河南省鄭州市省級示范性高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

2026屆高二上期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（共8題，每題5分）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點（-2，1，4）關(guān)于x軸對稱的點坐標(biāo)是（）A.（-2，1，-4） B.（2，1，4） C.（-2，-1，-4） D.（2，-1，4）2.已知直線：，：，若，則（）A.-1或2 B.1 C.1或-2 D.-23.直線：與圓O：交于A，B兩點，則的面積為（）A. B.2 C. D.4.在正方體中，E是棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.5.若向量是空間中的一個基底，那么對任意一個空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得：，我們把有序?qū)崝?shù)組叫做基底下向量的斜坐標(biāo).設(shè)向量在基底下的斜坐標(biāo)為（-1，2，3），則向量在基底下的斜坐標(biāo)為（）A. B. C. D.6.點P在直線：上運動，，，則的最大值是（）A. B. C.3 D.47.在空間中，“經(jīng)過點，法向量為的平面的方程（即平面上任意一點的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式）為：”.用此方法求得平面和平面的方程，化簡后的結(jié)果為分別和，則這兩平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.8.已知動點M與兩個定點，的距離之比為2，那么直線的斜率的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題（共4題，每題5分）9.已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.向量與向量的夾角為 B.C.向量在向量上的投影向量為 D.向量與向量，共面10.已知直線：與圓C：相交于E，F(xiàn)兩點，則（）A.圓心C的坐標(biāo)為（1，0） B.圓C的半徑為C.圓心C到直線7的距離為2 D.11.已知圓C：，直線：，則以下命題正確的有（）A.直線恒過定點（3，0）B.y軸被圓C截得的弦長為C.直線與圓C恒相交D.直線/被圓C截得弦長最長時，直線的方程為12.如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是（）A. B.C.與夾角是60° D.直線與直線的距離是三、填空題（共4題，每題5分）13.已知向量，，且與互相垂直，則的值是_________.14.過點且與圓C：相切的直線方程為_________.15.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，書中將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如下圖，四面體為鱉臑，平面，，且，則二面角的余弦值為_________.16.已知點和直線：，則點P到直線的距離的取值范圍是_________.四、解答題（共6題，總分70分）17，（10分）已知三個頂點的坐標(biāo)分別是，，.（1）求的面積；（2）求外接圓的方程.18.（12分）已知直線：，直線：.（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的值，19.（12分）在棱長為1的正方體中，為線段中點，F(xiàn)為線段的中點.（1）求點B至直線的距離：（2）求直線到平面的距離.20.（12分）如圖，在多面體中，正方形與梯形所在平面互相垂直，已知，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值，21.（12分）一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi).已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心正北30km處.如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁危險?22.（12分）圖1是邊長為的正方形，將沿折起得到如圖2所示的三校錐，且.（1）證明：平面平面；（2）點M是棱上不同于P，A的動點，設(shè)，若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值.

參考答案：題號12345678910答案CBBAAABCABDACD題號1112答案CDABD1.C【分析】利用空間直角坐標(biāo)系對稱點的特征即可求解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點（-2，1，4）關(guān)于x軸對稱的點坐標(biāo)為（-2，-1，-4）.故選：C.2.B【分析】由條件結(jié)合直線平行結(jié)論列方程求，并對所得結(jié)果進(jìn)行檢驗.【詳解】因為，：，：，所以，所以，解得或，當(dāng)時，：，：，直線，重合，不滿足要求，當(dāng)時，：，：，直線，平行，滿足要求，故選：B.3.B【分析】依題意，作出圖形，求出圓心坐標(biāo)和半徑，過圓心作于D，分別計算和，即可求得的面積.【詳解】如圖，由圓：配方得，，知圓心為，半徑為2，過點作于D，由到直線：的距離為，則，故的面積為.故選：B.4.A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，運用向量的方法求解即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A.5.A【分析】借助待定系數(shù)法設(shè)，結(jié)合所給定義及其在基底下的斜坐標(biāo)計算即可得.【詳解】由題意可得，設(shè)，即有，即可得，解得，即，即向量在基底下的斜坐標(biāo)為.故選：A.6.A【分析】作出點關(guān)于直線的對稱點，然后利用兩點距離公式求解即可.【詳解】設(shè)B關(guān)于：的對稱點為，則，解得，即故，，當(dāng)且僅當(dāng)，P，A，C三點共線時，等號成立.故選：A7.B【分析】由定義得出兩直線的法向量，數(shù)量積公式求出法向量的夾角余弦值.【詳解】平面的法向量為而，平面的法向量為，則，則兩平面所成角的余弦值為，故選：B.8.C【分析】根據(jù)題意，求出點M的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合求得直線的斜率范圍.【詳解】設(shè)動點，則，化簡得，所以點M的軌跡為圓E：，如圖，過點O作圓E的切線，連接，則，，所以，同理，則直線的斜率范圍為.故選：C.9.ABD【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出向量夾角可判斷A；由向量相乘為0可得向量垂直B正確；根據(jù)投影向量的定義可計算出投影向量為所以C錯誤，得出向量共面判斷D.