數(shù)學(xué)互動(dòng)課堂隨機(jī)事件的概率

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1。隨機(jī)事件的概率的定義一般地,如果隨機(jī)事件A在ｎ次試驗(yàn)中發(fā)生了ｍ次，當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)ｎ很大時(shí),我們可以將事件A發(fā)生的頻率作為事件A發(fā)生的概率的近似值,即P(A）≈。疑難疏引(1)頻率與概率有本質(zhì)的區(qū)別.頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而變化，概率卻是一個(gè)常數(shù),它是頻率的科學(xué)抽象：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越大時(shí)頻率向概率靠近。（2)正確理解頻率與概率之間的關(guān)系。隨機(jī)事件的頻率,指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性,總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng),且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多,這種擺動(dòng)幅度越來越小.我們給這個(gè)常數(shù)取一個(gè)名字,叫做這個(gè)隨機(jī)事件的概率。概率可看作頻率在理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可近似地作為這個(gè)事件的概率。因而，概率是對(duì)大量重復(fù)試驗(yàn)來說存在的一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。若擲15次硬幣，正面出現(xiàn)5次就斷定正面出現(xiàn)的概率是，顯然是錯(cuò)誤的。因?yàn)樗皇菑拇罅恐貜?fù)的試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)出來的.對(duì)單次試驗(yàn)來說,隨機(jī)事件的發(fā)生是隨機(jī)的，如某種子的發(fā)芽率為80%,隨機(jī)選取10粒種子檢測(cè),若前2粒種子都未發(fā)芽,能不能說以下的8粒種子都發(fā)芽呢?不能，對(duì)任何一粒種子來說它不發(fā)芽的可能性都是20%。因而在做題時(shí)要重點(diǎn)把握概率的意義。(3)概率意義下的“可能性”是大量隨機(jī)事件現(xiàn)象的客觀規(guī)律，與我們?nèi)粘Ｋf的“可能”“估計(jì)”是不同的，也就是說:單獨(dú)一次結(jié)果的不肯定性與積累結(jié)果的有規(guī)律性，才是概率意義下的“可能性",事件A的概率是事件A的本質(zhì)屬性。(4）概率的這種定義叫做概率的統(tǒng)計(jì)定義有了概率的統(tǒng)計(jì)定義,我們就可以比較不同事件發(fā)生的可能性的大小了。（5）由概率的統(tǒng)計(jì)定義可知，求一個(gè)事件概率的基本方法，是通過大量的重復(fù)試驗(yàn),用這個(gè)事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率。2.隨機(jī)事件的概率的基本性質(zhì)必然事件和不可能事件分別用Ω和來表示.不可能事件和必然事件雖然是兩類不同的事件，但它們可以看作是隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情況.用這種對(duì)立又統(tǒng)一的觀點(diǎn)去看待它們,有利于認(rèn)識(shí)它們的內(nèi)在聯(lián)系。由概率的定義，顯然有P（Ω）=1；P()=0。又如果隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了m次，則m≤n。所以,我們可以得出概率的基本性質(zhì).隨機(jī)事件的概率有兩個(gè)基本性質(zhì):（1)對(duì)于任意一個(gè)事件A，都有0≤P（A)≤1；（2）必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.案例1下列有三種說法：①概率就是頻率；②某廠產(chǎn)品的次品率為3%,是指“從該廠產(chǎn)品中任意地抽取100件，其中一定有3件次品；③從一批準(zhǔn)備出廠的燈泡中隨機(jī)抽取15只進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè),其中有1只是次品,說明這批燈泡中次品的概率為。我們應(yīng)該怎樣看待這些說法呢？【探究】我們知道在實(shí)驗(yàn)中,某一事件出現(xiàn)的次數(shù)與總實(shí)驗(yàn)次數(shù)的比例叫頻率,它是一個(gè)確定的值，描述的是已經(jīng)發(fā)生了的事件的特征.但是對(duì)于尚未發(fā)生的事件,我們只能描述它發(fā)生的可能性的大小.