數(shù)學(xué)互動(dòng)課堂總體特征數(shù)的估計(jì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1.平均數(shù)及其估計(jì)（1）平均數(shù)定義若給定一組數(shù)據(jù)x1,x2，…,xn，則稱=xi(i=1,2，3,…，n）為這組數(shù)據(jù)x1，x2，…,xn的平均數(shù)(或均值）。通常用樣本平均數(shù)來估計(jì)總體平均數(shù).當(dāng)所給數(shù)據(jù)中沒有重復(fù)數(shù)據(jù)時(shí)，我們一般用此公式來求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).這里xi=（x1+x2+……xn）.平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，我們常用一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)來衡量這組數(shù)據(jù)的水平。當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的重復(fù)數(shù)據(jù)過多時(shí)，若用上面公式求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，其過程就會(huì)顯得比較復(fù)雜和冗長,為了簡化計(jì)算過程,我們引入下面這種計(jì)算平均數(shù)的方法:一般地，若取值為x1,x2，…，xn的頻率分別為p1,p2，…，pn，則其平均數(shù)為x1p1+x2p2+…+xnpn。這一公式實(shí)質(zhì)上就是公式的一個(gè)變形,它主要用于含有重復(fù)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)組求平均數(shù).除此之外,當(dāng)所給數(shù)據(jù)在某一常數(shù)a的上下波動(dòng)時(shí),我們也可利用公式：=+a,其中=（x1′+x2′+…+xn′）,x1′=x1—a，x2′=x2-a,x3′=x3-a，…,xn′=xn-a；常數(shù)a通常取接近于這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)較“整"的數(shù).例如:求數(shù)據(jù)70，71,72，73的平均數(shù)時(shí)，我們可以先求出0,1，2,3的平均數(shù)，然后將此平均數(shù)加上70即得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。（2)平均數(shù)的性質(zhì)①若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2,…,xn的平均數(shù)為,則ax1，ax2，…,axn的平均數(shù)為a；②若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…,xn的平均數(shù)為，則ax1+b，ax2+b，…,axn+b的平均數(shù)為a+b；（3）用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)從一個(gè)總體中隨機(jī)抽取一個(gè)容量一定的包含大量數(shù)據(jù)的樣本，利用樣本平均數(shù)的計(jì)算公式求出樣本平均數(shù),由此得出的總體平均數(shù)就是所求樣本平均數(shù)。在這里兩次從總體中抽取容量相等的樣本，分別求出樣本平均數(shù)，兩個(gè)樣本平均數(shù)會(huì)不相同,所以用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)時(shí),樣本平均數(shù)只是總體平均數(shù)的近似值.案例1下面是某一個(gè)工廠所有工作人員在某個(gè)月的工資,總經(jīng)理6000元，技術(shù)工人甲900元,技術(shù)工作人員乙800元,雜工640元，服務(wù)員甲700元，服務(wù)員乙640元，會(huì)計(jì)820元.(1）計(jì)算所有工作人員的平均工資.(2）去掉總經(jīng)理后,再計(jì)算平均工資。（3）在(1)和(2)中兩種平均工資哪一種能代表一般工人的收入水平,為什么?【探究】計(jì)算平均工資是用工資總數(shù)除以領(lǐng)工資的人數(shù)即可?！窘馕觥?1)所有工作人員平均工資為=（6000+900+800+640+700+640+820)=1500(元）.(2)去掉總經(jīng)理后平均工資為=(900+800+640+700+640+820)=750（元）.（3)能代表一般工人的收入水平的是去掉總經(jīng)理后的平均工資750元。因?yàn)槌タ偨?jīng)理之外，工作人員的工資均在900元以下,因此不能以1500元來代表職工的平均工資水平。規(guī)律總結(jié)一般地,在一組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)能夠反映該組數(shù)據(jù)的集中趨勢和平均水平,但有時(shí)需要去掉極端值(極大值或極小值）,這樣計(jì)算平均數(shù)則更能反映平均水平，這就是有些比賽活動(dòng)中往往會(huì)去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值再去計(jì)算平均成績的原因。