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文檔簡介
第五章二次函數(shù)(知識歸納+題型突破)理解二次函數(shù)的有關(guān)概念,會用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖像,能從圖像上認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)。會根據(jù)公式確定圖像的頂點(diǎn)、開口方向和對稱軸,并能掌握二次函數(shù)圖像的平移。熟練掌握二次函數(shù)解析式的求法,并能用它解決有關(guān)的實(shí)際問題。一、二次函數(shù)的基本圖象和性質(zhì)(1)性質(zhì):①開口方向:,開口向上;,開口向下開口大?。涸酱?,拋物線的開口越??;越小,拋物線的開口越大②頂點(diǎn)坐標(biāo):原點(diǎn)或(0,0)③對稱軸:y軸或直線x=0④最值:,最小值0;,最大值0⑤增減性:對稱軸左側(cè):,y隨x的增大而減小;,y隨x的增大而增大對稱軸右側(cè):,y隨x的增大而增大;,y隨x的增大而減?。?)性質(zhì):①開口方向:,開口向上;,開口向下②頂點(diǎn)坐標(biāo):(0,k)③對稱軸:y軸或直線x=0④最值:,最小值k;,最大值k⑤增減性:對稱軸左側(cè):,y隨x的增大而減??;,y隨x的增大而增大對稱軸右側(cè):,y隨x的增大而增大;,y隨x的增大而減?。?)性質(zhì):①開口方向:,開口向上;,開口向下②頂點(diǎn)坐標(biāo):(h,0)③對稱軸:直線x=h④最值:,最小值0;,最大值0⑤增減性:對稱軸左側(cè):,y隨x的增大而減小;,y隨x的增大而增大對稱軸右側(cè):,y隨x的增大而增大;,y隨x的增大而減?。?)性質(zhì):①開口方向:,開口向上;,開口向下②頂點(diǎn)坐標(biāo):(h,k)③對稱軸:直線x=h④最值:,最小值k;,最大值k⑤增減性:對稱軸左側(cè):,y隨x的增大而減??;,y隨x的增大而增大對稱軸右側(cè):,y隨x的增大而增大;,y隨x的增大而減?。?)用配方法推導(dǎo)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式:頂點(diǎn)坐標(biāo)是(,)對稱軸是平行于y軸的直線總結(jié):開口方向/大小,開口向上;,開口向下頂點(diǎn)(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)(,)對稱軸最值增減性(對稱軸左側(cè)),y隨x增大而減小,y隨x增大而增大二、待定系數(shù)法求解析式用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的三種方法:1.已知拋物線過三點(diǎn),設(shè)一般式;2.已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)及一點(diǎn),設(shè)頂點(diǎn)式;3.已知拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)(或已知拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)),設(shè)交點(diǎn)式(其中、是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo));4.特殊情況下:①頂點(diǎn)在原點(diǎn):;②頂點(diǎn)在x軸上:;③頂點(diǎn)在y軸上:.三、函數(shù)的方程思想1、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)拋物線與y軸的交點(diǎn)拋物線與y軸必有一個交點(diǎn)(0,c)拋物線與x軸的交點(diǎn)當(dāng)時,拋物線與x軸有兩個不同的交點(diǎn)其中,是一元二次方程的兩根,則拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)為A(,0),B(,0)當(dāng)時,拋物線與x軸有一個交點(diǎn)當(dāng)時,拋物線與x軸沒有交點(diǎn)2、直線(或直線或直線)與拋物線的交點(diǎn)運(yùn)用方程思想聯(lián)立方程(或或)求出方程組的解,從而得到交點(diǎn)坐標(biāo)四、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系二次函數(shù)的圖像與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系(判斷它們的符號)(1)a:開口 (2)b:對稱軸:左同右異 (3)c:與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)(4): (5) : (6):與x軸交點(diǎn)情況(7):對稱軸 (8):對稱軸解析:(1)a的符號決定拋物線的開口方向:,開口向上;,開口向下.決定拋物線的開口大?。涸酱?,拋物線開口越小;越小,拋物線開口越大.(2)a和b共同決定拋物線對稱軸的位置(拋物線的對稱軸:).當(dāng)時,拋物線的對稱軸為y軸;當(dāng)a、b同號時,對稱軸在y軸的左側(cè);當(dāng)a、b異號時,對稱軸在y軸的右側(cè),簡要概括為“左同右異”(3)c的大小決定拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo).當(dāng)時,拋物線與y軸的交點(diǎn)為原點(diǎn);當(dāng)時,交點(diǎn)在y軸的正半軸;當(dāng)時,交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸.五、常見題型及解題方法:1、銷售類問題:利用二次函數(shù)求最值方法解決銷售問題中的最大利潤、最節(jié)省方案等問題;2、建立二次函數(shù)模型解決問題:通過建立直角坐標(biāo)系、設(shè)函數(shù)解析式、將條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)代入解決鉛球、導(dǎo)彈、拋球、跳水、噴水池及拱橋、隧道問題等.題型一二次函數(shù)的判斷【例1】下列各式中,y是x的二次函數(shù)是()A. B.C.D.【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】解A、當(dāng)時,函數(shù)不是二次函數(shù),不符合題意;B、不是二次函數(shù),不符合題意,C、不是二次函數(shù),不符合題意;D、是二次函數(shù),符合題意;故選D.【例2】下列函數(shù)中,屬于二次函數(shù)的是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】二次函數(shù)的定義:形如且a,b,c為常數(shù)的函數(shù),叫做二次函數(shù),再根據(jù)定義逐一進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:,自變量的最高次數(shù)是1,故A不符合題意;,當(dāng)時,不是二次函數(shù),故B不符合題意;,符合二次函數(shù)的定義,故C符合題意;不是整式形式的函數(shù),故D不符合題意;故選C【例3】下列函數(shù)關(guān)系中,可以用二次函數(shù)描述的是()A.