專題05分式方程(原卷版+解析)

第05講分式方程分式方程的基本概念解分式方程分式方程的增根列表法解決分式方程的應(yīng)用★簡(jiǎn)單；★★易錯(cuò)；★★★中等；★★★★難；★★★★★壓軸

TOC\o"1-1"\h\u考點(diǎn)1：解分式方程 2考點(diǎn)2：分式方程的根 10考點(diǎn)3：分式方程的應(yīng)用 15課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖 27分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固 27

考點(diǎn)1：解分式方程①分式方程分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．②解方式方程的解法步驟（1）去分母，將分式方程化為整式方程；（2）解所得的整式方程；（3）檢驗(yàn)：把所求得的x的值代入最簡(jiǎn)公分母中，若最簡(jiǎn)公分母為0，則應(yīng)舍去．

｛分式方程的定義★｝下列關(guān)于的方程，是分式方程的是A． B． C． D．｛解分式方程★｝如圖是小明同學(xué)解方程的過(guò)程．針對(duì)以上解題過(guò)程，下列說(shuō)法正確的是A．從第一步開(kāi)始有錯(cuò) B．從第二步開(kāi)始有錯(cuò) C．從第三步開(kāi)始有錯(cuò) D．完全正確｛新定義-解分式方程★｝對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義一種新運(yùn)算“”為：，這里等式右邊是通常的實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：，則方程的解是A． B． C． D．｛解分式方程★｝解分式方程：（1）；（2）．｛分式方程定義★｝已知方程：①；②；③；④．這四個(gè)方程中，分式方程的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4｛解分式方程★｝解分式方程時(shí)，去分母后得到的整式方程是A． B． C． D．｛解分式方程★｝解下列分式方程：（1）；（2）．｛解分式方程★｝解方程（1）；（2）．（2021?陜西）解方程：．（2020?大慶）解方程：．（2020?郴州）解方程：．

考點(diǎn)2：分式方程的根①依據(jù)分式方程的增根確定字母參數(shù)的方法將分式方程化為整式方程用含有字母參數(shù)的代數(shù)式表示x（3）根據(jù)情況確定值②依據(jù)分式方程的增根確定字母參數(shù)的方法先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程由題意求出增根（3）將增根代入所化得的整式方程，解出字母

｛分式方程的根★｝已知關(guān)于的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是．｛分式方程的根★｝（2021?達(dá)州）若分式方程的解為整數(shù)，則整數(shù)．｛分式方程的根★｝若關(guān)于的方程有增根，那么．｛分式方程的根★｝關(guān)于的方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是．｛分式方程的根★｝若關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍為．（2021?重慶）關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，且使關(guān)于的一元一次不等式組有解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是A． B． C． D．（2020?廣元）按照如圖所示的流程，若輸出的，則輸入的為A．3 B．1 C．0 D．（2021?齊齊哈爾）若關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是．（2020?濰坊）若關(guān)于的分式方程有增根，則．

考點(diǎn)3：分式方程的應(yīng)用①列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟(1)審題；(2)設(shè)未知數(shù)；(3)列分式方程；(4)解分式方程；(5)檢驗(yàn)：(6)作答．在檢驗(yàn)這一步中，既要檢驗(yàn)所求未知數(shù)的值是不是所列分式方程的解，又要檢驗(yàn)所求未知數(shù)的值是不是符合題目的實(shí)際意義.②常用公式（1）數(shù)量問(wèn)題；（2）銷售問(wèn)題（利潤(rùn)=售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=利潤(rùn)進(jìn)價(jià)×100%）；（3）工程問(wèn)題①工作量=人均效率×人數(shù)×?xí)r間；②如果一件工作分幾個(gè)階段完成，那么各階段的工作量的和=工作總量（4）行程問(wèn)題（路程=速度×?xí)r間）；

