2024-2025學(xué)年北京市101中學(xué)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024-2025學(xué)年北京市101中學(xué)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、選擇題（共16分，每題2分）第1—8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)。1．（2分）下列幾種著名的數(shù)學(xué)曲線分別是“笛卡爾愛(ài)心曲線”“費(fèi)馬螺線”“卡西尼卵形線”“蝴蝶曲線”，其中既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）解方程x2﹣4x＝3，下列用配方法進(jìn)行變形正確的是（）A．（x﹣2）2＝19 B．（x﹣4）2＝7 C．（x﹣2）2＝4 D．（x﹣2）2＝73．（2分）對(duì)于拋物線y＝﹣（x﹣2）2+5，下列判斷正確的是（）A．拋物線的開(kāi)口向上 B．對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2 C．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣2，5） D．當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而增大4．（2分）一元二次方程2x2﹣3x+5＝0根的情況是（）A．有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根 C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法判斷5．（2分）某工廠2021年生產(chǎn)某種機(jī)械5000臺(tái)，研發(fā)生產(chǎn)技術(shù)后，預(yù)計(jì)2023年生產(chǎn)該種機(jī)械6600臺(tái)．設(shè)生產(chǎn)該種機(jī)械的年平均增長(zhǎng)率為x（）A．5000（1+x）2＝6600 B．5000x2＝6600 C．6600（1﹣x）2＝5000 D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝66006．（2分）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，四邊形ABCD繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度得到四邊形A′B′C′D′（所有頂點(diǎn)都是網(wǎng)格線交點(diǎn)），在網(wǎng)格線交點(diǎn)M，N，P，可能是旋轉(zhuǎn)中心的是（）A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)P D．點(diǎn)Q7．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，以下結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)bc＞0 B．2a﹣b＜0 C．9a﹣3b+c＝0 D．若m為任意實(shí)數(shù)，則a﹣b≥m（am+b）8．（2分）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠A＝60°，F(xiàn)是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段EF繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到EG，CG，則BG+CG的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）一元二次方程x2＝3x的解是：．10．（2分）已知x＝2是關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣6＝0的一個(gè)根，則b的值是．11．（2分）寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向下，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）的拋物線的解析式：．12．（2分）若二次函數(shù)y＝3x2﹣1的圖象上有兩點(diǎn)A（﹣2，y1），B（1，y2），則y1y2（填“＞”“＝”或“＜”）．13．（2分）如圖，AB是⊙O的弦，若⊙O的半徑OA＝5，則弦AB的長(zhǎng)為．14．（2分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E為CD邊上一點(diǎn)，連結(jié)EF，則EF＝．15．（2分）已知二次函數(shù)與一次函數(shù)y2＝kx+m（k≠0）的圖象相交于點(diǎn)A（﹣2，4），B（8，2）．如圖所示1＜y2成立的x的取值范圍是．16．（2分）若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為“三倍點(diǎn)”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0），若二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上有且只有一個(gè)“三倍點(diǎn)”，則c的取值范圍是．三、解答題（共68分，第17題8分，第18題4分，第19-24題，每題5分，第25-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）17．（8分）解方程：（1）2x2﹣8＝0；（2）x2﹣2x﹣3＝0．18．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）1B1C1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1，B1，C1．