圓的周長與圓的半徑之間的關(guān)系B.三角形的高一定時,面積與底邊長的關(guān)系C.在一定距離內(nèi),汽車行駛速度與行駛時間的關(guān)系D.正方體的表面積與棱長的關(guān)系【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù),反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的定義一一判斷即可.【詳解】解:A.圓的周長c與圓的半徑r之間的關(guān)系是:,故他們之間的關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系;B.三角形的高h(yuǎn)一定時,故他們之間的關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系;C.在一定距離s內(nèi),故他們之間的關(guān)系是反比例函數(shù)關(guān)系;D.正方體的表面積S與棱長a的關(guān)系:,S和a是二次函數(shù)關(guān)系,符合題意;故選:D.鞏固訓(xùn)練1.下列函數(shù)中屬于二次函數(shù)的是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義:形如的函數(shù)是二次函數(shù)逐項(xiàng)判斷即得答案.【詳解】解:A、是一次函數(shù),不是二次函數(shù);B、是二次函數(shù);C、不是二次函數(shù);D、不是二次函數(shù);故選:B.2.下列函數(shù)中,是二次函數(shù)的有(
)①;②;③;④.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義,即可求解.【詳解】解:①,是二次函數(shù),符合題意;②,不符合二次函數(shù)的定義,不是二次函數(shù);③,是二次函數(shù),符合題意;④,不符合二次函數(shù)的定義,不是二次函數(shù);故選:B.題型二根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)【例4】若是關(guān)于的二次函數(shù),則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義求解.【詳解】解:由題意得,解得;故選:C【例5】已知函數(shù)(m為常數(shù)).(1)若這個函數(shù)是關(guān)于x的一次函數(shù),求m的值.(2)若這個函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù),求m的取值范圍.【答案】(1);(2)且.【分析】(1)根據(jù)一次函數(shù)的定義即可解決問題;(2)根據(jù)二次函數(shù)的定義即可解決問題.【詳解】(1)解:依題意且,所以;(2)解:依題意,所以且.鞏固訓(xùn)練3.已知函數(shù)為二次函數(shù),則m的值為.【答案】【分析】由函數(shù)為二次函數(shù),可得,再解不等式組可得答案.【詳解】解:∵函數(shù)為二次函數(shù),∴,解得:,故答案為:4.若是二次函數(shù),則.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義得到且,即可求出a的值.【詳解】解:∵是二次函數(shù),∴且,解得,故答案為:5.已知函數(shù)(其中).(1)當(dāng)m為何值時,y是x的二次函數(shù)?(2)當(dāng)m為何值時,y是x的一次函數(shù)?【答案】(1)2(2)或或【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的定義得到得且,然后解不等式和方程即可得到滿足條件的m的值;(2)根據(jù)一次函數(shù)的定義分類討論:當(dāng)且時,y是x的一次函數(shù);當(dāng)且時,y是x的一次函數(shù);當(dāng)且時,y是x的一次函數(shù),然后分別解方程或不等式即可.【詳解】(1)解:根據(jù)題意,得且,解得,即當(dāng)時,y是x的二次函數(shù);(2)①當(dāng)且時,即時,y是x的一次函數(shù);②當(dāng)且時,y是x的一次函數(shù),解得;③當(dāng)且時,y是x的一次函數(shù),解得;即當(dāng)為或或時,y是x的一次函數(shù).6.已知函數(shù),(1)當(dāng)為何值時,此函數(shù)是一次函數(shù)?(2)當(dāng)為何值時,此函數(shù)是二次函數(shù)?【答案】(1)(2)且【分析】(1)一般地,形如(,為常數(shù))的函數(shù),叫做一次函數(shù),根據(jù)一次函數(shù)的定義進(jìn)行作答即可.(2)形如(為常數(shù),且)的函數(shù),叫二次函數(shù).根據(jù)二次函數(shù)的定義進(jìn)行作答即可.【詳解】(1)解:若函數(shù)為一次函數(shù),則有,解得,所以,當(dāng)時,此函數(shù)是一次函數(shù);(2)解:若函數(shù)為二次函數(shù),則有,解得且,所以,當(dāng)且時,此函數(shù)是二次函數(shù).題型三二次函數(shù)的圖像與基本性質(zhì)【例6】已知拋物線,則此拋物線的對稱軸是.【答案】軸或直線【分析】拋物線的對稱軸是y軸或直線,從而可得答案.【詳解】解:拋物線的對稱軸是y軸或直線;故答案為:y軸或直線【例7】已知拋物線的開口方向向下,則a的取值范圍為.【答案】【分析】由拋物線的開口方向向下,可得,再解不等式可得答案.【詳解】解:∵拋物線的開口方向向下,∴,解得:;故答案為:【例8】二次函數(shù)的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)的最大值.【詳解】解:∵二次函數(shù)的表達(dá)式為,∴當(dāng)時,二次函數(shù)取得最大值,為.故答案為:.鞏固訓(xùn)練7.下列函數(shù)中,y的值隨x值的增大而增大的是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可判斷A,B,根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可判斷C,D,從而可得答案.【詳解】解:∵的開口向上,對稱軸為y軸,∴當(dāng)時,y隨x的增大而減小,故A不符合題意;∵的開口向下,對稱軸為y軸,∴當(dāng)時,y隨x的增大而減小,故B不符合題意;∵,,∴y的值隨x值的增大而增大,故C符合題意;∵,,∴y的值隨x值的增大而減小,故D不符合題意;故選C8.二次函數(shù)的圖象經(jīng)過的象限為(
)A.第一、二象限 B.第二、四象限 C.第三、四象限 D.第一、三象限【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的各項(xiàng)的系數(shù)即可判斷二次函數(shù)的圖象位置.【詳解】解:∵二次函數(shù),二次項(xiàng)系數(shù)為,一次項(xiàng)系數(shù)為,常數(shù)項(xiàng)為,∴二次函數(shù)的圖象開口向下,對稱軸為直線,頂點(diǎn)為,∴二次函數(shù)的圖象經(jīng)過第三、四象限.故選:C.9.關(guān)于二次函數(shù)的下列結(jié)論,正確的是(
