2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版必修五第二章數(shù)列知識點復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案（含答案）

必修五數(shù)列知識點整理+例題+練習(xí)(教師版)

數(shù)列的概念：數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝)

的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。

1.數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，記作必…可，…，簡記｛%｝?

2.數(shù)列｛七｝的第〃項明與項數(shù)〃的關(guān)系若用一個公式。,,=/(〃)給出，則這個公式叫做這個

數(shù)列的通項公式。

3.數(shù)列的項為當(dāng)自變量由小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，它的圖像是一群孤立的

點。

如

1.數(shù)列1,3,6,10,…的一個通項公式為(C)

A2/nn21c〃("+1)門〃(〃T)

A.an—n—[n—1)B.a,=n-1C.an=------D.a?=------

2.數(shù)列3,-5,7,-9,11,…的一個通項公式是(D)

A6,=(—1)".(2〃+1),5.a,=(—1)'用.(2〃—1),C.=(—1)”.(2〃—]),￡>.=(-l)n+1.(2/?+1)

3.在數(shù)歹!5,8,x,21,34,55,…中，x的值為(D)

A.10B.11C.12D.13

4.數(shù)列｛4｝的通項公式為。“=3〃2一28〃，則數(shù)列各項中最小項是(B)

A.第4項B.第5項C.第6項D.第7項

5.已知數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，其通項公式為勺=〃2+幼，則實數(shù)％的取值范圍是(3,+oo)

6.已知%=,〃(〃eN*),則在數(shù)列｛4｝的最大項為_(答：—):

n+15625

二、數(shù)列通項明與前〃項和S〃的關(guān)系

-1-

kJIn=l

Ea.I2.n=<CC

/=1n>2

如:

1.若數(shù)列｛a,｝的前n項和為S“=〃2,則（A）

Q

A.an=2n-1B.〃=2〃+1C.an=-2n-1D.an--2n+1

5,n=1

2.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和S“=3+2",則a=

n'2n-',n>2

3.已知數(shù)列的S“=〃2+”+l,則如+。9+%0+61+%2=100_o

f_7=1

2n

4.數(shù)列｛%｝的前〃項和Sn-n-4n+\,,則an=\

[2/?-5n>2

5.若數(shù)列｛%｝的前〃項的一3,那么這個數(shù)列的通項公式為(D)

H

A.a“=2x3"TB.an=3x2"C.?！?3〃+3D.a?=2x3

3

=a

解：〃二1時，a｝=S]~\ax=6

33

"n>2"時,an=5n-Sn_,=(-an-3)-(-%—3)/.%=3%，a“==2x3"

6.已知數(shù)列｛%｝的前”項和S“，分別求其通項公式.

⑴S“=3"—2(2)S?=1(a?+2)2(??>0)

O

解析：⑴當(dāng)〃=1時=5=31-2=1,

當(dāng)”22時,a“=S?-S,z=(3”-2)-Ri-2)=2?3n-1

-2-

又q=l不適合上式，故為=11,5=1)

⑵

(?>2)

當(dāng)〃=1時,q=S|=：(?,+2)2,解得q=2當(dāng)〃22H寸,??=S?-S?_,=1(??+2)2-1+2)2

OOO

所以⑷-2)2-(a1+2)2=0所以3“+a?_,)(an-a?_,-4)=0

又可>0,所以=4,可知｛%｝為等差數(shù)列，公差為4

所以。“=%+(〃-1)。=2+(〃-1).4=4〃-2,4=2也適合上式，故?！?4〃一2

7.已知數(shù)列｛m｝的前“項和為S”且滿足a"+2S"?SL1=0（〃22）,?I=1.

（1）求證：｛1｝是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列｛如｝的通項公式.

【解】（1）證明：出=SLS,LI（心2）,

且。〃=-2Sn*Sn-\,**?Sn-\—Sn=2Sn*5/2-1,Sn豐0,，三一=2（〃22）.

On-\

又9=^=2,故數(shù)列｛』｝是以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列.

