棱上，且，則與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.11．平行直線：與：之間的距離等于（）A. B.C. D.12．若復數(shù)滿足，則復數(shù)對應的點的軌跡圍成圖形的面積等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的準線方程為，在拋物線C上存在A、B兩點關于直線對稱，設弦AB的中點為M，O為坐標原點，則的值為___________.14．以點為圓心，且與直線相切的圓的方程是__________15．設函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)＋xf′(x)＞0，若a＝(30.3)f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，則a與b的大小關系為________16．已知正方體的棱長為2，E、F分別是棱、的中點，點P為底面ABCD內（包括邊界）的一動點，若直線與平面BEF無公共點，則點P的軌跡長度為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：的離心率為，，是橢圓的左、右焦點，過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求（O為坐標原點）的面積的最大值18．（12分）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線的準線交于點，為坐標原點，（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線交于，兩點，求的面積19．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，（1）求的通項公式；（2）求的最大項20．（12分）已知等比數(shù)列的公比，且，的等差中項為，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，是中點.（1）求點到平面的的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值；22．（10分）已知函數(shù).（1）當時，證明：函數(shù)圖象恒在函數(shù)的圖象的下方；（2）討論方程的根的個數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)目標式，結合導數(shù)的定義即可得結果.【詳解】.故選：C2、D【解析】取的中點，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，分析可知點的軌跡是以點、為焦點的橢圓，求出橢圓的方程，可知當點為橢圓與棱或的交點時，點到平面的距離取最小值，由此可求得四棱錐體積的最小值.【詳解】取的中點，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，設點，其中，，則、，因為平面，平面，則，所以，，同理可得，所以，，所以點的軌跡是以點、為焦點，且長軸長為的橢圓的一部分，則，，，所以，點的軌跡方程為，點到平面的距離為，當點為曲線與棱或棱的交點時，點到平面的距離取最小值，將代入方程得，因此，四棱錐體積的最小值為.故選：D.3、D【解析】根據(jù)題意知,所以,故點P的軌跡是橢圓.【詳解】由題意知，關于CD對稱，所以，故，可知點P的軌跡是橢圓.【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，屬于中檔題.4、B【解析】求出不等式的等價形式，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【詳解】由得或，由得，因為或推不出，但能推出或成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B5、C【解析】利用全稱命題的否定可得出結論.【詳解】由全稱命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：C.6、D【解析】由“方程表示橢圓”可求得實數(shù)的取值范圍，結合充分不必要條件的定義可得出結論.【詳解】若方程表示橢圓，則，解得或.故方程表示橢圓的充分不必要條件可以是.故選：D.7、C【解析】設出雙曲線方程，根據(jù)題意，求得，即可選擇.【詳解】因為雙曲線的一個焦點是，故可設雙曲線方程為，且；又為一個頂點，故可得，解得，則雙曲線方程為：.故選：.8、B【解析】由題設知為圓的圓心且A、B在圓上，根據(jù)已知及向量數(shù)量積的定義求的大小，進而判斷△的形狀，即可得直線l被圓C截得線段的長.【詳解】∵點為圓的圓心且A、B在圓上，又，∴，∴，又，∴，故△為等邊三角形，∴直線l被圓C截得線段的長是2故選：B9、C【解析】分別求出取到3塊月餅都是同種月餅和取到3塊月餅都是五仁月餅的種數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得解.【詳解】解：由題意可得，取到3塊月餅都是同種月餅有種情況，取到3塊月餅都是五仁月餅有種情況，所以在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是.