)A.它的開口方向是向上 B.當(dāng)時,隨的增大而增大C.它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 D.當(dāng)時,有最小值是3【答案】B【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷各個選項(xiàng)中的結(jié)論是否正確,從而可以解答本題.【詳解】解:∵二次函數(shù),,∴該函數(shù)圖象開口向下,故選項(xiàng)A錯誤,不符合題意;當(dāng)時,y隨x的增大而增大,故選項(xiàng)B正確,符合題意;它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,故選項(xiàng)C錯誤,不符合題意;當(dāng)時,y有最大值3,故選項(xiàng)D錯誤,不符合題意;故選:B.題型四函數(shù)值比較大小【例9】拋物線經(jīng)過三點(diǎn),,,則,,的大小關(guān)系是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)拋物線解析式得到拋物線開口向上,對稱軸為直線,則離對稱軸越遠(yuǎn),函數(shù)值越大,由此即可得到答案.【詳解】解:∵拋物線解析式為,∴拋物線開口向上,對稱軸為直線,∴離對稱軸越遠(yuǎn),函數(shù)值越大,∵,∴,故選B.【例10】已知點(diǎn)A(1,),B(2,),C(,)都在二次函數(shù)的圖象上,則()A. B. C. D.【答案】A【分析】先求出拋物線的對稱軸和開口方向,根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和增減性判斷即可.【詳解】解:∵二次函數(shù),∴拋物線開口向下,對稱軸是軸,當(dāng)時,隨的增大而減小,∵點(diǎn)A(1,),B(2,),C(,)都在二次函數(shù)的圖象上,∴點(diǎn)C(,)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)是(,),∵,∴,故選:A.【例11】已知拋物線上有三點(diǎn),,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)為頂點(diǎn)式,其對稱軸為,圖象開口向上;和(0,)關(guān)于直線x=1對稱,再根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可判斷.【詳解】解:因?yàn)?,所以其對稱軸為,因?yàn)?,所以拋物線開口向上,在對稱軸的左側(cè),y隨x的增大而減小,根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性∶可知,和(0,)關(guān)于直線x=1對稱,因?yàn)?,故,故選:D.【例12】已知拋物線.(1)求拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)當(dāng)時,自變量x的取值范圍是___________;(3)點(diǎn),,是拋物線上的三點(diǎn),則,,的大小關(guān)系是___________.(4)當(dāng)時,求函數(shù)值y的取值范圍.【答案】(1)拋物線的對稱軸為直線,頂點(diǎn)坐標(biāo)為;(2);(3);(4).【分析】(1)將解析式化為頂點(diǎn)式,即可得到對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)計(jì)算拋物線與x軸的交點(diǎn),根據(jù)開口方向得到答案;(3)比較的大小,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解;(4)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別確定最大值及最小值即可.【詳解】(1)解:,∴拋物線的對稱軸為直線,頂點(diǎn)坐標(biāo)為;(2)解:當(dāng)時,,解得,∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為∵,拋物線開口向下,∴當(dāng)時,自變量x的取值范圍是,故答案為:;(3)解:∵拋物線開口向下,∴對稱軸為直線,∵,,,∴,∴,故答案為:;(4)解:∵拋物線的對稱軸為直線,開口向下,,∴當(dāng)時,拋物線的最大值為9,∵,∴當(dāng)時,函數(shù)有最小值,最小值為,∴當(dāng)時,函數(shù)值y的取值范圍是.鞏固訓(xùn)練10.點(diǎn)均在二次函數(shù)的圖象上,則,,的大小關(guān)系是()A. B. C. D.【答案】B【分析】由拋物線解析式可得拋物線對稱軸及開口方向,從而可得,由時,隨增大而減小,可得,進(jìn)而求解.【詳解】解:∵,∴拋物線開口向下,對稱軸為直線,∵關(guān)于直線對稱,∴,∵時,隨增大而減小,∴,∴,故選:B.11.已知拋物線上有三點(diǎn),,,則,,的大小關(guān)系為(從小到大排列)【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)為頂點(diǎn)式,其對稱軸為,圖象開口向上,根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可判斷,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】解:因?yàn)椋_口向上,在對稱軸的左側(cè),隨的增大而減小,根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知,和關(guān)于直線對稱,因?yàn)?,故.故答案為:?2.已知點(diǎn)、、均在二次函數(shù)的圖象上,則、、的大小關(guān)系用“<”連接為.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出圖象的開口向上,對稱軸是直線,根據(jù)時,隨的增大而減少,即可得出答案.【詳解】解:∵,∴圖象的開口向上,對稱軸是直線,∴時,隨的增大而減少,∴關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是,∵,∴.故答案為:.13.若點(diǎn)、在二次函數(shù)的圖象上,則.(填“>”或“<”或“=”).【答案】【分析】把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式可求得與的值,可比較其大.【詳解】解:、在二次函數(shù)的圖象上,,,,,故答案為:.題型五二次函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)符號的判斷【例13】如圖,是二次函數(shù)(a,,是常數(shù),)圖象的一部分,與x軸的其中一個交點(diǎn)在點(diǎn)和之間,對稱軸是直線.對于下列說法:①;②;③;④(m為實(shí)數(shù));其中正確的是(
)
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】B【分析】由拋物線開口方向,對稱軸位置可判斷①,由對稱軸為直線可判斷②,由時及拋物線的對稱性可判斷③,由時函數(shù)取最大值可判斷④.【詳解】解:拋物線開口向下,,拋物線對稱軸為,,,②正確.,①正確.時,,且和時的函數(shù)值相同,時,,③不正確.由圖象可得時,函數(shù)值取最大值,即,,④正確.