某工程隊(duì)在某街道改造一條長(zhǎng)6000米的人行步道，為盡量減少施工對(duì)交通造成的影響，施工時(shí)“”，設(shè)實(shí)際每天改造人行步道米，則可得方程，根據(jù)已有信息，題中用“”表示的缺失的條件應(yīng)補(bǔ)為A．每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)18米，結(jié)果提前25天完成 B．每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)18米，結(jié)果延期25天完成C．每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)18米，結(jié)果延期25天完成 D．每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)18米，結(jié)果提前25天完成某班級(jí)為做好疫情防控，班委會(huì)決定拿出班費(fèi)中的200元給同學(xué)們購(gòu)買口罩，由于藥店對(duì)學(xué)生購(gòu)買口罩每包優(yōu)惠2元，結(jié)果比原計(jì)劃多買了5包口罩．設(shè)原計(jì)劃購(gòu)買包口罩，則依題意列方程為A．B．C． D．在創(chuàng)建文明城市的進(jìn)程中，某市為美化城市環(huán)境，計(jì)劃種植樹(shù)木50萬(wàn)棵，由于志愿者的加入，實(shí)際每天植樹(shù)比原計(jì)劃多，結(jié)果提前2天完成任務(wù)，設(shè)原計(jì)劃每天植樹(shù)萬(wàn)棵，由題意得到的方程是A． B． C． D．（2021?梧州）某工廠急需生產(chǎn)一批健身器械共500臺(tái)，送往銷售點(diǎn)出售．當(dāng)生產(chǎn)150臺(tái)后，接到通知，要求提前完成任務(wù)，因而接下來(lái)的時(shí)間里每天生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)提高到原來(lái)的1.4倍，一共用8天剛好完成任務(wù)．（1）原來(lái)每天生產(chǎn)健身器械多少臺(tái)？（2）運(yùn)輸公司大貨車數(shù)量不足10輛，小貨車數(shù)量充足，計(jì)劃同時(shí)使用大、小貨車一次完成這批健身器械的運(yùn)輸．已知每輛大貨車一次可以運(yùn)輸健身器械50臺(tái)，每輛車需要費(fèi)用1500元；每輛小貨車一次可以運(yùn)輸健身器械20臺(tái)，每輛車需要費(fèi)用800元．在運(yùn)輸總費(fèi)用不多于16000元的前提下，請(qǐng)寫出所有符合題意的運(yùn)輸方案？哪種運(yùn)輸方案的費(fèi)用最低，最低運(yùn)輸費(fèi)用是多少？（2021秋?婁底期中）“六一”兒童節(jié)前夕，某文具店用4000元購(gòu)進(jìn)種滑板車若干臺(tái)，用8400元購(gòu)進(jìn)種滑板車若干臺(tái)，所購(gòu)種滑板車比種滑板車多10臺(tái)，且種滑板車每臺(tái)進(jìn)價(jià)是種滑板車每臺(tái)進(jìn)價(jià)的1.4倍．（1）、兩種滑板車每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別為多少元？（2）第一次所購(gòu)滑板車全部售完后，第二次購(gòu)進(jìn)、兩種滑板車共100臺(tái)（進(jìn)價(jià)不變），種滑板車的售價(jià)是每臺(tái)300元，種滑板車的售價(jià)是每臺(tái)400元．兩種滑板車各售出一半后，六一假期已過(guò)，兩種滑板車均打七折銷售，全部售出后，第二次所購(gòu)滑板車的利潤(rùn)為5800元（不考慮其他因素），求第二次購(gòu)進(jìn)、兩種滑板車各多少臺(tái)？在某核酸檢測(cè)任務(wù)中，甲醫(yī)療隊(duì)比乙醫(yī)療隊(duì)每小時(shí)多檢測(cè)15人，甲隊(duì)檢測(cè)600人所用的時(shí)間比乙隊(duì)檢測(cè)500人所用的時(shí)間少．設(shè)甲隊(duì)每小時(shí)檢測(cè)人，根據(jù)題意，可列方程為A． B． C． D．為降低成本，某出租車公司推出了“油改氣”措施，如圖，，分別表示燃油汽車和燃?xì)馄囆旭偮烦蹋▎挝唬呵祝┡c所需費(fèi)用（單位：元）的關(guān)系，已知燃油汽車每千米所需的費(fèi)用比燃?xì)馄嚸壳姿栀M(fèi)用2倍多0.2元，設(shè)燃?xì)馄嚸壳姿栀M(fèi)用為元，則可列方程為A． B． C． D．山西交城駿棗是山西四大名棗之一，譽(yù)為“棗后”，素有“八個(gè)一尺，十個(gè)一斤”之稱，暢銷山西乃至全國(guó)各地．甲、乙兩輛運(yùn)輸車將駿棗運(yùn)往距離180千米的地，已知乙車的速度是甲車的速度的1.5倍，甲車比乙車早出發(fā)0.5小時(shí)，結(jié)果甲車比乙車晚到0.5小時(shí)．求甲、乙兩車的速度分別是多少？設(shè)甲車的速度是千米時(shí)，則根據(jù)題意列方程為A． B． C． D．某防護(hù)用品廠計(jì)劃生產(chǎn)240000個(gè)口罩，但在實(shí)際生產(chǎn)時(shí)，？．求實(shí)際每天生產(chǎn)口罩的個(gè)數(shù)．在這個(gè)問(wèn)題中，若設(shè)實(shí)際每天生產(chǎn)口罩個(gè)，由題意可列出的方程為，則問(wèn)題中用“？”所表示的條件應(yīng)該是A．每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)200個(gè)，結(jié)果延期10天完成 B．每天比原計(jì)劃少生產(chǎn)200個(gè)，結(jié)果提前10天完成 C．每天比原計(jì)劃少生產(chǎn)200個(gè)，結(jié)果延期10天完成 D．每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)200個(gè)，結(jié)果提前10天完成某銷售商準(zhǔn)備采購(gòu)一批絲綢，經(jīng)過(guò)調(diào)查得知，用10000元采購(gòu)型絲綢的件數(shù)與用8000元采購(gòu)型絲綢的件數(shù)相等，且一件型絲綢的進(jìn)價(jià)比一件型絲綢的進(jìn)價(jià)多100元．（1）一件型、型絲綢的進(jìn)價(jià)分別為多少元？（2）若銷售商購(gòu)進(jìn)型、型絲綢共50件，其中型絲綢的件數(shù)不多于型絲綢的件數(shù)，且不少于16件，設(shè)購(gòu)進(jìn)型絲綢件．①求的取值范圍；②已知型絲綢的售價(jià)為800元件，型絲綢的售價(jià)為600元件，求銷售這批絲綢的最大利潤(rùn)．某商店計(jì)劃今年的圣誕節(jié)購(gòu)進(jìn)、兩種紀(jì)念品若干件．若花費(fèi)480元購(gòu)進(jìn)的種紀(jì)念品的數(shù)量是花費(fèi)480元購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品的數(shù)量的，已知每件種紀(jì)念品比每件種紀(jì)念品多4元．（1）求一件種紀(jì)念品、一件種紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)各是多少元？（2）老板花費(fèi)480元購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品后，以每個(gè)20元的價(jià)格銷售種紀(jì)念品，當(dāng)種紀(jì)念品售出時(shí)，出現(xiàn)了滯銷，于是決定降價(jià)促銷，若要使種紀(jì)念品的銷售利潤(rùn)不低于224元，剩余的種紀(jì)念品每個(gè)售價(jià)至少要多少元？（2021?淄博）甲、乙兩人沿著總長(zhǎng)度為的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分鐘走完全程．設(shè)乙的速度為，則下列方程中正確的是A． B． C． D．（2020?福建）我國(guó)古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問(wèn)題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無(wú)錢準(zhǔn)與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請(qǐng)人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為6210文．如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，試問(wèn)6210文能買多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為株，則符合題意的方程是A． B． C． D．（2021?鞍山）習(xí)近平總書記指出，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根”和“魂”．為了大力弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校決定開(kāi)展名著閱讀活動(dòng)．用3600元購(gòu)買“四大名著”若干套后，發(fā)現(xiàn)這批圖書滿足不了學(xué)生的閱讀需求，圖書管理員在購(gòu)買第二批時(shí)正趕上圖書城八折銷售該套書，于是用2400元購(gòu)買的套數(shù)只比第一批少4套．設(shè)第一批購(gòu)買的“四大名著”每套的價(jià)格為元，則符合題意的方程是．（2021?阜新）為落實(shí)“數(shù)字中國(guó)”的建設(shè)工作，市政府計(jì)劃對(duì)全市中小學(xué)多媒體教室進(jìn)行安裝改造，現(xiàn)安排兩個(gè)安裝公司共同完成．已知甲公司安裝工效是乙公司安裝工效的1.5倍，乙公司安裝36間教室比甲公司安裝同樣數(shù)量的教室多用3天．（1）求甲、乙兩個(gè)公司每天各安裝多少間教室？（2）已知甲公司安裝費(fèi)每天1000元，乙公司安裝費(fèi)每天500元，現(xiàn)需安裝教室120間，若想盡快完成安裝工作且安裝總費(fèi)用不超過(guò)18000元，則最多安排甲公司工作多少天？

