數(shù)學(xué)互動(dòng)課堂導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)本課時(shí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.1。導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如用料最省、利潤(rùn)最大、路程最短等問(wèn)題一般都可以歸結(jié)為函數(shù)的最值問(wèn)題,從而可利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究.（1）導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的主要內(nèi)容之一就是求實(shí)際問(wèn)題的最值,其關(guān)鍵是分清各量間的關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù),在判斷函數(shù)極值的基礎(chǔ)上就可以確定出函數(shù)的最值情況.（2）能利用導(dǎo)數(shù)求解有關(guān)實(shí)際問(wèn)題的最值，學(xué)會(huì)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法。（3）通過(guò)本單元的學(xué)習(xí),學(xué)會(huì)如何建模，如何利用導(dǎo)數(shù)求最值，以提高分析和解決問(wèn)題的能力。（4）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，應(yīng)用于實(shí)踐，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。2.解應(yīng)用題，首先要在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上,把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題.就是從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，抽象概括，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；其次，利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、研究，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；最后再把數(shù)學(xué)結(jié)論返回到實(shí)際問(wèn)題中去.其思路如下：（1)審題:閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，找出問(wèn)題的主要關(guān)系。（2）建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。(3)解模：把數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸為常規(guī)問(wèn)題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解。（4)對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證評(píng)估,定性定量分析，作出正確的判斷,確定其答案.3。用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題主要指函數(shù)類(lèi)型中求最值的問(wèn)題，其思路是：4。實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)求f（x)在（a,b)上的最值時(shí)，f′（x）=0在（a，b)的解只有一個(gè)，由題意最值確實(shí)存在，則使f′(x）=0的解就是最值點(diǎn)。案例1(2005全國(guó)高考Ⅲ)用長(zhǎng)為90cm，寬為48cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器,先在四角分別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成(如下圖)，問(wèn)該容器的高為多少時(shí)，容器的容積最大?最大容積是多少?【探究】設(shè)容器高為xcm,容器的容積為V(x)cm3,則V（x）=x(90-2x)(48-2x）=4x3-276x2+4320x(0＜x＜24).求V（x）的導(dǎo)數(shù)，得V′(x）=12x2-552x+4320=12（x2—46x+360）=12（x-10）（x-36）。令V′(x)=0,得x1=10，x2=36(舍去）.當(dāng)0＜x＜10時(shí),V′(x)＞0，那么V(x）為增函數(shù)；當(dāng)10＜x＜24時(shí)，V′(x）＜0，那么V（x)為減函數(shù)。因此,在定義域（0，24)內(nèi)，函數(shù)V（x)只有當(dāng)x=10時(shí)取得最大值，其最大值為V（10）=10×（90—20)×（48-20）=19600(cm3).所以當(dāng)容器的高為10cm時(shí)，容器的容積最大，最大容積為19600cm3。【規(guī)律總結(jié)】本題主要考查函數(shù)的概念，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法,以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)建立簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型并解決實(shí)際問(wèn)題的能力.