江蘇省常熟市第一中學2025屆數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

江蘇省常熟市第一中學2025屆數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為（）A. B.C. D.2．魯班鎖運用了中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結構，相傳由春秋時代各國工匠魯班所作，是由六根內(nèi)部有槽的長方形木條，按橫豎立三方向各兩根凹凸相對咬合一起，形成的一個內(nèi)部卯榫的結構體.魯班鎖的種類各式各樣，千奇百怪.其中以最常見的六根和九根的魯班鎖最為著名.下圖1是經(jīng)典的六根魯班鎖及六個構件的圖片，下圖2是其中的一個構件的三視圖（圖中單位：mm），則此構件的表面積為（）A. B.C. D.3．如圖所示，在中，，，，AD為BC邊上的高，；若，則的值為（）A. B.C. D.4．用數(shù)學歸納法證明時，第一步應驗證不等式（）A. B.C. D.5．已知雙曲線上點到點的距離為15，則點到點的距離為（）A.9 B.6C.6或36 D.9或216．設雙曲線：的左，右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A.4 B.2C. D.7．在正三棱錐S?ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點，且，若側棱，則正三棱錐S?ABC外接球的表面積是（）A. B.C. D.8．在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點為，則（）A.－4 B.－10C.4 D.109．在長方體，，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.10．已知梯形中，，且，則的值為（）A. B.C. D.11．如圖，在空間四邊形中，（）A. B.C. D.12．如圖，空間四邊形中，，，，且，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設數(shù)列的前n項和為，且是6和的等差中項，若對任意的，都有，則的最小值為________14．如圖，在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為__________.15．已知直線與圓：交于、兩點，則的面積為______.16．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點和，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，，P為兩曲線的一個公共點，且（O為坐標原點）．若，則的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓（1）若直線與圓C相交于A、B兩點,當弦長最短時,求直線l的方程;（2）若與圓C相外切且與y軸相切的圓的圓心記為D,求D點的軌跡方程18．（12分）如圖，點是曲線上的動點(點在軸左側)，以點為頂點作等腰梯形，使點在此曲線上，點在軸上.設，等腰梯的面積為.（1）寫出函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的定義域；（2）當為何值時，等腰梯形的面積最大？求出最大面積.19．（12分）在平面直角坐標系中，圓C：，直線l：（1）若直線l與圓C相切于點N，求切點N的坐標；（2）若，直線l上有且僅有一點A滿足：過點A作圓C的兩條切線AP、AQ，切點分別為P，Q，且使得四邊形APCQ為正方形，求m的值20．（12分）已知函數(shù)f(x)＝ax－2lnx（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）設函數(shù)g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范圍21．（12分）已知是奇函數(shù).（1）求的值；（2）若，求的值22．（10分）在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，且點在橢圓C上（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點的直線與橢圓C交于A，B兩點，試探究直線上是否存在定點Q，使得為定值．若存在，求出定點Q的坐標及實數(shù)的值；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由，分兩步，當求出，當時得到，兩式作差即可求出數(shù)列的通項公式；【詳解】解：因為①，當時，，當時②，①②得，所以，當時也成立，所以；故選：D2、B【解析】由三視圖可知，該構件是長為100，寬為20，高為20的長方體的上面的中間部分去掉一個長為40，寬為20，高為10的小長方體的一個幾何體，進而求出表面積即可.【詳解】由三視圖可知，該構件是長為100，寬為20，高為20的長方體的上面的中間部分去掉一個長為40，寬為20，高為10的小長方體的一個幾何體，如下圖所示，其表面積為：.故選：B.【點睛】本題考查幾何體的表面積的求法，考查三視圖，考查學生的空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.3、B【解析】根據(jù)題意求得，化簡得到，結合，求得的值，即可求解.【詳解】在中，，，，AD為BC邊上的高，可得，由又因為，所以，所以.故選：B.4、B【解析】取即可得到第一步應驗證不等式.【詳解】由題意得，當時，不等式為故選：B5、D【解析】利用雙曲線的定義可得答案.【詳解】設，，，為雙曲線的焦點，則由雙曲線定義，知，而所以或21故選：D.6、B【解析】根據(jù)雙曲線的定義及，求出，，，，再利用余弦定理計算可得；【詳解】解：依題意可知、，又且，所以，，，，則，且，即，即，所以離心率.故選：B7、A【解析】由題意推出平面，即平面，，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的體積【詳解】∵，分別為棱，的中點，∴，∵三棱錐為正棱錐，作平面，所以是底面正三角的中心，連接并延長交與點，∵底面是正三角形，，平面∴，，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∴，又∵，而，且，平面，∴平面，∴平面，∴，因為S?ABC是正三棱錐。所以，以，，為從同一定點出發(fā)的正方體三條棱，將此三棱錐補成以正方體，則它們有相同的外接球，正方體的體對角線就是球的直徑，，所以.故選：A.8、A【解析】根據(jù)關于平面對稱的點的規(guī)律：橫坐標、縱坐標保持不變，豎坐標變?yōu)樗南喾磾?shù)，即可求出點關于平面的對稱點的坐標，再利用向量的坐標運算求.