課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖

分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固1．（2021秋?青龍縣期末）某農(nóng)場(chǎng)開(kāi)挖一條480米的渠道，開(kāi)工后，每天比原計(jì)劃多挖20米，結(jié)果提前4天完成任務(wù)，若設(shè)原計(jì)劃每天挖米，那么求時(shí)所列方程正確的是A． B． C． D．2．（2022?廣西）《千里江山圖》是宋代王希孟的作品，如圖，它的局部畫面裝裱前是一個(gè)長(zhǎng)為2.4米，寬為1.4米的矩形，裝裱后，整幅圖畫寬與長(zhǎng)的比是，且四周邊襯的寬度相等，則邊襯的寬度應(yīng)是多少米？設(shè)邊襯的寬度為米，根據(jù)題意可列方程A． B． C． D．3．（2022?大同二模）為了美化小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)物業(yè)公司計(jì)劃對(duì)轄區(qū)內(nèi)600平方米的土地進(jìn)行綠化，為了盡快完成任務(wù)，實(shí)際平均每天的綠化面積是原計(jì)劃的1.5倍，結(jié)果提前10天完成任務(wù)，求原計(jì)劃平均每天的綠化面積．小寧同學(xué)所列的方程為，則小寧同學(xué)應(yīng)如何假設(shè)A．設(shè)原計(jì)劃平均每天的綠化面積為平方米 B．設(shè)實(shí)際平均每天的綠化面積為平方米 C．設(shè)原計(jì)劃完成任務(wù)需要天 D．設(shè)實(shí)際完成任務(wù)需要天4．（2022?天心區(qū)校級(jí)三模）北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”引爆購(gòu)買潮，導(dǎo)致“一墩難求”．某工廠承接了60萬(wàn)只冰墩墩的生產(chǎn)任務(wù)，實(shí)際每天的生產(chǎn)效率比原計(jì)劃提高了，提前10天完成任務(wù)．設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)萬(wàn)只冰墩墩，則下面所列方程正確的是A． B． C． D．5．（2022?遷安市二模）有一道題：“甲隊(duì)修路與乙隊(duì)修路所用天數(shù)相同，若▄，求甲隊(duì)每天修路多少米？”根據(jù)圖中的解題過(guò)程，被遮住的條件是A．甲隊(duì)每天修路比乙隊(duì)2倍還多 B．甲隊(duì)每天修路比乙隊(duì)2倍還少 C．乙隊(duì)每天修路比甲隊(duì)2倍還多 D．乙隊(duì)每天修路比甲隊(duì)2倍還少6．（2022?昭陽(yáng)區(qū)一模）某優(yōu)秀畢業(yè)生向我校贈(zèng)送1080本課外書，現(xiàn)用、兩種不同型號(hào)的紙箱包裝運(yùn)送，單獨(dú)使用型紙箱比單獨(dú)使用型紙箱可少用6個(gè)；已知每個(gè)型紙箱比每個(gè)型紙箱可多裝15本．若設(shè)每個(gè)型紙箱可以裝書本，則根據(jù)題意列得方程為A． B． C． D．7．（2021秋?魚臺(tái)縣期末）下列方程中不是分式方程的是A． B． C． D．8．（2021秋?如皋市期末）已知關(guān)于的方程的解是正數(shù)，那么的取值范圍為A．且 B． C．且 D．且9．（2022春?溧陽(yáng)市期末）關(guān)于的方程的解是正數(shù)，則的取值范圍是A． B．且 C． D．且10．（2022?惠陽(yáng)區(qū)一模）對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義一種新運(yùn)算“”為：，這里等式右邊是通常的實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：，則方程的解是A． B． C． D．11．（2022春?棗莊期末）已知關(guān)于的方程的解是負(fù)數(shù)，那么的取值范圍是A．且 B． C．且 D．且12．（2021秋?武城縣期末）我市防汛辦為解決臺(tái)風(fēng)季排澇問(wèn)題，準(zhǔn)備在一定時(shí)間內(nèi)鋪設(shè)一條長(zhǎng)4000米的排水管道，實(shí)際施工時(shí)，．求原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道多少米？題目中部分條件被墨汁污染，小明查看了參考答案為：“設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道米，則可得方程，”根據(jù)答案，題中被墨汁污染條件應(yīng)補(bǔ)為A．每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果延期20天完成 B．每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)10米，結(jié)果延期20天完成 C．每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果提前20天完成 D．每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)10米，結(jié)果提前20天完成1．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程有非正整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和為A． B． C．1 D．2．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）若數(shù)使關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，且使關(guān)于的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數(shù)的和為A．15 B．12 C．11 D．103．（2022秋?渝中區(qū)校級(jí)月考）若關(guān)于的不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解是非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是A．12 B．14 C．19 D．214．（2022秋?任城區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于的分式方程的解是正數(shù)，則的取值范圍為A． B．且 C． D．且5．（2022春?開(kāi)江縣期末）若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解是非負(fù)整數(shù)．則所有滿足條件的整數(shù)之和是A．10 B．19 C．16 D．86．（2022春?滁州期末）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，我們規(guī)定符號(hào)，表示，中較小的值，如，．按照這個(gè)規(guī)定，方程的解為A．4 B．2 C．4或2 D．無(wú)解7．（2022春?渝北區(qū)期末）關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和為A．6 B．9 C．10 D．131．（2022秋?港北區(qū)期中）甲、乙兩人完成一項(xiàng)工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，設(shè)工作總量為1，工作進(jìn)度如表：天數(shù)第3天第5天工作進(jìn)度若乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工作，則需要（）A．9天 B．10天 C．12天 D．24天2．（2021秋?蒼溪縣期末）中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)車組“復(fù)興號(hào)”是世界上商業(yè)運(yùn)營(yíng)時(shí)速最高的動(dòng)車組列車，達(dá)到世界先進(jìn)水平，安全、舒適、快速是它的顯著優(yōu)點(diǎn)．從廣元站到重慶北站的距離是353千米，乘坐“復(fù)興號(hào)”動(dòng)車組列車將比乘坐普通快車節(jié)省1小時(shí)40分鐘．已知“復(fù)興號(hào)”動(dòng)車組的平均速度比普通快車速度快80千米時(shí)，設(shè)“復(fù)興號(hào)”動(dòng)車組的平均速度為千米時(shí)，根據(jù)題意列方程正確的是A． B． C． D．3．（2022秋?晉州市期中）學(xué)校需采購(gòu)部分課桌，現(xiàn)有，兩個(gè)商家供貨，商家每張課桌的售價(jià)比商家的優(yōu)惠30元．若該校花費(fèi)1800元采購(gòu)款在商家購(gòu)買課桌的數(shù)量與花費(fèi)2250元采購(gòu)款在商家購(gòu)買課桌的數(shù)量一樣多，則商家每張課桌的售價(jià)為A．90元 B．120元 C．150元 D．180元4．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）若數(shù)使關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，且使關(guān)于的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數(shù)的和為A．15 B．12 C．11 D．105．（2022秋?渝中區(qū)校級(jí)月考）若關(guān)于的不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解是非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是A．12 B．14 C．19 D．216．（2022春?柯橋區(qū)期末）設(shè)，為實(shí)數(shù)，定義如下一種新運(yùn)算：☆，若關(guān)于的方程☆☆無(wú)解，則的值是A．4 B． C．4或 D．4或37．（2021?銀川模擬）甲、乙兩人分別從、兩地同時(shí)相向勻速前進(jìn)，在距點(diǎn)700米處第一次相遇，然后繼續(xù)前進(jìn)，甲到地、乙到地后都立即返回，第二次相遇在距點(diǎn)400米處，則、兩地間的距離是米．8．（2021?南平模擬）為了估計(jì)湖里有多少條魚，有如下方案：從湖里捕上100條魚做上標(biāo)記，然后放回湖里，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，待帶標(biāo)記的魚完全混合于魚群后，第二次再捕上200條，若其中帶有標(biāo)記的魚有10條，那么估計(jì)湖里大約有條魚．9．（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）有下列說(shuō)法：①不論取何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式總能分解能兩個(gè)一次因式積的形式；②關(guān)于的分式方程無(wú)解，則：③關(guān)于、的方程組，將此方程組的兩個(gè)方程左右兩邊分別對(duì)應(yīng)相加，得到一個(gè)新的方程，其中，當(dāng)每取一個(gè)值時(shí)，就有一個(gè)方程，而這些方程有一個(gè)公共解，則這個(gè)公共解為，其中正確的是．（填序號(hào)）10．（2021?邗江區(qū)二模）為了提高產(chǎn)品的附加值，某公司計(jì)劃將研發(fā)生產(chǎn)的1200件新產(chǎn)品進(jìn)行精加工后再投放市場(chǎng)．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工廠都具備加工能力，公司派出相關(guān)人員分別到這兩間工廠了解情況，獲得如下信息：信息一：甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品多用10天；信息二：乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍．根據(jù)以上信息，求甲、乙兩個(gè)工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品？第05講分式方程分式方程的基本概念解分式方程分式方程的增根列表法解決分式方程的應(yīng)用★簡(jiǎn)單；★★易錯(cuò)；★★★中等；★★★★難；★★★★★壓軸

TOC\o"1-1"\h\u考點(diǎn)1：解分式方程 2考點(diǎn)2：分式方程的根 10考點(diǎn)3：分式方程的應(yīng)用 15課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖 27分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固 27

考點(diǎn)1：解分式方程①分式方程分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．②解方式方程的解法步驟（1）去分母，將分式方程化為整式方程；（2）解所得的整式方程；（3）檢驗(yàn)：把所求得的x的值代入最簡(jiǎn)公分母中，若最簡(jiǎn)公分母為0，則應(yīng)舍去．

｛分式方程的定義★｝下列關(guān)于的方程，是分式方程的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有字母的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷．【解答】解：．方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程；．方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程；．方程分母中不含表示未知數(shù)的字母，是常數(shù)，故不是分式方程；．方程分母中含未知數(shù)，故是分式方程．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式方程的定義，判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母）．｛解分式方程★｝如圖是小明同學(xué)解方程的過(guò)程．針對(duì)以上解題過(guò)程，下列說(shuō)法正確的是A．從第一步開(kāi)始有錯(cuò) B．從第二步開(kāi)始有錯(cuò) C．從第三步開(kāi)始有錯(cuò) D．完全正確【分析】去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1即可．【解答】解：從第二步開(kāi)始出錯(cuò)，正確的解答過(guò)程是：方程兩邊同時(shí)乘，得，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，所以原方程的解為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程和解一元一次方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程和能根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．｛新定義-解分式方程★｝對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義一種新運(yùn)算“”為：，這里等式右邊是通常的實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：，則方程的解是A． B． C． D．【分析】已知方程利用題中的新定義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可求出解．【解答】解：根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：，去分母得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．｛解分式方程★｝解分式方程：（1）；（2）．【分析】（1）通過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、的系數(shù)化為1、檢驗(yàn)解決此題．（2）通過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、的系數(shù)化為1、檢驗(yàn)解決此題．【解答】解：（1），方程同乘，得．去括號(hào)，得．移項(xiàng)，得．合并同類項(xiàng)，得．的系數(shù)化為1，得．經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．該分式方程的解為．（2），方程兩邊同乘，得．去括號(hào)，得．移項(xiàng)，得．合并同類項(xiàng)，得．的系數(shù)化為1，得．經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．是該分式方程的增根．該分式方程無(wú)解．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．｛分式方程定義★｝已知方程：①；②；③；④．這四個(gè)方程中，分式方程的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用分式方程的定義進(jìn)行判定即可．【解答】解：分式方程是指分母中含有未知數(shù)的方程，①②③是分式方程，④是整式方程．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式方程的定義，準(zhǔn)確利用分式方程的定義進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵．｛解分式方程★｝解分式方程時(shí)，去分母后得到的整式方程是A． B． C． D．【分析】分式方程兩邊乘以去分母得到結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：去分母得：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．｛解分式方程★｝解下列分式方程：（1）；（2）．【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母，得：，解得：，檢驗(yàn)：把代入得：，是原分式方程的解；（2）去分母，得：，解得：，檢驗(yàn)：把代入得：，是原分式方程的解．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．｛解分式方程★｝解方程（1）；（2）．【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：，移項(xiàng)得：，合并得：，解得：，檢驗(yàn)：把代入得：，是分式方程的解；（2）去分母得：，整理得：，即，分解因式得：，解得：，，檢驗(yàn)：把代入得：，把代入得：，是增根，分式方程的解為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．（2021?陜西）解方程：．【分析】方程兩邊都乘以得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解答】解：方程兩邊都乘以得：，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，所以是原方程的解．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．（2020?大慶）解方程：．【分析】根據(jù)解分式方程的步驟解答即可．【解答】解：方程的兩邊同乘，得：，解這個(gè)方程，得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，原方程的解是．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解分式方程，會(huì)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程是解答本題的關(guān)鍵．（2020?郴州）解方程：．【分析】方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．【解答】解：，方程兩邊都乘，得，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．故是原方程的解．【點(diǎn)評(píng)】考查了解分式方程，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．最后注意需驗(yàn)根．

