數(shù)學(xué)利用不等式求最大（小）值單元測試

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精單元測試1。設(shè)x、y∈R+，且滿足x+4y=40，則lgx+lgy的最大值是(）A。40B。10C。4解析：lgx+lgy=lg（xy）=lg≤lg=lg=2。答案：D2。已知2x2+y2=1,則2x+y的最大值為（）A.B。2C。D.3解析：∵(2x+y)2=(·+y)2≤[（)2+1］[（)2+y2］=3(2x2+y2)=3，∴2x+y≤。答案:C3.設(shè)x、y∈R,且x+y=4,則3x+3y的最小值為（）A.9B。18C。3解析:∵3x+3y≥==18.答案：B4。已知a+b+c=3,且a、b、c∈R+，則的最小值為（)A.3B.1C.D。解析：∵（)［（3—a）+（3-b）+（3-c）］≥a+b+c=3，而(3—a）+（3-b)+(3-c)=9—(a+b+c）=6,∴≥。答案:D5.已知a+b+c+d=，則的最小值為（)A.B。2C。1解析：∵（12+12）（a2+b2)≥(a+b）2，∴.同理，，，∴(a+b)+（b+c)+（c+d)+(d+a)=×2（a+b+c+d）=2，∴最小值為2。答案：B6.x〉0,y〉0且x+y=1,則≤a恒成立的a的最小值是(）A.B.C.2D.解析：∵a2≥(）2=x+y+2，又∵x+y+2≤2(x+y)=2，由≤a恒成立，得a2≥2，即amin=。答案：B7。已知+2+3=9,則x+y+z的最小值為（）A。3B.1C.解析：∵（）2≤(12+22+32）［(2x+1）+（2y+3)+（3z+4)］=14（2x+2y+3z+8）=28(x+y+z+4）,∴x+y+z+4≥.∴x+y+≥-4=-.答案:C8。若x〉0，則4x+的最小值為()A。50B.100C.解析：4x+=2x+2x+≥.答案:C9。設(shè)x〉0,y>0,x2+=1,則的最大值為________________。解析：∵x>0，y>0，x2+=1,∴=≤.答案：10。（a+b+c）(++）的最小值為______________(a、b、c∈R+)。解析:（a+b+c）(++)≥（）2=9.答案:911.若a+b+c+d=1，且a、b、c、d∈R+,則的最小值為__________.解析：∵［(1+a）+（1+b)+（1+c）+(1+d)］(+++)≥a+b+c+d=1,∴++≥.答案：12。函數(shù)①y=x2+;②y=;③y=ex+4e-x;④y=sinx+(0〈x<π)中最小值為4的函數(shù)為_____________.(只填序號)解析：①y=x2+≥=4，當(dāng)且僅當(dāng)x2=，即x2=2時(shí)取“="。②y==4。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，但≠，∴最小值不是4.③y=ex+4e-x≥=4,當(dāng)且僅當(dāng)ex=4e-x，即ex=2時(shí)取“=”。④∵0<x〈π,∴sinx>0,y=sinx+≥=4.但sinx≠,∴最小值不是4.答案：①③13.已知x1，x2，…,xn∈R+,且x1+x2+…+xn=n,求證:≥n.證明：∵（x1+x2+…+xn)()≥(1+1+…+1)2=n2，又∵x1+x2+…+xn=n，∴++…+≥n。14.已知a〉b>0，求a2+的最小值.分析:可構(gòu)造乘積為定值，求和的最小值。解:∵a〉b〉0,∴a-b〉0?！?<b(a-b)≤［］2=.∴?！郺2+≥a2+≥=16。當(dāng)且僅當(dāng)a2=,即a=且b=a-b，b==時(shí)取“=".∴當(dāng)a=，b=時(shí),a2+最小為16。15。已知2x2+y2+5z2=3，求S=x+2y+3z的最大值。解:S2=(x+2y+3z)2=［(x)+2·y+］2≤［()2+22+(）2］［(x）2+y2+（z）2］=（+4+)(2x2+y2+5z2）=（2x2+y2+5z2)=×3=，∴S≤.∴S的最大值為.16。某單位決定投資32000元建一倉庫(長方體狀）,高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵,每米長造價(jià)為400元，兩側(cè)墻砌磚,每米長造價(jià)450元，頂部每平方米造價(jià)為200元,試計(jì)算：倉庫面積S最大為多少?這時(shí)鐵柵長多少?解：設(shè)鐵柵長為xm,一堵墻長為ym,則S=xy,由題意,得400x+2×450y+200xy≤32000，即4x+9y+2xy≤320.∵4x+9y≥24x·9y=12x