（1）點(diǎn)A1的坐標(biāo)為，畫(huà)出△A1B1C1；（2）直接寫(xiě)出△A1B1C1的面積為．19．（5分）已知二次函數(shù)的函數(shù)值y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如表，求該二次函數(shù)的解析式．x…﹣101234…y…0﹣3﹣4﹣305…20．（5分）關(guān)于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值及此時(shí)方程的根．21．（5分）如圖，△ABC中，點(diǎn)E在BC邊上．AE＝AB，EF與AC交于點(diǎn)G．（1）求證：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，∠FGC的度數(shù)為°．22．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2+4x+3．（1）拋物線y＝x2+4x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，畫(huà)出其函數(shù)圖象；（2）觀察圖象，回答下列問(wèn)題：①函數(shù)y＞0時(shí)，x的取值范圍是；②方程的根是；③若當(dāng)a≤x≤0時(shí)，函數(shù)y的最小值是﹣1，最大值是3．23．（5分）如圖，OA＝OB，AB交⊙O于點(diǎn)C，D，且OE⊥AB于點(diǎn)F．（1）求證：AC＝BD；（2）若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半徑．24．（5分）列方程解決實(shí)際問(wèn)題：為了豐富學(xué)生的課余生活，培養(yǎng)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展，101中教育集團(tuán)成立了眾多種類(lèi)的學(xué)生社團(tuán)．其中金鵬社團(tuán)會(huì)定期組織學(xué)生參與農(nóng)耕勞作，在生態(tài)大棚中有一塊矩形空地ABCD，其中AD邊的長(zhǎng)比AB邊的2倍少1，另一邊增加3m，構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域AEFG（1）直接寫(xiě)出正方形區(qū)域AEFG的邊長(zhǎng)是m；（2）在實(shí)際建造時(shí)，從校園美觀和實(shí)用的角度考慮，按圖②的方式進(jìn)行改造，再在余下地方建成寬度相等的兩條小道后，其余地方栽種鮮花2，求小道的寬度．25．（6分）如圖1，某橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橋拱內(nèi)的水面寬OA＝8米，橋拱頂點(diǎn)B到水面的距離是4米．（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（2）要保證高2.26米的小船能夠通過(guò)此橋（船頂與橋拱的距離不小于0.3米），求小船的最大寬度是多少？（3）如圖2，橋拱所在的拋物線在x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個(gè)新函數(shù)圖象，將新函數(shù)圖象向右平移n（n＞0），平移后的函數(shù)圖象在8≤x≤9時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，直接寫(xiě)出n的取值范圍．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）在拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝t．（1）若對(duì)于x1＝﹣1，x2＝3，有y1＝y(tǒng)2，直接寫(xiě)出t的值為；（2）若對(duì)于t＜x1＜t+1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．27．（7分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC（1）如圖1，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，連接DE，連接BF．①請(qǐng)按照要求補(bǔ)全圖形；②若AC＝6，BE＝2，直接寫(xiě)出△BEF的面積為；（2）連接AE，將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至EM，連接BM，連接EN．①如圖2，點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出線段AB；②當(dāng)點(diǎn)E在直線BC上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AB，EN和BE之間的數(shù)量關(guān)系．28．（7分）已知點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A，B重合），分別以AP，BP為底邊在AB的同側(cè)作等邊三角形APE和等邊三角形BPF，點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)．我們將點(diǎn)M稱(chēng)之為線段AB關(guān)于點(diǎn)P的“中頂點(diǎn)”．如圖所示，點(diǎn)M為線段AB關(guān)于點(diǎn)P的“中頂點(diǎn)”．（1）已知點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)P為線段A上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A，B重合），，，中，能作為線段AB關(guān)于點(diǎn)P的“中頂點(diǎn)”的有；（2）已知點(diǎn)A（t，0），，在函數(shù)y＝x2上存在線段AB關(guān)于點(diǎn)P的“中頂點(diǎn)”，則t的取值范圍為；（3）已知點(diǎn)A（t﹣2，0），B（t+2，0），點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形M（0，t），若正方形M上存在線段AB關(guān)于點(diǎn)P的“中頂點(diǎn)”，則t的取值范圍為．