考點(diǎn)2：分式方程的根①依據(jù)分式方程的增根確定字母參數(shù)的方法將分式方程化為整式方程用含有字母參數(shù)的代數(shù)式表示x（3）根據(jù)情況確定值②依據(jù)分式方程的增根確定字母參數(shù)的方法先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程由題意求出增根（3）將增根代入所化得的整式方程，解出字母

｛分式方程的根★｝已知關(guān)于的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是且．．【分析】先由題意求出分式方程的解，再由解是非負(fù)數(shù)和分母不為0，列出不等式組，解出即可得到答案．【解答】解：，去分母得：，，，解得：且，故答案為：且．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程中參數(shù)的取值范圍，除了題干中明確要求的條件外，要注意分母不能為0的隱含條件．｛分式方程的根★｝（2021?達(dá)州）若分式方程的解為整數(shù)，則整數(shù)．【分析】先將分式方程化簡(jiǎn)為整式方程，再用含代數(shù)式表示，由方程的解為整數(shù)及為增根可求．【解答】解：方程兩邊同時(shí)乘以得，整理得，整理得，，為整數(shù)，或，為增根，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的解，解題關(guān)鍵是用含參代數(shù)式表示方程的解并注意增根情況．｛分式方程的根★｝若關(guān)于的方程有增根，那么．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，得到，求出的值，代入整式方程計(jì)算即可求出的值．【解答】解：方程兩邊都乘以，得：，方程有增根，，將代入得：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．｛分式方程的根★｝關(guān)于的方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是且．【分析】先求出方程的解，根據(jù)解是非負(fù)數(shù)列出不等式，即可解答．【解答】解：在方程兩邊同乘得：，解得：，方程的解是非負(fù)數(shù)，，且，解得：且．故答案為：且．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解、一元一次不等式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的解是非負(fù)數(shù)得出不等式．｛分式方程的根★｝若關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍為且．【分析】先解出這個(gè)分式方程的解，然后去掉增根以及解為正數(shù)列出不等式，從而得到的取值范圍．【解答】解：，，，，，，，，，．方程的解為正數(shù)，，．的取值范圍為：且．故答案為：且．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解法，一元一次不等式的解法，考核學(xué)生的計(jì)算能力，解題時(shí)注意解分式方程必須檢驗(yàn)．（2021?重慶）關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，且使關(guān)于的一元一次不等式組有解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是A． B． C． D．【分析】由關(guān)于的一元一次不等式組有解得到的取值范圍，再由關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)得到的取值范圍，將所得的兩個(gè)不等式組成不等式組，確定的整數(shù)解，結(jié)論可求．【解答】解：關(guān)于的分式方程的解為，關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，，，關(guān)于的分式方程有可能產(chǎn)生增根2，，，解關(guān)于的一元一次不等式組得，關(guān)于的一元一次不等式組有解，，，綜上，且，為整數(shù)，或或0或1，滿足條件的整數(shù)的值之和是：，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式組，確定分式方程的解時(shí)，注意分式方程可能產(chǎn)生增根的情形是解題的關(guān)鍵．（2020?廣元）按照如圖所示的流程，若輸出的，則輸入的為A．3 B．1 C．0 D．【分析】根據(jù)題目中的程序，利用分類討論的方法可以分別求得的值，從而可以解答本題．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，并且滿足，當(dāng)時(shí)，，解得，不滿足，舍去．故輸入的為0．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的計(jì)算方法．（2021?齊齊哈爾）若關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是且．【分析】利用解分式方程的一般步驟求得分式方程的解，由方程的解為正數(shù)列出不等式，；又分式方程有可能產(chǎn)生增根，所以分式方程的解不等于1，根據(jù)上述條件得到不等式組，解不等式組得到的取值范圍．【解答】解：去分母，得：，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得：．關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，．又，．．，解得：且．故答案為：且．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式組．利用解分式方程的一般步驟求得分式方程的解并注意分式方程可能產(chǎn)生增根的情形是解題的關(guān)鍵．（2020?濰坊）若關(guān)于的分式方程有增根，則3．【分析】先把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到轉(zhuǎn)化以后的整式方程中計(jì)算即可求出的值．【解答】解：去分母得：，整理得：，關(guān)于的分式方程有增根，即，，把代入到中得：，解得：；故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最簡(jiǎn)公分母為零的未知數(shù)的值；解決此類問(wèn)題的步驟：①化分式方程為整式方程；②讓最簡(jiǎn)公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相關(guān)字母的值．

考點(diǎn)3：分式方程的應(yīng)用①列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟(1)審題；(2)設(shè)未知數(shù)；(3)列分式方程；(4)解分式方程；(5)檢驗(yàn)：(6)作答．在檢驗(yàn)這一步中，既要檢驗(yàn)所求未知數(shù)的值是不是所列分式方程的解，又要檢驗(yàn)所求未知數(shù)的值是不是符合題目的實(shí)際意義.②常用公式（1）數(shù)量問(wèn)題；（2）銷售問(wèn)題（利潤(rùn)=售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=利潤(rùn)進(jìn)價(jià)×100%）；（3）工程問(wèn)題①工作量=人均效率×人數(shù)×?xí)r間；②如果一件工作分幾個(gè)階段完成，那么各階段的工作量的和=工作總量（4）行程問(wèn)題（路程=速度×?xí)r間）；

