專題2.2角平分線的性質與判定-《講亮點》2022-2023學年八年級數學上冊教材講練（蘇科版）（原卷版）

《講亮點》20222023學年八年級數學上冊教材同步配套講練《蘇科版》專題2.2角平分線的性質與判定【教學目標】1、利用尺規(guī)作已知角的平分線的方法；2、理解角的平分線的性質并初步運用?！窘虒W重難點】1、掌握角平分線的尺規(guī)作圖；2、理解角的平分線的性質并初步運用；3、對角平分線的性質定理中點到角兩邊的距離的理解。【知識亮解】知識點角平分線的性質與判定角的平分線的性質：角的平分線的性質：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.用符號語言表示角的平分線的性質定理：

若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.2、角的平分線的判定：角平分線的判定：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB3、角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖步驟：（1）以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內部交于點C.

（3）畫射線OC，射線OC即為所求.4、三角形的角平分線：三角形的三個內角的角平分線交于一點，且到三邊的距離相等。角平分線的性質定理與判定定理的區(qū)別與聯(lián)系：角平分線的性質定理中的題設“在角的平分線上的點”，這個點不是一個點，實際上是指角平分線上的任意一點，或者說是角平分線上的所有點都具有“到角兩邊的距離相等”的性質。角平分線的性質定理與判定定理是兩個互逆定理，是兩個互逆的真命題。要從題設、條件與結論的關系上理解它們的區(qū)別和聯(lián)系。點在角平分線上點到這個叫的兩邊的距離相等。角平分線的性質定理與判定定理在應用時的作用不同。性質定理的結論是確定點到角的兩邊的距離相等的問題。判定定理的結論是判定點是否在角平分線上的問題。【例1】★如圖，點P在∠AOB內，因為PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別是M、N，PM＝PN，所以OP平分∠AOB，理由是．【例2】★如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，AB＝6，BC＝4，DE＝2，則△ABC的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．10【例3】★如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，若AB＝18，AC＝12，△ABC的面積等于30，則DE＝．【例4】★（2020?南京）如圖，線段AB、BC的垂直平分線11、l2相交于點O，若∠1＝39°，則∠AOC＝．【例5】★如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點D，E，再分別以點D、E為圓心，大于DE為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線AF交邊BC于點G，若BG＝1，AC＝4，則△ACG的面積是（）A．1 B． C．2 D．【例6】★如圖，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，E、G分別為垂足．（1）求∠DAF的度數；（2）若△DAF的周長為10，求BC的長．【例7】★★（1）班同學上數學活動課，利用角尺平分一個角（如圖所示）．設計了如下方案：

（Ⅰ）∠AOB是一個任意角，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線．

（Ⅱ）∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線．

（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，請證明；若不可行，請說明理由；

（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情況下，繼續(xù)移動角尺，同時使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？請說明理由．【例8】★★已知如圖，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分線，并且它們交于點O，

（1）求：∠AOC的度數；

（2）求證：AC=AE+CD．【例9】★★如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別是∠BAC、∠ABC的角平分線．求證：

（1）BQ=CQ；

（2）BQ+AQ=AB+BP．【亮點訓練】1．（2022·全國·八年級）如圖，是的三條角平分線的交點，連接、、，若面積分別為、、，則（

）A． B． C． D．無法確定與的大小2．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB邊于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交BC邊于點D，若BD＝5，則CD的長可能是（

）A．7 B．6 C．5 D．43．（2022·遼寧本溪·八年級期中）如圖，在中，，是的角平分線，若，，則的面積是（

）A．24 B．12 C．15 D．104．（2022·廣東·化州市第一中學八年級期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，則AC的長是（