2。方差與標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2，…，xn，其平均數(shù)為，則稱s2=(xi—）2為這個(gè)樣本的方差,其算術(shù)平方根s=為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差,分別簡稱樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差。疑難疏引（1）為了更好地比較兩組數(shù)據(jù)的集中程度，我們可以利用這兩組數(shù)據(jù)的方差對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較.方差較大的數(shù)據(jù)波動(dòng)較大；方差較小的數(shù)據(jù)波動(dòng)較小.當(dāng)所給的數(shù)據(jù)有單位時(shí),所求得的平均數(shù)與原數(shù)據(jù)的單位相同，不要漏寫單位.方差的單位為所給數(shù)據(jù)單位的平方,方差的算術(shù)平方根稱作標(biāo)準(zhǔn)差，它與原數(shù)據(jù)單位相同,因而能更好地刻畫數(shù)據(jù)的離散程度。（2）方差的性質(zhì)①若給定一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn，方差為s2，則ax1,ax2，…,axn的方差為a2s2；②若給定一組數(shù)據(jù)x1,x2，…,xn，方差為s2，則ax1+b，ax2+b，…,axn+b的方差為a2s2，特別地,當(dāng)a=1時(shí)，則有x1+b,x2+b，…，xn+b的方差為s2，這說明將一組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)據(jù)都減去相同的一個(gè)常數(shù)，其方差是不變的,即不影響這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性;③方差刻畫了數(shù)據(jù)相對于均值的平均偏離程度.對于不同的數(shù)據(jù)集,當(dāng)離散程度越大時(shí),方差越大；④方差的單位是原始測量數(shù)據(jù)單位的平方,對數(shù)據(jù)中的極值較為敏感。（3）我們可以通過計(jì)算樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差對總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行估計(jì),也可以通過對兩個(gè)總體的樣本方差的大小差異情況,對兩個(gè)總體的波動(dòng)情況進(jìn)行推斷和比較，當(dāng)=,＜時(shí),甲為優(yōu)秀。（4）樣本方差。標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算的簡化。方差的計(jì)算公式s2可簡化為:（Ⅰ）s2=［++…+］—nx2,或?qū)懗蓅2=（++…)—x2。即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.（Ⅱ）s2=［（++…+）—n］.當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)較大時(shí)，直接計(jì)算它們的方差則比較麻煩，如果數(shù)據(jù)相互比較接近,為了減少參與計(jì)算的數(shù)據(jù)，可仿照簡化平均數(shù)的計(jì)算方法,將每個(gè)數(shù)據(jù)同時(shí)減去一個(gè)與它們的平均數(shù)接近的常數(shù)a，得到一組新數(shù)據(jù)x1′=x1—a，x2′=x2—a,…，xn′=xn—a，那么，s2=［（++…+)—n］也可寫成s2=（++…+）—。即方差等于新數(shù)據(jù)的平方的平均數(shù)減去新數(shù)據(jù)平均數(shù)的平方。原數(shù)據(jù)x1，x2,…，xn的方差與新數(shù)據(jù)x′1=x1-a，x′2=x2-a，…，x′n=xn—a的方差相等，即x′1，x′2…,x′n的方差s′2=·［(x′1-)2+(x′2—)2+…+(x′n-)2］等于原數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差s2.案例2某班40人隨機(jī)平均分成兩組，兩組學(xué)生一次考試的成績情況如下表：組別統(tǒng)計(jì)量平均標(biāo)準(zhǔn)差第一組906第二組804求全班平均成績和標(biāo)準(zhǔn)差.【探究】設(shè)第一組20名學(xué)生的成績?yōu)閤i（i=1,2…，20），第二組20名學(xué)生的成績?yōu)閥i=（i=1,2，…，20)，依題意有：90=（x1+x2+…+x20)，80=（y1+y2+…+y20）,故全班平均成績?yōu)椋海▁1+x2+…+x20+y1+y2+…+y20)=（90×20+80×20)=85;又設(shè)第一組學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差為s1,第二組學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差為s2,則=(++…+-202），=(y12+y22+…+—20y2）(此處，=90,=80）又設(shè)全班40名學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)差為s，平均成績?yōu)椋?85），故有s2=(++…++y12+y22+…+—402)=（20+202+20+202-40z2）=(62+42+902+802—2×852)=51。