故選：C.10、C【解析】取AC的中點M，過點M作，且使得，進而證明平面，然后判斷出是與平面所成的角，最后求出答案.【詳解】如圖，取AC的中點M，因為，則，過點M作，且使得，則四邊形BDNM是平行四邊形，所以.由題意，平面ABC，則平面ABC，而平面ABC，所以，又，所以平面，而所以平面，連接DA,NA，則是與平面所成的角.而，于是，.故選：.11、B【解析】先由兩條直線平行解出，再按照平行線之間距離公式求解.【詳解】，則：，即，距離為.故選：B.12、D【解析】利用復數(shù)的幾何意義，即可判斷軌跡圖形，再求面積.【詳解】復數(shù)滿足，表示復數(shù)對應的點的軌跡是以點為圓心，半徑為3的圓，所以圍成圖形的面積等于.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】先運用點差法得到，然后通過兩點距離公式求出結果詳解】解：拋物線的準線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為，設點，，，，的中點為，，則，，兩式相減得，即，又因為，兩點關于直線對稱，所以，解得，可得，則，故答案為：514、；【解析】根據(jù)相切可得圓心到直線距離即為圓的半徑,利用點到直線距離公式解出半徑,即可得到圓的方程【詳解】由題,設圓心到直線的距離為,所以,因為圓與直線相切,則,所以圓的方程為,故答案為：【點睛】本題考查利用直線與圓的位置關系求圓的方程,考查點到直線距離公式的應用15、a＞b【解析】構造函數(shù)F(x)＝xf(x)，利用F(x)的單調性求解即可.【詳解】設函數(shù)F(x)＝xf(x)，∴F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0，∴F(x)＝xf(x)在R上為增函數(shù)，又∵30.3＞1，logπ3＜1，∴30.3＞logπ3，∴F(30.3)＞F(logπ3)，∴(30.3)f(30.3)＞(logπ3)f(logπ3)，∴a＞b.故答案為：a＞b.16、【解析】取BC中點G，證明平面平面確定點P的軌跡，再計算作答.【詳解】在正方體中，取BC中點G，連接，如圖，因E、F分別是棱、的中點，則，而平面，平面，則有平面，因，則，而，則有四邊形為平行四邊形，有，又平面，平面，于是得平面，而，平面，因此，平面平面，即線段AG是點P在底面ABCD內的軌跡，，所以點P的軌跡長度為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）1.【解析】(1)根據(jù)給定條件結合列式計算得解.(2)設出直線l的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借助韋達定理結合均值不等式計算作答.【小問1詳解】橢圓C的半焦距為c，離心率，因過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的弦長為1，將代入橢圓C方程得：，即，則有，解得，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】由(1)知，，依題意，直線l的斜率不為0，則設直線l的方程為，，，由消去x并整理得：，，，的面積，，設，，，，當且僅當，時取得“=”，于是得，，所以面積的最大值為1.【點睛】思路點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意建立關于的方程，解得的值即可.（2）聯(lián)列方程組并消元，韋達定理整體思想求的長，再求點到直線的距離，進而求面積.【小問1詳解】由題意可得，，則，因為，所以，解得，故拋物線的方程為【小問2詳解】由（1）可知，則點到直線的距離聯(lián)立，整理得設，，則，從而因為直線過拋物線的焦點，所以故的面積為19、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式進行求解即可；（2）運用二次函數(shù)的性質進行求解即可.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，所以有，所以；【小問2詳解】由（1）可知：，當時，有最大項，最大項為：.20、（1）；（2）【解析】（1）將題目的條件寫成的形式并求解，寫出等比等比數(shù)列通項公式；（2）利用錯位相減法求和.小問1詳解】由題意可得，，∴，∵，∴，∴數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】，∴①，②，①-②可得，∴.21、（1）（2）【解析】（1）以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量為，再利用公式計算即可；（2）易得平面的法向量為，設平面與平面的夾角為，再利用計算即可小問1詳解】解：（1）以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系所以因為，設平面的法向量為，則有，得，令則，所以可以取，設點到平面的距離為，則，所以點到平面的的距離的距離為；【小問2詳解】（2）因為平面，取平面的法向量為設平面與平面的夾角為，所以平面與平面夾角的余弦值22、（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】（1）構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調性，并