31。1

(2)由(1)知［=2+(〃-l)d=2+(〃-l)X2=2n,

/.S"==.當(dāng)〃22時，有如=-2SnxS?-1=-2〃(二_1)

1z

又不適合上式，j

、In（〃一1），

點撥：本例的關(guān)鍵是應(yīng)用凡='qI（n一-n'求數(shù)列的通項，特別要注意驗證卬的值

-5?_,（n>2）

是否滿足"n>2"的一般性通項公式。

三、遞推關(guān)系：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項期

-3-

與它的前一項為T（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這

個

數(shù)列的遞推公式.

如：

1.已知數(shù)列｛4｝適合：q=l,（1）寫出前五項并寫出其通項公式；

（2）用上面的數(shù)列｛a.｝,通過等式2=4-a,用構(gòu)造新數(shù)列也｝,寫出“，并寫出也｝的前5

項。

22222

解:(1)4=1,。2=5，03=W%=￡，a5=y%，

JO

222a=L,b,=L仇」，坊」

(2)b?=

〃+1〃+25+1)(九+2)'32610415

2.已知數(shù)列｛2｝中q=2,4+i=3a“+1，（〃wN*）則4的值為（A）

A.67B.22C.202D.201

3.數(shù)列｛a“｝中，/=l,a“=—!—+1,貝5/3

4T

4.設(shè)a.=——I—!—H-F―!一，(nGN*),則a.與a“的大小關(guān)系是(C)

"n+ln+22n+\"'

A.an+l>anB.an+i=anC.an+l<anD.不能確定

1-----1--1-----1-------1-

解：因為%+1_《,------<0所以an+i<an,選C.

2〃+22〃+3n+l2〃+32n+2---------nl'

5.已知數(shù)｛a“｝的遞推關(guān)系為a向=2a,+1,且a,=1求通項%。

解：：a.+|=2a“+1%+|+1=2(%+1)令％=a“+l

-4-

則數(shù)列｛4｝是公比為2的等比數(shù)列

:也=即a?+l=(q+1)7-=2"，an=2"-1

總結(jié)提高

1.給出數(shù)列的前幾項求通項時，常用特征分析法與化歸法，所求通項不唯一

2.由S“求明時，要分〃=1和〃22兩種情況

3.數(shù)列是一種特殊函數(shù)，因此通過研究數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性)來解決數(shù)列中的“最

大項”與“和最小”等問題十分有效。

4.給出S“與4的遞推關(guān)系，要求*,常用思路是：一是利用S“-S“T=%(n>2)

轉(zhuǎn)化為%的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為S”的遞推關(guān)系，先求出S“與〃

之間的關(guān)系，再求明。

四.等差數(shù)列

1.等差數(shù)列的概念：如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常

數(shù)，這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫等差數(shù)列的公差，用d表示。

2.遞推關(guān)系與通項公式

遞推關(guān)系：-aa=d由此聯(lián)想到點所在直線的斜率。

通項公式：=a,+(n-l)d

推J~：a*=+(n-)n)d

特征：an=dn+(al-d),BP：an=f(n)=kn+m,(左，加為常數(shù))

變式：or,=as-(n-l)d;

,a-a.a=kn+m,(A,根為常數(shù))是數(shù)列｛《,｝成等差數(shù)列的充要條

a=-----n

n-\

d=上巴件。

n-m

如

1.等差數(shù)列一3,1,5,…的第15項的值是(B)

-5-

A.40B.53C.63D.76

2.在數(shù)列"｝中，q=2,2a用一2an=1,貝Ua101的值為（D）

A.49B.50C.51D.52

3.等差數(shù)列｛%｝中，a[0=30>a20=5（）>則通項%=（答：2n+10）;

B

4.在等差數(shù)列｛a“｝中％=2,a2+a3=13,則4+牝+6等于（）

A.40B.42C.43D.45

解：%+/=2,+3d=44-3d—13「.d=3,%=2+4x3=14,%+/+&=3%=42

5.首項為-24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是_（答：|<J<3）

6.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的首項4及公差d都為整數(shù)，前〃項和為S“，若a“=0,SM=98,求數(shù)