故選:B.【例14】如圖,已知拋物線與軸交于點(diǎn),對稱軸為直線.則下列結(jié)論:①;②;③函數(shù)的最大值為;④若關(guān)于的方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根,則.正確的個數(shù)為()
A.個 B.個 C.個 D.個【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的位置和對稱軸可以判斷出,,的正負(fù),對①進(jìn)行判斷,根據(jù)對稱軸公式對②進(jìn)行判斷,設(shè)拋物線的解析式為,當(dāng)時,值最大對③進(jìn)行判斷,把方程轉(zhuǎn)化成一元二次方程,利用判別式等于零求解判斷④即可.【詳解】解:拋物線開口方向向下,,拋物線交軸正半軸,,拋物線對稱軸位于軸正半軸,,,,故①正確;拋物線的對稱軸為,,,故②正確;拋物線的對稱軸為,與軸的一個交點(diǎn)為,拋物線與軸的另一個交點(diǎn)為,設(shè)拋物線的解析式為,當(dāng)時,值最大,最大值為,故③正確;方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根,有兩個相等的實(shí)數(shù)根,,,,(舍去)或,故④錯誤,故選:.【例15】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,有下列結(jié)論:①;②;③;④.其中,正確結(jié)論的個數(shù)是(
)
A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】①由拋物線的開口方向可以判斷的符號,由拋物線與軸的交點(diǎn)判斷的符號,根據(jù)對稱軸確定的符號,即可判斷的符號;②根據(jù)對稱軸,可以判斷、的關(guān)系;③當(dāng)時,,可以判斷;④當(dāng)時,,又由,即可判斷.【詳解】解:①由圖象可知,,,∵對稱軸,∴,,則,故①正確;②∵對稱軸,,,故②正確;③由圖象可知:當(dāng)時,,,故③錯誤;④當(dāng)時,,∵,,,故④正確;綜上可知,正確結(jié)論是①②④,故選:C.【例16】已知二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線,其圖象如圖所示,現(xiàn)有下列結(jié)論:①;②;③;④;⑤.其中正確結(jié)論的是(
)
A.②③④ B.②③⑤ C.②④⑤ D.①②⑤【答案】C【分析】根據(jù)圖象可得,,符號,根據(jù)對稱軸為直線可得,從而判斷①②,根據(jù)時可判斷③,由時取最大值可得,從而判斷④,由拋物線對稱性可得時,,即,由可得,從而判斷⑤.【詳解】解:拋物線開口向下,,拋物線對稱軸為直線,,拋物線與軸交點(diǎn)在軸上方,,,①錯誤,,②正確.時,,,③錯誤.當(dāng)時,取最大值,,令,則,即,④正確.時,拋物線對稱軸為直線,,,即,,⑤正確.∴正確的有②④⑤,故選:C.【例17】已知二次函數(shù)的圖像如圖,有下列5個結(jié)論:①;②;③;④;⑤(的實(shí)數(shù)),其中正確的結(jié)論個數(shù)有(
)
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個【答案】B【分析】由拋物線的開口方向判斷的符號,由拋物線與軸的交點(diǎn)判斷的符號,然后根據(jù)對稱軸及拋物線與軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理,進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷.【詳解】解:由對稱知,當(dāng)時,函數(shù)值大于0,即,故③正確;由圖象可知:圖象開口向下,對稱軸在y軸左側(cè),與y軸交于正半軸,則,,,故,故①錯誤;當(dāng)時,,即,當(dāng)時,,即,故②錯誤;當(dāng)時函數(shù)值小于0,,且,即,代入得,得,故④正確;當(dāng)時,的值最大.此時,,而當(dāng)時,,所以,故,即,故⑤正確.綜上所述,③④⑤正確.故選:B.鞏固訓(xùn)練14.拋物線的圖象如圖所示,則下列四組中正確的是()
A.,, B.,,C.,, D.,,【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可以判斷、、的正負(fù)情況,從而可以解答本題.【詳解】解:由函數(shù)圖象,可得函數(shù)開口向上,則,頂點(diǎn)在軸右側(cè),則、異號,,圖象與軸交點(diǎn)在軸負(fù)半軸,則,故選:D.15.已知二次函數(shù)與.若要使這兩個函數(shù)圖象的形狀相同,下列給出的4組和的取值:①,;②,;③,;④,.則符合要求的是()A.只有①② B.①②④ C.③④ D.①②③【答案】D【分析】根據(jù)關(guān)系式對應(yīng)的系數(shù)的絕對值相等的兩個函數(shù)圖像形狀相同得出答案.【詳解】解:對于二次函數(shù)與,要使這兩個函數(shù)圖象的形狀相同,只需要二次項(xiàng)的系數(shù)的絕對值相等,即,①②③符合題意.故選:D.16.二次函數(shù)的圖象如圖所示,有如下結(jié)論:①;②;③;④(為實(shí)數(shù)).其中正確結(jié)論的個數(shù)是(
)
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【分析】由拋物線的對稱軸的位置判斷的符號,由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系,然后根據(jù)對稱軸判定;當(dāng)時,;然后由圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)得出.【詳解】解:①∵對稱軸在y軸右側(cè),∴a、b異號,∴,∵,∴,故①錯誤;②∵對稱軸,∴;故②正確;③∵,∴,∵當(dāng)時,,∴,∴,故③正確;④根據(jù)圖象知,當(dāng)時,y有最小值;當(dāng)m為實(shí)數(shù)時,有所以(m為實(shí)數(shù)).故④正確.本題正確的結(jié)論有:②③④,3個;故選:C.17.拋物線如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(
)
A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在第一象限即可得出結(jié)論.【詳解】解:拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,由圖象可知,拋物線的頂點(diǎn)在第一象限,,故選:A.18.如圖,已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn),對稱軸為直線,則下列結(jié)論:①;②方程的兩個根是,;③當(dāng)時,隨著的增大而增大;④.其中正確結(jié)論是(填寫序號).
