02數(shù)學(xué)文化-立體幾何-2021年高中數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化與人文價值素材

PAGEPAGE102數(shù)學(xué)文化——立體幾何（24題）1、“塹堵”1．《九章算術(shù)》中，將底面是直角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中虛線平分矩形的面積，則該“塹堵”的表面積為（）A． B． C． D．【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個放倒的直三棱柱，由三視圖求出幾何元素的長度，由面積公式求出幾何體的表面積．【解析】：根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個放倒的直三棱柱，底面是一個直角三角形，兩條直角邊分別是、斜邊是，且側(cè)棱與底面垂直，側(cè)棱長是，所以幾何體的表面積，故選：D．【點評】本題考查三視圖求幾何體的表面積，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．2．《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中虛線平分矩形的面積，則該“塹堵”的側(cè)面積為（）A． B． C． D．【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個放倒的直三棱柱，由三視圖求出幾何元素的長度，由面積公式求出幾何體的側(cè)面積．【解析】：根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個放倒的直三棱柱，底面是一個直角三角形，兩條直角邊分別是、斜邊是，且側(cè)棱與底面垂直，側(cè)棱長是，所以幾何體的側(cè)面積，故選：C．【點評】本題考查三視圖求幾何體的側(cè)面積，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．2、商鞅銅方升3．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器﹣﹣商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若取，其體積為（立方寸），則圖中的為（）A． B． C． D．【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長方體組合而成．利用體積求出．【解析】：由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長方體組合而成．由題意得：，所以．故選：B．【點評】本題考查三視圖，考查體積的計算，確定直觀圖是關(guān)鍵．3、鱉臑4．《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，如圖，在鱉臑中，平面，，且，過點分別作于，于，連接，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，的值是（）A． B． C． D．【考點】直線與平面垂直的判定．【分析】由已知可證平面，平面，可得、均為直角三角形，由已知得，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時，取“”，解得當(dāng)時，的面積最大，即可求得的值．【解析】：顯然平面，則，又，則平面，于是，且，結(jié)合條件得平面，所以、均為直角三角形，由已知得，而，當(dāng)且僅當(dāng)時，取“”，所以，當(dāng)時，的面積最大，此時，故選：B．【點評】本題主要考查了直線與平面垂直的判定，不等式的解法及應(yīng)用，同時考查了空間想象能力、計算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．【編號第5題】5．《九章算術(shù)》中將底面的長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為蟞臑．在如圖所示的陽馬中，側(cè)棱底面，且，則當(dāng)點在下列四個位置：中點、中點、中點、中點時分別形成的四面體中，蟞臑有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】分情況討論：（1）當(dāng)點在中點時，證明平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，即可得出結(jié)論；（2）當(dāng)點在中點時：以為原點，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則可求三邊長不滿足勾股定理，可得不是直角三角形，故四面體不是蟞臑．（3）當(dāng)點在中點時：易證不是直角三角形（同上），可得四面體不是蟞臑．（4）當(dāng)點在中點時：由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，即四面體是一個鱉臑．【解答】證明：（1）當(dāng)點在中點時：因為底面，所以，因為為正方形，所以，因為，所以平面，因為平面，所以，因為，點是的中點，所以，因為，所以平面，由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；（2）當(dāng)點在中點時：如圖，以為原點，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則：，，，，可求：，，，三邊長不滿足勾股定理，可得不是直角三角形，故四面體不是蟞臑．（3）如下圖當(dāng)點在中點時：易證不是直角三角形（同上），故四面體E﹣BCD不是蟞臑．（4）如下圖當(dāng)點在中點時：由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，即四面體是一個鱉臑．故選：B．【點評】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．4、羨除6．在《九章算術(shù)》中，將有三條棱互相平行且有一個面為梯形的五面體稱之為羨除，現(xiàn)有一個羨除如圖所示，面、面、面均為等腰梯形，，，到面的距離為，與間的距離為，則這個羨除的體積是（）A． B． C． D．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】將幾何體分解成一個直棱柱和兩個相同的不規(guī)則幾何體，將三個幾何體改變位置組合成一個直棱柱進行計算．【解析】：過作，，過作，，垂足分別為，將一側(cè)的幾何體放到另一側(cè)，組成一個直三棱柱，底面積為．棱柱的高為，所以．故選：D．【點評】本題考查了不規(guī)則幾何體的體積計算，將不規(guī)則幾何體補成規(guī)則幾何體是常用解題方法．5、圓周率相關(guān)7．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑，“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積，求其直徑的一個近似公式．人們還用過一些類似的近似公式．根據(jù)判斷，下列近似公式中最精確的一個是（）A． B． C． D．【考點】進行簡單的演繹推理．【分析】根據(jù)球的體積公式求出直徑，然后選項中的常數(shù)為，表示出，將四個選項逐一代入，求出最接近真實值的那一個即可．