列｛4｝的通項公式

解：由Su=98,得2q+13d=14,又a”=G+10d=0,解得d=—2,a]=20

所以數(shù)列｛冊｝的通項公式是：a?=22-2n（nwN*）

7.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，q°=10,其前10項的和Mo=70,則其公差d等于（D）

201八1c2

A.——B.——C.—D.—

3333

8.數(shù)列｛%｝中，q=1,%=2+3,4=4+5+6,4=7+8+9+10...，那么?。?—505

3.等差中項：

若a,",c成等差數(shù)列，則b稱。與c的等差中項，且8=色??；a,仇c成等差數(shù)列是2〃=a+c

2

的充要條件。

如:

-6-

1.數(shù)列｛6,｝為等差數(shù)列，的與的等差中項為5，%與%的等差中項為7,則通項凡等于

2n-3

已知尸，—尸，則。力的等差中項為（

2.4=--?―b=_L?A)

V3+V2V3-V2

1

A.V3B.V2CD.

,5V2

3.若吆2,電（2,-1）,也（2，+3）成等差數(shù)列，則x的值等于（D）

A.1B.0或32C.32D.log25

4.前〃項和公式：S“=（%+%）〃,s,=〃《+"（〃二—

22

變式：^^=[/+4+-+4=4+（〃_1）4=4+（〃_1）.（_3；

2nn22

2

特征：S“+（q-g）〃，即S,=/（〃）=A〃2+Sn=An+Bn（A,B為常數(shù)）是數(shù)列｛%｝

成等差數(shù)列的充要條件。

如

1.等差數(shù)列｛a,J中,卬+%+%=39,%+4+%=27,則數(shù)列｛6,｝前9項的和S9等于（B）

A.66B.99C.144D.297

2.數(shù)列｛&“｝的通項處=2〃+1,則由2=卬+4：…+“"（〃GN*）,所確定的數(shù)列也｝的前〃項

3.等差數(shù)列｛%｝的前”項和記為S“，已知qo=3O,%o=5O①求通項明;②若S,=242,

求〃

-7-

解：an=at+（n-1）J

4+9d=30q=12

4o=30,Wo=50,解方程組，a=2〃+10

4+194=50d=2n

由S“=na,+,S?=242，12〃+〃（7）-2=242,解得〃=11或〃=一22（舍去）

4.設(shè)S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，$4=14,SK）-S7=30,則S9=.

解：設(shè)等差數(shù)列｛七｝的首項為ai，公差為d,由題意得4弓+*?1=14,

[10q+1T）d]-[7q+d]=30,聯(lián)立解得ai=2,d=l,所以Sg=9x2+空心4=54

5.設(shè)S“是等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，若差=；，則盞=（A）

白63白12

3111

A.—B.-C.-D.-

10389

々萬S?3a,+3d12口」八，6a,+15J27d3

解：—=—!-----=一「.卬=21且1。0?,?一^=—!------=——=—

S66q+15d3S1212q+66d90d10

6.數(shù)列｛〃“｝為等差數(shù)列，S100=145,d=；,則4+%+%++47+a第=60

7.在等差數(shù)列｛q｝中，flp-10,d=2,要使前n項和取得最小值，則n等于（D）

A、5B、6C、7D、5或6

8.?設(shè)｛%｝與｛0｝是兩個等差數(shù)列，它們的前"項和分別為S“和7；,若色=四衛(wèi)，那么

Tn4〃一3

”=（答.6〃一2

b?…8/1-7

9.等差數(shù)列｛q｝中，4=25,$9=與，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值。（答：前

13項和最大，最大值為169）；

-8-

10.在等差數(shù)列｛““｝中，。5=0?3，%2=3」,求％8+69+。20+。21+。22的值。31.5

11.已知等差數(shù)列｛冊｝的前〃項和為",若根>1,且—+-—用=0,52,,1=38,則加=(C)

