押江蘇南京中考數(shù)學(xué)第27題(幾何綜合與探究)(原卷版+解析)-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)臨考題號押題(江蘇南京專用)

押江蘇南京中考數(shù)學(xué)第27題幾何綜合與探究近幾年南京中考來看，試卷的第27題比較難，屬于壓軸題，主要以幾何探究和函數(shù)綜合為主要考查內(nèi)容。例如：2021年南京中考的第27題考查了最短路徑問題、用勾股定理解三角形、求圓心角、三角函數(shù)綜合等；2020年第27題考查了最短路徑問題、線段垂直平分線的實際應(yīng)用、切線的應(yīng)用、軸對稱綜合題(幾何變換)等；2019年第27題考查了函數(shù)的綜合運用和探究；2018年第27題考查了幾何圖形的規(guī)律探究。命題側(cè)重對所學(xué)知識的理解和運用，難度較大。解此類題型對考生的要求比較高，需要考生熟練的掌握各種幾何圖形的基本性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)與判定，幾何圖形的變換，結(jié)合數(shù)學(xué)思想和方法進行求解，例如在做幾何探究題時，要熟練運用等量代換、轉(zhuǎn)化思想、方程思想以及函數(shù)思想，要善于做輔助線尤其是復(fù)雜輔助線的構(gòu)建，要善于在幾何變換中尋找不變的量和不變的關(guān)系。1．（2021·江蘇南京·中考真題）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？（1）如圖①，圓錐的母線長為，B為母線的中點，點A在底面圓周上，的長為．在圖②所示的圓錐的側(cè)面展開圖中畫出螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑，并標出它的長（結(jié)果保留根號）．（2）圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成．O是圓錐的頂點，點A在圓柱的底面圓周上．設(shè)圓錐的母線長為l，圓柱的高為h．①螞蟻從點A爬行到點O的最短路徑的長為________（用含l，h的代數(shù)式表示）．②設(shè)的長為a，點B在母線上，．圓柱的側(cè)面展開圖如圖④所示，在圖中畫出螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑的示意圖，并寫出求最短路徑的長的思路．2．（2021·江蘇揚州·中考真題）在一次數(shù)學(xué)探究活動中，李老師設(shè)計了一份活動單：已知線段，使用作圖工具作，嘗試操作后思考：（1）這樣的點A唯一嗎？（2）點A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追夢”學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報：點A的位置不唯一，它在以為弦的圓弧上（點B、C除外），……．小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓弧（如圖1）．（1）小華同學(xué)提出了下列問題，請你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長為___________；②面積的最大值為_________；（2）經(jīng)過比對發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，我們記為，請你利用圖1證明；（3）請你運用所學(xué)知識，結(jié)合以上活動經(jīng)驗，解決問題：如圖2，已知矩形的邊長，，點P在直線的左側(cè)，且．①線段長的最小值為_______；②若，則線段長為________．3．（2021·江蘇淮安·中考真題）【知識再現(xiàn)】學(xué)完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡稱HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．【簡單應(yīng)用】如圖（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E分別在邊AC、AB上．若CE＝BD，則線段AE和線段AD的數(shù)量關(guān)系是．【拓展延伸】在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，點D在邊AC上．（1）若點E在邊AB上，且CE＝BD，如圖（2）所示，則線段AE與線段AD相等嗎？如果相等，請給出證明；如果不相等，請說明理由．（2）若點E在BA的延長線上，且CE＝BD．試探究線段AE與線段AD的數(shù)量關(guān)系（用含有a、m的式子表示），并說明理由．4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，F(xiàn)E，DC為鉛直方向的邊，AF，ED，BC為水平方向的邊，點E在AB，CD之間，且在AF，BC之間，我們稱這樣的圖形為“L圖形”，記作“L圖形ABC﹣DEF”．若直線將L圖形分成面積相等的兩個圖形，則稱這樣的直線為該L圖形的面積平分線．【活動】小華同學(xué)給出了圖1的面積平分線的一個作圖方案：如圖2，將這個L圖形分成矩形AGEF、矩形GBCD，這兩個矩形的對稱中心O1，O2所在直線是該L圖形的面積平分線．請用無刻度的直尺在圖1中作出其他的面積平分線．（作出一種即可，不寫作法，保留作圖痕跡）【思考】如圖3，直線O1O2是小華作的面積平分線，它與邊BC，AF分別交于點M，N，過MN的中點O的直線分別交邊BC，AF于點P，Q，直線PQ（填“是”或“不是”）L圖形ABCDEF的面積平分線．【應(yīng)用】在L圖形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．（1）如圖4，CD＝AF＝1．①該L圖形的面積平分線與兩條水平的邊分別相交于點P，Q，求PQ長的最大值；②該L圖形的面積平分線與邊AB，CD分別相交于點G，H，當(dāng)GH的長取最小值時，BG的長為．（2）設(shè)＝t（t＞0），在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，如果只有與邊AB，CD相交的面積平分線，直接寫出t的取值范圍．1．（2022·江蘇南京·一模）問題情境：如圖1，P是⊙O外的一點，直線PO分別交⊙O于點A，B，則PA是點P到⊙O上的點的最短距離．（1）探究證明：如圖2，在⊙O上任取一點C（不與點A，B重合），連接PC，OC．求證：PA＜PC．（2）直接應(yīng)用：如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是弧CD上的一個動點，連接AP，則AP的最小值是．（3）構(gòu)造運用：如圖4，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A1MN，連接A1B，則A1B長度的最小值為．（4）綜合應(yīng)用：如圖5，平面直角坐標系中，分別以點A（﹣2，3），B（4，5）為圓心，以1，2為半徑作⊙A，⊙B，M，N分別是⊙A，⊙B上的動點，P為x軸上的動點，直接寫出PM+PN的最小值為．2．（2022·江蘇·南通市海門區(qū)東洲國際學(xué)校一模）[問題提出](1)如圖1，已知線段AB＝4，點C是一個動點，且點C到點B的距離為2，則線段AC長度的最大值是________；[問題探究](2)如圖2，以正方形ABCD的邊CD為直徑作半圓O，E為半圓O上一動點，若正方形的邊長為2，求AE長度的最大值；[問題解決](3)如圖3，某植物園有一塊三角形花地ABC，經(jīng)測量，AC＝20米，BC＝120米，∠ACB＝30°，BC下方有一塊空地（空地足夠大），為了增加綠化面積，管理員計劃在BC下方找一點P，將該花地擴建為四邊形ABPC，擴建后沿AP修一條小路，以便游客觀賞．