【詳解】因為，所以，可得，則向量與向量的夾角為，故A正確；因為，所以，即B正確；根據(jù)投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量為，，所以C錯誤；由向量，，，可知，向量與向量，共面，所以D正確.故選：ABD10.ACD【分析】化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)形式判斷AB；求出圓心到直線距離判斷C；利用圓的弦長公式計算判斷D.【詳解】對于AB，圓C：的圓心，半徑，A正確，B錯誤；對于C，點到直線：的距離，C正確；對于D，，D正確.故選：ACD11.CD【分析】根據(jù)直線方程求出定點坐標(biāo)即可判斷選項A；求出圓和y軸的交點坐標(biāo)，即可判選項B；利用定點和圓的位置關(guān)系即可判斷選項C；當(dāng)弦長最長時，直線過圓心從而判項D.【詳解】對于A，直線：，即，由，解得，，故直線過定點，故A錯誤；對于B，圓C：，當(dāng)時，，故y軸被圓C截得的弦長為，故B錯誤；對于C，直過定點，，故點P在圓內(nèi)，則直線與圓C恒相交，故C正確；對于D，當(dāng)直線被圓C截得弦長最長時，直線過圓心（1，2），則，解得，故直線方程為：，即，故D正確.故選：CD12.ABD【分析】設(shè)，，，依題得，，運用向量數(shù)量積的運算律計算即可判斷A，B兩項；利用向量夾角的公式計算排除C項：利用空間向量關(guān)于點到直線的距離公式計算即可驗證D項.【詳解】如圖，設(shè)，，，則，，對于A，因，，則，故A正確；對于B，因，，則，故B正確；對于C，，，則，且，，設(shè)與夾角為，則，因，則，即C錯誤：對于D，在平行六面體中，易得，，則得，故，故點到直線的距離即直線與直線的距離.因，，且，，則，故D正確.故選：ABD.13./1.4【分析】向量的垂直用坐標(biāo)表示為，代入即可求出答案.【詳解】，.因為與互相垂直，所以，即，解得：.故答案為：.14.或【分析】分斜率存在與否兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合點到直線距離公式即可得解.【詳解】解：將圓C方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心，半徑為，當(dāng)過點的直線斜率不存在時，直線方程為是圓C的切線，滿足題意：當(dāng)過點的直線斜率存在時，可設(shè)直線方程為，即，利用圓心到直線的距離等于半徑得，解得，即此直線方程為，故答案為：或.15./0.5【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別計算平面與平面的法向量，然后利用公式計算即可.【詳解】依據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，，，，所以，，，.設(shè)平面的法向量為，∴不妨設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，∴不妨設(shè)，則，，設(shè)為，則.故答案為：.16.【分析】先求得直線的定點，進(jìn)而求得點P到直線的最大距離，然后檢驗點是否可能在直線上即可【詳解】：可化為：設(shè)直線的定點為A，點P到直線的距離為d，則有：可得：為直線的定點則有：，此時為點P到直線的最大距離若在直線上，則有：，即-5=0可得：不可能在直線上，則有：綜上可得：故答案為：.17.（1）（2）【分析】（1）利用斜率可得，則，由已知數(shù)據(jù)求解即可；（2）由，外接圓是以線段為直徑的圓，求出圓心和半徑即可得外接圓的方程.【詳解】（1）三個頂點的坐標(biāo)分別是，，，直線的斜率，直線的斜率，則，即.，，.（2）由，外接圓是以線段為直徑的圓，線段的中點為，半徑，所以外接圓的方程是.18.（1）（2）或，【分析】（1）根據(jù)兩條直線平行公式計算即可求參，再檢驗是否重合；（2）根據(jù)兩條直線垂直公式計算即可求參【詳解】（1）因為，所以，整理得，解得或.當(dāng)時，：，：，，重合；當(dāng)時，：，：，符合題意.故.（2）因為，所以，解得或.19.（1）（2）【分析】（1）以為原點，，，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，用向量法求解即可；（2）用向量法求解即可【詳解】（1）以為原點，，，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，則，，，，，，∴，，，，，，取，，，，則點B到直線的距離為.（2）∵，∴，而平面，平面，∴平面，∴點F到平面的距離即為直線到平面的距離，設(shè)平面的法向量為，則，∴，∴，取，則，，∴，又，∴點到平面的距離為.20.（1）證明見詳解（2）【分析】（1）由正方形的性質(zhì)及平面平面，可得平面，即，取的中點，連接，可證得，即可求證；（2）以D為原點，以，，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）可得為平面的一個法向量，再求得平面的一個法向量，求解即可.【詳解】（1）在正方形中，，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴，取的中點M，連接，由，，，所以四邊形為正方形，則，，即，又，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，（2）∵，，，又平面，易得，，兩兩互相垂直，以為原點，以，，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，，，，則，.由（1）知為平面的一個法向量，設(shè)為平面的一個法向量，則，得，令，解得，，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，∴.所以平面與平面的夾角的余弦值為.21.不會有觸礁危險【分析】以小島的中心為原點，東西方向為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，取10km為單位長度，則港口所在位置的坐標(biāo)為（0，3），輪船所在位置的坐標(biāo)為（4，0），則可得暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對應(yīng)的圓的方程和輪船航線所在直線的方程，然后判斷直線與圓的位置關(guān)系即可.【詳解】以小島的中心為原點，東西方向為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.為了運算的簡便，我們?nèi)?0km為單位長度，則港口所在位置的坐標(biāo)為（0，3），輪船所在位置的坐標(biāo)為（4，0）.這樣，受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對應(yīng)的圓的方程為，則圓心，半徑為2，輪船航線所在直線的方程為，即，因為圓心到直線的距離，所以直線與圓O相離，所以輪船沿直線返港不會有觸礁危險.22.（1）證明見解析；（2）【分析】（1）取中點為，連接，，利用勾股定理證明，再結(jié)合，即可由線線垂直證明線面垂直；（2