A.38B.20C.10D.9

4”+4.一%：=0,-2)=0,a,?=2,

2fYl_1

52?,_,--^(?,+/mi)=(2加一1)4，”=38,2加一1=19

12.在等差數(shù)列｛%｝中，4o<O，%>O，且即>1。/，S“是其前〃項和，則

A、5],邑…S]()都小于0,S”,工…都大于0B、5],邑…ST都小于0,/pSzi…都大于0

B、…S$都小于0,S6?…都大于0D、席邑…S20都小于0,S2Q22…都大于0

(答：B)

5.等差數(shù)列｛a“｝的基本性質(zhì)(其中加,〃,p,qwN*1

(1)當(dāng)公差時，等差數(shù)列的通項公式4,=4+(〃-1)4=而+4-4是關(guān)于〃的一次函數(shù)，

且斜率為公差d;前〃和5,=%+也曰d=a〃2+(q—多“是關(guān)于〃的二次函數(shù)且常

數(shù)項為0.

(2)若公差d>0,則為遞增數(shù)列，若公差d<0,則為等差數(shù)列，若公差d=0,則為常數(shù)

列。

(3)當(dāng)加+〃=p+q口寸，則有+?！?4,特別地，當(dāng)加+”=2〃時，則有4“+。”=2%，

(4)5“方2”一S”,S3”一邑”仍成等差數(shù)歹始

如

1.等差數(shù)列｛。"｝中，a2=5,4=33,貝!]%+6=__38。

2.已知等差數(shù)列｛4｝中，a-,+a9=16,a4=1,則須等于(A)

-9-

A.15B.30C.31D.64

3.在等差數(shù)列中，SH=22,則4=（答：2）；

4.數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，4=7，則.》=49

5.在等差數(shù)列｛&“｝中，若4+。9+。15+“21=8，則$23=46

6.等差數(shù)列的前〃項和為25,前2〃項和為100,則它的前3〃和為。（答：225）

7.在等差數(shù)列｛&”｝中，已知&4+圓=16,則該數(shù)列前11項和S“=（B）

A.58B.88C.143D.176

8.若等差數(shù)列的前7項的和為48,前14項的和為60,則前21項的和為36

9.設(shè)等差數(shù)列｛?！保那啊椇蜑镾”已知前6項和為36,最后6項的和為180,S”=324（〃

>6）,則<29+00=_36

10.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,若$3=9,56=36,則/+6+。9=（B）

A.63B.45C.36D.27

11.已知數(shù)列｛a,,｝是等差數(shù)列，若%+%+%0=17,4+%+4+…+/+%3+%4=77且

ak=13,則％=-18

1722

3%=17,%=—,11%=77,%=7,d=§-4=(k—9)d13—7=(k—9)x—^k=18

12.若等差數(shù)列｛a“｝中，%+%-%o=8,即一%=4,貝！IS?

13

156a3+%-。［0+%-%=12,%+%=4o+%，%=12,513=—(a｝+a")=13%

6.判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法:

①定義法：〃曲-（常數(shù)）（〃￡N"）n｛4｝是等差數(shù)列

-10-

G

②中項法：2a?+1=an+an+2(〃N*)n｛4｝是等差數(shù)列

③通項公式法：an=kn+b(A,6為常數(shù))n｛a,｝是等差數(shù)列

④前n項和公式法：S”=An2+Bn(A,B為常數(shù))n｛a,｝是等差數(shù)列

如：

1.已知數(shù)歹U｛4｝前〃項和S“=〃2—9〃，求證：｛a“｝為等差數(shù)列

解：證明："=1時，a,-S,--8,

22

當(dāng)〃22時，an=5?-5?_,=n-9/7-[(/?-1)-9(/1-1)]=2n-10

也適合該式，；.%=2〃-10(〃wN*)

311

2.已知數(shù)列｛%｝中，a\=7,a=2----(〃22,〃￡N"),數(shù)列｛為｝滿足仇=—=(〃WN*).

DrtCln-\Cln1

(1)求證：數(shù)列｛為｝是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列｛?。械淖畲箜椇妥钚№?，并說明理由.