2024-2025學(xué)年北京市101中學(xué)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）參考答案與試題解析一、選擇題（共16分，每題2分）第1—8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)。1．（2分）下列幾種著名的數(shù)學(xué)曲線分別是“笛卡爾愛(ài)心曲線”“費(fèi)馬螺線”“卡西尼卵形線”“蝴蝶曲線”，其中既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形；B、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形；C、既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形；D、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形；故選：C．2．（2分）解方程x2﹣4x＝3，下列用配方法進(jìn)行變形正確的是（）A．（x﹣2）2＝19 B．（x﹣4）2＝7 C．（x﹣2）2＝4 D．（x﹣2）2＝7【解答】解：x2﹣4x＝4，x2﹣4x+3＝3+4，（x﹣7）2＝7，故選：D．3．（2分）對(duì)于拋物線y＝﹣（x﹣2）2+5，下列判斷正確的是（）A．拋物線的開(kāi)口向上 B．對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2 C．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣2，5） D．當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而增大【解答】解：A、∵﹣1＜0，本選項(xiàng)不符合題意，B、拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝7，C、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，本選項(xiàng)不符合題意，D、因?yàn)殚_(kāi)口向下，所以當(dāng)x＞3時(shí)，本選項(xiàng)不符合題意，故選：B．4．（2分）一元二次方程2x2﹣3x+5＝0根的情況是（）A．有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根 C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法判斷【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣3×2×5＝2﹣40＝﹣31＜0，∴2x3﹣3x+5＝4沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故選：C．5．（2分）某工廠2021年生產(chǎn)某種機(jī)械5000臺(tái)，研發(fā)生產(chǎn)技術(shù)后，預(yù)計(jì)2023年生產(chǎn)該種機(jī)械6600臺(tái)．設(shè)生產(chǎn)該種機(jī)械的年平均增長(zhǎng)率為x（）A．5000（1+x）2＝6600 B．5000x2＝6600 C．6600（1﹣x）2＝5000 D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝6600【解答】解：依題意得：5000（1+x）2＝6600．故選：A．6．（2分）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，四邊形ABCD繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度得到四邊形A′B′C′D′（所有頂點(diǎn)都是網(wǎng)格線交點(diǎn)），在網(wǎng)格線交點(diǎn)M，N，P，可能是旋轉(zhuǎn)中心的是（）A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)P D．點(diǎn)Q【解答】解：連接AA'、BB'，作AA'的垂直平分線，作CC'的垂直平分線，所以可知旋轉(zhuǎn)中心的是點(diǎn)M．故選：A．7．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，以下結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)bc＞0 B．2a﹣b＜0 C．9a﹣3b+c＝0 D．若m為任意實(shí)數(shù)，則a﹣b≥m（am+b）【解答】解：由圖象可得，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣1，∴a＞0，c＜4，，∴b＝5a＞0，∴abc＜0，故A錯(cuò)誤；∵b＝3a，∴2a﹣b＝0，故B錯(cuò)誤；∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，2），∴a×（﹣3）2+b×（﹣5）+c＝0，即9a﹣7b+c＝0，故C正確；∵a＞0，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣2，∴當(dāng)m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，有a﹣b+c≤am2+bm+c，即a﹣b≤m（am+b），故D錯(cuò)誤；故選：C．