【答案】①②③【分析】①根據(jù)拋物線的開口方向,對稱軸與y軸的交點(diǎn),判斷①正確;②根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷②正確;③根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可判斷③正確;④根據(jù)時,,即可判斷④錯誤.【詳解】解:①∵拋物線的開口向下,∴,∵拋物線的對稱軸為直線,∴,∴,∵拋物線與y軸的正半軸交于一點(diǎn),∴,∴,故①正確;②∵拋物線與x軸的一個交點(diǎn)為,對稱軸為直線,∴拋物線與x軸的另外一個交點(diǎn)為,∴方程的兩個根是,,故②正確;③∵拋物線的開口向下,對稱軸為直線,∴當(dāng)時,隨著的增大而增大,故③正確;④根據(jù)函數(shù)圖象可知,當(dāng)時,,∴,故④錯誤;綜上分析可知,正確的是①②③.故答案為:①②③.題型六二次函數(shù)的平移問題【例18】將拋物線向右平移1個單位,再向上平移2個單位后所得到的拋物線的解析式為.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律即可解答.【詳解】解:將拋物線向右平移1個單位,再向上平移2個單位后,得到的新的拋物線的解析式為:.故答案為:.【例19】將拋物線先向左平移1個單位,再向下平移2個單位,所得的拋物線解析式為(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)平移規(guī)律“左加右減,上加下減”即可得到答案.【詳解】解:根據(jù)平移規(guī)律“左加右減,上加下減”得到平移后的拋物線為,即,故選C.【例20】已知拋物線經(jīng)過平移后得到拋物線,若拋物線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)是,則其對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)一定是()A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)題意求得拋物線向下平移2個單位后得到拋物線,故拋物線上任意一點(diǎn)向下平移2個單位得到其對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】解:∵拋物線經(jīng)過平移后得到拋物線,∴拋物線向下平移2個單位后得到拋物線,∴拋物線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)是,則其對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為.故選:A.鞏固訓(xùn)練19.二次函數(shù)圖象向右平移2個單位,向上平移3個單位得到的二次函數(shù)解析式為(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律即可得到答案.【詳解】解:由題意得,圖象的函數(shù)解析式為:,故選:C.20.拋物線先向右平移2個單位,再向上平移1個單位,得到的新拋物線解析式為()A. B. C. D.【答案】B【分析】先確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,再確定平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,即可求解.【詳解】解:∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,∵這個拋物線先向右平移2個單位,再向上平移1個單位,∴平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,∴平移后的拋物線解析式為,故選:B.21.函數(shù)先向右平移個單位,再向下平移個單位,所得函數(shù)解析式是(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】先確定出原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)減,向下平移縱坐標(biāo)減求出新圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo),然后寫出即可.【詳解】∵二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,∴向右平移個單位,再向下平移個單位,得到新函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,∴所得圖象的函數(shù)解析式為:,故選:.22.與拋物線頂點(diǎn)相同,形狀也相同,而開口方向相反的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)是(
)A. B. C. D..【答案】B【分析】形狀相同,而開口方向相反的拋物線,它們解析式的頂點(diǎn)式形式只有二次項(xiàng)系數(shù)不同,它們互為相反數(shù).【詳解】解:與拋物線頂點(diǎn)相同,形狀也相同,而開口方向相反的拋物線,即與拋物線只有二次項(xiàng)系數(shù)不同,互為相反數(shù).即.故選:B.題型七待定系數(shù)法求函數(shù)解析式【例21】已知某拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,且經(jīng)過點(diǎn),求該拋物線的表達(dá)式.【答案】【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè)拋物線為:,再把代入,從而可得答案.【詳解】解:∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè)拋物線為:,把代入可得:,解得:,∴拋物線為:.【例22】二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是,并經(jīng)過點(diǎn),求這個二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式.【答案】【分析】已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),可設(shè)頂點(diǎn)式,然后把代入即可得到拋物線解析式.【詳解】解:因?yàn)槎魏瘮?shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是,設(shè)二次函數(shù)解析式為,把代入,得,解得,所以二次函數(shù)解析式為:.【例23】已知拋物線過點(diǎn)和(1)求該拋物線的解析式;(2)直接寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)______.【答案】(1)(2)【分析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可;(2)運(yùn)用配方法把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式,寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】(1)解:∵拋物線過點(diǎn)和,,解得,∴該二次函數(shù)的解析式為.(2)解:,∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,故答案為:.鞏固訓(xùn)練23.圖象的頂點(diǎn)為,且經(jīng)過原點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式是.【答案】【分析】已知了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),適合用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式來解答.【詳解】解:根據(jù)題意,圖象的頂點(diǎn)為,設(shè)拋物線的解析式為,由于拋物線經(jīng)過原點(diǎn),則有:,,這個二次函數(shù)的解析式為:,即.故答案為:.24.請你寫出一個二次函數(shù),其圖象滿足條件:①開口向下;②與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.此二次函數(shù)的解析式可以是.【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出,利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出,取,即可得出結(jié)論.【詳解】解:設(shè)二次函數(shù)的解析式為.∵拋物線開口向下,∴.∵拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,∴.取,時,二次函數(shù)的解析式為.故答案為:(答案不唯一).25.二次函數(shù)與軸的兩交點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別是,與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是.(1)求二次函數(shù)的解析式;(2)若該二次函數(shù)的頂點(diǎn)為點(diǎn),求△的面積.【答案】(1)(2)【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式,即可求解;(2)把拋物線的解析式化成頂點(diǎn)式,求得頂點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)三角形面積公式求得即可.【詳解】(1)解:將代入中,得:,,(2)解:∵∴拋物線的頂點(diǎn)為,∵二次函數(shù)與軸的兩交點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別是,∴,∴的面積為.26.已知二次函數(shù),當(dāng)時,當(dāng)時,求這個二次函數(shù)的解析式.【答案】【分析】把2組對應(yīng)值分別代入得到關(guān)于b、c的方程組,然后解方程組即可.