解：(1)V??=2--(n^2,//GN*),ZT,

CLn-\CLn-1

.._____________________________________________________!_____________________________________??___!__1

??1___1_______11___1___1___11?

3+i-1an—\^2——)_?如—1an—\an—\

Cln

又為=一二=一,，數(shù)列｛兒｝是以一盛為首項，以1為公差的等差數(shù)列.

a\-1//

712

(2)由(1)知b=〃一弓，則an=\+-]-=\+-----

設(shè)/U)=I+5^7，則於)在區(qū)間(一8,§和(，+8)上為減函數(shù).

當(dāng)〃=3時，〃〃取得最小值-1;當(dāng)〃=4時，為取得最大值

四.等比數(shù)列

-11-

（1）等比數(shù)列的判斷方法：定義法—=第4為常數(shù)），其中戶0或%1=烏_（及22）。

%a”%

例1.數(shù)列｛〃"｝中，S“=4a,”|+1（〃22）且q=l,若b“=a,+i-2%，求證：｛〃,｝是等比數(shù)

列。

練習(xí)：

[如果-1,a,b,c,-9成等比數(shù)列，那么（B）

A.匕二3,ac-9B.b--3,ac--9C,b=3,ac--9D.b=_3,ac--9

2.已知數(shù)列｛凡｝的前〃項和記為S,,5.=；0-1）（"62）（1）求心出；（2）求證：數(shù)列｛%｝

是等比數(shù)列。（3）求出S“關(guān)于〃的表達(dá)式。

解：（1）由S“=；（a“—1）,得q=—1）；.4=,又S2=4+4=；（。2-1）得。2=：

（2）當(dāng)“22時，凡=5“-5,1=94-1）-:3,1-1）,得出=4

33an_｛2

故數(shù)列｛?！埃鞘醉棡?工，公比為-工的等比數(shù)列。

22

3.數(shù)列｛%｝中，若4=1,。向=2%+3（〃21）,則該數(shù)列的通項飆=2--3.

4.已知無窮數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，并且a“+S,,=l,則｛*｝的通項公式為—（；）"_

（2）等比數(shù)列的通項：…小或…廠。

練習(xí)：

1.在等比數(shù)列｛%｝中，如果％+%=40,a,+a4=60,那么%+[=___

A.95B.100C.135D.80【答案】C

-12-

2.在等比數(shù)列｛4｝中，已知4=1,%=8,則%=()

A.16B.16或一16C.32D.32或一32【答案】A

3.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列伍,｝中，首項為3,前3項和為21,則/+4+%=（）

A.33B.72C.84D.189【答案】C

4.在等比數(shù)列｛%｝中，％+/=10,4+&=*，則數(shù)列｛對｝的通項公式為（A）

5在等比數(shù)列｛%｝中，a5+a6=a(a^O),a]5+a]6=b,則。25+%6的值為(C)

A.-B.(-)2C.—D.與

aaaa

6.數(shù)列｛%｝中，若q=l,。向=2%+3(n>1),則通項。"=2”“-3

7.等比數(shù)列｛4｝中，。2+。3=6,。2。3=8,則<7=(C)

A.2B.-C.2或工D.-2或-1

222

8_.一個等比數(shù)列各項均為正數(shù)，且它的任何一項都等于它的后面兩項的和，則公比q為

O

A/5—122,An—1+非

攻％=??+1+a“+2=qa.+q-an,q-+q>0,q=---

9.已知遞增等比數(shù)列｛%｝滿足生+%+。4=28,且%+2是%，。4的等差中項

（1）求｛%｝的通項公式樂;

（2）若a=a.log〕，Sn=b｛+b2+---+bn,求S“+〃-2"+i>30成立的〃的最小值。

-13-

解：⑴設(shè)等比數(shù)列的公比為必則卜2+?”5=28,即/2(1：。+如)=28

2

[2(43+2)=42+%[?2(<7-2^+1)=4

得2q2-5q+2=0,故q=g(舍去)或q=2,這時的=4,則a“==2"

,!