s=.規(guī)律總結(jié)平均數(shù)與方差，都是重要的數(shù)字特征數(shù),是對總體的一種簡明的描述,它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，所以,不僅需要掌握其計(jì)算公式和方法，還要學(xué)會(huì)通過這些數(shù)據(jù)分析其含義,從而為正確決策提供依據(jù)。案例3某校擬派一名跳高運(yùn)動(dòng)員參加一項(xiàng)校際比賽，對甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了8次選拔比賽,他們的成績（單位：m)如下:甲：1.70，1。65,1.68,1.69，1.72，1.73，1.68,1.67;乙:1。60，1.73，1。72,1。61,1。62，1。71,1.70，1。75.經(jīng)預(yù)測,跳高1。65m就很可能獲得冠軍。該校為了獲取冠軍，可能選哪位選手參賽？若預(yù)測跳高1。70m方可獲得冠軍呢？【探究】參加比賽的選手的成績得突出,且成績穩(wěn)定,這就需要比較這兩名選手的平均成績和成績的方差。甲的平均成績和方差如下：=(1.70+1.65+1.68+1.69+1.72+1.73+1。68+1。67)=1。69,=［(1.70-1.69）2+（1。65-1。69）2+…+(1.67-1。69)2]=0。0006。乙的平均成績和方差如下：=（1。60+1。73+1。72+1。61+1.62+1.71+1。70+1.75)=1。68，=［（1.60-1.68）2+(1。73-1.68)2+…+（1。75-1.68)2]=0。00315.顯然，甲的平均成績好于乙的平均成績,而且甲的方差小于乙的方差,說明甲的成績比乙穩(wěn)定。由于甲的平均成績高于乙，且成績穩(wěn)定,所以若跳高1。65m就很可能獲得冠軍,應(yīng)派甲參賽。在這8次選拔賽中乙有5次成績在1.70m以上，雖然乙的平均成績不如甲，成績的穩(wěn)定性也不如甲,若跳高1.70m方可獲得冠軍時(shí),應(yīng)派乙參加比賽.規(guī)律總結(jié)在實(shí)際問題中,僅靠平均數(shù)不能完全反映問題,還要研究其偏離平均值的離散程度(即方差或標(biāo)準(zhǔn)差）。方差（標(biāo)準(zhǔn)差）大,說明取值分散性大，方差（標(biāo)準(zhǔn)差)小,說明取值分散性小或說取值比較集中、穩(wěn)定?；顚W(xué)巧用1。(2004北京春季高考，理10文10)期中考試以后，班長算出了全班40個(gè)人數(shù)學(xué)成績的平均分為M。如果把M當(dāng)成一個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù)，與原來的40個(gè)分?jǐn)?shù)一起，算出這41個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值為N,那么M∶N為（)A。B.1C。D.2解析:考查閱讀理解能力,分析問題、解決問題的能力及統(tǒng)計(jì)初步知識。設(shè)40位同學(xué)的成績?yōu)閤i（i=1，2,…,40)，則M=,N=故M∶N=1。答案：B2.某工人在30天中加工一種零件的日產(chǎn)量有2天是51件,3天是52件，6天是53件，8天是54件,7天是55件，3天是56件，1天是57件。計(jì)算該工人30天的平均日產(chǎn)量。解：在上面30個(gè)數(shù)據(jù)中,51出現(xiàn)2次，52出現(xiàn)3次，53出現(xiàn)6次,54出現(xiàn)8次，55出現(xiàn)7次，56出現(xiàn)3次，57出現(xiàn)1次.由于這組數(shù)據(jù)都比50稍大一點(diǎn),故將數(shù)據(jù)51,52，53，54,55,56，57同時(shí)減去50，得到1,2,3，4，5，6,7。它們出現(xiàn)的次數(shù)依次是2,3，6，8，7，3,1。那么，這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是=≈4,∴=+a≈54（件），即這個(gè)工人30天的平均日產(chǎn)量為54件.點(diǎn)評：“同時(shí)減去50”改為“同時(shí)減去53”更方便。3。某餐廳共有8名員工，某月工資如下圖所示，則下列說法中不正確的是（）A.該餐廳員工工資的一般水平不是1125元,盡管平均數(shù)是1125B.因?yàn)楸姅?shù)為320元,所以該餐廳員工工資的一般水平是320元C。因?yàn)橹形粩?shù)為410元，所以該餐廳員工工資的一般水平是410元D.去掉一個(gè)最大數(shù)6000元，去掉一個(gè)最小數(shù)320元，剩下6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為447元，該餐廳員工工資的一般水平一定是477元答案：D4。某班一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)的成績?nèi)缦?