專題14全等三角形模型（一）（原卷版）

專題14全等三角形模型（一）題型一三垂直模型1．如圖，，，，，垂足分別為，，，，求的長．2．如圖1，點是線段上一點，，，，，（1）求證：．（2）如果是如圖2這個圖形，、、有什么數(shù)量關(guān)系？并證明．3．如圖所示，在中，，且，點為上一點，連接，過點作于點，交于點，點是上任意一點．（1）如圖1，連接，若，且，求的長；（2）如圖2，連接，交于點，若點恰為中點，求證，．

4．如圖所示，直線一側(cè)有一個等腰，其中，．直線過頂點，分別過點，作，，垂足分別為點，，的角平分線交于點，交于點，連接，恰好滿足．延長，交于點．（1）求證：；（2）求證：．5．一天課間，頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見了，于是有了下面這道題．（1）求證：；（2）如果每塊磚的厚度，請你幫小明求出三角板的面積．6．如圖，在中，點在的延長線上，且．過點作，與的垂線交于點．（1）求證：；（2）請找出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．7．已知：中，，，過點作，且．（1）如圖1，當(dāng)點在線段上時，過點作于，連接．求證：；（2）如圖2，當(dāng)點在延長線上時，連接交的延長線于點．求證：．8．如圖，在中，，，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)是A． B． C． D．9．如圖，已知于，于，，，且為上一點，，，則A．13 B．8 C．6 D．510．如圖，，，，，，，則等于A． B． C． D．11．如圖，小明的數(shù)學(xué)作業(yè)本上都是等距的橫線，相鄰兩條橫線的距離都是1厘米，他把一個等腰直角三角板放在本子上，點、、恰好都在橫線上，則斜邊的長度為A．10 B． C． D．12．如圖，已知中，，，三角形的頂點在相互平行的三條直線，，上，且，之間的距離為2，，之間的距離為3，則的長是A． B． C． D．7

題型二一線三等角模型13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長．14．如圖，在中，，點在邊上，點在邊上，連接，．已知，．（1）求證：；（2）若，，求的長．15．如圖，等邊三角形中，放置等邊三角形，且點，分別落在，上，，連結(jié)，若平分，則的長度為．

16．如圖，在中，，，點在線段上運動（不與點，重合），連接，作，交線段于點．（1）當(dāng)時，，，當(dāng)點從點向點運動時，逐漸變（填“大”或“小”；（2）當(dāng)?shù)闹凳嵌嗌贂r，．并說明理由；（3）在點的運動過程中，是否存在是等腰三角形？若存在，請直接寫出此時的度數(shù)；若不存在，請說明理由．17．如圖（1），已知：在中，，，直線經(jīng)過點，直線，直線，垂足分別為點、．證明：．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在中，，、、三點都在直線上，并且有．請直接寫出線段、和之間的數(shù)量關(guān)系．（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），、是、、三點所在直線上的兩動點、、三點互不重合），點為平分線上的一點，且和均為等邊三角形，連接、，若，試證明．

18．如圖，在中，，，，分別是，，上的點，且，，，則的度數(shù)是度．（用含的代數(shù)式表示）19．已知：在中，，直線過點．（1）如圖1，，分別過點，作直線的垂線段，，垂足分別為，．①依題意補(bǔ)全圖1；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖2，當(dāng)時，設(shè)，作，點，在直線上，直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為．題型三對角互補(bǔ)模型20．如圖，已知四邊形，，，，則四邊形的面積為．21．如圖，在四邊形中，，，連接．若，則四邊形的面積為．22．如圖，在中，，，直角的頂點是的中點，兩邊、分別交、于點、，連接交于點，以下五個結(jié)論：①；②；③和互補(bǔ)；④是等腰直角三角形；⑤四邊形的面積是面積的，其中正確的結(jié)論是A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④23．如圖，四邊形中，已知，，，若四邊形的面積為，則．

24．綜合與實踐如圖1，正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，交于點，交于點．知識初探．求證：；探究計算如圖1，若，求四邊形的面積；拓展探究如圖2，四邊形中，，，連接，若，則四邊形的面積是（直接寫出答案，不寫過程）．25．如圖，，將一塊足夠大的三角尺的直角頂點落在的平分線上的任意一點上，使三角形的兩條直角邊與的兩邊分別相交于點，．（1）求證：；（2）若點在的反向延長線上，其他條件不變，問還成立嗎？請說明理由．

26．已知：如圖，是的平分線，是上任意一點，，，垂足分別為點和點．求證：．分析：圖中有兩個直角三角形和，只要證明這兩個三角形全等便可證得．【問題解