廣東省2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)開學(xué)摸底聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2025屆高三年級(jí)摸底聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁(yè)，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上

的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試

題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題

卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

一11.I］、，［兀兀八兀］,

1.已知M——,，sim;,=<,一一,0,一卜，則AfcN=（）

2.某公司購(gòu)入了400根鋼管擬切割打磨為其他產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)鋼管口徑后得以下頻數(shù)分布表:

鋼管口徑（cm）11.012.514.016.518.520.521.022.0

頻數(shù)26741004046523824

則這批鋼管口徑的中位數(shù)為（）

A.14.00cmB.15.25cmC.16.25cmD.16.50cm

3.已知直線4:―加2%+〉—1=0,直線L:（2加—3）x+.v—3=0,則加=—3是4〃，2的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

4.已知向量3=（2,1）,B=（加一2,加），若萬(wàn)〃B，則卜+可=（）

A.5B.3C，V5D.V2

5.在平面直角坐標(biāo)系中，將圓C：/+y2=1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)縮短為原來的」,

3

則得到的新曲線的曲線方程為（）

22

A.—+4/=1B.9/+匕=1

94

Cl/+匕=1D.—+9/=1

94

6.在Aase中，內(nèi)角4民c的對(duì)邊分別為“C，且2b（sin2Z-sin5cosc）=csin2B,若點(diǎn)。在8C邊

上，且40平分/氏4C,則40=（）

be

B.-------

b+c

也be

Vr/.---------------------D.—~-

b+cb-+c'

243

7.在電子游戲中，若甲，乙，丙通關(guān)的概率分別是一,一,一，且三人通關(guān)與否相互獨(dú)立，則在甲，乙，丙中

354

恰有兩人通關(guān)的條件下,甲通關(guān)的概率為（）

2167

A.—B.-C.—D.—

531313

8.當(dāng)a..e時(shí)，方程e*+x+lnx=lna+0在［1,+e）上根的個(gè)數(shù)為（）

x

A.OB.lC.2D.3

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為4z+2彳=3+gi,貝1J（）

A.z的實(shí)部為1B.z的虛部為_

S7

C.|z|=4D.直線。4的傾斜角為1r

6

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)R（l,o）是拋物線C:y2=2px（p〉0）的焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸的直線交。于兩點(diǎn),

。為。上的動(dòng)點(diǎn)（與均不重合），且點(diǎn)。位于第一象限，過點(diǎn)。向J軸作垂線，垂足記為點(diǎn)。，點(diǎn)

2（2,5）,則（）

A.C:j2=4xB.ZOPQ+ZFON<180°

C.|P2|+|P0|的最小值為J*D.AOAW面積的最小值為2

11.已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,則（）

A.若/⑵則/(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)

B.若則/⑴是奇函數(shù)

C.若/。―x)=/(l+x),且/(2—x)=/(2+x),則〃x+2)=/(x)

D-若|/卜)|=|/(-x)|，則/(x)是奇函數(shù)或/(x)是偶函數(shù)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

ffl

12.若2加+5〃=；,則log2(4x32")=.

(jr3TL]24

13涵數(shù)/(x)=cos(GX+(p)\co>^,—<(p<—,若/(X)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為,且

353

/(o)=q，貝i/(i)=.

14.已知圓臺(tái)的上、下底半徑分別為r和尺，若圓臺(tái)外接球的球心在圓臺(tái)外，則圓臺(tái)的高的取值范圍是

；若R=2r=2,圓臺(tái)的高為〃，且I,4、歷，則圓臺(tái)外接球表面積的最大值為(第

一空2分，第二空3分)

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

在△45C中，已知內(nèi)角4民。所對(duì)的邊分別為見“c,且a,ac依次為等比數(shù)列｛4｝的前3項(xiàng)，設(shè)其公比

為q,且。＞1闖.』.

：,2卜求｛4｝的前〃項(xiàng)和S〃；

(1)若a=2,qG

(2)證明：當(dāng)q=&時(shí)，長(zhǎng)度為lga』gb』gc的三條線段可以構(gòu)成三角形.

q

16.(本小題滿分15分)

已知函數(shù)+-|-x2+2x+bsiwc(tz,Z?eR).

(1)當(dāng)6=0時(shí)，若/(x)存在極大值，且存在極小值，求。的取值范圍;

(2)證明：當(dāng)a=2b=2時(shí)，VxeR,/,(x)>0.