不同的人做同一實(shí)驗(yàn)的結(jié)果不一定相同,即便是同一人在兩次相同實(shí)驗(yàn)中的結(jié)果也可能不同，因而不同的人或同一人做兩次相同實(shí)驗(yàn)，某一事件發(fā)生的頻率可以不同,但隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多,在大量重復(fù)進(jìn)行同一實(shí)驗(yàn)時(shí),某一事件發(fā)生的頻率總是接近于某一常數(shù)，在它附近擺動(dòng),這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的概率,它實(shí)質(zhì)上是頻率的近似值，所以說法①是錯(cuò)誤的;對(duì)第②種說法,次品率是3%,只能說明任意抽取一只燈泡進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)出是次品的可能性或概率是3%，并不一定是抽取100件,其中一定有3件次品。在這100件產(chǎn)品中可能一件次品也沒有,可能有2件次品，也可能有3件次品，甚至這100件全是次品,所以說法②是錯(cuò)誤的；從一批準(zhǔn)備出廠的燈泡中隨機(jī)抽取15只進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè),其中有1只是次品，說明抽樣燈泡中次品的頻率為,而并非這批燈泡的次品概率.實(shí)際上從這一批燈泡中隨機(jī)抽取15只進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)相當(dāng)于進(jìn)行了15次隨機(jī)試驗(yàn)，而每次試驗(yàn)的結(jié)果也是隨機(jī)的,所以這15次試驗(yàn)的結(jié)果也是隨機(jī)的。“從一批準(zhǔn)備出廠的燈泡中隨機(jī)抽取15只進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè),其中有1只是次品”這只是多個(gè)隨機(jī)結(jié)果中的一個(gè),它只能說明這次抽樣檢驗(yàn)的次品的頻率為,而次品的概率則可能比高或比低,并不一定是,所以說法③也是錯(cuò)誤的.規(guī)律總結(jié)正確理解概率的定義,把握好頻率與概率的關(guān)系是解題的關(guān)鍵。案例2射手甲中靶的概率是0。9，因此,我們認(rèn)為，即使射手甲比較優(yōu)秀，他射擊10發(fā)子彈也不會(huì)全中,其中必有一發(fā)不中，試判斷這種認(rèn)識(shí)是否正確。【探究】射手甲射擊一次，中靶是隨機(jī)事件，他射擊10次可以看作是重復(fù)做了10次試驗(yàn)，而每次試驗(yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的,所以他10次的結(jié)果也是隨機(jī)的.這10次射擊可以一次也不中，也可能中一次、二次……甚至10次都中。雖然中靶是隨機(jī)事件,但卻具有一定的規(guī)律性,概率為0。9說明在多數(shù)次的試驗(yàn)中，中靶的可能性穩(wěn)定在0。9.實(shí)際上，他10發(fā)子彈全中的概率為0.910≈0。349，這是有可能發(fā)生的.案例3延邊人民出版社對(duì)某教輔教材的寫作風(fēng)格進(jìn)行了5次“讀者問卷調(diào)查”,結(jié)果如下：被調(diào)查人數(shù)n10011000100410031000滿意人數(shù)m999998100210021000滿意頻率（1)計(jì)算表中的各個(gè)頻率;(2)讀者對(duì)某教輔教材滿意的概率P（A）約是多少？【探究】（1）表中各個(gè)頻率依次是0。998,0。998，0.998，0。999，1.（2）由第（1)問的結(jié)果,知延邊人民出版社在5次“讀者問卷調(diào)查”中,收到的反饋信息是“讀者對(duì)某教輔教材滿意的概率約是P（A）=0。998?！庇冒俜?jǐn)?shù)表示就是P(A）=99.8％.規(guī)律總結(jié)(1）概率的本質(zhì)屬性是:從數(shù)量上反映出一個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小，它的范圍是［0，1］，即任何一個(gè)事件A的概率都滿足0≤P（A)≤1。（2）本例中，讀者對(duì)某教輔教材滿意的概率可用下圖直觀地表示出來.從圖中可以看出，這個(gè)概率值取為0。998,是因?yàn)?個(gè)頻率數(shù)0。998,0.998，0.999，1中有3個(gè)（接近亦可）0。998，而5個(gè)頻率數(shù)中0。999和1都只有1個(gè)。另外,從上圖還可以看出,讀者對(duì)某教輔教材的滿意程度呈上升趨勢(shì).活學(xué)巧用1。下列說法:①頻率反映的是事件發(fā)生的頻繁程度。概率反映的是事件發(fā)生的可能性大小。②做n次隨機(jī)試驗(yàn)。事件A發(fā)生m次,則事件A發(fā)生的頻率就是事件的概率。③百分率是頻率,但不是概率。