8．（2分）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠A＝60°，F(xiàn)是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段EF繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到EG，CG，則BG+CG的最小值為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖所示，取AB的中點(diǎn)N、EC，連接BD，∵四邊形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴AB＝AD，∴△ABD是等邊三角形，∴AD＝BD，∵點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，∴，，∴三角形AEN是等邊三角形，∴NE＝AE，∵∠FEG＝60°，EF＝EG，∴∠AEF+∠FEN＝∠FEN+∠NEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∴∠GNB＝180°﹣∠ENG﹣∠ENA＝60°，∵NG＝NG，NE＝AE＝BN，∴△ENG≌△BNG（SAS），∴GB＝GE，則BG+CG＝CG+GE，在△ECG中，BG+CG＝CG+GE≥EC，如下圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD的延長(zhǎng)線于H，在Rt△EDH中，∠H＝90°，∴∠ADH＝60°，則∠DEH＝30°，且，∴，則，在Rt△CEH中，，∴，故選：C．二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）一元二次方程x2＝3x的解是：x1＝0，x2＝3．【解答】解：（1）x2＝3x，x3﹣3x＝0，x（x﹣5）＝0，解得：x1＝8，x2＝3．故答案為：x8＝0，x2＝3．10．（2分）已知x＝2是關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣6＝0的一個(gè)根，則b的值是1．【解答】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為t，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得2+t＝﹣b，2t＝﹣3，解得t＝﹣3，b＝1，故答案為：5．11．（2分）寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向下，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）的拋物線的解析式：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．【解答】解：∵開(kāi)口向下且過(guò)點(diǎn)（0，1）的拋物線解析式，∴可以設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（7，1）2+7（答案不唯一）．故答案為：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．12．（2分）若二次函數(shù)y＝3x2﹣1的圖象上有兩點(diǎn)A（﹣2，y1），B（1，y2），則y1＞y2（填“＞”“＝”或“＜”）．【解答】解：y＝3x2﹣2，∵a＝3＞0，對(duì)稱(chēng)軸為：直線x＝3，∴拋物線開(kāi)口向上，拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱(chēng)軸越近，∵|﹣2﹣0|＞|5﹣0|，∴y1＞y5，故答案為：＞．13．（2分）如圖，AB是⊙O的弦，若⊙O的半徑OA＝5，則弦AB的長(zhǎng)為8．【解答】解：∵圓心O到弦AB的距離OC＝3，∴OC⊥AB，∴AC＝BC，在Rt△OAC中，∵OA＝5，∴AC＝＝4，∴AB＝2AC＝5．故答案為：8．14．（2分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E為CD邊上一點(diǎn)，連結(jié)EF，則EF＝2．【解答】解：在Rt△AED中，由勾股定理得，AE＝＝，∵△ADE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合，∴∠DAE＝∠BAF，AE＝AF，∴∠EAF＝90°，∴△AEF等腰直角三角形，∴EF＝AE＝×，故答案為：3．15．（2分）已知二次函數(shù)與一次函數(shù)y2＝kx+m（k≠0）的圖象相交于點(diǎn)A（﹣2，4），B（8，2）．如圖所示1＜y2成立的x的取值范圍是﹣2＜x＜8．【解答】解：∵二次函數(shù)與一次函數(shù)y2＝kx+m（k≠0）的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為﹣4，8，∴使y1＜y4成立的x的取值范圍正好在兩交點(diǎn)之間，即﹣2＜x＜8，故答案為：﹣8＜x＜8．16．（2分）若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為“三倍點(diǎn)”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0），若二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上有且只有一個(gè)“三倍點(diǎn)”，則c的取值范圍是﹣3＜c≤5或c＝﹣4．