考慮植物園的整體布局，擴建部分BPC需滿足∠BPC＝60°．為容納更多游客，要求小路AP的長度盡可能長，問修建的觀賞小路AP的長度是否存在最大值？若存在，求出AP的最大長度；若不存在，請說明理由．4．（2022·江蘇無錫·一模）【學(xué)習(xí)概念】有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個角的頂點的線段稱為對余線．【理解運用】(1)如圖1，對余四邊形中，AB=5，BC=6，CD=4，連接AC，若AC=AB，則cos∠ABC=___________，sin∠CAD=__________．(2)如圖2，凸四邊形中，AD=BD，AD⊥BD，當(dāng)2CD2+CB2=CA2時，判斷四邊形ABCD是否為對余四邊形，證明你的結(jié)論．【拓展提升】(3)在平面直角坐標中，A（－1，0），B（3，0），C（1，2），四邊形ABCD是對余四邊形，點E在對余線BD上，且位于△ABC內(nèi)部，∠AEC=90°+∠ABC．設(shè)=u，點D的縱坐標為t，請在下方橫線上直接寫出u與t的函數(shù)表達，并注明t的取值范圍____________________________．10．（2022·江蘇·江陰市敔山灣實驗學(xué)校一模）問題提出（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分線交AB于點D．過點D分別作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分別為E，F(xiàn)，則圖1中與線段CE相等的線段是_____．問題探究（2）如圖2，AB是半圓O的直徑，AB＝8．P是上一點，且，連接AP，BP．∠APB的平分線交AB于點C，過點C分別作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分別為E，F(xiàn)，求線段CF的長．問題解決（3）如圖3，是某公園內(nèi)“少兒活動中心”的設(shè)計示意圖．已知⊙O的直徑AB＝70m，點C在⊙O上，且CA＝CB．P為AB上一點，連接CP并延長，交⊙O于點D．連接AD，BD．過點P分別作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分別為E，F(xiàn)．按設(shè)計要求，四邊形PEDF內(nèi)部為室內(nèi)活動區(qū)，陰影部分是戶外活動區(qū)，圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū)．設(shè)AP的長為x（m），陰影部分的面積為y（m2）．①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②按照“少兒活動中心”的設(shè)計要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)AP的長度為30m時，整體布局比較合理．試求當(dāng)AP＝30m時．室內(nèi)活動區(qū)（四邊形PEDF）的面積．（限時：60分鐘）1．（2022·河南許昌·一模）問題背景折紙是一種將紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動，折紙大約起源于公元1世紀或者2世紀時的中國，6世紀時傳入日本，再經(jīng)由日本傳到全世界，折紙與自然科學(xué)結(jié)合在一起，不僅成為建筑學(xué)院的教具，還發(fā)展出了折紙幾何學(xué)，成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個分支．今天折紙被應(yīng)用于世界各地，其中比較著名的是日本筑波大學(xué)的芳賀和夫發(fā)現(xiàn)的折紙幾何三定理，它已成為折紙幾何學(xué)的基本定理．芳賀折紙第一定理的操作過程及內(nèi)容如下：第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD對折，使點A與點D重合，點B與點C重合．再將正方形ABCD展開，得到折痕EF；第二步：將正方形紙片的右下角向上翻折，使點C與點E重合，邊BC翻折至的位置，得到折痕MN，與AB交于點P．則點P為AB的三等分點，即．問題解決如圖1，若正方形ABCD的邊長是2．(1)CM的長為______；(2)請通過計算AP的長度，說明點P是AB的三等分點．類比探究(3)將長方形紙片按問題背景中的操作過程進行折疊，如圖2，若折出的點P也為AB的三等分點，請直接寫出的值．2．（2022·山西呂梁·一模）綜合與實踐問題情境Rt△ABC和Rt△DEF如圖1放置，點B與點D重合，∠ACB=∠EDF=90°，∠A=30°，AB=ED=FD=4，EF分別與AC，AB交于點N，點P，點M是AB的中點．(1)數(shù)學(xué)思考連接MN，求證：點N是EF的中點；并計算△MNP的面積；(2)操作探究如圖2，先將△DEF沿BC的方向平移，使點D與點C重合，再沿CA的方向平移到點D為AC的中點時停止；過點C作CHAB交DE于點H，連接AH，AN，CM．試判斷四邊形AMCH的形狀，并說明理由；(3)在圖2的基礎(chǔ)上，將△DEF繞著點D順時針旋轉(zhuǎn)30°，CHAB仍然存在，延長CH交MN于點G，交EF于點Q，如圖3．請直接寫出三角形CMG的面積．3．（2022·山東·廣饒縣實驗中學(xué)一模）(1)閱讀理解：如圖1，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點，∠EAF＝45°，則我們常會想到：把△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．易證△AEF≌_______，得出線段BF，DE，EF之間的數(shù)量關(guān)系為____________；(2)類比探究：如圖2，在等邊△ABC中，D，E為BC邊上的點，∠DAE＝30°，BD=3，EC=4，求線段DE的長；(3)拓展應(yīng)用如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝150°，點D，E在BC邊上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰長，請直接寫出BD：CE的值．4．（2022·貴州遵義·一模）【證明體驗】（1）如圖1，過圓上一點作切線，是弦（不是直徑），若是直徑，連接，求證：；（2）如圖2，若不是直徑，______（填“＞”、“<”或“=”）；（3）如圖3，（1）、（2）的結(jié)論是否成立，說明理由；【歸納結(jié)論】（4）由以上證明可知：切線與弦的夾角等于它所夾的弧對的______；【結(jié)論應(yīng)用】（5）如圖4，內(nèi)接圓于，弦，交于，過點作的切線，交的延長線于點．若，，求線段的長．5．（2022·黑龍江齊齊哈爾·一模）綜合與實踐綜合與實踐上，老師組織同學(xué)們以“正方形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動，“智慧小組”選行了下面的探究：已知正方形與正方形，正方形保持不變，正方形繞點旋轉(zhuǎn)一周．(1)操作發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點在正方形的邊上時，如圖①所示，連接、，若，，則的值為__________；(2)探究證明：當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)至圖②的位置時，連接、，試寫出與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)拓展延伸：連接、，分別取、的中點、，連接，，當(dāng)正方形繞點旋轉(zhuǎn)一周時，請直接寫出線段所掃過的面積．