實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題要根據(jù)題目的條件，寫(xiě)出相應(yīng)關(guān)系式，是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.案例2有甲、乙兩個(gè)工廠,甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km,兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問(wèn)供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最省？【探究】根據(jù)題設(shè)條件作出圖形,分析各已知條件之間的關(guān)系,借助圖形的特征,合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式,適當(dāng)選定變?cè)瑯?gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)求導(dǎo)的方法或其他方法求出函數(shù)的最小值，可確定點(diǎn)C的位置.解法一：根據(jù)題意知，只有點(diǎn)C在線段AD上某一適當(dāng)位置，才能使總運(yùn)費(fèi)最省，如圖所示，設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)xkm,則∵BD=40，AC=50—x，∴BC=，又設(shè)總水管費(fèi)用為y元，依題意有y=3a(50—x）+(0＜x＜50)。y′=-3a+.令y′=0，得=3a（a≠0).解得x=30.在（0,50）上，y只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義，函數(shù)在x=30(km)處取得最小值,此時(shí)，AC=50—x=20（km）.∴供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)用最省.解法二：設(shè)∠BCD=θ，如圖所示,則BC=，CD=40cotθ（).∴AC=50—CD=50—40cotθ設(shè)總的水管費(fèi)用為f(θ）,依題意，有f(θ)=3a(50-40cotθ）+5a·。=150a+40a.∴f′（θ）=40a.。令f′（θ)=0，得cosθ=。根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義,當(dāng)cosθ=時(shí),函數(shù)取得最小值，此時(shí)sinθ=,∴cotθ=，∴AC=50-40cotθ=20（km),即供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)用最省。案例3某工地備有直徑為R的圓柱形木料(足夠長(zhǎng)），若所需的是橫斷面為矩形的承重木梁，且已知木梁的承重強(qiáng)度(P）與梁寬及梁高的平方的乘積成正比,問(wèn)如何截可使截得的木梁的承重強(qiáng)度最大？【探究】設(shè)木梁的橫斷面的寬為x1，高為y,則x2+y2=R2。由已知，設(shè)P=kxy2（k為常數(shù))，因此P=kx(R2—x2）=kR2x—kx3（0＜x＜R)。因?yàn)镻′=kR2—3kx2，令P′=0得x=.由于函數(shù)在區(qū)間（0，R）內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),因此，當(dāng)x=,即木梁橫斷面寬為，高為時(shí)，木梁的承重強(qiáng)度最大.【規(guī)律總結(jié)】解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù),把“問(wèn)題情景"譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出問(wèn)題的主要關(guān)系，并把問(wèn)題的主要關(guān)系近似化、形式化,抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解.對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，同學(xué)們往往忽視了數(shù)學(xué)語(yǔ)言與普通語(yǔ)言的理解與轉(zhuǎn)換，從而造成了解決應(yīng)用問(wèn)題的最大思維障礙.活學(xué)巧用1。某種型號(hào)的電器降價(jià)x成(1成為10%），那么銷(xiāo)售數(shù)量就增加mx成(m∈R+）.某商店此種電器的定價(jià)為每臺(tái)a元，則可以出售b臺(tái)，若經(jīng)降價(jià)x成后，此種電器營(yíng)業(yè)額為y元.試建立y與x的函數(shù)關(guān)系，并求m=時(shí)，每臺(tái)降價(jià)多少成其營(yíng)業(yè)額最大?解析：由條件,降低后的營(yíng)業(yè)額為y=a（1—x）b(1+mx）=ab［-mx2+(m-1）x+1］，∴當(dāng)m=時(shí)，y=ab（—x2+x+1）.∴y′=ab(x+).令y′=0，∴x=,即x=時(shí)，ymax=ab，即降價(jià)0。1成時(shí),營(yíng)業(yè)額最大.2.