某工程隊(duì)在某街道改造一條長(zhǎng)6000米的人行步道，為盡量減少施工對(duì)交通造成的影響，施工時(shí)“”，設(shè)實(shí)際每天改造人行步道米，則可得方程，根據(jù)已有信息，題中用“”表示的缺失的條件應(yīng)補(bǔ)為A．每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)18米，結(jié)果提前25天完成 B．每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)18米，結(jié)果延期25天完成C．每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)18米，結(jié)果延期25天完成 D．每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)18米，結(jié)果提前25天完成【分析】根據(jù)題意和題目中的方程可知，實(shí)際每天改造人行步道米，則原計(jì)劃每天改造人行步道米，實(shí)際比原計(jì)劃提前25天，從而可以選出符合題意的選項(xiàng)．【解答】解：由題意可得，題中用“”表示的缺失的條件應(yīng)補(bǔ)為：每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)18米，結(jié)果提前25天完成，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出表示方程的實(shí)際含義．某班級(jí)為做好疫情防控，班委會(huì)決定拿出班費(fèi)中的200元給同學(xué)們購(gòu)買口罩，由于藥店對(duì)學(xué)生購(gòu)買口罩每包優(yōu)惠2元，結(jié)果比原計(jì)劃多買了5包口罩．設(shè)原計(jì)劃購(gòu)買包口罩，則依題意列方程為A．B．C． D．【分析】根據(jù)原計(jì)劃每包的價(jià)格實(shí)際購(gòu)買每包的價(jià)格，可以列出相應(yīng)的分式方程．【解答】解：由題意可得，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程．在創(chuàng)建文明城市的進(jìn)程中，某市為美化城市環(huán)境，計(jì)劃種植樹(shù)木50萬(wàn)棵，由于志愿者的加入，實(shí)際每天植樹(shù)比原計(jì)劃多，結(jié)果提前2天完成任務(wù)，設(shè)原計(jì)劃每天植樹(shù)萬(wàn)棵，由題意得到的方程是A． B． C． D．【分析】根據(jù)原計(jì)劃的天數(shù)實(shí)際的天數(shù)提前的天數(shù)可以列出相應(yīng)的方程，本題得以解決．【解答】解：由題意可得，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的分式方程．（2021?梧州）某工廠急需生產(chǎn)一批健身器械共500臺(tái)，送往銷售點(diǎn)出售．當(dāng)生產(chǎn)150臺(tái)后，接到通知，要求提前完成任務(wù)，因而接下來(lái)的時(shí)間里每天生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)提高到原來(lái)的1.4倍，一共用8天剛好完成任務(wù)．（1）原來(lái)每天生產(chǎn)健身器械多少臺(tái)？（2）運(yùn)輸公司大貨車數(shù)量不足10輛，小貨車數(shù)量充足，計(jì)劃同時(shí)使用大、小貨車一次完成這批健身器械的運(yùn)輸．已知每輛大貨車一次可以運(yùn)輸健身器械50臺(tái)，每輛車需要費(fèi)用1500元；每輛小貨車一次可以運(yùn)輸健身器械20臺(tái)，每輛車需要費(fèi)用800元．在運(yùn)輸總費(fèi)用不多于16000元的前提下，請(qǐng)寫出所有符合題意的運(yùn)輸方案？哪種運(yùn)輸方案的費(fèi)用最低，最低運(yùn)輸費(fèi)用是多少？【分析】（1）設(shè)原來(lái)每天生產(chǎn)健身器械臺(tái)，則提高工作效率后每天生產(chǎn)健身器械臺(tái)，利用工作時(shí)間工作總量工作效率，結(jié)合一共用8天剛好完成任務(wù)，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)使用輛大貨車，使用輛小貨車，根據(jù)同時(shí)使用大、小貨車一次完成這批健身器械的運(yùn)輸，可得出，化簡(jiǎn)后可得出，結(jié)合“運(yùn)輸公司大貨車數(shù)量不足10輛，且運(yùn)輸總費(fèi)用不多于16000元”，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，結(jié)合為整數(shù)即可得出的值，由的值結(jié)合可得出的最小值，進(jìn)而可得出各運(yùn)輸方案，利用總運(yùn)費(fèi)每輛車的運(yùn)動(dòng)派車數(shù)量，即可分別求出兩個(gè)運(yùn)輸方案所需運(yùn)費(fèi)，比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)原來(lái)每天生產(chǎn)健身器械臺(tái)，則提高工作效率后每天生產(chǎn)健身器械臺(tái)，依題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意．答：原來(lái)每天生產(chǎn)健身器械50臺(tái)．（2）設(shè)使用輛大貨車，使用輛小貨車，同時(shí)使用大、小貨車一次完成這批健身器械的運(yùn)輸，，．又運(yùn)輸公司大貨車數(shù)量不足10輛，且運(yùn)輸總費(fèi)用不多于16000元，，即，解得：．又為整數(shù)，可以為8，9．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又為整數(shù)，的最小值為3．共有2種運(yùn)輸方案，方案1：使用8輛大貨車，5輛小貨車；方案2：使用9輛大貨車，3輛小貨車．方案1所需費(fèi)用為（元，方案2所需費(fèi)用為（元．，運(yùn)輸方案2的費(fèi)用最低，最低運(yùn)輸費(fèi)用是15900元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．（2021秋?婁底期中）“六一”兒童節(jié)前夕，某文具店用4000元購(gòu)進(jìn)種滑板車若干臺(tái)，用8400元購(gòu)進(jìn)種滑板車若干臺(tái)，所購(gòu)種滑板車比種滑板車多10臺(tái)，且種滑板車每臺(tái)進(jìn)價(jià)是種滑板車每臺(tái)進(jìn)價(jià)的1.4倍．（1）、兩種滑板車每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別為多少元？（2）第一次所購(gòu)滑板車全部售完后，第二次購(gòu)進(jìn)、兩種滑板車共100臺(tái)（進(jìn)價(jià)不變），種滑板車的售價(jià)是每臺(tái)300元，種滑板車的售價(jià)是每臺(tái)400元．兩種滑板車各售出一半后，六一假期已過(guò)，兩種滑板車均打七折銷售，全部售出后，第二次所購(gòu)滑板車的利潤(rùn)為5800元（不考慮其他因素），求第二次購(gòu)進(jìn)、兩種滑板車各多少臺(tái)？【分析】（1）設(shè)種滑板車每臺(tái)進(jìn)價(jià)為元，則種滑板車每臺(tái)進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)“所購(gòu)種滑板車比種滑板車多10臺(tái)”，即可得出關(guān)于的分式方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)設(shè)第二次購(gòu)進(jìn)種滑板車臺(tái)，種滑板車臺(tái)，根據(jù)銷售利潤(rùn)每盒的利潤(rùn)銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解方程即可．【解答】（1）解：設(shè)種滑板車每臺(tái)進(jìn)價(jià)為元，則種滑板車每臺(tái)進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根，且符合題意，此時(shí)（元，答：種滑板車每臺(tái)進(jìn)價(jià)為200元，種滑板車每臺(tái)進(jìn)價(jià)為280元；（2）解：設(shè)第二次購(gòu)進(jìn)種滑板車臺(tái)，種滑板車臺(tái)，由題意得：，解得：，此時(shí)（臺(tái)，答：第二次購(gòu)進(jìn)種滑板車40臺(tái)，種滑板車60臺(tái)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次方程．在某核酸檢測(cè)任務(wù)中，甲醫(yī)療隊(duì)比乙醫(yī)療隊(duì)每小時(shí)多檢測(cè)15人，甲隊(duì)檢測(cè)600人所用的時(shí)間比乙隊(duì)檢測(cè)500人所用的時(shí)間少．設(shè)甲隊(duì)每小時(shí)檢測(cè)人，根據(jù)題意，可列方程為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的分式方程，從而可以解答本題．【解答】解：設(shè)甲隊(duì)每小時(shí)檢測(cè)人，根據(jù)題意得，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的分式方程．為降低成本，某出租車公司推出了“油改氣”措施，如圖，，分別表示燃油汽車和燃?xì)馄囆旭偮烦蹋▎挝唬呵祝┡c所需費(fèi)用（單位：元）的關(guān)系，已知燃油汽車每千米所需的費(fèi)用比燃?xì)馄嚸壳姿栀M(fèi)用2倍多0.2元，設(shè)燃?xì)馄嚸壳姿栀M(fèi)用為元，則可列方程為A． B． C． D．【分析】設(shè)燃?xì)馄嚸壳姿栀M(fèi)用為元，則燃油汽車每千米所需費(fèi)用為元，根據(jù)行駛路程所需費(fèi)用每千米所需費(fèi)用，結(jié)合行駛路程相等，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．【解答】解：設(shè)燃?xì)馄嚸壳姿栀M(fèi)用為元，則燃油汽車每千米所需費(fèi)用為元，依題意得：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．山西交城駿棗是山西四大名棗之一，譽(yù)為“棗后”，素有“八個(gè)一尺，十個(gè)一斤”之稱，暢銷山西乃至全國(guó)各地．甲、乙兩輛運(yùn)輸車將駿棗運(yùn)往距離180千米的地，已知乙車的速度是甲車的速度的1.5倍，甲車比乙車早出發(fā)0.5小時(shí)，結(jié)果甲車比乙車晚到0.5小時(shí)．求甲、乙兩車的速度分別是多少？設(shè)甲車的速度是千米時(shí)，則根據(jù)題意列方程為A． B． C． D．【分析】設(shè)甲車的速度是千米小時(shí)，根據(jù)從地開(kāi)往地時(shí)，乙車的速度是甲車的速度的1.5倍，甲車比乙車早出發(fā)0.5小時(shí)，結(jié)果甲車比乙車晚到0.5小時(shí)，可列方程求解．【解答】解：設(shè)甲車的速度是千米時(shí)，根據(jù)題意列方程為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出方式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．某防護(hù)用品廠計(jì)劃生產(chǎn)240000個(gè)口罩，但在實(shí)際生產(chǎn)時(shí)，？．求實(shí)際每天生產(chǎn)口罩的個(gè)數(shù)．