【詳解】解：由題意，關于平面對稱的點橫坐標、縱坐標保持不變，豎坐標變?yōu)樗南喾磾?shù)，從而有點關于對稱的點的坐標為（2，?1，-3）.故選：A【點睛】本題以空間直角坐標系為載體，考查點關于面的對稱，考查數(shù)量積的坐標運算，屬于基礎題9、A【解析】在長方體中建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，進而求得向量，的坐標，利用向量的夾角公式即可求得答案.詳解】如圖，由題意可知DA，DC，兩兩垂直，則以D為原點，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系.設，則，，，，，，從而，故異面直線與所成角的余弦值是，故選：A.10、D【解析】根據(jù)共線定理、平面向量的加法和減法法則，即可求得，進而求出的值，即可求出結果.【詳解】因為，所以又，所以.故選：D.11、A【解析】利用空間向量加減法法則直接運算即可.【詳解】根據(jù)向量的加法、減法法則得.故選：A.12、C【解析】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.【詳解】因為，又因為，，所以.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先根據(jù)和項與通項關系得通項公式，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式得，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得取值范圍，即得取值范圍，解得結果.【詳解】因為是6和的等差中項，所以當時，當時，因此當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，因此因為在上單調(diào)遞增，所以故答案為：【點睛】本題考查根據(jù)和項求通項、等比數(shù)列定義、等比數(shù)列求和公式、利用函數(shù)單調(diào)性求值域，考查綜合分析求解能力，屬較難題.14、##【解析】過作，垂足為，則平面，則即為所求角，從而可得結果.【詳解】依題意，畫出圖形，如圖，過作，垂足為，可知點H為中點，由平面，可得，又所以平面，則即為所求角，因為，，所以，故答案為：.15、2【解析】用已知直線方程和圓方程聯(lián)立，可以求出交點，再分析三角形的形狀，即可求出三角形的面積.【詳解】由圓C方程：可得：；即圓心C的坐標為（0，-1），半徑r=2；聯(lián)立方程得交點，如下圖：可知軸，∴是以為直角的直角三角形，，故答案為：2.16、【解析】設出半焦距c，用表示出橢圓的長半軸長、雙曲線的實半軸長，由可得為直角三角形，由此建立關系即可計算作答.【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，它們的半焦距為c，于是得，，由橢圓及雙曲線的對稱性知，不妨令焦點和在x軸上，點P在y軸右側，由橢圓及雙曲線定義得：，解得，，因，即，而O是線段的中點，因此有，則有，即，整理得：，從而有，即有，又，則有，即，解得，所以的取值范圍是.故答案：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)先求出直線過的定點,再根據(jù)弦長|AB|最短時,求解.(2)用直譯法求解【小問1詳解】直線即,所以直線過定點.當弦長|AB|最短時,因為直線PC的斜率所以此時直線的斜率所以當弦長|AB|最短時,求直線的方程為,即【小問2詳解】設,易知圓心D在軸上方,圓D半徑為因為圓與圓外切,所以即整理得點的軌跡方程為18、（1）；（2）當時取到最大值，【解析】（1）設點，則根據(jù)題意得，，故；（2）令，研究函數(shù)的單調(diào)性，進而得的最值，進而得的最大值.【詳解】解：（1）根據(jù)題意，設點，由是曲線上的動點得：，由于橢圓與軸交點為，故，所以即：（2）結合（1），對兩邊平方得：，令，則，所以當時，，當時，，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取到最大值，，所以當時，取到最大值，.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究實際問題，考查數(shù)學應用能力與計算能力，是中檔題.19、（1）或（2）3.【解析】（1）設切點坐標，由切點和圓心連線與切線垂直以及切點在圓上建立關系式，求解切點坐標即可；（2）由圓的方程可得圓心坐標及半徑，由APCQ為正方形，可得|AC|＝可得圓心到直線的距離為，可得m的值【小問1詳解】解：設切點為，則有，解得：或x0=-2+1y0=-2，所以切點的坐標為或【小問2詳解】解：圓C：的圓心（1，0），半徑r＝2，設，由題意可得，由四邊形APCQ為正方形，可得|AC|＝，即，由題意直線l⊥AC，圓C：（x﹣1）2+y2＝4，則圓心（1，0）到直線的距離，可得，m＞0，解得m＝3.20、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)實數(shù)a的正負性，結合導數(shù)的性質(zhì)分類討論求解即可；（2）利用常變量分離法，通過構造函數(shù)，利用導數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【小問1詳解】當a≤0時，在(0，＋∞)上恒成立；當a＞0時，令得；令得；綜上：a≤0時f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；a＞0時，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】由題意知ax－2lnx≤x－2在(0，＋∞)上有解則ax≤x－2＋2lnx，令，xg'(x)＋0－g(x)↗極大值↘所以，因此有所以a的取值范圍為：【點睛】關鍵點睛：運用常變量分離法利用導數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵.21、（1）；（2）4【解析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，代入化簡得，進而可得的值；（2）設，可得，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得，進而可得結果.【詳解】解：（1）因為是奇函數(shù)，所以，即，整理得，又，所以（2）設，因為，所以因為是奇函數(shù)，所以所以【點睛】本題主要考查了已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的值，屬于中檔題.22、（1）（2）存在，定點的坐標為，實數(shù)的值為【解析】（1）由題意可得