6．（2022·廣東·深圳中學(xué)一模）（1）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠C＝60°，弦，則半徑r＝______；（2）【問題探究】如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠ADC＝60°，AD＝DC，點B為弧AC上一動點（不與點A，點C重合）求證：AB＋BC＝BD（3）【解決問題】如圖3，一塊空地由三條直路（線段AD、AB、BC）和一條道路劣弧圍成，已知千米，∠DMC＝60°，的半徑為1千米，市政府準備將這塊空地規(guī)劃為一個公園，主入口在點M處，另外三個入口分別在點C、D、P處，其中點P在上，并在公園中修四條慢跑道，即圖中的線段DM、MC、CP、PD，是否存在一種規(guī)劃方案，使得四條慢跑道總長度（即四邊形DMCP的周長）最大？若存在，求其最大值；若不存在，說明理由．押江蘇南京中考數(shù)學(xué)第27題幾何綜合與探究近幾年南京中考來看，試卷的第27題比較難，屬于壓軸題，主要以幾何探究和函數(shù)綜合為主要考查內(nèi)容。例如：2021年南京中考的第27題考查了最短路徑問題、用勾股定理解三角形、求圓心角、三角函數(shù)綜合等；2020年第27題考查了最短路徑問題、線段垂直平分線的實際應(yīng)用、切線的應(yīng)用、軸對稱綜合題(幾何變換)等；2019年第27題考查了函數(shù)的綜合運用和探究；2018年第27題考查了幾何圖形的規(guī)律探究。命題側(cè)重對所學(xué)知識的理解和運用，難度較大。解此類題型對考生的要求比較高，需要考生熟練的掌握各種幾何圖形的基本性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)與判定，幾何圖形的變換，結(jié)合數(shù)學(xué)思想和方法進行求解，例如在做幾何探究題時，要熟練運用等量代換、轉(zhuǎn)化思想、方程思想以及函數(shù)思想，要善于做輔助線尤其是復(fù)雜輔助線的構(gòu)建，要善于在幾何變換中尋找不變的量和不變的關(guān)系。1．（2021·江蘇南京·中考真題）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？（1）如圖①，圓錐的母線長為，B為母線的中點，點A在底面圓周上，的長為．在圖②所示的圓錐的側(cè)面展開圖中畫出螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑，并標出它的長（結(jié)果保留根號）．（2）圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成．O是圓錐的頂點，點A在圓柱的底面圓周上．設(shè)圓錐的母線長為l，圓柱的高為h．①螞蟻從點A爬行到點O的最短路徑的長為________（用含l，h的代數(shù)式表示）．②設(shè)的長為a，點B在母線上，．圓柱的側(cè)面展開圖如圖④所示，在圖中畫出螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑的示意圖，并寫出求最短路徑的長的思路．【答案】（1）作圖如圖所示；（2）①h+l；②見解析．【分析】（1）根據(jù)兩點之間線段最短，即可得到最短路徑；連接OA，AC，可以利用弧長與母線長求出∠AOC，進而證明出△OAC是等邊三角形，利用三角函數(shù)即可求解；（2）①由于圓錐底面圓周上的任意一點到圓錐頂點的距離都等于母線長，因此只要螞蟻從點A爬到圓錐底面圓周上的路徑最短即可，因此順著圓柱側(cè)面的高爬行，所以得出最短路徑長即為圓柱的高h加上圓錐的母線長l；②如圖，根據(jù)已知條件，設(shè)出線段GC的長后，即可用它分別表示出OE、BE、GE、AF，進一步可以表示出BG、GA，根據(jù)B、G、A三點共線，在Rt△ABH中利用勾股定理建立方程即可求出GC的長，最后依次代入前面線段表達式中即可求出最短路徑長．【解析】解：（1）如圖所示，線段AB即為螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑；設(shè)∠AOC=n°，∵圓錐的母線長為，的長為，∴，∴；連接OA、CA，∵，∴是等邊三角形，∵B為母線的中點，∴，∴．（2）①螞蟻從點A爬行到點O的最短路徑為：先沿著過A點且垂直于地面的直線爬到圓柱的上底面圓周上，再沿圓錐母線爬到頂點O上，因此，最短路徑長為h+l②螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑的示意圖如下圖所示，線段AB即為其最短路徑（G點為螞蟻在圓柱上底面圓周上經(jīng)過的點，圖中兩個C點為圖形展開前圖中的C點）；求最短路徑的長的思路如下：如圖，連接OG，并過G點作GF⊥AD，垂足為F，由題可知，，GF=h，OB=b，由的長為a，得展開后的線段AD=a，設(shè)線段GC的長為x，則的弧長也為x，由母線長為l，可求出∠COG，作BE⊥OG，垂足為E，因為OB=b，可由三角函數(shù)求出OE和BE，從而得到GE，利用勾股定理表示出BG，接著由FD=CG=x，得到AF=a-x，利用勾股定理可以求出AG，將AF+BE即得到AH，將EG+GF即得到HB，因為兩點之間線段最短，∴A、G、B三點共線，利用勾股定理可以得到：,進而得到關(guān)于x的方程，即可解出x，將x的值回代到BG和AG中，求出它們的和即可得到最短路徑的長．2．（2021·江蘇揚州·中考真題）在一次數(shù)學(xué)探究活動中，李老師設(shè)計了一份活動單：已知線段，使用作圖工具作，嘗試操作后思考：（1）這樣的點A唯一嗎？（2）點A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追夢”學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報：點A的位置不唯一，它在以為弦的圓弧上（點B、C除外），……．小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓弧（如圖1）．（1）小華同學(xué)提出了下列問題，請你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長為___________；②面積的最大值為_________；（2）經(jīng)過比對發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，我們記為，請你利用圖1證明；（3）請你運用所學(xué)知識，結(jié)合以上活動經(jīng)驗，解決問題：如圖2，已知矩形的邊長，，點P在直線的左側(cè)，且．①線段長的最小值為_______；②若，則線段長為________．【答案】（1）①2；②；（2）見解析；（3）①；②【分析】（1）①設(shè)O為圓心，連接BO，CO，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=60°，證明△OBC是等邊三角形，可得半徑；②過點O作BC的垂線，垂足為E，延長EO，交圓于D，以BC為底，則當(dāng)A與D重合時，△ABC的面積最大，求出OE，根據(jù)三角形面積公式計算即可；（2）延長BA′，交圓于點D，連接CD，利用三角形外角的性質(zhì)和圓周角定理證明即可；（3）①根據(jù)，連接PD，設(shè)點Q為PD中點，以點Q為圓心，PD為半徑畫圓，可得點P在優(yōu)弧CPD上，連接BQ，與圓Q交于P′，可得BP′即為BP的最小值，再計算出BQ和圓Q的半徑，相減即可得到BP′；②根據(jù)AD，CD和推出點P在∠ADC的平分線上，從而找到點P的位置，過點C作CF⊥PD，垂足為F，解直角三角形即可求出DP．