數(shù)學(xué)互動課堂學(xué)案：兩角和與差的正弦

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1.兩角和與差的正弦公式sin（α—β)=cos（-α+β)=cos［（-α)+β］=cos（-α)cosβ—sin(—α)sinβ=sinαcosβ—cosαsinβ，即sin(α-β）=sinαcosβ—cosαsinβ.在上式中，以—β代β可得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ。2.正確理解和差角的正弦公式（1）公式對于任意的角α、β都成立。(2）搞清sin(α±β）的意義，例如sin（α+β)是兩角α與β的和的正弦，它表示角α+β終邊上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)與原點(diǎn)到這點(diǎn)的距離之比，在一般情況下，sin（α+β）≠sinα+sinβ，如α=,β=時,sin（+）=sin=1，sin+sin=+=≠1,∴sin(+）≠sin+sin.只有在某些特殊情況下，sin（α+β）=sinα+sinβ.例如，當(dāng)α=0，β=時，sin（0+）=sin=，sin0+sin=0+=，sin（0+）=sin0+sin。在學(xué)習(xí)時一定要注意:不能把sin（α+β）按分配律展開.（3）牢記公式并能熟練左、右兩邊互化.例如化簡sin20°cos50°—sin70°cos40°,能觀察出此式等于sin（20°-50°）=—sin30°=-.（4)靈活運(yùn)用和（差）角公式,例如化簡sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ，不要將sin（α+β）,cos(α+β)展開，而應(yīng)就整個式子,直接運(yùn)用公式sin[（α+β）—β］=sinα,這也是公式的逆用。3。有關(guān)點(diǎn)（向量）的一組旋轉(zhuǎn)公式已知點(diǎn)P(x，y)，與原點(diǎn)距離保持不變繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)θ角到點(diǎn)P′(x′，y′）,則公式推導(dǎo)如下：如下圖所示：設(shè)∠xOP=α,則cosα=,sinα=。∴x′=rcos（α+θ)=r(cosαcosθ—sinαsinθ）=xcosθ-ysinθ，y′=rsin(α+θ）=r(sinαcosθ+cosαsinθ)=xsinθ+ycosθ。即4.形如asinx+bcosx(a，b不同時為零）的三角函數(shù)式可化為一個角的一個三角函數(shù)式。記住以下重要結(jié)論：asinx+bcosx=sin（x+θ)其中sinθ=，cosθ=，推導(dǎo)如下：考察以（a，b）為坐標(biāo)的點(diǎn)P（a,b），設(shè)以O(shè)P為終邊的一個角為θ，則cosθ=,sinθ=。于是asinx+bcosx=(sinx+cosx)=a2+b2(cosθsinx+sinθcosx）=sin（x+-θ)。其中sinθ=,cosθ=.活學(xué)巧用【例1】化簡下列各式（1）cos（80°+3α）cos(35°+3α）+sin(80°+3α)cos（55°—3α）;(2）sin(x+)+2sin（x—）-cos(-x）;(3）.解析：（1）原式=cos(80°+3α）cos（35°+3α)+sin（80°+3α)sin(35°+3α)=cos［（80°+3α)—(35°+3α）］=cos45°=。（2)原式=sin(x+）+2sin(x—）-cos［π—（x+）］=［sin（x+）+cos(x+)］+2sin(x-）=2［sin(x+）·+cos（x+)·］+2sin（x—）=2[sin(x+）cos+cos（x+）sin］+2sin(x—）=2sin［(x+)+]+2sin（x-)=2sin(x+π）+2sin(x—)=2sin［π—(—x)］+2sin(x-)=2sin(-x)+2sin（x—）=0。（3）原式===tan（α—β）.【例2】已知cos（α+β）=，cos2α=—，α、β均為鈍角,求sin（α-β）.∵α、β∈（90°,180°)，∴α+β,2α∈（180°，360°).∵cos(α+β)=—＜0,cos2α=—＜0?！唳?β,2α∈(180°,270°).∴sin(α+β)=，sin2α=。∴sin(α—β）=sin[2α-（α+β）］=sin2αcos（α+β）-cos2α·sin（α+β）=(—）×（—)-(—)(）=.【例3】已知向量=（3,4),繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)30°到的位置，求點(diǎn)P′（x′,y′)的坐標(biāo)。解析：x′=xcosθ-ysinθ=3cos30°—4sin30°=3×-4×,y′=xsinθ+ycosθ=3sin30°+4cos30°=3×∴P′的坐標(biāo)（，).【例4】將下列各式化成Asin（x+φ）的形式.(1）sinx+cosx；(2)(sinx—cosx）；(3）sin（-x)+cos(-x）。解析：(1）sinx+cosx=(sinx·+cosx·)=（sinxcos+cosxsin）=2sin(x+).（2)(sinx-cosx)=·（sinx·-cosx·）=2（sinxcos-cosxsin）=2sin（x-