在這個(gè)問(wèn)題中，若設(shè)實(shí)際每天生產(chǎn)口罩個(gè)，由題意可列出的方程為，則問(wèn)題中用“？”所表示的條件應(yīng)該是A．每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)200個(gè)，結(jié)果延期10天完成 B．每天比原計(jì)劃少生產(chǎn)200個(gè)，結(jié)果提前10天完成 C．每天比原計(jì)劃少生產(chǎn)200個(gè)，結(jié)果延期10天完成 D．每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)200個(gè)，結(jié)果提前10天完成【分析】根據(jù)所設(shè)未知數(shù)和方程可得：實(shí)際生產(chǎn)時(shí)，每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)200個(gè)，提前10天完成任務(wù)．【解答】解：根據(jù)方程可得：某防護(hù)用品廠計(jì)劃生產(chǎn)240000個(gè)口罩，但是在實(shí)際生產(chǎn)時(shí)，每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)200個(gè)，結(jié)果提前10天完成，求實(shí)際每天生產(chǎn)口罩的個(gè)數(shù)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，再設(shè)出未知數(shù)，列出方程．某銷售商準(zhǔn)備采購(gòu)一批絲綢，經(jīng)過(guò)調(diào)查得知，用10000元采購(gòu)型絲綢的件數(shù)與用8000元采購(gòu)型絲綢的件數(shù)相等，且一件型絲綢的進(jìn)價(jià)比一件型絲綢的進(jìn)價(jià)多100元．（1）一件型、型絲綢的進(jìn)價(jià)分別為多少元？（2）若銷售商購(gòu)進(jìn)型、型絲綢共50件，其中型絲綢的件數(shù)不多于型絲綢的件數(shù)，且不少于16件，設(shè)購(gòu)進(jìn)型絲綢件．①求的取值范圍；②已知型絲綢的售價(jià)為800元件，型絲綢的售價(jià)為600元件，求銷售這批絲綢的最大利潤(rùn)．【分析】（1）設(shè)一件型絲綢的進(jìn)價(jià)為元，則一件型絲綢的進(jìn)價(jià)為元，由題意：用10000元采購(gòu)型絲綢的件數(shù)與用8000元采購(gòu)型絲綢的件數(shù)相等，列出分式方程，解方程即可；（2）①由題意：銷售商購(gòu)進(jìn)型、型絲綢共50件，其中型絲綢的件數(shù)不多于型絲綢的件數(shù)，且不少于16件，列出不等式組，即可求解；②設(shè)銷售這批絲綢的利潤(rùn)為元，求出銷售這批絲綢的利潤(rùn)（元與（件的函數(shù)關(guān)系式，再由一次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【解答】解：（1）設(shè)一件型絲綢的進(jìn)價(jià)為元，則一件型絲綢的進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，為原方程的解，，答：一件型絲綢的進(jìn)價(jià)為500元，一件型絲綢的進(jìn)價(jià)為400元．（2）①根據(jù)題意得：，解得：，的取值范圍為：且為整數(shù)．②設(shè)銷售這批絲綢的利潤(rùn)為元，根據(jù)題意得：，，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，（元，答：銷售這批絲綢的最大利潤(rùn)為12500元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的性質(zhì)、一元一次不等式組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系和不等關(guān)系，列出分式方程或一元一次不等式組．某商店計(jì)劃今年的圣誕節(jié)購(gòu)進(jìn)、兩種紀(jì)念品若干件．若花費(fèi)480元購(gòu)進(jìn)的種紀(jì)念品的數(shù)量是花費(fèi)480元購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品的數(shù)量的，已知每件種紀(jì)念品比每件種紀(jì)念品多4元．（1）求一件種紀(jì)念品、一件種紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)各是多少元？（2）老板花費(fèi)480元購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品后，以每個(gè)20元的價(jià)格銷售種紀(jì)念品，當(dāng)種紀(jì)念品售出時(shí)，出現(xiàn)了滯銷，于是決定降價(jià)促銷，若要使種紀(jì)念品的銷售利潤(rùn)不低于224元，剩余的種紀(jì)念品每個(gè)售價(jià)至少要多少元？【分析】（1）設(shè)購(gòu)買一件種紀(jì)念品需元，則購(gòu)買一件種紀(jì)念品需元，由題意：花費(fèi)480元購(gòu)進(jìn)的種紀(jì)念品的數(shù)量是花費(fèi)480元購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品的數(shù)量的，列出分式方程，解方程即可；（2）設(shè)剩余的種紀(jì)念品每個(gè)售價(jià)為元，由題意：老板花費(fèi)480元購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品后，以每個(gè)20元的價(jià)格銷售種紀(jì)念品，當(dāng)種紀(jì)念品售出時(shí)，出現(xiàn)了滯銷，于是決定降價(jià)促銷，要使種紀(jì)念品的銷售利潤(rùn)不低于224元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)買一件種紀(jì)念品需元，則購(gòu)買一件種紀(jì)念品需元，依題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，．答：購(gòu)買一件種紀(jì)念品需16元，購(gòu)買一件種紀(jì)念品需12元．（2）設(shè)剩余的種紀(jì)念品每個(gè)售價(jià)為元，依題意，得：，解得：，答：剩余的種紀(jì)念品每個(gè)售價(jià)至少為14元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式．（2021?淄博）甲、乙兩人沿著總長(zhǎng)度為的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分鐘走完全程．設(shè)乙的速度為，則下列方程中正確的是A． B． C． D．【分析】設(shè)乙的速度為，則甲的速度為，根據(jù)時(shí)間路程速度結(jié)合甲比乙提前12分鐘走完全程，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．【解答】解：12分鐘，設(shè)乙的速度為，則甲的速度為，根據(jù)題意，得：，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．（2020?福建）我國(guó)古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問(wèn)題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無(wú)錢準(zhǔn)與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請(qǐng)人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為6210文．如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，試問(wèn)6210文能買多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為株，則符合題意的方程是A． B． C． D．【分析】根據(jù)單價(jià)總價(jià)數(shù)量結(jié)合少拿一株椽后剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．【解答】解：依題意，得：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．（2021?鞍山）習(xí)近平總書記指出，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根”和“魂”．為了大力弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校決定開(kāi)展名著閱讀活動(dòng)．用3600元購(gòu)買“四大名著”若干套后，發(fā)現(xiàn)這批圖書滿足不了學(xué)生的閱讀需求，圖書管理員在購(gòu)買第二批時(shí)正趕上圖書城八折銷售該套書，于是用2400元購(gòu)買的套數(shù)只比第一批少4套．設(shè)第一批購(gòu)買的“四大名著”每套的價(jià)格為元，則符合題意的方程是．【分析】設(shè)第一批購(gòu)買的“四大名著”每套的價(jià)格為元，則設(shè)第二批購(gòu)買的“四大名著”每套的價(jià)格為元，利用數(shù)量總價(jià)單價(jià)，結(jié)合第二批購(gòu)買的套數(shù)比第一批少4套，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．【解答】解：設(shè)第一批購(gòu)買的“四大名著”每套的價(jià)格為元，則設(shè)第二批購(gòu)買的“四大名著”每套的價(jià)格為元，依題意得：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．（2021?阜新）為落實(shí)“數(shù)字中國(guó)”的建設(shè)工作，市政府計(jì)劃對(duì)全市中小學(xué)多媒體教室進(jìn)行安裝改造，現(xiàn)安排兩個(gè)安裝公司共同完成．已知甲公司安裝工效是乙公司安裝工效的1.5倍，乙公司安裝36間教室比甲公司安裝同樣數(shù)量的教室多用3天．（1）求甲、乙兩個(gè)公司每天各安裝多少間教室？（2）已知甲公司安裝費(fèi)每天1000元，乙公司安裝費(fèi)每天500元，現(xiàn)需安裝教室120間，若想盡快完成安裝工作且安裝總費(fèi)用不超過(guò)18000元，則最多安排甲公司工作多少天？【分析】（1）設(shè)乙公司每天安裝間教室，則甲公司每天安裝間教室，由題意：乙公司安裝36間教室比甲公司安裝同樣數(shù)量的教室多用3天．列出分式方程，解方程即可；（2）設(shè)安排甲公司工作天，則乙公司工作天，由題意：甲公司安裝費(fèi)每天1000元，乙公司安裝費(fèi)每天500元，想盡快完成安裝工作且安裝總費(fèi)用不超過(guò)18000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）設(shè)乙公司每天安裝間教室，則甲公司每天安裝間教室，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，則，答：甲公司每天安裝6間教室，乙公司每天安裝4間教室；（2）設(shè)安排甲公司工作天，則乙公司工作天，根據(jù)題意得：，解這個(gè)不等式，得：，答：最多安排甲公司工作12天．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出分式方程；（2）找出不等關(guān)系，列出一元一次不等式．