(2)bn=a?log,an=2"log,2=-n-2",/.5?=-(n-1)-2"-'-2

22

若S“+〃-2"+i>30,即2川>32,n>4,則〃的最小值為5。

(3)等比數(shù)列的前〃和：當(dāng)q=l時，S“=叫；當(dāng)q"時，s,,=%m=5二型。

1一夕\-q

例：

1.等比數(shù)列｛6,｝的公比4>0,已知出=1，/+2+?！?1=6%，則｛《,｝的前4項和$4=—

解析由?！?2+%+1=6?！暗?q"4+q"=6q"T,BP(72+^-6=0,q>0,

,115

解得：q—2,又〃產(chǎn)1,所以，S4=-----------=-o

21-22

2,設(shè)等比數(shù)列｛冊｝的公比為q,前〃項和為S〃，若S〃+1,S〃,S〃+2成等差數(shù)列，求夕的值。

【答案】解：若4=1,則5+1)〃]+(〃+2)〃]=2叫,

???內(nèi)w0,...2〃+3=2幾,不合要求...........3分

若qw狽j"i(l-<7"")+：(1-夕"2)=2?%(1-夕")...........6分

q\-q\-q

./+1+/+2=2夕〃...........9分

/./+g-2=(),/.q=-2或q=1(舍去)，

綜上，4=一212分

-14-

練習(xí):

1.等比數(shù)列｛%｝中,%=9,%=243,則｛4｝的前4項和為B

A.81B.120C.168D.192

q

2.設(shè)等比數(shù)列｛風(fēng)｝的公比夕=2,前n項和為S,,,則包=()

生

A.2B.4C.—D.—

22

【解析】4=9(1二2)二15%,町=%,：&=".」.選o

1-2的2

3.在等比數(shù)列｛叫中，q=l,公比4=2,若｛%｝前〃項和S“=127,則〃的值為

7.

4.設(shè)S,為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，已知3s3=%-2,3s2=4-2,則公比q=

A、3B、4C、5D、6【答案】B

兩式做差得3s3-3工=3%即4%=%，所以4=幺=夕，所以公比為4,選B.

%

5.等比數(shù)列｛《,｝中，%=6，前三項和$3=18,則公比g的值為()

A.1B.--C.1或一；D.—1或一二【答案】C

222

［解析】=18,q+a,=烏(1+q)=12n2q?-g-1=0=g=1或夕=-』，故選C.

q2

6.郎(〃)=2+24+27+21°+-+2"川°(〃€7*),貝爐(〃)等于(D)

9???

A-(8"-l)B.-(8,,+1-l)C.-(8,,+3-l)￡).-(8,,+4-l)

7777

-15-

7.數(shù)列｛（一I）”?｝的前io。項之和為（c）

A、_x0001_1B、-1C、0D、-2

8.設(shè)等比數(shù)列｛/｝前〃項和為S,,,若S3+SG=2S9,求數(shù)列的公比4

解：顯然夕71,若4=1貝lJS3+S6=9q,而2s9=18%,與S3+S6=2S<,矛盾

q(l-4％(1-d)_24(1-力

由S3+&=2s9nI-

1_q\-qi-q

2/-/一/=0,2(/y_/_1=0,得/=_g,或/=],

而3,:.q=q

特別提醒：等比數(shù)列前〃項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前〃項和時，首先要判斷

公比q是否為1,再由9的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比4是否為1時，要對4

分4=1和4w1兩種情形討論求解。

（4）等比中項：若a,成等比數(shù)列，那么A叫做。與。的等比中項。提醒：不是任何兩數(shù)