）A．2 B．3 C．4 D．55．（2022·云南紅河·八年級期末）如圖，的平分線與的垂直平分線相交于點，，，垂足分別為，，，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．36．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖．在中，，．以點A為圓心，以任意長為半徑作弧交AB，AC于D，E兩點；分別以點D，E為圓心，以大于長為半徑作弧，在內兩弧相交于點P；作射線AP交BC于點F，過點F作，垂足用G．若，則的周長等于________cm．7．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在中，，AD是的角平分線，過點D作，若，則______．8．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，，，若△ACD的面積為16，則△ABC的面積為________．9．（2022·江蘇無錫·模擬預測）如圖，平分，于點，，點是射線上一個動點，若，則的取值范圍是______．10．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，在△ABC中，高AE交BC于點E，若，，△ABC的面積為10，則AB的長為___________．11．（2022·廣東·中考真題）如圖，已知，點P在上，，，垂足分別為D，E．求證：．12．（2022·陜西·交大附中分校八年級階段練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，過頂點A作AD⊥BC交BC于點D．請用尺規(guī)作圖法在AD邊上求作一點P，使得點P到AB的距離等于PD的長．（保留作圖痕跡，不寫作法）13．（2022·云南·紅河縣教育科學研究室八年級期末）如圖，在中，，AD是的平分線，，垂足為點E．若，，求BE的長．14．（2022·山東·青島三十九中八年級期中）如圖，在中，，是的平分線，于，在上，且．(1)求證：；(2)若，，不用寫過程直接給出的值．15．（2022·全國·八年級）如圖，在中，的平分線與的外角的平分線交于點，于點，，交的延長線于點．(1)若點到直線的距離為5cm，求點到直線的距離；(2)求證：點在的平分線上．【培優(yōu)檢測】1．（2022·全國·八年級）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于點D，DE⊥AB于點E，且AB＝10，則△DEB的周長為（）A．9 B．5 C．10 D．不能確定2．（2022·四川南充·中考真題）如圖，在中，的平分線交于點D，DE//AB，交于點E，于點F，，則下列結論錯誤的是（

）A． B． C． D．3．（2022·山東濟南·一模）如圖，在中，，以頂點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，點在上．若，，，當最小時，的面積是（

）A．2 B．1 C．6 D．74．（2022·河南周口·八年級期末）如圖，的三條角平分線交于點，邊、、的長分別是40、30、20，則等于（

）A． B． C． D．5．（2022·重慶長壽·八年級期末）如圖，已知，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，點P恰好在CD上，則下面結論：①；②點P到AD、BC的距離相等；③PD＝PC；④AD＋BC＝AB；⑤PA＝PB．其中正確結論的個數為（

）A．2 B．3 C．4 D．56．（2022·廣東梅州·八年級期中）如圖，在△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于點D．若，，則△ABD的面積為_________．7．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，則∠ABE＝_____°．8．（2022·廣東茂名·八年級期中）如圖，Rt△ABC的兩直角邊AB，BC長分別為6，8，其三條角平分線交于點O，將△ABC分為三個三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO=______________．9．（2022·山東菏澤·八年級期末）已知，如圖DC平分，DB平分的外角，若，則__________．10．（2022·河南商丘·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE、BF相交于點O，AE交BC于點E，BF交AC于點F，過點O作OD⊥BC于點D，則下列三個結論：①∠AOB＝90°+∠C；②當∠C＝60°時，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，則S△ABC＝ab．其中正確的是_____．11．（2022·廣東·化州市第一中學八年級期中）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于點E，點F在AC上，BD＝DF．(1)求證：CF＝EB；(2)若AB＝12，AF＝8，求CF的長．12．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD的延長線于F．(1)求證：△ABE≌△ADF；(2)若BC=8cm，DF=3cm，求CD的長．13．（2022·山西臨汾·八年級期末）教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數學教材第96頁的部分內容．請根據教材中的分析，(1)結合圖①，寫出“角平分線的性質定理”完整的證明過程．(2)定理應用：如圖②，點P是的角平分線上一點，，垂足為點D，且，點M是射線上一動點，求的最小值．14．（2022·全國·八年級課時練習）已知，點C在的平分線上，點B、D分別在、上，連接、．(1)如圖1，若，請直接寫出線段與的數量關系