課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖

分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固1．（2021秋?青龍縣期末）某農(nóng)場(chǎng)開(kāi)挖一條480米的渠道，開(kāi)工后，每天比原計(jì)劃多挖20米，結(jié)果提前4天完成任務(wù)，若設(shè)原計(jì)劃每天挖米，那么求時(shí)所列方程正確的是A． B． C． D．【分析】本題的關(guān)鍵描述語(yǔ)是：“提前4天完成任務(wù)”；等量關(guān)系為：原計(jì)劃用時(shí)實(shí)際用時(shí)．【解答】解：原計(jì)劃用時(shí)為：，實(shí)際用時(shí)為：，根據(jù)題意，得：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，分析題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2022?廣西）《千里江山圖》是宋代王希孟的作品，如圖，它的局部畫面裝裱前是一個(gè)長(zhǎng)為2.4米，寬為1.4米的矩形，裝裱后，整幅圖畫寬與長(zhǎng)的比是，且四周邊襯的寬度相等，則邊襯的寬度應(yīng)是多少米？設(shè)邊襯的寬度為米，根據(jù)題意可列方程A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意可知，裝裱后的長(zhǎng)為，寬為，再根據(jù)整幅圖畫寬與長(zhǎng)的比是，即可得到相應(yīng)的方程．【解答】解：由題意可得，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程．3．（2022?大同二模）為了美化小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)物業(yè)公司計(jì)劃對(duì)轄區(qū)內(nèi)600平方米的土地進(jìn)行綠化，為了盡快完成任務(wù)，實(shí)際平均每天的綠化面積是原計(jì)劃的1.5倍，結(jié)果提前10天完成任務(wù)，求原計(jì)劃平均每天的綠化面積．小寧同學(xué)所列的方程為，則小寧同學(xué)應(yīng)如何假設(shè)A．設(shè)原計(jì)劃平均每天的綠化面積為平方米 B．設(shè)實(shí)際平均每天的綠化面積為平方米 C．設(shè)原計(jì)劃完成任務(wù)需要天 D．設(shè)實(shí)際完成任務(wù)需要天【分析】根據(jù)題意和題目中的式子，可知表示的實(shí)際意義．【解答】解：由題意可得，小寧所設(shè)實(shí)際完成任務(wù)需要天，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2022?天心區(qū)校級(jí)三模）北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”引爆購(gòu)買潮，導(dǎo)致“一墩難求”．某工廠承接了60萬(wàn)只冰墩墩的生產(chǎn)任務(wù)，實(shí)際每天的生產(chǎn)效率比原計(jì)劃提高了，提前10天完成任務(wù)．設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)萬(wàn)只冰墩墩，則下面所列方程正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)實(shí)際及原計(jì)劃工作效率之間的關(guān)系，可得出實(shí)際每天生產(chǎn)萬(wàn)只冰墩墩，利用工作時(shí)間工作總量工作效率，結(jié)合實(shí)際比原計(jì)劃提前10天完成任務(wù)，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．【解答】解：實(shí)際每天的生產(chǎn)效率比原計(jì)劃提高了，且原計(jì)劃每天生產(chǎn)萬(wàn)只冰墩墩，實(shí)際每天生產(chǎn)萬(wàn)只冰墩墩．依題意得：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．5．（2022?遷安市二模）有一道題：“甲隊(duì)修路與乙隊(duì)修路所用天數(shù)相同，若▄，求甲隊(duì)每天修路多少米？”根據(jù)圖中的解題過(guò)程，被遮住的條件是A．甲隊(duì)每天修路比乙隊(duì)2倍還多 B．甲隊(duì)每天修路比乙隊(duì)2倍還少 C．乙隊(duì)每天修路比甲隊(duì)2倍還多 D．乙隊(duì)每天修路比甲隊(duì)2倍還少【分析】根據(jù)圖中的方程，可以寫出被遮住的條件，本題得以解決．【解答】解：由圖表可得方程：，故被遮住的條件是乙隊(duì)每天修路比甲隊(duì)2倍還少，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出被遮住的條件．6．（2022?昭陽(yáng)區(qū)一模）某優(yōu)秀畢業(yè)生向我校贈(zèng)送1080本課外書，現(xiàn)用、兩種不同型號(hào)的紙箱包裝運(yùn)送，單獨(dú)使用型紙箱比單獨(dú)使用型紙箱可少用6個(gè)；已知每個(gè)型紙箱比每個(gè)型紙箱可多裝15本．若設(shè)每個(gè)型紙箱可以裝書本，則根據(jù)題意列得方程為A． B． C． D．【分析】由每個(gè)型紙箱比每個(gè)型紙箱可多裝15本及每個(gè)型紙箱可以裝書本，可得出每個(gè)型紙箱可以裝書本，利用所需紙箱的數(shù)量贈(zèng)送課外書的總數(shù)每個(gè)紙箱裝課外書的數(shù)量，結(jié)合單獨(dú)使用型紙箱比單獨(dú)使用型紙箱可少用6個(gè)，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．【解答】解：每個(gè)型紙箱比每個(gè)型紙箱可多裝15本，且每個(gè)型紙箱可以裝書本，每個(gè)型紙箱可以裝書本．依題意得：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?魚臺(tái)縣期末）下列方程中不是分式方程的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)分式方程的定義，分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，判斷即可．【解答】解：、分母中含未知數(shù)，是分式方程，故此選項(xiàng)不符合題意；、分母中含未知數(shù)，是分式方程，故此選項(xiàng)不符合題意；、分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，故此選項(xiàng)符合題意；、分母中含未知數(shù)，是分式方程，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握分式方程的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2021秋?如皋市期末）已知關(guān)于的方程的解是正數(shù)，那么的取值范圍為A．且 B． C．且 D．且【分析】先解分式方程得，再由題意可得，，求出的范圍即可．【解答】解：，方程兩邊同時(shí)乘，得，去括號(hào)得，，解得，方程的解是正數(shù)，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，切勿遺漏增根的情況是解題的關(guān)鍵．9．（2022春?溧陽(yáng)市期末）關(guān)于的方程的解是正數(shù)，則的取值范圍是A． B．且 C． D．且【分析】先求出方程的解，根據(jù)解是正數(shù)列出不等式，且分母不為0，綜合即可解答．【解答】解：在方程兩邊同乘得：，解得：，方程的解是正數(shù)，，，，即，，且．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解、一元一次不等式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的解是正數(shù)得出不等式．10．（2022?惠陽(yáng)區(qū)一模）對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義一種新運(yùn)算“”為：，這里等式右邊是通常的實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：，則方程的解是A． B． C． D．【分析】已知方程利用題中的新定義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可求出解．【解答】解：根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：，去分母得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．11．（2022春?棗莊期末）已知關(guān)于的方程的解是負(fù)數(shù)，那么的取值范圍是A．且 B． C．且 D．且【分析】解分式方程，用含的代數(shù)式表示出方程的解，根據(jù)方程的解是負(fù)數(shù)，確定的取值范圍．【解答】解：去分母，得，．由于方程的解為負(fù)數(shù)，且，解得且．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解法、一元一次不等式的解法等知識(shí)點(diǎn)，掌握分式方程、一元一次不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．12．（2021秋?武城縣期末）我市防汛辦為解決臺(tái)風(fēng)季排澇問(wèn)題，準(zhǔn)備在一定時(shí)間內(nèi)鋪設(shè)一條長(zhǎng)4000米的排水管道，實(shí)際施工時(shí)，．求原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道多少米？題目中部分條件被墨汁污染，小明查看了參考答案為：“設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道米，則可得方程，”根據(jù)答案，題中被墨汁污染條件應(yīng)補(bǔ)為A．每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果延期20天完成 B．每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)10米，結(jié)果延期20天完成 C．每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果提前20天完成 D．每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)10米，結(jié)果提前20天完成【分析】工作時(shí)間工作總量工作效率．那么表示原來(lái)的工作時(shí)間，那么就表示現(xiàn)在的工作時(shí)間，20就代表原計(jì)劃比現(xiàn)在多的時(shí)間．