【解析】：由，解得，設(shè)選項中的常數(shù)為，則選項A代入得；選項B代入得；選項C代入得；選項D代入得，由于D的值最接近的真實值，故選D．【點評】本題主要考查了球的體積公式及其估算，同時考查了計算能力，屬于中檔題．8．我國數(shù)學(xué)史上有一部堪與歐幾里得《幾何原本》媲美的書，這就是歷來被尊為算經(jīng)之首的《九章算術(shù)》，其中卷第五《商功》有一道關(guān)于圓柱體的體積試題：今有圓堡，周四丈八尺，高一丈一尺，問積幾何？其意思是：含有圓柱形的土筑小城堡，底面周長是4丈8尺，高1丈1尺，問它的體積是多少？若取，估算小城堡的體積為（）A．1998立方尺 B．2012立方尺 C．2112立方尺 D．2324立方尺【考點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）．【分析】根據(jù)周長求出城堡的底面半徑，代入圓柱的體積公式計算．【解析】：設(shè)圓柱形城堡的底面半徑為，則由題意得，所以尺．又城堡的高尺，所以城堡的體積立方尺．故選：C．【點評】本題考查了圓柱的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．9．《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個問題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．問積幾何？答曰：二千一百一十二尺．術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是說：圓堡瑽（圓柱體）的體積為：（底面的圓周長的平方高）．則由此可推得圓周率的取值為（）A． B． C． D．【考點】排序問題與算法的多樣性．【分析】由題意，圓柱體底面的圓周長20尺，高4尺，利用圓堡瑽（圓柱體）的體積（底面的圓周長的平方高），求出，再建立方程組，即可求出圓周率的取值．【解析】：由題意，圓柱體底面的圓周長20尺，高4尺，因為圓堡瑽（圓柱體）的體積（底面的圓周長的平方高），所以，所以，所以，，故選：A．【點評】本題考查圓柱體底面的圓周長、體積的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．10．《九章算術(shù)》是我國數(shù)學(xué)史上堪與歐幾里得《幾何原本》相媲美的數(shù)學(xué)名著．其第五卷《商功》中有如下問題：“今有圓堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺，問積幾何？”這里所說的圓堢壔就是圓柱體，其底面周長是4丈8尺，高1丈1尺，問它的體積是多少？若取，估算該圓堢壔的體積為（）A．1998立方尺 B．2012立方尺 C．2112立方尺 D．2324立方尺【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】根據(jù)周長求出圓堢壔的底面半徑，代入圓柱的體積公式計算．【解析】：設(shè)圓柱形圓堢壔的底面半徑為，則由題意得，所以尺，又圓堢壔的高尺，所以圓堢壔的體積立方尺．故選：C．【點評】本題考查了圓柱的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．6、牟合方蓋相關(guān)11．劉徽在他的《九章算術(shù)注》中提出一個獨特的方法來計算球體的體積：他不直接給出球體的體積，而是先計算另一個叫“牟合方蓋”的立體的體積．劉徽通過計算，“牟合方蓋”的體積與球的體積之比應(yīng)為．后人導(dǎo)出了“牟合方蓋”的體積計算公式，即，為球的半徑，也即正方形的棱長均為，為從而計算出．記所有棱長都為的正四棱錐的體積為，棱長為的正方形的方蓋差為，則（）A． B． C． D．【考點】球的體積和表面積．【分析】計算出，，即可得出結(jié)論.【解析】：解：由題意，，所有棱長都為的正四棱錐的體積為，所以，故選：C．【點評】本題考查新定義，考查體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)12．我國古代數(shù)學(xué)家利用“牟合方蓋”（如圖甲）找到了球體體積的計算方法．它是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體．圖乙所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，其直觀圖如圖丙，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線．當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的正視圖和俯視圖分別可能是（）A． B． C． D．【考點】簡單空間圖形的三視圖．【分析】根據(jù)已知中“牟合方蓋”的幾何特征，分別判斷它的正視圖和俯視圖形狀，可得答案．【解析】：當(dāng)“牟合方蓋”的正視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的正視圖為：，俯視圖為：，故選：A【點評】本題考查的知識點是簡單空間圖形的三視圖，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．13．中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中，稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的立體為“牟合方蓋”，如圖（1）（2），劉徽未能求得牟合方蓋的體積，直言“欲陋形措意，懼失正理”，不得不說“敢不闕疑，以俟能言者”.約200年后，祖沖之的兒子祖暅提出“冪勢既同，則積不容異”，后世稱為祖暅原理，即：兩等高立體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立體體積相等.如圖（3）（4），祖暅利用八分之一正方體去掉八分之一牟合方蓋后的幾何體與長寬高皆為八分之一正方體的邊長的倒四棱錐“等冪等積”，計算出牟合方蓋的體積，據(jù)此可知，牟合方蓋的體積與其外切正方體的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)正方體的邊長為，因為，，所以，故選B．14．“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）．其直觀圖如圖1，圖2中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線．當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的正視圖和俯視圖分別可能是（）A． B． C． D．【考點】簡單空間圖形的三視圖．【分析】相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）．根據(jù)三視圖看到方向，可以確定三個識圖的形狀，判斷答案．【解析】：因為相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）．所以其正視圖和側(cè)視圖是一個圓，因為俯視圖是從上向下看，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，所以俯視圖是有2條對角線且為實線的正方形，故選：A．