【解答】解：由題意得，“三倍點(diǎn)”所在的直線為y＝3x，在﹣3≤x≤3的范圍內(nèi)，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上有且只有一個(gè)“三倍點(diǎn)”，即在﹣3≤x≤5的范圍內(nèi)，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，令5x＝x2﹣x+c，整理得x2+4x﹣c＝0，∴Δ＝b2﹣6ac＝16+4c＝0，解得c＝﹣5，此時(shí)，x＝﹣2；當(dāng)x＝﹣3時(shí)，c＝（﹣7）2+4×（﹣8）＝﹣3，當(dāng)x＝1時(shí)，c＝22+4×4＝5，由圖看出，當(dāng)c＝﹣3時(shí)3﹣x+c有兩個(gè)“三倍點(diǎn)”，∴﹣3＜c≤5，綜上，c的取值范圍為﹣6＜c≤5或c＝﹣4．故答案為：﹣6＜c≤5或c＝﹣4．三、解答題（共68分，第17題8分，第18題4分，第19-24題，每題5分，第25-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）17．（8分）解方程：（1）2x2﹣8＝0；（2）x2﹣2x﹣3＝0．【解答】解：（1）2x2﹣8＝0，變形得：x2＝8，解得：x1＝2，x8＝﹣2．（2）x2﹣2x﹣3＝0，因式分解得：（x﹣7）（x+1）＝0，解得：x7＝3，x2＝﹣5．18．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）1B1C1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1，B1，C1．（1）點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（2，﹣1），畫(huà)出△A1B1C1；（2）直接寫(xiě)出△A1B1C1的面積為5．【解答】解：（1）∵△ABC與△A1B1C4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，A（﹣2，∴A1（8，﹣1）．故答案為：（2，﹣4）．如圖，△A1B1C3即為所求．（2）△A1B1C7的面積為＝＝5．故答案為：5．19．（5分）已知二次函數(shù)的函數(shù)值y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如表，求該二次函數(shù)的解析式．x…﹣101234…y…0﹣3﹣4﹣305…【解答】解：∵x＝0和x＝2的函數(shù)值相同，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣4），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2﹣4，把（﹣5，0）代入得0＝a（﹣6﹣1）2﹣5，解得a＝1，∴此二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝（x﹣1）3﹣4．20．（5分）關(guān)于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值及此時(shí)方程的根．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣2x+3m﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，∴b2﹣4ac＝4﹣5（2m﹣1）≥2，解得：m≤1，∵m為正整數(shù)，∴m＝1，∴原方程可化為x6﹣2x+1＝4，則（x﹣1）2＝4，解得：x1＝x2＝8．21．（5分）如圖，△ABC中，點(diǎn)E在BC邊上．AE＝AB，EF與AC交于點(diǎn)G．（1）求證：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，∠FGC的度數(shù)為78°．【解答】（1）證明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF．∵將線段AC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AF的位置，∴AC＝AF．在△ABC與△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴EF＝BC；（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，∴∠FAG＝∠BAE＝50°．∵△ABC≌△AEF，∴∠F＝∠C＝28°，∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝50°+28°＝78°．故答案為：78．22．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2+4x+3．（1）拋物線y＝x2+4x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），畫(huà)出其函數(shù)圖象；（2）觀察圖象，回答下列問(wèn)題：①函數(shù)y＞0時(shí)，x的取值范圍是x＜﹣3或x＞﹣1；②方程的根是x1＝﹣3，x2＝﹣1；③若當(dāng)a≤x≤0時(shí)，函數(shù)y的最小值是﹣1，最大值是3﹣4≤a≤﹣2．【解答】解：（1）∵y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣5，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣2，﹣1），令y＝7，代入得：x2+4x+5＝0，解方程得x＝﹣1或x＝﹣2，∴與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，0），7），根據(jù)圖象開(kāi)口朝上，與x軸的交點(diǎn)為（﹣1，（﹣3，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣5，描點(diǎn)，連線；（2）①根據(jù)圖象可知，y＞0時(shí)，故答案為：x＜﹣3或x＞﹣4；②由得：x8+4x+3＝5，通過(guò)圖象可知x1＝﹣3，x7＝﹣1，故答案為：x1＝﹣2，x2＝﹣1；③當(dāng)x＝﹣5或x＝0時(shí)，函數(shù)值為y＝3，因?yàn)轫旤c(diǎn)坐標(biāo)（﹣2，﹣1），在頂點(diǎn)處取得最小值y＝﹣1，∴在﹣2≤x≤0的范圍內(nèi)，∴ymin＝﹣1，最大值是4，又∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣2，離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)，∴﹣4≤a≤﹣3，故答案為：﹣4≤a≤﹣2．