④頻率是不能脫離具體的n次的試驗(yàn)值，而概率是確定性的不依賴于試驗(yàn)次數(shù)的理論值.⑤頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值.其中正確的說法是____________________.解析：本題概括了概率與頻率的定義、聯(lián)系和區(qū)別.由頻率及概率的定義可知①是正確的.在②中，是事件A發(fā)生的頻率，由于概率是與頻率接近一個(gè)常數(shù),所以概率不一定等于頻率，故②是錯(cuò)誤的。概率雖是與頻率接近的常數(shù),但不時(shí)與頻率相等（如必然事件)，所以③是不正確的.由概率定義知④⑤是正確的。答案：①④⑤2.從一批準(zhǔn)備出廠的電視機(jī)中，隨機(jī)抽取10臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查，其中有1臺(tái)是次品,能否說這批電視機(jī)中次品的概率是0.10?解析：不能說這批電視機(jī)的次品的概率是0。10,因?yàn)檫@僅是10臺(tái)電視機(jī)中次品的頻率，由概率的定義可知,頻率值可能等于概率值,也可能只接近于概率.3.某廠產(chǎn)品的次品率為2％，問“從該廠產(chǎn)品中任意地抽取100件，其中一定有2件次品”這一說法對(duì)不對(duì)？為什么?解析：這種說法不對(duì)。因?yàn)楫a(chǎn)品的次品率為2％，是指產(chǎn)品為次品的可能性為2％，所以從該廠產(chǎn)品中任意地抽取100件，其中可能有2件次品,而不是一定有2件次品。4.試解釋下面情況中概率的意義：（1）某商場(chǎng)為促進(jìn)銷售，實(shí)行有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)，凡購買其商品的顧客中獎(jiǎng)的概率為0。20。（2）一生產(chǎn)廠家稱：我們廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的概率是0.98。解析：概率從數(shù)量上反映了一個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小.答案:（1)指購買其商品的顧客中獎(jiǎng)的可能性是20％.（2）是說其廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是98%.5.事件A的概率P（A）滿足（）A。P（A)=0B。P（A）=1C。0≤P（A）≤1D.P(A)＜0或P(A）＞1解析：由概率定義易得0≤P（A）≤1.答案：C6.下列說法正確的是（）A.任一事件的概率總在（0,1）之間B.不可能事件的概率為0C.概率為1的事件并不一定會(huì)發(fā)生D。以上均不對(duì)解析:∵P（A）∈［0,1],必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0.答案：B7。某位同學(xué)做四選一的選擇題,由于不會(huì),只能隨機(jī)選取一個(gè)選項(xiàng)，你認(rèn)為他做對(duì)的概率大約為（）A。0.5B。0。25C。0解析:P=14=0。25答案：B8.從含有20個(gè)次品的1000個(gè)顯像管中任取一個(gè)，則它是正品的概率為（）A。B。C.D。解析：P=。答案:C9.對(duì)某廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢查，數(shù)據(jù)如下:抽取件數(shù)501002003005001000合格件數(shù)4792192285478954請(qǐng)估計(jì)該種產(chǎn)品合格的概率.解析：由概率的定義可知,檢測(cè)次數(shù)越多越接近概率值。故概率P==0。954.10.某籃球運(yùn)動(dòng)員在最近幾場(chǎng)大賽中罰球投籃的結(jié)果如下：投籃次數(shù)n8101291016進(jìn)球次數(shù)m6897712進(jìn)球頻率（1)計(jì)算表中進(jìn)球的頻率；（2)這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次,進(jìn)球的概率是多少？解析：(1）由公式可計(jì)算出每場(chǎng)比賽該運(yùn)動(dòng)員罰球進(jìn)球的頻率依次為:,。(2）由（1）知，每場(chǎng)比賽進(jìn)球的頻率雖然不同,但頻率總是在附近擺動(dòng),可知該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)球的概率為.11。李老師在某大學(xué)連續(xù)3年主講經(jīng)濟(jì)學(xué)院的高等數(shù)學(xué)，下表是李老師這門課3年來的考試成績(jī)分布：成績(jī)?nèi)藬?shù)90分以上4380-89分18270—79分26060—69分9050—59分6250分以下8經(jīng)濟(jì)學(xué)院一年級(jí)的學(xué)生王小慧下學(xué)期將修李老師的高等數(shù)學(xué)課,用