【解答】解：原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道米，那么就應(yīng)該是實(shí)際每天比原計(jì)劃少鋪了10米，而用，則實(shí)際用的時(shí)間表示用原計(jì)劃的時(shí)間天，那么就說(shuō)明每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)10米，結(jié)果延期20天完成．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象除法分式方程，是根據(jù)方程來(lái)判斷缺失的條件，要注意方程所表示的意思，結(jié)合題目給出的條件得出正確的判斷．1．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程有非正整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和為A． B． C．1 D．【分析】先求出每一個(gè)不等式的解，再根據(jù)關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，求出；解出分式方程，再根據(jù)關(guān)于的分式方程有非正整數(shù)解，，，求出的值，進(jìn)而求出符合條件的所有整數(shù)的和．【解答】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，，；整理分式方程為整式方程：，解得，關(guān)于的分式方程有非正整數(shù)解，，，，，，為7或2或或，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解、解一元一次不等式組、一元一次不等式組的整數(shù)解，掌握這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用是解題關(guān)鍵．2．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）若數(shù)使關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，且使關(guān)于的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數(shù)的和為A．15 B．12 C．11 D．10【分析】先用表示，根據(jù)解為非負(fù)數(shù)，最簡(jiǎn)公分母，列不等式組，求公共解集；解不等式①②，根據(jù)關(guān)于的不等式組的解集為，求出的取值范圍，最后求的公共解集，再根據(jù)為整數(shù)，進(jìn)而確定的值，最后求出符合條件的所有整數(shù)的和．【解答】解：，，，解得，且，解為非負(fù)數(shù)，，，解得且，，解不等式①，得，解不等式②，得，關(guān)于的不等式組的解集為，，且，為整數(shù)，為1、2、4、5，符合條件的所有整數(shù)的和為：，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解、解一元一次不等式、解不等式組，掌握解分式方程、解不等式組的步驟，首先對(duì)原方程進(jìn)行變形，把分母化為相同的，根據(jù)題意列不等式組是解題關(guān)鍵．3．（2022秋?渝中區(qū)校級(jí)月考）若關(guān)于的不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解是非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是A．12 B．14 C．19 D．21【分析】解不等式組可得，解分式方程可得，且，由此可求整數(shù)的值．【解答】解：，由①得，，由②得，，不等式組的解集為，，，，，，，方程的解是非負(fù)整數(shù)，是3的倍數(shù)，，，的取值為，，，5，8，11，所有滿足條件的整數(shù)的值之和是12，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的解，一元一次不等式組的解集，熟練掌握一元一次不等式組的解法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情況是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?任城區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于的分式方程的解是正數(shù)，則的取值范圍為A． B．且 C． D．且【分析】先表示分式方程的解，再求范圍．【解答】解：兩邊同時(shí)乘以得：，，分式方程的解是正數(shù)，，．，且．．且．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的解，正確表示分式方程的解是求解本題的關(guān)鍵．5．（2022春?開(kāi)江縣期末）若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解是非負(fù)整數(shù)．則所有滿足條件的整數(shù)之和是A．10 B．19 C．16 D．8【分析】解不等式組，利用確定不等式組解集的方法得到關(guān)于的不等式，解得的范圍；解分式方程求得分式方程的解，利用已知條件和可能產(chǎn)生增根的情形得到關(guān)于的不等式組，綜上求得所有滿足條件的整數(shù)的值，再相加即可得出結(jié)論．【解答】解：關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，，．關(guān)于的分式方程的解為，關(guān)于的分式方程的解是非負(fù)整數(shù)，，，且為奇數(shù)，且，為奇數(shù)，且為奇數(shù)，，，1，3，5，7，9，所有滿足條件的的整數(shù)之和為：，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次不等式組的解集，解分式方程，考慮到解分式方程可能產(chǎn)生增根是解題的關(guān)鍵．6．（2022春?滁州期末）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，我們規(guī)定符號(hào)，表示，中較小的值，如，．按照這個(gè)規(guī)定，方程的解為A．4 B．2 C．4或2 D．無(wú)解【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算的規(guī)定，先得分式方程再求解即可．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，．．經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根．，故不符合的規(guī)定，所以不是方程的解．當(dāng)時(shí)，，．．經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根．，故符合的規(guī)定．所以是方程的解．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，掌握新定義運(yùn)算的規(guī)定，把方程轉(zhuǎn)化為分式方程是解決本題的關(guān)鍵．7．（2022春?渝北區(qū)期末）關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和為A．6 B．9 C．10 D．13【分析】先根據(jù)不等式組的解求的范圍，再根據(jù)分式方程的解求．【解答】解：，由①得：，由②得：，原不等式組的解集是：，，．，．，當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，不合題意，，，是正整數(shù)，，2，4，，4，6，，，或6，符合條件的所有整數(shù)的和為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程和一元依次不等式組的解，根據(jù)不等式組的解求出的范圍，根據(jù)分式方程的解求出的值是求解本題的關(guān)鍵．1．（2022秋?港北區(qū)期中）甲、乙兩人完成一項(xiàng)工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，設(shè)工作總量為1，工作進(jìn)度如表：天數(shù)第3天第5天工作進(jìn)度若乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工作，則需要（）A．9天 B．10天 C．12天 D．24天【分析】求出甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間，設(shè)乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需x天，根據(jù)甲完成的部分+乙完成的部分＝這項(xiàng)工程的，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工作所需天數(shù)為3÷＝12（天）．設(shè)乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需x天，依題意，得：+＝，解得：x＝24經(jīng)檢驗(yàn)，x＝24是原方程的解，且符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?蒼溪縣期末）中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)車組“復(fù)興號(hào)”是世界上商業(yè)運(yùn)營(yíng)時(shí)速最高的動(dòng)車組列車，達(dá)到世界先進(jìn)水平，安全、舒適、快速是它的顯著優(yōu)點(diǎn)．從廣元站到重慶北站的距離是353千米，乘坐“復(fù)興號(hào)”動(dòng)車組列車將比乘坐普通快車節(jié)省1小時(shí)40分鐘．已知“復(fù)興號(hào)”動(dòng)車組的平均速度比普通快車速度快80千米時(shí)，設(shè)“復(fù)興號(hào)”動(dòng)車組的平均速度為千米時(shí)，根據(jù)題意列方程正確的是A． B． C． D．【分析】設(shè)“復(fù)興號(hào)”動(dòng)車組的平均速度為千米時(shí)，則乘坐普通快車的平均速度為千米時(shí)，由題意：乘坐“復(fù)興號(hào)”動(dòng)車組列車將比乘坐普通快車節(jié)省1小時(shí)40分鐘．列出分式方程即可．【解答】解：設(shè)“復(fù)興號(hào)”動(dòng)車組的平均速度為千米時(shí)，則乘坐普通快車的平均速度為千米時(shí)，1小時(shí)40分鐘小時(shí)，根據(jù)題意得：，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?晉州市期中）學(xué)校需采購(gòu)部分課桌，現(xiàn)有，兩個(gè)商家供貨，商家每