17.(本小題滿分15分)

如圖，在四棱錐尸—48CD中，P4_L平面4BCD,AB〃CD,CD=2AB=26,PA=BC=AD=L

（1）求證：平面P8C，平面R4。；

（2）若衣=3瓦,求平面尸/￡與平面P3C的夾角.

18.（本小題滿分17分）

已知雙曲線r：W—，=1（°>0]>0）的離心率為半，焦距為26.

（1）求:r的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過點(diǎn)（o,-與作直線/分別交r的左、右兩支于48兩點(diǎn)，交：r的漸近線于c,。兩點(diǎn)，求而的取

值范圍.

19.（本小題滿分17分）

將4個(gè)面上分別寫有數(shù)字1,2,3,4的一個(gè)正四面體在桌面上連續(xù)獨(dú)立地拋〃次（〃為正整數(shù)），設(shè)X為與桌

面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的次數(shù)，P為拋正四面體一次與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的概率.

（1）當(dāng)〃=5時(shí)，若正四面體的質(zhì)地是均勻的，求X的數(shù)學(xué)期望和方差；

（2）若正四面體有瑕疵，即夕彳」.

2

①設(shè)P?是拋擲正四面體〃次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次的概率，求證:

Pn=7+（1—2夕）Pi（〃..2）；

②求拋擲正四面體〃次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)偶數(shù)次的概率.

2025屆高三年級(jí)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)

參考答案及解析

一、選擇題

1.A【解析】將N=[——F，O，g]中的元素依次代入一乙，sim;,」驗(yàn)證，只有—工,0滿足

[463J226

—?Siwe,,—,所以McN=1—0].故選A.

22I6J

2.B【解析】因?yàn)?00x50%=200為整數(shù)，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為從小到大排列的第200個(gè)數(shù)據(jù)和第

201個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，因?yàn)榍叭M的頻數(shù)之和為200,所以這批鋼管口徑的中位數(shù)為匕吧竺二15.25cm.

2

故選B.

—2—2加一3

3.A【解析】因?yàn)?i〃，2='=加=1或加=—3,所以加二—3是4〃6的充分不必要條

—一1w-3一

件.故選A.

4.C【解析】因?yàn)镚〃B，所以生=f,所以加=—2,3=（—4,—2）,萬(wàn)+3=（—2,—1）,所以5+可=

故選C.

5.D【解析】設(shè)尸（X4）為C上任意一點(diǎn)，將點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)壓縮到原來的g得

2

到點(diǎn)。（加,〃），則加=2x,〃=],所以x=￡,y=3〃，因?yàn)橐?/=],所以q_+9/=i,所以新的

丫2

曲線方程為工+9/=1.故選D.

4

6.C【解析】因?yàn)?6（5出24-5111灰）0$。）=。5畝25,

所以由正弦定理，得251115（5山2/-$1113以萬(wàn)。）二5111。511125,所以

2sia5（2sin71cos/-sin5cosc）=2sia5cosHsin。，因?yàn)?siaS>0,所以

2siib4cos/-sinScosC=cos5sinC,所以2siiL4cos/二sin（5+C）,所以2sin?lcosZ=sim4,因?yàn)?/p>

sim4>0,所以COSZ=5,4W（0,71）,所以/=1,由S△切D+S.CZ。=S/BC，得

—c?ADsm—+—b-ADsm—=—bcsin—,所以AD=心g.故選C.

262623b+c

2

7.D【解析】設(shè)甲，乙，丙通關(guān)分別為事件4民。，三人中恰有兩人通關(guān)為事件。,？(/)=1,P(5)=

43---

j,尸(C)=-,P(D)=P(ABCuABCuABC)=

--143

P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=-x-x-+

23L2X"上￥"

35435430v7

---7

P(ABCuABC)=P(ABQ+P(ABC)=——,

7

?”0)=露

30=2_

13-13,

30

故選D.