【解析】解：（1）①設(shè)O為圓心，連接BO，CO，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°，又OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OB=OC=BC=2，即半徑為2；②∵△ABC以BC為底邊，BC=2，∴當(dāng)點A到BC的距離最大時，△ABC的面積最大，如圖，過點O作BC的垂線，垂足為E，延長EO，交圓于D，∴BE=CE=1，DO=BO=2，∴OE==，∴DE=，∴△ABC的最大面積為=；（2）如圖，延長BA′，交圓于點D，連接CD，∵點D在圓上，∴∠BDC=∠BAC，∵∠BA′C=∠BDC+∠A′CD，∴∠BA′C＞∠BDC，∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；（3）①如圖，當(dāng)點P在BC上，且PC=時，∵∠PCD=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，∴tan∠DPC==，為定值，連接PD，設(shè)點Q為PD中點，以點Q為圓心，PD為半徑畫圓，∴當(dāng)點P在優(yōu)弧CPD上時，tan∠DPC=，連接BQ，與圓Q交于P′，此時BP′即為BP的最小值，過點Q作QE⊥BE，垂足為E，∵點Q是PD中點，∴點E為PC中點，即QE=CD=1，PE=CE=PC=，∴BE=BC-CE=3-=，∴BQ==，∵PD==，∴圓Q的半徑為，∴BP′=BQ-P′Q=，即BP的最小值為；②∵AD=3，CD=2，，則，∴△PAD中AD邊上的高=△PCD中CD邊上的高，即點P到AD的距離和點P到CD的距離相等，則點P到AD和CD的距離相等，即點P在∠ADC的平分線上，如圖，過點C作CF⊥PD，垂足為F，∵PD平分∠ADC，∴∠ADP=∠CDP=45°，∴△CDF為等腰直角三角形，又CD=2，∴CF=DF==，∵tan∠DPC==，∴PF=，∴PD=DF+PF==．3．（2021·江蘇淮安·中考真題）【知識再現(xiàn)】學(xué)完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡稱HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．【簡單應(yīng)用】如圖（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E分別在邊AC、AB上．若CE＝BD，則線段AE和線段AD的數(shù)量關(guān)系是．【拓展延伸】在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，點D在邊AC上．（1）若點E在邊AB上，且CE＝BD，如圖（2）所示，則線段AE與線段AD相等嗎？如果相等，請給出證明；如果不相等，請說明理由．（2）若點E在BA的延長線上，且CE＝BD．試探究線段AE與線段AD的數(shù)量關(guān)系（用含有a、m的式子表示），并說明理由．【答案】【簡單應(yīng)用】AE＝AD；【拓展延伸】（1）相等，證明見解析；（2）AE﹣AD＝2AC?cos（180°﹣），理由見解析【分析】簡單應(yīng)用：證明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得結(jié)論．拓展延伸：（1）結(jié)論：AE＝AD．如圖（2）中，過點C作CM⊥BA交BA的延長線于M，過點N作BN⊥CA交CA的延長線于N．證明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，證明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得結(jié)論．（2）如圖（3）中，結(jié)論：AE﹣AD＝2m?cos（180°﹣）．在AB上取一點E′，使得BD＝CE′，則AD＝AE′．過點C作CT⊥AE于T．證明TE＝TE′，求出AT，可得結(jié)論．【解析】簡單應(yīng)用：解：如圖（1）中，結(jié)論：AE＝AD．理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD＝AE．故答案為：AE＝AD．拓展延伸：（1）結(jié)論：AE＝AD．理由：如圖（2）中，過點C作CM⊥BA交BA的延長線于M，過點N作BN⊥CA交CA的延長線于N．∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，∴△CAM≌△BAN（AAS），∴CM＝BN，AM＝AN，∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），∴EM＝DN，∵AM＝AN，∴AE＝AD．（2）如圖（3）中，結(jié)論：AE﹣AD＝2m?cos（180°﹣）．理由：在AB上取一點E′，使得BD＝CE′，則AD＝AE′．過點C作CT⊥AE于T．∵CE′＝BD，CE＝BD，∴CE＝CE′，∵CT⊥EE′，∴ET＝TE′，∵AT＝AC?cos（180°﹣）＝m?cos（180°﹣），∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m?cos（180°﹣）．4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，F(xiàn)E，DC為鉛直方向的邊，AF，ED，BC為水平方向的邊，點E在AB，CD之間，且在AF，BC之間，我們稱這樣的圖形為“L圖形”，記作“L圖形ABC﹣DEF”．若直線將L圖形分成面積相等的兩個圖形，則稱這樣的直線為該L圖形的面積平分線．【活動】小華同學(xué)給出了圖1的面積平分線的一個作圖方案：如圖2，將這個L圖形分成矩形AGEF、矩形GBCD，這兩個矩形的對稱中心O1，O2所在直線是該L圖形的面積平分線．請用無刻度的直尺在圖1中作出其他的面積平分線．（作出一種即可，不寫作法，保留作圖痕跡）【思考】如圖3，直線O1O2是小華作的面積平分線，它與邊BC，AF分別交于點M，N，過MN的中點O的直線分別交邊BC，AF于點P，Q，直線PQ（填“是”或“不是”）L圖形ABCDEF的面積平分線．【應(yīng)用】在L圖形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．（1）如圖4，CD＝AF＝1．①該L圖形的面積平分線與兩條水平的邊分別相交于點P，Q，求PQ長的最大值；②該L圖形的面積平分線與邊AB，CD分別相交于點G，H，當(dāng)GH的長取最小值時，BG的長為．（2）設(shè)＝t（t＞0），在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，如果只有與邊AB，CD相交的面積平分線，直接寫出t的取值范圍．【答案】【活動】見解析；【思考】是；【應(yīng)用】（1）①；②；（2）＜t＜【分析】[活動]如圖1，根據(jù)題意把原本圖形分成左右兩個矩形，這兩個矩形的對稱中心O1，O2所在直線是該L圖形的面積平分線；[思考]如圖2，證明△OQN≌△OPM（AAS），根據(jù)割補法可得直線PQ是L圖形ABCDEF的面積平分線；[應(yīng)用]（1）①建立平面直角坐標系，分兩種情況：如圖3﹣1和3﹣2，根據(jù)中點坐標公式和待定系數(shù)法可得面積平分線的解析式，并計算P和Q的坐標，利用兩點的距離公式可得PQ的長，并比較大小可得結(jié)論；②當(dāng)GH⊥AB時，GH最小，設(shè)BG＝x，根據(jù)面積相等列方程，解出即可；（2）如圖5，由已知得：CD＝tAF，直線DE將圖形分成上下兩個矩形，當(dāng)上矩形面積小于下矩形面積時，在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，只有與邊AB，CD相交的面積平分線，列不等式可得t的取值．