【詳解】解:根據(jù)題意得,解得,所以二次函數(shù)的解析式為.題型八拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題【例24】若二次函數(shù)與x軸有兩個交點(diǎn),則k的取值范圍是.【答案】且【分析】根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的根的判別式的關(guān)系結(jié)合二次函數(shù)的定義解答.【詳解】解:根據(jù)題意可得:且,解得:且;故答案為:且.【例25】如果拋物線與軸的一個交點(diǎn)為,那么與軸的另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)是.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可找出拋物線的對稱軸,再利用對稱性即可找出拋物線與軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo),此題得解.【詳解】解:拋物線的對稱軸為直線,且拋物線與軸的一個交點(diǎn)為,拋物線與軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為,即.故答案為:.【例26】已知二次函數(shù)(1)求該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸.(2)求這條拋物線與軸和軸的交點(diǎn)坐標(biāo),并在平面直角坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖像,并求出以這些交點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的圖形的面積.【答案】(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為,對稱軸為直線(2)圖象見詳解,面積為【分析】(1)化為頂點(diǎn)式,即可求解;(2)畫出圖象,分別令,,即可求解.【詳解】(1)解:由題意得頂點(diǎn)坐標(biāo)為,對稱軸為直線.(2)解:如圖
當(dāng)時,,與軸的交點(diǎn)為,當(dāng)時,,解得:,,與軸的交點(diǎn)為,;,,.鞏固訓(xùn)練27.已知二次函數(shù)(是常數(shù)).(1)當(dāng)時,求二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)若,是該二次函數(shù)圖象上的兩個不同點(diǎn),求的值和該二次函數(shù)解析式.【答案】(1),(2),【分析】(1)把代入得出,再把代入得出,求出x的值即可;(2)根據(jù),是該二次函數(shù)圖象上的兩個不同點(diǎn),得出該函數(shù)的對稱軸是直線,從而得出,求出m的值即可得出答案.【詳解】(1)解:當(dāng)時,,當(dāng)時,得,解得:,,即二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,.(2)解:∵,是該二次函數(shù)圖象上的兩個不同點(diǎn),∴該函數(shù)的對稱軸是直線,∵二次函數(shù),∴,解得,,∴該二次函數(shù)解析式是.28.拋物線與軸的一個交點(diǎn)為,則另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案】【分析】根據(jù)題意,得出該拋物線的對稱軸為直線,再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性即可解答.【詳解】解:根據(jù)題意可得:該拋物線的對稱軸為直線,設(shè)另一個交點(diǎn)橫坐標(biāo)為,∵拋物線與軸的一個交點(diǎn)為,∴,解得:,∴另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為,故答案為:.題型九利用圖像確定不等式的解集【例27】如圖,一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象相交于,兩點(diǎn),則關(guān)于x的不等式的解集為()
A. B. C. D.或【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)結(jié)合函數(shù)圖象即可求解.【詳解】解:∵一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn),根據(jù)圖象可得關(guān)于x的不等式的解集是:.故選:C.【例28】如圖,拋物線與直線交于,兩點(diǎn),則不等式的解集是
【答案】【分析】首先確定兩個圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo),再判斷圖象的位置,當(dāng)直線在拋物線下方時,一次函數(shù)值小于二次函數(shù)值,即可求出不等式的解集.【詳解】觀察圖象可知當(dāng),時,.在交點(diǎn)之間時,一次函數(shù)的圖象在拋物線下方,即,所以不等式的解集是.故答案為:.【例29】拋物線的部分圖象如圖所示,對稱軸是直線,且經(jīng)過點(diǎn)要使,則的取值范圍.【答案】【分析】設(shè)圖象經(jīng)過軸的另一個交點(diǎn)為,可得,從而可求,由函數(shù)圖象在軸的下方時即可求解.【詳解】解:設(shè)圖象經(jīng)過軸的另一個交點(diǎn)為,對稱軸是直線,且經(jīng)過點(diǎn),,解得:,當(dāng)時,對應(yīng)的函數(shù)圖象在軸的下方,此時,故答案:.鞏固訓(xùn)練29.如圖,拋物線與直線交于,兩點(diǎn),則不等式的解集是.
【答案】或/或【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可知直線在拋物線上方時,取值范圍.【詳解】解:如圖所示∵拋物線與直線交于,∴由圖象可知,不等式的解集為:或,故答案為:或.
30.已知二次函數(shù),請回答下列問題:(1)其圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_________;(2)當(dāng)滿足_________時,;(3)當(dāng)時,求的取值范圍.【答案】(1)和(2)(3)【分析】(1)令,解得,,即可獲得答案;(2)由,易知該函數(shù)圖像開口向上,結(jié)合拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和,即可獲得答案;(3)由二次函數(shù)解析式,易知該拋物線的對稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,結(jié)合該拋物線開口向上,可知拋物線上的點(diǎn)到對稱軸的距離越大,其縱坐標(biāo)越大,即可獲得答案.【詳解】(1)解:令,解得,,所以拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和;故答案為:和;(2)對于二次函數(shù),∵,∴該函數(shù)圖像開口向上,由(1)可知,拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和,∴當(dāng)滿足時,;故答案為:;(3)∵二次函數(shù),∴該拋物線的對稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,∵該拋物線開口向上,∴則拋物線上的點(diǎn)到對稱軸的距離越大,其縱坐標(biāo)越大,又∵,∴若,當(dāng)時,函數(shù)值最大,此時;當(dāng)時,函數(shù)值最小,此時,∴當(dāng)時,求的取值范圍為.題型十實(shí)際問題之投球問題【例30】如圖,鉛球運(yùn)動員擲鉛球的高度與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系式是,則該運(yùn)動員此次擲鉛球的成績是()A. B. C. D.【答案】D【分析】依題意,該二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的x值為所求.即在拋物線解析式中.令,求x的正數(shù)值.【詳解】解:把代入得:,解之得:.又,解得.故選:D.【例31】如圖,將一個小球從斜坡的點(diǎn)O處拋出,小球的拋出路線可以用二次函數(shù)刻畫,斜坡可以用一次函數(shù)刻畫,下列結(jié)論錯誤的是(
)
A.小球的最大高度為8米B.小球距O點(diǎn)水平距離超過4米呈下降趨勢C.小球落地點(diǎn)距O點(diǎn)水平距離為7米D.當(dāng)小球拋出高度達(dá)到時,小球距O點(diǎn)水平距離為【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出A正確;根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出對稱軸,根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)判斷B正確;求出拋物線與直線的交點(diǎn),判斷C正確,求出當(dāng)時,x的值,判定D錯誤.【詳解】解:A、,,當(dāng)時,y有最大值,最大值為8,小球的最大高度為8米,故A正確;B、,拋物線的對稱軸為,當(dāng)時,y隨著x的增大而減小,即小球距O點(diǎn)水平距離超過4米呈下降趨勢,故B正確;C、解方程組:,得:或,則小球落地點(diǎn)距O點(diǎn)水平距離為7米,故C正確;D、當(dāng)時,,整理得,解得,,當(dāng)小球拋出高度達(dá)到時,小球距O點(diǎn)水平距離為或,故D錯誤;故選∶D.鞏固訓(xùn)練31.如圖,一位運(yùn)動員在距籃下4米處跳起投籃,球運(yùn)行的路線是拋物線,當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5m時,達(dá)到最大高度3.5m,然后準(zhǔn)確落入籃圈.已知籃圈中心到地面的距離為3.05m.該運(yùn)動員身高1.9m,在這次跳投中,球在頭頂上方0.25米處出手,設(shè)球運(yùn)動的水平距離為,豎直高度為.