8.B【解析】ex+x+lnx=lntz+—ev+x=—+ln—,設(shè)函數(shù)=e'+x,現(xiàn)討論方程

尸(x)=EIn：根的個(gè)數(shù)，E(x)在X.」時(shí)單調(diào)遞增，故問題可轉(zhuǎn)化為x+lnjc=lna根的問題，令

/z(x)=x+單調(diào)遞增，故/z(x)e[1,+巧，當(dāng)a..e時(shí)，方程x+lnx=Ina只有一根，所以方

程e"+x+lnx=lna+區(qū)在[1,+8)上根的個(gè)數(shù)為1.故選B.

x

二、多選題

9.AB【解析】設(shè)2=》+貝(%,j€11),因?yàn)閦+2亍=3+后，所以x+yi+2(x—yi)=3x—yi=3+J§i,

3V——3ifY——1

即，廠,'廣，所以A、B正確;，所以錯(cuò)誤；對(duì)應(yīng)的點(diǎn)/為百卜

目=+(-也y=2C2(1,-

hv=V3[y=-j3

所以直線。4的傾斜角為"，所以D錯(cuò)誤.故選AB.

3

10.ABD[解析)A選項(xiàng)，由題意知券=1,故0=2,所以C：/="故A正確;B選項(xiàng)，由題意知PQ〃X

軸，所以/OPQ=NFOP,M\^NOPQ+NFON=NFOP+NFON=NNOP,又/NOP<180°，

即/OPQ+/R9N<180°,故B正確；C選項(xiàng)，由拋物線的性質(zhì)知，|「國(guó)+|尸。|=，"|+|「可—1,因此

當(dāng)P,4尸三點(diǎn)共線時(shí)，|/訓(xùn)+|尸川取得最小值，此時(shí)|尸國(guó)十日|=|/尸|=J(2—Ip+(5—Op=癡,即

(|P^|+|P2|)min=^6-l,故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)直線"N的方程為》=叩+1,與拋物線C的方程聯(lián)

立得「一4加了一4=0,故A=(—4掰y—4x(-4)=16(加2+1)〉0,%+72=4加，y[y2=-4,因止匕

|ACV|=\Jl+m21%-％|=y]l+m2-J(必+n2114K於=Vl+w2,yJ16m2+16=+11>又因?yàn)辄c(diǎn)

l-ll1

O到直線的距離為d=/,，所以的

一Ali2/—2

加之

面積為S=；"MM=7X]----￥4（M+I）=251+，當(dāng)加=0時(shí)，△QW的面積取最小值2,故

2271+m

D正確.故選ABD.

11.BC【解析】A.若/(x)=Y,則但/(x)不是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；B.

若V/eR,當(dāng)/〉0時(shí)，令t=f，因?yàn)?(/)=—/(―必)，所以/?)=—/(_/),即

當(dāng)/=0時(shí)，令％2=0,因?yàn)?(1)=一/(一工2),所以/(0)=—/(—0),即/⑼=0；當(dāng)/<0時(shí)，令/=_工2,

因?yàn)?(/)=-/(—1)，所以綜上，VfeRJ(T)=—/()所以〃x)是奇函數(shù)，

所以B正確；C.若/。―x)=/(l+x),且以(2-x)=/(2+x),則

/(x+2)=/(2-x)=/[l+(l-x)]=/[l-(l-x)]=/(x),所以C正確；D.若

/(%)='/'」,、/,、，滿足=X),但函數(shù)是非奇非偶函數(shù),故D錯(cuò)誤.故選BC.

x,xe(—8,—l)D(l,+8)1111

三、填空題

12.〈【解析】4mx32M=(227X(25)"=22mx25n=22m+5n=2"所以log2(4"x32")=g.故答案為g.

13.與【解析】因?yàn)?(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為

241「4/21].

，所以周期丁=2----=4,

[33」]313JJ

所以69==—，因?yàn)?(0)=,一<(p<，所以°=或，因?yàn)?(X)在一,,,上單調(diào)遞增,

7'22223333

所以0=所以/(x)=cos[Wx+F],所以y(l)=cos1+撲方.故答案為母.