某城市在發(fā)展過(guò)程中,交通狀況逐漸受到有關(guān)部門(mén)更多的關(guān)注，據(jù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示,從上午6點(diǎn)到中午12點(diǎn)，車(chē)輛通過(guò)該市某一路段的用時(shí)y（分鐘）與車(chē)輛進(jìn)入該路段的時(shí)刻t之間關(guān)系可近似地用如下函數(shù)給出：y=求從上午6點(diǎn)到中午12點(diǎn)，通過(guò)該路程用時(shí)最多的時(shí)刻.解析：按已給出的分段函數(shù)求導(dǎo)數(shù)。（1）當(dāng)6≤t＜9時(shí)，y′=t+36=(t+12）(t—8)令y′=0得t=-12(舍去）或t=8.當(dāng)6≤t＜8時(shí),y′＞0；當(dāng)8＜t＜9時(shí)，y′＜0,∴t=8時(shí)，y有最大值ymax=18。75（分鐘）。(2)當(dāng)9≤t≤10時(shí),y=是增函數(shù)，∴t=10時(shí)，ymax=15(分鐘)（3）當(dāng)10＜t≤12時(shí)，y=—3(t-11)2+18∴t=11時(shí)，ymax=18（分鐘）.綜上所述,上午8時(shí)，通過(guò)該路段用時(shí)最多，為18。75分鐘.3.（廣告費(fèi)與收益）某集團(tuán)為了獲得更大的收益,每年要投入一定的資金用于廣告促銷(xiāo).經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi)t（百萬(wàn)元)，可增加的銷(xiāo)售額約為—t2+5t(百萬(wàn)元）(0≤t≤5）（1）若該公司將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在三百萬(wàn)元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少?gòu)V告費(fèi)，才能使該公司由此獲得的收益最大？（2）現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入300萬(wàn)元,分別用于廣告促銷(xiāo)和技術(shù)改造.經(jīng)預(yù)測(cè),每投入技術(shù)改造費(fèi)x（百萬(wàn)元)，可增加的銷(xiāo)售額約為+x2+3x（百萬(wàn)元）.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案,使該公司由此獲得的收益最大？(注：收益=銷(xiāo)售額—投入）。解析:（1）設(shè)投入t（百萬(wàn)元）的廣告費(fèi)后增加的收益為f（t)(百萬(wàn)元）,則有f(t)=(—t2+5t）-t=—t2+4t=—（t—2)2+4(0＜t≤3)∴當(dāng)t=2百萬(wàn)元時(shí)，f（t）取得最大值4百萬(wàn)元。即投入2百萬(wàn)元的廣告費(fèi)時(shí)，該公司由此獲得的收益最大.(2）設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x（百萬(wàn)元)，則用于廣告促銷(xiāo)的資金為（3-x）（百萬(wàn)元)，又設(shè)由此獲得的收益是g(x)，則有g(shù)(x）=(+x2+3x)+［—(3-x）2+5(3-x）]—3=+4x+3（0≤x≤3）∴g′（x）=-x2+4令g′（x）=0解得x=—2（舍去）若x=2又當(dāng)0≤x＜2時(shí)，g′（x)＞0當(dāng)2＜x≤3時(shí)，g′（x)＜0故g（x)在［0，2］上是增函數(shù)，在［2,3］上是減函數(shù)。所以x=2時(shí)，g（x）取最大值,即將2百萬(wàn)元用于技術(shù)改造，1百萬(wàn)元用于廣告促銷(xiāo)，該公司由此獲得的收益最大。4。將一段長(zhǎng)為100cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓，問(wèn)如何截法使正方形與圓面積之和最小？解析:設(shè)彎成圓的一段鐵絲長(zhǎng)為x，則另一段長(zhǎng)為100—x，記正方形與圓的面積之和為S，則正方形的邊長(zhǎng)a=,圓的半徑r=.∴S=π()2+()2（0＜x＜100).又S′=+2（）·()′=-.令S′=0，則x=（cm)。由于在（0，100)內(nèi)，函數(shù)S（x)只有一個(gè)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，問(wèn)題中面積之和的最小值顯然存在，故當(dāng)x=cm時(shí)，面積之和最小.5。在某工業(yè)品生產(chǎn)過(guò)程中，每日次品數(shù)y是日產(chǎn)量x的函數(shù)該工廠售出一件正品可獲利A元，但生產(chǎn)一件次品就損失元.為了獲得最大利潤(rùn)，日產(chǎn)量應(yīng)定為多少？解析：在每天生產(chǎn)的x件產(chǎn)品中,x-y是正品數(shù)，y是次品數(shù)，每日獲利總數(shù)為T(mén)(x)=A(x-y)—y。T′(x)=A（1—y）′令T′(x）=0，得y′=?！遹=當(dāng)x＞100時(shí),每一件產(chǎn)品都是次品，公司要賠錢(qián)，最佳日產(chǎn)量只能在x≤100時(shí)求得。由y′==得x≈89。4∵產(chǎn)品數(shù)必須是自然數(shù)，∴產(chǎn)品數(shù)是89或90件.∵T(89)≈79.11A,T（90)≈79.09A?！嗝咳諔?yīng)生產(chǎn)89件將獲得最大利潤(rùn)。6。甲船以20km/h的速度向東航行，正午時(shí)在其北面82km處有乙船以16km/h的速度向南航行,問(wèn)何時(shí)兩船相距最近？解析：如圖，正午過(guò)后th，乙船到達(dá)點(diǎn)A，甲船到達(dá)點(diǎn)B，此時(shí)AO=82—16t，OB=20t，兩船的距