23．（5分）如圖，OA＝OB，AB交⊙O于點(diǎn)C，D，且OE⊥AB于點(diǎn)F．（1）求證：AC＝BD；（2）若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：∵OE⊥AB，CD為⊙O的弦，∴CF＝DF，∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AF＝BF，∴AF﹣CF＝BF﹣DF，∴AC＝BD；（2）解：如圖，連接OC，∵OE⊥AB，CD為⊙O的弦，∴，∠OFC＝90°，∴CO2＝CF2+OF2，設(shè)⊙O的半徑是r，∴r2＝35+（r﹣1）2，解得r＝4，∴⊙O的半徑是5．24．（5分）列方程解決實(shí)際問(wèn)題：為了豐富學(xué)生的課余生活，培養(yǎng)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展，101中教育集團(tuán)成立了眾多種類(lèi)的學(xué)生社團(tuán)．其中金鵬社團(tuán)會(huì)定期組織學(xué)生參與農(nóng)耕勞作，在生態(tài)大棚中有一塊矩形空地ABCD，其中AD邊的長(zhǎng)比AB邊的2倍少1，另一邊增加3m，構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域AEFG（1）直接寫(xiě)出正方形區(qū)域AEFG的邊長(zhǎng)是12m；（2）在實(shí)際建造時(shí)，從校園美觀和實(shí)用的角度考慮，按圖②的方式進(jìn)行改造，再在余下地方建成寬度相等的兩條小道后，其余地方栽種鮮花2，求小道的寬度．【解答】解：（1）設(shè)正方形區(qū)域的邊長(zhǎng)為ym，則AB＝y(tǒng)﹣7，∵AD邊的長(zhǎng)比AB邊的2倍少8，∴y﹣3＝2（y﹣3）﹣1，解得：y＝12，故答案為：12；（2）設(shè)小道的寬度為xm，則栽種鮮花的區(qū)域可合成長(zhǎng)（12﹣x）m，由題意得：（12﹣x）（12﹣1﹣x）＝90，整理得：x3﹣23x+42＝0，解得：x1＝3，x2＝21（不合題意舍去），答：小道的寬度為2m．25．（6分）如圖1，某橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橋拱內(nèi)的水面寬OA＝8米，橋拱頂點(diǎn)B到水面的距離是4米．（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（2）要保證高2.26米的小船能夠通過(guò)此橋（船頂與橋拱的距離不小于0.3米），求小船的最大寬度是多少？（3）如圖2，橋拱所在的拋物線在x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個(gè)新函數(shù)圖象，將新函數(shù)圖象向右平移n（n＞0），平移后的函數(shù)圖象在8≤x≤9時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，直接寫(xiě)出n的取值范圍．【解答】解：（1）∵OA＝8，且點(diǎn)A在x軸上，∴A（8，3），根據(jù)拋物線的特點(diǎn)確定拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴頂點(diǎn)B（4，6），∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣4）2+2，把原點(diǎn)（0，0）代入得3＝a（0﹣4）4+4，解得，∴此二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）∵二次函數(shù)的表達(dá)式，令y＝2.26+0.7＝2.56得：，解得：x1＝5.4，x2＝2.6，6.3﹣1.6＝2.8（米），答：小船的最大寬度是4.7米；（3）根據(jù)平移規(guī)律得到點(diǎn)O平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（n，0），點(diǎn)A平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（8+n，如圖：根據(jù)圖象性質(zhì)，得到當(dāng)n≤x≤n+3或8+n≤x≤8時(shí)y隨x的增大而減小，∴或2+n≤8，解得5≤n≤4或n≤0（舍去），故n的取值范圍是5≤n≤5．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）在拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝t．（1）若對(duì)于x1＝﹣1，x2＝3，有y1＝y(tǒng)2，直接寫(xiě)出t的值為1；（2）若對(duì)于t＜x1＜t+1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．