得100分的6人，得90分的15人,得80分的18人，得70分的6人，得60分的3人，得50分的2人,試計(jì)算這次測驗(yàn)全班的平均成績.解法一：=（6×100+15×90+18×80+6×70+3×60+2×50)=81。8（分).解法二:取a=80，將原數(shù)據(jù)都減去80得新數(shù)據(jù)及出現(xiàn)次數(shù)為新數(shù)據(jù)20100-10—20—30出現(xiàn)次數(shù)61518632∴=[6×20+15×10+18×0+6×（—10）+3×(—20）+2×(-30）]=1.8?！?+a=1。8+80=81.8（分）,即這次測驗(yàn)全班的平均成績?yōu)?1。8分。5.計(jì)算下面數(shù)據(jù)的方差（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第1位）：3,-1,2,1,-3,3。解析：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不是整數(shù)，選用公式s2=[(++…+）—n2］比較方便.s2=[32+（-1）2+22+12+(-3）2+32—6×（)2］=［9+1+4+1+9+9-6×()2]=×33—≈5。5—0。7=4.8。6.在去年的足球甲A聯(lián)賽上，一隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是1。5，全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1。1；二隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)為2.1，全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4。你認(rèn)為下列說法中哪一種是正確的？（1)平均說來一隊(duì)比二隊(duì)技術(shù)好;（2)二隊(duì)比一隊(duì)技術(shù)水平更穩(wěn)定；（3)一隊(duì)有時(shí)表現(xiàn)很差，有時(shí)表現(xiàn)又非常好；(4）二隊(duì)很少不失球.解：本題主要考查對平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的概念的理解.平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平，而方差則反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性的大小.一隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)比二隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)少,說明一隊(duì)的技術(shù)比二隊(duì)的技術(shù)好；一隊(duì)全年的比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差較大,說明一隊(duì)的表現(xiàn)時(shí)好時(shí)壞，起伏較大;二隊(duì)的平均失球數(shù)多,全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差很小，說明二隊(duì)的表現(xiàn)較穩(wěn)定，經(jīng)常失球.答案：（1)（2）（3)（4）都正確7.(2005山東青島第二次質(zhì)量檢測)對于一組數(shù)據(jù)xi(i=1,2，3…，n）,如果將它們改變?yōu)閤i—c(i=1,2，3，…，n)，其中c≠0，則下面結(jié)論中正確的是（）A。平均數(shù)與方差均不變B.平均數(shù)變了，而方差保持不變C。平均數(shù)不變，而方差變了D。平均數(shù)與方差數(shù)均發(fā)生了變化解析:=xi，=(xi-c)=xi—·nc=—c,而s2=（x—xi）2，s′2=[-（xi-c）]2=［—c—(xi—c）］2=(-xi）2=s2,所以其平均數(shù)變了,而方差保持不變。故選B.答案:B8。(2005江蘇南通調(diào)研考試）一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都減去80,得一組新數(shù)據(jù),若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1。2，方差是4。4,則原來一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是(）A.81.2，4.4B.78。8，4。4C。81。2，84。4解析:由平均數(shù)與方差公式：=，s2=知，在每一個(gè)數(shù)都減去80后，平均數(shù)也減去80，而方差不變,所以選A。答案：A9.某班有48名學(xué)生,在一次考試中統(tǒng)計(jì)出平均分為70分，方差為75,后來發(fā)現(xiàn)有2名同學(xué)的成績有誤，甲實(shí)得80分卻記為50分,乙實(shí)得70分卻記為100分，更正后平均分和方差分別是（)A.70,25B.70，50C.70,1.04解析：易得沒有改變，=70，而s2=1［]48［（++…+502+1002+…+)-482］=75，s′2=［(++…+802+702+…+)-482］=［（75×48+48x2—12500