(1)如圖,拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為______________,籃筐中心坐標(biāo)為______________.(2)求與之間的函數(shù)關(guān)系式;(3)運(yùn)動員在這次跳投中,跳離地面的高度.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)由圖象可直接得出結(jié)論;(2)設(shè)拋物線的表達(dá)式為,依題意可知圖象經(jīng)過的坐標(biāo),由此可得的值.(3)設(shè)球出手時,他跳離地面的高度為m,則可得.【詳解】(1)解:由圖象可知,拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為,籃筐中心坐標(biāo)為;故答案為:;;(2)解:當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時,達(dá)到最大高度3.5米,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè)拋物線的表達(dá)式為.由圖知圖象過以下點(diǎn):.,解得:,拋物線的表達(dá)式為;(3)解:設(shè)球出手時,他跳離地面的高度為m,根據(jù)題意可知,,解得.答:球出手時,他跳離地面的高度為m.32.一名同學(xué)推鉛球,鉛球出手后行進(jìn)過程中離地面的高度(單位:)與水平距離(單位:)近似滿足函數(shù)關(guān)系,其圖象如圖所示.已知鉛球落地時的水平距離為.
(1)求鉛球出手時離地面的高度;(2)在鉛球行進(jìn)過程中,當(dāng)它離地面的高度為時,求此時鉛球的水平距離.【答案】(1)鉛球出手時離地面的高度;(2)此時鉛球的水平距離為9m.【分析】(1)將代入求得c的值即可;(2)將代入求出x的值即可得.【詳解】(1)解:根據(jù)題意,將代入得:,解得:,∴鉛球出手時離地面的高度;(2)將代入得,整理,得:,解得:,(舍),∴此時鉛球的水平距離為9m.33.足球比賽中,某運(yùn)動員將在地面上的足球?qū)χ蜷T踢出,圖中的拋物線是足球的飛行高度關(guān)于飛行時間的函數(shù)圖象(不考慮空氣的阻力).已知足球飛出時,足球的飛行高度是,足球從飛出到落地共用時.
(1)求與之間的函數(shù)解析式;(2)足球的飛行高度能否達(dá)到?請說明理由.【答案】(1)與之間的函數(shù)解析式為(2)不能,理由見解析【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可;(2)根據(jù)題意求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而比較求解即可.【詳解】(1)設(shè)拋物線的關(guān)系式為,將,,代入得:,解得,∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為;(2)拋物線的對稱軸為直線,當(dāng)時,,∵,∴足球的飛行高度不能達(dá)到4.88米.題型十一實(shí)際問題之銷售利潤問題【例32】某企業(yè)設(shè)計(jì)了一款工藝品,每件的成本是50元,為了合理定價,投放市場進(jìn)行試銷,據(jù)市場調(diào)查,銷售單價是100元時,每天的銷售量是50件,而銷售價單價每降低1元,每天就可多售出5件,但要求銷售單價不得低于成本.(1)寫出每天的銷售利潤y(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;(2)求出銷售單價為多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?(3)如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元,且每天的總成本不超過7000元,那么銷售單價為多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?【答案】(1)(2)銷售單價為80元時,每天的銷售利潤最大,最大利潤是4500元(3)銷售單價為82元時,每天的銷售利潤最大,最大利潤為4480元【分析】(1)根據(jù)“利潤售價成本銷售量”列出二次函數(shù)解析式即可;(2)將二次函數(shù)一般式變?yōu)轫旤c(diǎn)式,結(jié)合自變量取值范圍即可求出最值;(3)每天的銷售利潤不低于4000元,根據(jù)二次函數(shù)與不等式的關(guān)系求出x的取值范圍,再根據(jù)每天的總成本不超過7000元,,求出x的取值范圍,進(jìn)而求二次函數(shù)的最值即可.【詳解】(1)解:根據(jù)題意可得:,每件的成本是50元,銷售單價是100元,降價后的銷售單價不得低于成本,,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為:;(2)解:,,拋物線開口向下,,對稱軸為直線,當(dāng)時,y取最大值,最大值為4500,即銷售單價為80元時,每天的銷售利潤最大,最大利潤是4500元;(3)解:當(dāng)銷售利潤等于4000元時,,解得,,∴時,每天的銷售利潤不低于4000元,∵企業(yè)每天的總成本不超過7000元,∴,解得,∴,∵,∴,∵拋物線的對稱軸為直線,且,∴拋物線開口向下,在對稱軸右側(cè),y隨x增大而減小.∴當(dāng)時,y有最大值,最大值為,即銷售單價為82元時,每天的銷售利潤最大,最大利潤為4480元.【例33】一款服裝每件進(jìn)價為80元,銷售價為120元時,每天可售出20件.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件服裝降價1元,那么平均每天可多售出2件.