14.(0,JR2./}207r【解析】圓臺(tái)外接球的球心。必在圓臺(tái)的軸線上，因?yàn)?。在圓臺(tái)外，設(shè)O到下底

面的距離為X,則/+(/2+乃2=氏2+》2,所以x=R_一廣_廳>0,所以無<,尺2_廠2,所以圓臺(tái)的外

2h

/n22、2(x、2

接球表面積為S=4兀(&2+%2)=4兀尺2+4兀/=4兀尺2+4兀-----------=16兀+?！猦,因?yàn)?/p>

I2/zJ\h)

33

〃二：—〃在L,叫行時(shí)單調(diào)遞減，且〃1mx=——1=2,所以Smax=167T+兀X22=2O71.故答案為

h1

(0,V^2-r2),2071.(第一空2分，第二空3分)

四、解答題

15.解：(1)因?yàn)閝..L所以0<%c,

因?yàn)閍,“c分別為△ASC的三邊，所以a+b〉c,

所以a+aq〉aq~,

所以/_g_]<0,

1+下

所以I,q<

2

因?yàn)閝e

3

所以q=j

(2)因?yàn)閍>1闖.』,

所以0<lga,lg&,Ige,

因?yàn)?/p>

q

所以(Iga+Igb)-Ige=lg—=lg瞿=lg-

caqq

=lgV2>0，

所以長(zhǎng)度為lga,lgb』gc的三條線段可以構(gòu)成三角形.

16.解：(1)當(dāng)b=0時(shí)，/(X)=+耳/+2x,定義域?yàn)镽,

所以/'(X)=X?+ax+2,

因?yàn)?(x)存在極大值，且存在極小值，

所以ff(x)必須有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

所以A=Q2—4X2>0，

所以a>2V2或a<-2-V2-

(2)當(dāng)a=2〃=2時(shí)，/(x)=^x3+x2+2x+sinx,

定義域?yàn)镽，

所以/'(%)=x2+2x+2+cosx=(x+1)2+(1+cosx),

當(dāng)X￡R時(shí)，(x+1)2...0,1+cosx..0,

所以/'(x)…0,

x=-1,

當(dāng)且僅當(dāng)《々時(shí)，取等號(hào)，

x--1,

因?yàn)椤畑=2E+7r(左eZ)無解’

所以/'(x)＞。

17.證明：(1)如圖，取CD的中點(diǎn)為G,連結(jié)NG,

因?yàn)镃D=2AB=26，所以48=CG，

因?yàn)?8〃CD,所以四邊形4BCG為平行四邊形,

所以ZG〃8C,

在三角形/GO中，因?yàn)?G=BC=l,4D=l,G￡>=%=Ji,

2

所以/G2+ZQ2=￡)G2,所以ZGLAD,

所以8CL4D,

因?yàn)樯?J_平面ABCD,BC<z平面ABCD，

所以PZL8C,

因?yàn)镻4c40=4P4u平面P4D,40u平面

PAD,所以3C，平面尸4。，

因?yàn)?Cu平面P3C,所以平面P8C_1_平面尸40.

(2)由/G_L4D,24,平面45CD得/G,4D,4P兩兩垂直，分別以4G,40,4P為再，2軸建立空間

直角坐標(biāo)系，

由已知得，G（l,0,0）,D（0,l,0）,P（0,0,l）,

C（2,-1,0）,5（1,-1,0）,

—.____r~

因?yàn)镋C=3DE,CD=2C，所以?！?—，又。G=

2

、歷，所以E為。G的中點(diǎn),

因?yàn)锳D=AG,

所以GDL/E,又上4,平面48C2GDU平面48CQ,

所以R4，G￡>,

因?yàn)镻/c/￡=4上4,/￡<=平面上4￡,

所以平面產(chǎn)/￡,

所以平面上4E的法向量為0=（-1』,0）,

PC=（2,-1,-1）,P5=（1,-1,-1）,

設(shè)平面P3C的一個(gè)法向量為為=（x,y,z）,

2x-y-z=0

所以<

x-y-z=0

則x=0,令y=l,則z=-l,所以拓二（0,1,T）,

\n-GD\i1

所以平面PAE與平面四C夾角的余弦值為M一=亍一尸=-

\n\\GD\V2XV22

jr

所以平面上4E與平面必。的夾角為一.

3

18.解：（1）因?yàn)椋篢:*—今=1（4>0]>0）的離心率為邛，焦距為2石，

C_y[6

所以￡一7',

2c=2也,

_2

解得，0=0/=1.所以r的標(biāo)準(zhǔn)方程為三―丁=1.

（2）由題意可設(shè)直線/的斜率存在，設(shè)為左，直線/的

X

方程為y=kx-l,r的漸近線方程為y=±K,

不妨設(shè)分別在左、右位置,

_X

聯(lián)立,了一行，

y=kx-\,

聯(lián)立