都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個土而。如已知兩個正數(shù)4,僅4工。）

的等差中項為A,等比中項為B,則A與B的大小關(guān)系為（答：A>B）

提醒：（1）等比數(shù)列的通項公式及前〃和公式中，涉及到5個元素：1、q、〃、a”及S”,

其中為、鄉(xiāng)稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3

求2；（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為…，

與二兄的，”…（公比為q）；但偶數(shù)個數(shù)成等比時，不能設(shè)為…二:”，收工…，因公

qqq

比不一定為正數(shù)，只有公比為正時才可如此設(shè)，且公比為I?。

例：數(shù)列僅“｝是公差不為0的等差數(shù)列，且q,%，%為等比數(shù)列出“｝的連續(xù)三項，則數(shù)列仍“｝

的公比為

-16-

A.V2B.4C.2D.-

2

【答案】C

【解析】設(shè)數(shù)列｛《J的公差為d（dwO）,由a；=4%得（4+2d）2=4（4+6d）=4=2d

故q=2=:EL1^=%=2,選C.

a｝a｝ax

練習(xí)：

1.在等比數(shù)列｛4｝中，若生嗎是方程3f-1卜+9=0的兩根，則氏的值是一?！敬鸢浮俊?

2.行+1與0-1,兩數(shù)的等比中項是（C）

A.1B.-1C.±1D.-

2

3.有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是

16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12,求此四個數(shù)。（答：15,,9,3,1或0,4,8,16）

4.已知等差數(shù)列｛%｝的公差且勾,生，。9成等比數(shù)列，則”+的+。9的值是13/16

%+4+%0

5.公差不為零的等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S“.若4是生與%的等比中項，$8=32,則％=

A.18B.24C.60D.90

【答案】C

【解析】由二/%得（6+3d）2=（4+2d）（4+6"）得2q+3d=0,再由Ss=84++d=32得

90

2q+7d=8則。=2,4=-3,所以工0=10q+—d=60f.故選C

5.等比數(shù)列的性質(zhì):

-17-

(1)當(dāng)m+〃=p+q時，則有=%%，特別地，當(dāng)〃?+〃=2p時，則有a,“?a“=aj

(2)若｛/｝是等比數(shù)列，則｛|a"|｝、｛<+,g｝(p,qGN*)、伏4｝成等比數(shù)列；若｛4｝、｛〃｝成等

比數(shù)列，則他也｝、｛1｝成等比數(shù)列；若｛%｝是等比數(shù)列，且公比9。-1,則數(shù)列

s,?s2n-sn,s3n-s2n,…也是等比數(shù)列。當(dāng)4=-1,且〃為偶數(shù)時，數(shù)列

S.S"-S”,S3“-S%，…是常數(shù)數(shù)列0,它不是等比數(shù)列.

(3)若％>0國>1,則｛%｝為遞增數(shù)列；若4<0,“>1,則伍“｝為遞減數(shù)列；若

?,>0,0<<7<1,則｛?！埃秊檫f減數(shù)列；若q<0,0<q<l,則｛%｝為遞增數(shù)列；若鄉(xiāng)<0,

則｛4｝為擺動數(shù)列；若q=l，則僅”｝為常數(shù)列.

(4)當(dāng)時，S“=」q"+-=aq"+b,這里。+。=0,但力。0,這是等比數(shù)列

\-q\—q

前〃項和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)S”,判斷數(shù)列｛4｝是否為等比數(shù)列。

⑸S,…=S,"+q"S=S,,+q"S,”.

(6)在等比數(shù)列僅“｝中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2〃時，S偶=弊奇；項數(shù)為奇數(shù)2〃-1時，

S奇=q+qS偶.

(7)如果數(shù)列｛《,｝既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列｛/｝是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列

｛4｝僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。

例：

1.在等比數(shù)列｛。"｝中，若4?%+%々6=20，則此數(shù)列的前10項之積等于(C)

A50B.2O10C.105D.lO10

-18-

2.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，若%.%=9,則10g34+臃3。2+…+1嗚。10=___（答：

10）O

練習(xí)：

1.在等比數(shù)列｛&“｝中，若是方程3/-2%-6=0的兩根，則4?%=一2.