【解析】解：【活動】如圖1，直線O1O2是該L圖形的面積平分線；【思考】如圖2，∵∠A＝∠B＝90°，∴AF∥BC，∴∠NQO＝∠MPO，∵點O是MN的中點，∴ON＝OM，在△OQN和△OPM中，，∴△OQN≌△OPM（AAS），∴S△OQN＝S△OPM，∵S梯形ABMN＝SMNFEDC，∴S梯形ABMN﹣S△OPM＝SMNFEDC﹣S△OQN，即SABPON＝SCDEFQOM，∴SABPON+S△OQN＝SCDEFQOM+S△OPM，即S梯形ABPQ＝SCDEFQP，∴直線PQ是L圖形ABCDEF的面積平分線．故答案為：是；【應(yīng)用】（1）①如圖3，當(dāng)P與B重合時，PQ最大，過點Q作QH⊥BC于H，L圖形ABCDEF的面積=4×6-（4-1）×（6-1）=9，∵PQ是L圖形ABCDEF的面積平分線，∴梯形CDQP的面積=×（DQ+BC）×CD=，即×（DQ+6）×1=，∴DQ=CH=3，∴PH=6-3=3，∵QH=CD=1，由勾股定理得：PQ=；∴PQ長的最大值為；②如圖4，當(dāng)GH⊥AB時GH最短，過點E作EM⊥AB于M，設(shè)BG＝x，則MG＝1﹣x，根據(jù)上下兩部分面積相等可知，6x＝（4﹣1）×1+（1﹣x）×6，解得x＝，即BG＝；故答案為：；（2）∵＝t（t＞0），∴CD＝tAF，在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，只有與邊AB，CD相交的面積平分線，如圖5，直線DE將圖形分成上下兩個矩形，當(dāng)上矩形面積小于下矩形面積時，在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，只有與邊AB，CD相交的面積平分線，即（4﹣tAF）?AF＜6t?AF，∴，∵0＜AF＜6，∴0＜﹣6＜6，∴．故答案為：＜t＜．1．（2022·江蘇南京·一模）問題情境：如圖1，P是⊙O外的一點，直線PO分別交⊙O于點A，B，則PA是點P到⊙O上的點的最短距離．（1）探究證明：如圖2，在⊙O上任取一點C（不與點A，B重合），連接PC，OC．求證：PA＜PC．（2）直接應(yīng)用：如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是弧CD上的一個動點，連接AP，則AP的最小值是．（3）構(gòu)造運用：如圖4，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A1MN，連接A1B，則A1B長度的最小值為．（4）綜合應(yīng)用：如圖5，平面直角坐標系中，分別以點A（﹣2，3），B（4，5）為圓心，以1，2為半徑作⊙A，⊙B，M，N分別是⊙A，⊙B上的動點，P為x軸上的動點，直接寫出PM+PN的最小值為．【答案】（1）見解析；（2）；（3）﹣1；（4）7.【分析】（1）根據(jù)題意可知在△POC中，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”可求證；（2）由題意先連接OA交⊙O于點P，然后根據(jù)勾股定理求得OA，進而求得AP；（3）由題意可知A′的軌跡是以M為圓心，半徑是1的圓，故連接BM，求得BM，進而求得A′B的最小值；（4）根據(jù)題意作點A關(guān)于x軸的對稱點C，連接CB交x軸于點P，求出BC的長，進而求得PM+PN得最小值．【解析】解：（1）證明：如圖1，∵PO﹣OC＜PC，∴（AP+OA）﹣OC＜PC，∵OA＝OC，∴AP＜PC；（2）如圖2，連接OA角半⊙O于P，則AP最小，在Rt△AOC中，OA＝＝＝，∴AP＝OA﹣OP＝，故答案為：；（3）如圖3，連接BM，交⊙M（半徑是1）于A1，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠BAM＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∵M是AD的中點，∴∠AMB＝90°，∴BM＝AB?sin60°＝，∴A1B＝-1；故答案為：﹣1；（4）如圖4，作點A關(guān)于x軸的對稱點C，連接BC，交⊙B于點N，交x軸于點P，連接PA交⊙A于M，∴PA＝PC，∴PA+PB＝PC+PB＝BC，∵C（﹣2，﹣3），B（4，5），∴BC＝＝10，∴PM+PN＝PA+PB﹣AM﹣BN＝10﹣1﹣2＝7，故答案為：7．2．（2022·江蘇·南通市海門區(qū)東洲國際學(xué)校一模）[問題提出](1)如圖1，已知線段AB＝4，點C是一個動點，且點C到點B的距離為2，則線段AC長度的最大值是________；[問題探究](2)如圖2，以正方形ABCD的邊CD為直徑作半圓O，E為半圓O上一動點，若正方形的邊長為2，求AE長度的最大值；[問題解決](3)如圖3，某植物園有一塊三角形花地ABC，經(jīng)測量，AC＝20米，BC＝120米，∠ACB＝30°，BC下方有一塊空地（空地足夠大），為了增加綠化面積，管理員計劃在BC下方找一點P，將該花地擴建為四邊形ABPC，擴建后沿AP修一條小路，以便游客觀賞．考慮植物園的整體布局，擴建部分BPC需滿足∠BPC＝60°．為容納更多游客，要求小路AP的長度盡可能長，問修建的觀賞小路AP的長度是否存在最大值？若存在，求出AP的最大長度；若不存在，請說明理由．【答案】(1)6(2)(3)60+40【分析】（1）當(dāng)C在線段AB延長線上時，AC最大；（2）連接AO并延長交半圓O于F，當(dāng)E運動到F時，AE最大，AF的長度即是AE的最大值，Rt△AOD中求出OA即可得到答案；（3）作BC的垂直平分線DE，在BC下方作∠BCO＝30°，射線CO交DE于O，以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O，連接OB、連接AO并延長交⊙O于P，則AP為滿足條件的小路，過A作AF⊥OC于F，Rt△ACF中，求出AF、CF，再在Rt△AOF中，求出OA，即可得到答案．【解析】(1)解：當(dāng)C在線段AB延長線上時，AC最大，此時AC＝AB+BC＝4+2＝6，故答案為：6；(2)解：連接AO并延長交半圓O于F，如圖：∵正方形ABCD的邊CD為直徑作半圓O，邊長為2，∴∠ADO＝90°，AD＝2，OD＝OC＝OF＝1，當(dāng)E運動到F時，AE最大，AF的長度即是AE的最大值，Rt△AOD中，AO＝，∴AF＝AO+OF＝+1，即AE最大為+1；(3)解：作BC的垂直平分線DE，在BC下方作∠BCO＝30°，射線CO交DE于O，以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O，連接OB、連接AO并延長交⊙O于P，則AP為滿足條件的小路，過A作AF⊥OC于F，如圖：∵∠BCO＝30°，∠ACB＝30°，∴∠ACF＝60°，Rt△ACF中，AF＝AC?sin60°＝30，CF＝AC?cos60°＝10，∵DE垂直平分BC，BC＝120，∴CE＝60，∠OEC＝90°，∴OC＝，∴OF＝OC﹣CF＝30，Rt△AOF中，OA＝，∴AP＝OA+OP＝60+40．即小路AP的長度最大為60+40．4．（2022·江蘇無錫·一模）【學(xué)習(xí)概念】有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個角的頂點的線段稱為對余線．【理解運用】(1)如圖1，對余四邊形中，AB=5，BC=6，CD=4，連接AC，若AC=AB，則cos∠ABC=___________，sin∠CAD=__________．(2)如圖2，凸四邊形中，AD=BD，AD⊥BD，當(dāng)2CD2+CB2=CA2時，判斷四邊形ABCD是否為對余四邊形，證明你的結(jié)論．