設(shè)每件服裝降價x元,(1)則每天銷售量增加________件,每件服裝盈利________元(用含x的代數(shù)式表示);(2)在讓利于顧客的情況下,每件服裝降價多少元時,商家平均每天能盈利1200元?(3)求其最大利潤.【答案】(1),(2)元(3)【分析】(1)根據(jù)每件服裝降價1元,那么平均每天可多售出2件即可得到答案.(2)設(shè)每件服裝降價x元,則每件的銷售利潤為元,平均每天的銷量為件,根據(jù)題意列出等式;(3)設(shè)利潤為,由(2)可得利潤的表達(dá)式為,利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到最大值,即可得到答案.【詳解】(1)解:設(shè)每件服裝降價x元,由于每件服裝降價1元,那么平均每天可多售出2件,故則每天銷售量增加件,每件服裝盈利元.故答案為:,.(2)解:設(shè)每件服裝降價x元,則每件的銷售利潤為元,平均每天的銷量為件,依題意得,整理得,解得,,由于要對顧客更有利,.故答案為:每件服裝降價元時,商家平均每天能盈利1200元.(3)解:設(shè)利潤為.由(2)可得利潤的表達(dá)式為,化簡得,當(dāng)時,有最大值..【例34】婺源是著名的傳統(tǒng)綠茶產(chǎn)區(qū).婺綠茶,具有“顏色碧而天然,口味香而濃郁,水葉清而潤厚”三大特點(diǎn).某特產(chǎn)店銷售婺源“云霧茶”,平均每天可售出120盒,每盒盈利60元,旅游黃金周臨近,為了擴(kuò)大銷售,特產(chǎn)店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每盒“云霧茶”每降價5元,特產(chǎn)店平均每天可多售出20盒.設(shè)每盒“云霧茶”降價元.(1)當(dāng)時,求銷售該“云霧茶”的總利潤;(2)設(shè)每天銷售該“云霧茶”的總利潤為元.①求與之間的函數(shù)解析式;②試判斷總利潤能否達(dá)到8200元,如果能達(dá)到,求出此時的值;如果達(dá)不到,求出的最大值.【答案】(1)8000元(2)①;②總利潤不能達(dá)到8200元,最大值為8100【分析】(1)利用每箱利潤每箱降低的價格,平均每天的銷售量降價后多出售的箱數(shù),即可求出結(jié)論;(2)①根據(jù)“每箱利潤乘以平均每天的銷售量”,即可得到w與x之間的函數(shù)解析式;②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出w的最大值,與8200比較即可得到結(jié)論.【詳解】(1)解:根據(jù)題意,可知每盒“云霧茶”降價10元時,每盒利潤為(元),平均每天可售出(盤),總利潤為(元);(2)解:①由題意,得與之間的函數(shù)解析式為;②總利潤不能達(dá)到8200元..因?yàn)椋杂凶畲笾?,?dāng)時,取得最大值,為8100.因?yàn)椋钥偫麧櫜荒苓_(dá)到8200元,的最大值是8100.鞏固訓(xùn)練34.李師傅到批發(fā)市場購進(jìn)陽光玫瑰進(jìn)行銷售,這種陽光玫瑰每箱10千克,批發(fā)商規(guī)定:整箱購買,一箱起售,每人一天購買不超過20箱;當(dāng)購買1箱時,批發(fā)價為8.5元/千克,每多購買1箱,批發(fā)價每千克降低0.3元.根據(jù)李師傅的銷售經(jīng)驗(yàn),這種陽光玫瑰售價為13元/千克時,每天可銷售1箱;售價每千克降低0.5元,每天可多銷售1箱.(1)求出陽光玫瑰批發(fā)價y(元/千克)與購進(jìn)數(shù)量x(箱)之間的函數(shù)關(guān)系式;(寫出自變量的取值范圍)(2)若每天購進(jìn)的陽光玫瑰需當(dāng)天全部售完,請你計(jì)算,李師傅每天應(yīng)購進(jìn)這種水果多少箱,才能使每天所獲利潤最大?最大利潤是多少?【答案】(1),,且x為整數(shù)(2)每天應(yīng)購進(jìn)這種水果箱,才能使每天所獲利潤最大,最大利潤是元【分析】(1)根據(jù)“當(dāng)購買1箱時,批發(fā)價為8.5元/千克,每多購買1箱,批發(fā)價每千克降低0.3元”列出函數(shù)關(guān)系式解題;(2)每天所獲利潤為w元,由總利潤每千克利潤銷售量列出關(guān)系式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以求出最大利潤.【詳解】(1)解:,,且x為整數(shù)(2)解:設(shè)李師傅每天應(yīng)購進(jìn)這種水果x箱,每天所獲利潤為w元,則,∵,x為整數(shù),且,∴當(dāng)時,取最大值,最大值為(元),答:李師傅每天應(yīng)購進(jìn)這種水果箱,才能使每天所獲利潤最大,最大利潤是元.35.近年來,隨著國家對生態(tài)環(huán)境的不斷優(yōu)化治理,生態(tài)環(huán)境持續(xù)向好,生態(tài)旅游成為一種時尚,旅游用品也隨之熱銷.某商店準(zhǔn)備銷售一種多功能旅行背包,計(jì)劃從廠家以每個30元的價格進(jìn)貨,經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)當(dāng)每個背包的售價為40元時,月均銷量為280個,售價每增長2元,月均銷量就相應(yīng)減少20個,設(shè)每個背包的售價為x元.(1)月均銷量為個;(直接寫出答案)(2)當(dāng)x為何值時,月銷售利潤為3120元?(3)求月銷售利潤的最大值.【答案】(1)(2)當(dāng)x為42或56時,月銷售利潤為3120元(3)月銷售利潤最大為3610元【分析】(1)利用月均銷量售價,即可用含x的代數(shù)式表示出月均銷量;(2)利用總利潤=每個的利潤×月均銷量,即可得出關(guān)于x的
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