【點評】本題很是新穎，三視圖是一個?？嫉膬?nèi)容，對于幾何體，他描述的應(yīng)該熟悉，想想出它的樣子，才能夠作對此題．15．劉徽在他的《九章算術(shù)注》中提出一個獨特的方法來計算球體的體積：他不直接給出球體的體積，而是先計算另一個叫“牟合方蓋”的立體的體積．劉徽通過計算，“牟合方蓋”的體積與球的體積之比應(yīng)為，即，也導(dǎo)出了“牟合方蓋”的體積計算公式，即，從而計算出．記所有棱長都為的正四棱錐的體積為，則（）A． B．C． D．以上三種情況都有可能【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】計算出，，即可得出結(jié)論．【解析】：由題意，，所有棱長都為r的正四棱錐的體積為，所以，故選：A．【點評】本題考查新定義，考查體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．16．“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）．其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線．當(dāng)其主視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的俯視圖可能是（）A． B． C． D．【考點】簡單空間圖形的三視圖．【分析】相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）．根據(jù)三視圖看到方向，可以確定三個識圖的形狀，判斷答案．【解析】：因為相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）．所以其正視圖和側(cè)視圖是一個圓，因為俯視圖是從上向下看，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，所以俯視圖是有2條對角線且為實線的正方形，故選：B.【點評】本題考查了幾何體的三視圖，屬于基礎(chǔ)題．7、“米谷粒分”問題17．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石【考點】隨機抽樣和樣本估計總體的實際應(yīng)用．【分析】根據(jù)254粒內(nèi)夾谷28粒，可得比例，即可得出結(jié)論．【解析】：由題意，這批米內(nèi)夾谷約為石，故選：B．【點評】本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．18．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》中有云：“今有木長二丈四尺，圍之五尺．葛生其下，纏木兩周，上與木齊，問葛長幾何？”其意思為“圓木長2丈4尺，圓周為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多少尺（注：1丈等于10尺）（）A．29尺 B．24尺 C．26尺 D．30尺【考點】多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題．【分析】由題意，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，一條直角邊（即木棍的高）長24尺，另一條直角邊長（尺），利用勾股定理，可得結(jié)論．【解析】：由題意，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，一條直角邊（即木棍的高）長24尺，另一條直角邊長（尺），因此葛藤長=26（尺）．故選：C．【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，考查學(xué)生的計算能力，正確運用圓柱的側(cè)面展開圖是關(guān)鍵．7、祖暅原理19．（2019·天津高考模擬（理））祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是說：兩個同高的幾何體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.設(shè)、為兩個同高的幾何體，、的體積不相等，、在等高處的截面積不恒相等.根據(jù)祖暅原理可知，是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】的體積相等，在同高處的截面積相等，由于A、B體積相等，A、B在同高處的截面積不恒相等，譬如一個為柱體另一個為椎體，所以條件不充分；反之成立，條件是必要的，因此是的必要不充分條件.選B.20.(2017·石家莊一模)祖暅?zhǔn)悄媳背瘯r期的偉大數(shù)學(xué)家，5世紀(jì)末提出體積計算原理，即祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任何一個平面所截，如果截面面積都相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等．現(xiàn)有以下四個幾何體：圖①是從圓柱中挖去一個圓錐所得的幾何體，圖②、圖③、圖④分別是圓錐、圓臺和半球，則滿足祖暅原理的兩個幾何體為()A.①② B.①③C.②④ D.①④【答案】D【解析】設(shè)截面與底面的距離為，則①中截面內(nèi)圓半徑為，則截面圓環(huán)的面積為；②中截面圓的半徑為，則截面圓的面積為；③中截面圓的半徑為，則截面圓的面積為；②中截面圓的半徑為，則截面圓的面積為，所以①④中截面的面積相等，故選D．21.祖暅（公元前5-6世紀(jì))，祖沖之之子，是我國齊梁時代的數(shù)學(xué)家.他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異.”這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.該原理在西方直到十七世紀(jì)才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖暅晚一千一百多年.橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體.如圖將底面直徑皆為，高皆為的橢半球體及已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面上.以平行于平面的平面于距平面任意高處可橫截得到及兩截面，可以證明知總成立.據(jù)此，短軸長為，長軸為的橢球體的體積是__________．【答案】【解析】因為總有圓所以，半橢球的體積等于，橢球的體積為，所以，該橢環(huán)體積是，故答案為.22.我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出體積的計算原理（祖暅原理）：“冪勢既同，則積不容異”?！皠荨奔词歉?，“冪”是面積。意思是：如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等。類比祖暅原理，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，圖1是一個形狀不規(guī)則的封閉圖形，圖2是一個上底為1的梯形，且當(dāng)實數(shù)t取[0,3]上的任意值時，直線y=t被圖1和圖2所截得的兩線段長始終相等，則圖1的面積為___________．【答案】【解析】依題意，類比可