【解答】解：（1）∵y1＝y(tǒng)2，∴點(diǎn)（x4，y1），（x2，y5）關(guān)于直線x＝t對(duì)稱(chēng)，∴，∵x1＝﹣1，x4＝3，∴，故答案為：2；（2）代數(shù)法1：∵對(duì)稱(chēng)軸為∴b＝﹣5at∴拋物線解析式為y＝ax2﹣2atx+c（a＞7）∵點(diǎn)（x1，y1），（x4，y2）在拋物線上，∴，，∵y6＜y2，∴y1﹣y7＜0，∴y1﹣y2＝a（x1﹣x2）（x7+x2﹣2t）＜4，∵a＞0，∴（x1﹣x7）（x1+x2﹣6t）＜0，∴或，∵t＜x2＜t+1，1＜x6＜2，∴t+1＜x5+x2＜t+3，∴或，解得：t≤0或t≥3，代數(shù)法3：設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣t）2+k，∵點(diǎn)（x1，y7），（x2，y2）在拋物線上，∴，，∵y3＜y2，∴y1﹣y3＜0，∴，∵a＞3，∴，∵t＜x1＜t+4，∴0＜x1﹣t＜6，∴，∴，∴x2﹣t≥6或x2﹣t≤﹣1，∴t≥x8+1或t≤x2﹣6，∵1＜x2＜8，∴t≥3或t≤0；數(shù)形結(jié)合法：①當(dāng)t≥2時(shí)，（x1，y1），（x4，y2）位于對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，（x2，y7）關(guān)于x＝t的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（2t﹣x2，y7），∵x＞t時(shí)，y隨x增大而增大1＜y2，∴5t﹣x2＞x1恒成立，∴x3+x2＜2t恒成立，∵t＜x5＜t+1，1＜x8＜2，∴t+1＜x6+x2＜t+3，∴t+7≤2t，∴t≥3；②當(dāng)5＜t＜2時(shí)，∵1＜x3＜2，∴當(dāng)x2＝t時(shí)，必有y8＜y1，不合題意，舍去；③當(dāng)t≤1時(shí)，（x2，y1），（x2，y4）都位于對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，∵x＞t時(shí)，y隨x增大而增大1＜y2，∴x4＜x2恒成立，∵t＜x1＜t+5，1＜x2＜6，∴t+1≤1，∴t≤4，綜上所述：t≤0或t≥3．27．（7分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC（1）如圖1，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，連接DE，連接BF．①請(qǐng)按照要求補(bǔ)全圖形；②若AC＝6，BE＝2，直接寫(xiě)出△BEF的面積為4；（2）連接AE，將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至EM，連接BM，連接EN．①如圖2，點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出線段AB；②當(dāng)點(diǎn)E在直線BC上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AB，EN和BE之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）①補(bǔ)全圖形如圖1.1所示；②如圖6.2，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥直線BC于H，∵將DE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至EF，∴∠DEF＝90°，DE＝EF，∵AC＝6＝BC，BE＝8，∴CE＝4，∵∠ACB＝∠DEF＝∠H＝90°，∴∠CED+∠CDE＝90°＝∠CED+∠BEF，∴∠CDE＝∠BEF，∴△CDE≌△HEF（AAS），∴CE＝FH＝4，∴△BEF的面積＝，故答案為：4；（2）①；證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MG∥BC，過(guò)點(diǎn)E作EQ∥AC交AB于Q，∵M(jìn)G∥BC，∴∠G＝∠NEB，∠GMN＝∠EBN，∵點(diǎn)N是BM的中點(diǎn)，∴MN＝BN，∴△BEN≌△MGN（AAS），∴NE＝GN，MG＝BE，∴GE＝2NE，∵AC∥QE，∴∠CAB＝∠EQB＝45°＝∠ABC，∠C＝∠QEB＝∠CEQ＝90°，∴QE＝BE，∴MG＝EQ＝BE，，∵將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至EM，∴AE＝ME，∠AEM＝90°＝∠CEQ，∴∠AEQ＝∠MEC，∴∠AEQ＝∠EMG，∴△AEQ≌△EMG（SAS），∴EG＝AQ，∴；②當(dāng)E在線段BC上時(shí)，；當(dāng)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，，；理由如下：當(dāng)E在線段BC上時(shí)，由①可得；如圖3，當(dāng)E在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，交直線NE于點(diǎn)G，∵M(jìn)G∥BC，∴∠G＝∠NEB，∠GMN＝∠EBN，∵點(diǎn)N是BM的中點(diǎn)，∴MN＝BN，∴△BEN≌△MGN（AAS），∴NE＝GN，MG＝BE，∴GE＝6NE，∵AC∥QE，∴∠CAB＝∠EQB＝45°＝∠ABC＝∠QBE，∠ACB＝∠QEB＝90°，∴QE＝BE，∴MG＝EQ＝BE，，∵將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至EM，∴AE＝ME，∠AEM＝90°＝∠CEQ，∴∠AEQ+∠MEC＝180°，∴∠AEQ＝∠EMG，∴△AEQ≌△EMG（SAS），∴EG＝AQ，∴；同理，如圖4，，綜上所述，當(dāng)E在線段BC上時(shí)，，；當(dāng)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，．28．（7分）已知點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A，B重合），分別以AP，BP為底邊在AB的同側(cè)作等邊三角形APE和等邊三角形BPF，點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)．我們將點(diǎn)M稱(chēng)之為線段AB關(guān)于點(diǎn)P的“中頂點(diǎn)”．如圖所示，點(diǎn)M為線段AB關(guān)于點(diǎn)P的“中頂點(diǎn)”．（1