【拓展提升】(3)在平面直角坐標中，A（－1，0），B（3，0），C（1，2），四邊形ABCD是對余四邊形，點E在對余線BD上，且位于△ABC內(nèi)部，∠AEC=90°+∠ABC．設(shè)=u，點D的縱坐標為t，請在下方橫線上直接寫出u與t的函數(shù)表達，并注明t的取值范圍____________________________．【答案】(1)，；(2)四邊形ABCD是對余四邊形；(3)【分析】（1）先構(gòu)造直角三角形，然后利用對余四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，求出cos∠ABC和sin∠CAD的值．（2）通過構(gòu)造手拉手模型，即構(gòu)造等腰直角三角形，通過證明三角形全等，利用勾股定理來證明四邊形ABCD為對余四邊形．（3）過點D作DH⊥x軸于點H，先證明△ABE∽△DBA，得出u與AD的關(guān)系，設(shè)D（x，t），再利用（2）中結(jié)論，求出AD與t的關(guān)系即可解決問題．【解析】(1)解：過A作AE⊥BC于E，過C作CF⊥AD于F∵AB=AC，AE⊥BC∴BE=CE=BC=3，∴cos∠ABC=∵四邊形ABCD是對余四邊形，∴∠B+∠D=90°又∵∠B+∠BAE=90°∴∠D=∠BAE又∵∠CFD=∠AEB=90°∴△ABE∽△DCF∴∴∴CF=∴sin∠CAD＝=故答案為：，；(2)如圖②中，結(jié)論：四邊形ABCD是對余四邊形．理由：過點D作DM⊥DC，使得DM＝DC，連接CM．∵四邊形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∵∠DCM＝∠DMC＝45°，∴∠CDM＝∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠BDM，∵AD＝DB，CD＝DM，∴△ADC≌△BDM（SAS），∴AC＝BM，∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2，∴CM2+CB2＝BM2，∴∠BCM＝90°，∴∠DCB＝45°，∴∠DAB+∠DCB＝90°，∴四邊形ABCD是對余四邊形．(3)如圖③中，過點D作DH⊥x軸于H．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∵四邊形ABCD是對余四邊形，∴∠ADC+∠ABC＝90°，∴∠ADC＝45°，∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴A，D，C，E四點共圓，∴∠ACE＝∠ADE，∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°，∴∠EAB＝∠ACE，∴∠EAB＝∠ADB，∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴，∴，∴u＝，設(shè)D（x，t），∵四邊形ABCD是對余四邊形，可得BD2＝2CD2+AD2，∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2，整理得（x+1）2＝4t﹣t2，在Rt△ADH中，AD＝＝2，∴u＝（0＜t＜4），即u＝（0＜t＜4）10．（2022·江蘇·江陰市敔山灣實驗學(xué)校一模）問題提出（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分線交AB于點D．過點D分別作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分別為E，F(xiàn)，則圖1中與線段CE相等的線段是_____．問題探究（2）如圖2，AB是半圓O的直徑，AB＝8．P是上一點，且，連接AP，BP．∠APB的平分線交AB于點C，過點C分別作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分別為E，F(xiàn)，求線段CF的長．問題解決（3）如圖3，是某公園內(nèi)“少兒活動中心”的設(shè)計示意圖．已知⊙O的直徑AB＝70m，點C在⊙O上，且CA＝CB．P為AB上一點，連接CP并延長，交⊙O于點D．連接AD，BD．過點P分別作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分別為E，F(xiàn)．按設(shè)計要求，四邊形PEDF內(nèi)部為室內(nèi)活動區(qū)，陰影部分是戶外活動區(qū)，圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū)．設(shè)AP的長為x（m），陰影部分的面積為y（m2）．①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②按照“少兒活動中心”的設(shè)計要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)AP的長度為30m時，整體布局比較合理．試求當(dāng)AP＝30m時．室內(nèi)活動區(qū)（四邊形PEDF）的面積．【答案】（1）CF、DE、DF；（2）CF＝6﹣2；（3）①y＝﹣x2+35x+1225；②576m2．【分析】（1）證明四邊形CEDF是正方形，即可得出結(jié)果；（2）連接OP，由AB是半圓O的直徑，，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，則∠ABP＝30°，同（1）得四邊形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB?cos∠ABP＝4，在Rt△CFB中，BF＝＝CF，推出PB＝CF+BF，即可得出結(jié)果；（3）①同（1）得四邊形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，將△APE繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′PF，PA′＝PA，則A′、F、B三點共線，∠APE＝∠A′PF，證∠A′PB＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′?PB＝x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝35，S△ACB＝AC2＝1225，由y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出結(jié)果；②當(dāng)AP＝30時，A′P＝30，PB＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得A′B＝＝＝50，由S△A′PB＝A′B?PF＝PB?A′P，求PF，即可得出結(jié)果．