2.在正項等比數(shù)列｛?！埃?，q%+2。3a5+/。7=25，則4+%=_5。

3.在等比數(shù)列｛4｝中，%+4=124,%%=-512,公比q是整數(shù)，則％。=—（答：512）；

4.設(shè)｛4｝為遞減等比數(shù)列，4+/=11，則1g/+lg&+吆。3+…+Igq。=（）

A.35B.-35C,-55D.55【答案】B

5.已知a>0且awl,設(shè)數(shù)列｛x,』滿足log“x“+|=l+k>g"x“（〃eN*）,且玉+々+…+X]”=10（）,則

%01+%?2+…+工200=?（答：100a100）；

6.已知數(shù)列｛七｝是等比數(shù)列，且S,“=10,52?,=30,貝巴“,=①

7.在等比數(shù)列｛七｝中,S“為其前n項和,^530=13S10,510+S30=140,則S2。的值為（答：40）

8.若｛《,｝是等比數(shù)列，且S,,=3"+r,則「=（答：-1）

9.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為"前〃項和為S,,若S,wS〃,S,.2成等差數(shù)列，則q的值為（-2）

10.設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“（neN）,關(guān)于數(shù)列｛%｝有下列三個命題：①若

a,,=a,』（〃wN）,則｛%｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②若S“=a〃2+6”（a2eR）,則｛%｝

是等差數(shù)列；③若5“=1-（-1）",則｛《,｝是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號是

（答：②③）

五.求數(shù)列通項的常用方法：

⑴公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式。

-19-

練習(xí)：

1.若q=l,all+i=an+2,則％=_2n-l_；

2.若%M=2%,則4=-2-'―

3.已知數(shù)列3工,5工,7L,9上,…試寫出其一個通項公式：________(答：%=2〃+1+」丁)

481632"2,,+,

(2)怎與S”的關(guān)系(即q+q+…+4=/("))求4，用作差法：/=g'，J)(〃〉2)。

2

例1.數(shù)列｛4｝中，S“是前〃項和，當(dāng)〃22時，S,,=an⑸-g)

①求證：是等差數(shù)列，②設(shè)a=下一，求也,｝的前〃項和T,,

SnJ2〃+1

證明：①當(dāng)〃22時，S,：=a〃(S,-；)=(S,,-S,T)(S“—g)

所以S“ST=；(S,I-S")即3--一=2所以［白］是以［=1為首項,2為公差的等差數(shù)

2S〃Sn_｛［S〃JS］

列。

②：由①得一l>d=1+(〃-1>2=2〃一1所以S“=—-—所以

S“Si2n-l

b—工_______!______L)

"2n+l(2〃-1)(2〃+1)22n-l2〃+l

T"=h+4+???+〃,=；(1—1)+(|-1)+---+(^^j

-----)=—(1)=-----

2〃+I」22/7+12〃+l

點撥：根據(jù)定義法判斷數(shù)列為等差數(shù)列，靈活運(yùn)用求和公式。

練習(xí)；

1.已知｛叫的前〃項和滿足log,(S“+l)=〃+l,求%(答:

-20-

2.數(shù)列｛%｝滿足;4+裊2+?-+梟"=2〃+5,求/(答：。"=]機(jī)，12)

[2,

3.數(shù)列｛%｝滿足q+3/+32q+…+3"i%=——(〃eN"),貝U<3

3卜"n>2

4.數(shù)列0｝滿足4=4總+黑產(chǎn)沁，求。,(答：見=1折，2)

5.數(shù)列｛“”｝的前〃項和為S“，且S“=2%-1,數(shù)列出｝滿足可=2,bn+i=an+bn,求知也

解：由q=S[=24-1,得4=1；

當(dāng)〃22時，a“=S“—S,i=2a“—2a,i，%=2%，則三=2

%T

故｛斯｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,則」=2"T

b

由%=n+凡，得bz-b“=a"=2"T

b“=(b?-bn_t)+(bn_,-hn_2)+…+(仇一4)+4

1_2〃T

=2"-2+2""..+2。+2=-----+2=2"i+l,其中〃22

1-2

因為仇=2適合上式，故a=2"T+l(〃WN+)

6.設(shè)數(shù)列｛4｝的各項都是正數(shù),且