【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四邊形CEDF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四邊形CEDF是正方形，∴CE＝CF＝DE＝DF，故答案為：CF、DE、DF；（2）連接OP，如圖2所示：∵AB是半圓O的直徑，，∴∠APB＝90°，∠AOP＝×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四邊形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB?cos∠ABP＝8×cos30°＝8×＝4，在Rt△CFB中BF＝＝＝＝CF，∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+BF，即：4＝CF+CF，解得：CF＝6﹣2；（3）①∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB，∴∠ADC＝∠BDC，同（1）得：四邊形DEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴將△APE繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如圖3所示：則A′、F、B三點共線，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′?PB＝x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝AB＝×70＝35，∴S△ACB＝AC2＝×（35）2＝1225，∴y＝S△PA′B+S△ACB＝x（70﹣x）+1225＝﹣x2+35x+1225；②當(dāng)AP＝30時，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝＝＝50，∵S△A′PB＝A′B?PF＝PB?A′P，∴×50×PF＝×40×30，解得：PF＝24，∴S四邊形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），∴當(dāng)AP＝30m時．室內(nèi)活動區(qū)（四邊形PEDF）的面積為576m2．（限時：60分鐘）1．（2022·河南許昌·一模）問題背景折紙是一種將紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動，折紙大約起源于公元1世紀或者2世紀時的中國，6世紀時傳入日本，再經(jīng)由日本傳到全世界，折紙與自然科學(xué)結(jié)合在一起，不僅成為建筑學(xué)院的教具，還發(fā)展出了折紙幾何學(xué)，成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個分支．今天折紙被應(yīng)用于世界各地，其中比較著名的是日本筑波大學(xué)的芳賀和夫發(fā)現(xiàn)的折紙幾何三定理，它已成為折紙幾何學(xué)的基本定理．芳賀折紙第一定理的操作過程及內(nèi)容如下：第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD對折，使點A與點D重合，點B與點C重合．再將正方形ABCD展開，得到折痕EF；第二步：將正方形紙片的右下角向上翻折，使點C與點E重合，邊BC翻折至的位置，得到折痕MN，與AB交于點P．則點P為AB的三等分點，即．問題解決如圖1，若正方形ABCD的邊長是2．(1)CM的長為______；(2)請通過計算AP的長度，說明點P是AB的三等分點．類比探究(3)將長方形紙片按問題背景中的操作過程進行折疊，如圖2，若折出的點P也為AB的三等分點，請直接寫出的值．【答案】(1)；(2)說明見解析；(3)【分析】（1）設(shè)，則，，在中，由勾股定理可得：，進而得出的長；（2）先證△AEP∽△DME，由（1）可知：，再求得，即可得出結(jié)論；（3）設(shè)，，，由勾股定理可得：，∽，，即，解得，從而得到解得，得到，即可得出結(jié)論.【解析】(1)設(shè)，則，，在中，由勾股定理可得：，即，解得，∴,故答案為；(2)解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝2，∴∠DEM＋∠DME＝90°，由折疊的性質(zhì)可知：∠PEM＝∠C＝90°，∴∠AEP＋∠DEM＝180°－∠PEM＝90°，∴∠AEP＝∠DME，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△AEP∽△DME，∴，由（1）可知：，∴，∵E是AD的中點，∴，∴，∴，∴．即點P為AB的三等分點．(3)解：設(shè)，，，在中，由勾股定理可得：，即，，，，，又，∽，,即，即，把代入得，，解得，把代入，解得，（舍去）∵AC2=AB2+BC2∴∴．2．（2022·山西呂梁·一模）綜合與實踐問題情境Rt△ABC和Rt△DEF如圖1放置，點B與點D重合，∠ACB=∠EDF=90°，∠A=30°，AB=ED=FD=4，EF分別與AC，AB交于點N，點P，點M是AB的中點．(1)數(shù)學(xué)思考連接MN，求證：點N是EF的中點；并計算△MNP的面積；(2)操作探究如圖2，先將△DEF沿BC的方向平移，使點D與點C重合，再沿CA的方向平移到點D為AC的中點時停止；過點C作CHAB交DE于點H，連接AH，AN，CM．試判斷四邊形AMCH的形狀，并說明理由；(3)在圖2的基礎(chǔ)上，將△DEF繞著點D順時針旋轉(zhuǎn)30°，CHAB仍然存在，延長CH交MN于點G，交EF于點Q，如圖3．請直接寫出三角形CMG的面積．【答案】(1)證明見解析；△MNP的面積是(2)四邊形AMCH為菱形，理由見解析(3)三角形CMG的面積為【分析】（1）過點M作于點G，過點P作于點H，利用含的直角三角形和勾股定理求出，再根據(jù)平行線分線段成比例得點N為EF的中點，再根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)求出，根據(jù)等腰三角形的判定定理求出AN的長度和AN與PH的關(guān)系，再利用相似三角形的判定定理和性質(zhì)求出，最后利用三角形的面積公式求解；（2）連接MD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半可得AM=CM，根據(jù)全等三角形的判定定理和性質(zhì)可得，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到CH=AH，最后根據(jù)菱形的判定定理即可證明；（3）以C為原點，以BC所在直線為x軸，以AC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．連接MD，過E作EI⊥AC于I，過F作FJ⊥AC于J，過G作GK⊥AC于K，過Q作QP⊥x軸于P，設(shè)MN與AC交于L．根據(jù)AC和BC的長度求出M的坐標，根據(jù)三角形中位線定理可確定∠MDC=90°和MD=1，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度，ED和FD的長度求出E和F的坐標，進而求出點N的坐標，使用待定系數(shù)法求出直線MN的解析式，進而可求出LC的長度，根據(jù)三角形面積公式可得△LCM的面積，根據(jù)求出∠QCP的度數(shù)，進而求出直線CQ的解析式，聯(lián)立直線MN與直線CQ的解析式可求出G的坐標，進而求出KG的長度，根據(jù)三角形面積公式可得△LCG的面積，再將△LCM和△LCG的面積相加即可得△CMG的面積．【解析】(1)解：如下圖所示，過點M作于點G，過點P作于點H．∵，，，∴，∴．∵，∴CE=EB-BC=2．∴．∵，∴∠ACB+∠EDF=180°．∴．∴．∴．∴點N為EF的中點．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∵點M是AB的中點，，∴．∴．∴．∵，，∴．∴．∴．∴∠ENC=∠E．∴，∴．∴．∵PH⊥AC，∴∠AHP=90°．∴∠HPN=∠AHP-∠HNP=45°，∠AHP=∠ACB．∴∠HNP=∠HPN．∴．∴．∵∠A是△APH和△ABC的公共角，∴．∴．∴．∴．∴．∴．(2)解：四邊形AMCH為菱形，理由如下：如下圖所示，連接MD．∵點D為AC的中點，點M為AB的中點，，∴，．∴，．∵∠BAC=30°，∴∠MCD=30°．∵∠EDF=90°，∴∠CDH=180°-∠EDF=90°．∴∠CDH=∠CDM．∵，∴．∴．在△HCD與△MCD中：∴．∴．∵D是AC的中點，∠EDF=90°，∴DH垂直平分AC．∴．∴．∴四邊形AMCH是菱形．(3)解：如下圖所示，以C為原點，以BC所在直線為x軸，以AC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．連接MD，過E作EI⊥AC于I，過F作FJ⊥AC于J，過G作GK⊥AC于K，過Q作QP⊥x軸于P，設(shè)MN與AC交于L．∵，BC=2，∴，．∵M是AB的中點，D是AC中點，∴，MD是△ABC的中位線．∴，．∴∠MDC=180°-∠ACB=90°．∵△EDF在圖2的基礎(chǔ)上繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°，∴∠ADF=30°．∵∠EDF=90°，∴∠IDE=180°-∠ADE-∠EDF=60°．∵ED=FD=4，∴，，，．∵D為AC的中點，∴．∴，．∴，．∵N是EF的中點，∴．設(shè)直線MN的解析式為．根據(jù)點M和點N坐標可得解∴直線MN的解析式為．∴當(dāng)x=0時，．∴．∴．∴．∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=60°．∵，∴∠QCP=∠ABC=60°．設(shè)CP=m，則．∴．設(shè)直線CQ的解析式為．根據(jù)Q坐標可得．解得．∴直線CQ的解析式為．聯(lián)立直線MN解析式和直線CQ解析式可得解得∴．∴．∴．∴．∴三角形CMG的面積為．3．（2022·山東·廣饒縣實驗中學(xué)一模）(1)閱讀理解：如圖1，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點，∠EAF＝45°，則我們常會想到：把△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．易證△AEF≌_______，得出線段BF，DE，EF之間的數(shù)量關(guān)系為____________；(2)類比探究：如圖2，在等邊△ABC中，D，E為BC邊上的點，∠DAE＝30°，BD=3，EC=4，求線段DE的長；(3)拓展應(yīng)用如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝150°，點D，E在BC邊上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰長，請直接寫出BD：CE的值．【答案】(1)

；

(2)(3)或【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，進而得到，由全等三角形的性質(zhì)可得，即可解答；（2）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，過點作，交的延長線于點，進而證≌，得到，即可求出和，再根據(jù)勾股定理即可解答；（3）利用的方法，分類討論是等腰的腰長，求出：的值即可．【解析】(1)解：把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，可知：，，，，，在和中，≌，，，，故答案為；．(2)如圖，將△ACE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABF，連接DF，過點F作FG⊥BC，交CB的延長線于點G，如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠C＝60°，AB=AC，∵∠DAE＝30°，∴∠CAE+∠BAD＝30°，∴∠DAF＝30°，又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF，∴DE=DF，∵∠ABF＝∠ABC＝∠C＝60°，∠FBG＝60°，∵BF=CE=4，∠G＝90°，∴BG＝BF=2，F(xiàn)G＝=，∴DG＝5，∴在Rt△DFG中，DF=，∴線段DF的長為．(3)如圖，將△ACE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)150°，得到△ABG，連接DG，過點D作DH⊥BG，交BG的于點H，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰，∠ADE為頂角，則∠ADE=30°，∵AB=AC，∠BAC=150°，∴∠ABC=∠C=（180°-150°）=15°，∴由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得△ABG≌△ACE，∴BG=CE，AG=AE，∠ABG=∠C=15°，∴∠DBG=30°，∵將△ACE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)150°，得到△ABG，∴∠EAG=150°，∵∠DAE＝75°，∴∠GAD=75°，∴∠ADE=30°，在△ADE和△ADG中，，∴△ADE≌△ADG，∴∠GDA=∠ADE=30°，∴∠GDE=60°，∵∠GDE=∠GBD+∠BGD，∴∠BGD=60°-30°=30°，∴BD=DG，∴BH=GH=BG=CE，在Rt△BHD中，設(shè)HD=x，∵∠DBG=30°，∴BD=2x，由勾股定理得：BH=，∴BG=2，∴CE=2，∴BD：CE=：3；如圖將△ACE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)150°，得到△ABM，連接DM，過點M作MN⊥BD，交BD于點N，∵∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰長，∠E為頂角，∴∠E=30°，∵AB=AC，∠BAC＝150°，∴∠C=∠ABC=15°，∴∠CAE=15°，∴AE=CE=DE，∴∠BAD=150°-75°-15°=60°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知△ABM≌△ACE，∴∠BAM=∠CAE=15°，∠ABM=∠ACE=15°，AM=AE，BM=CE，∴∠MAD=15°+60°=75°=∠DAE，在△MAD和△EAD中，，∴△MAD≌△EAD，∴DM=DE=CE=BM，∵MN⊥BD，∴BN=DN=BD，∵∠MBD=∠ABM＋∠ABC=15°+15°=30°，∴在Rt△BNM中，設(shè)MN=a，∴BM=2a，∴CE=2a，由勾股定理得：BN=，∴BD=2a，∴BD：CE=2a：2a=：1=．4．（2022·貴州遵義·一模）【證明體驗】（1）如圖1，過圓上一點作切線，是弦（不是直徑），若是直徑，連接，求證：；（2）如圖2，若不是直徑，______（填“＞”、“<”或“=”）；（3）如圖3，（1）、（2）的結(jié)論是否成立，說明理由；【歸納結(jié)論】（4）由以上證明可知：切線與弦的夾角等于它所夾的弧對的______；【結(jié)論應(yīng)用】（5）如圖4，內(nèi)接圓于，弦，交于，過點作的切線，交的延長線于點．若，，求線段的長．【答案】（1）見解析；（2）=；（3）成立，理由見解析；（4）圓周角；（5）5．【分析】（1）根據(jù)及切線的性質(zhì)、直徑所對的圓周角是直角即可得結(jié)論；（2）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角、同弧所對的圓周角相等與切線的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）連接，延長與交于點，連接；根據(jù)圓周角定理與切線性質(zhì)可得結(jié)論；（4）根據(jù)前三個小題的結(jié)論即可得答案；.（5）連接AE，AE為的直徑，根據(jù)（4）的結(jié)論及解直角三角形、結(jié)合勾股定理可得答案．【解析】（1）證明：如圖1，圖1

∵是