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文檔簡介
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義立體幾何與空間向量之
空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
一'知識點(diǎn)講解及規(guī)律方法結(jié)論總結(jié)
1.平面的基本性質(zhì)
(1)三個(gè)基本事實(shí)
基本事實(shí)1過①不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.
基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).
基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面②有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有③一條
過該點(diǎn)的公共直線.
(2)三個(gè)推論
利用基本事實(shí)1和基本事實(shí)2,結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”可得到以下推論.
推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.
推論2經(jīng)過兩條④相交直線,有且只有一個(gè)平面.
推論3經(jīng)過兩條⑤平行直線,有且只有一個(gè)平面.
2.空間中直線間的位置關(guān)系
石市公(相交直線:在同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn)?
|共面直線(
JI平行直線:在同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn).
(異面直線:不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn).
(1)過平面外一點(diǎn)A和平面內(nèi)一點(diǎn)B的直線,與平面內(nèi)不過點(diǎn)8的直線是異面直線;
(2)異面直線既不平行,也不相交;(3)異面直線不具有傳遞性,即若直線a與6是異
面直線,6與c是異面直線,則。與c不一定是異面直線.
3.空間中直線、平面間的位置關(guān)系
圖形語言符號語言公共點(diǎn)
相交aAa=A1個(gè)
直線與平面
平行a//a0個(gè)
在平面內(nèi)aua⑥無數(shù)個(gè)
平行a〃P⑦0個(gè)
平面與平面
相交aOp=/無數(shù)個(gè)
說明分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線平行或異面.
二'基礎(chǔ)題練習(xí)
1.如圖,anp=/,A,BGa,Cep,且C4/,直線過A,B,C三點(diǎn)的平面記
作Y,則丫與p的交線必通過(D)/
A.點(diǎn)AB.點(diǎn)B;一7
C.點(diǎn)C但不過點(diǎn)MD.點(diǎn)C和點(diǎn)M
2.[多選]以下說法正確的是(CD)
A.若一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)到一個(gè)平面距離相等,則這條直線與該平面平行
B.若一個(gè)平面上有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面距離相等,則這兩個(gè)平面平行
C.若三條直線a,b,c兩兩平行且分別交直線/于A,B,C三點(diǎn),則這四條直線共面
D.不共面的四點(diǎn)中,任意三點(diǎn)都不共線
解析對于A,直線也可能在平面內(nèi)或與平面相交;對于B,兩平面也可能相交;易知
C,D正確.
3.[多選]如圖是一個(gè)正方體的展開圖,則在這個(gè)正方體中,下列命題正確的是(CD)
A.A尸與CN平行B.BM與AN是異面直線
C.A尸與是異面直線D.8N與。E是異面直線
解析把正方體的平面展開圖還原,如圖,由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知,AF
與CN是異面直線,故A錯誤;
與AN平行,故B錯誤;
8MU平面8CMF,FG平面BCMF,A6平面F年BM,故AF與BM
是異面直線,故C正確;
DEU平面ADNE,NW平面ADNE,B4平面NaDE,故BN與。E是異面直線,故
D正確.
三、知識點(diǎn)例題講解及方法技巧總結(jié)
命題點(diǎn)1平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用
例1已知在正方體ABC。一A16GP中,E,尸分別為。Ci,GB1的中點(diǎn),ACCBD=P,
AiCiHEF=Q.
求證:(1)。,B,F,E四點(diǎn)共面.
(2)若AC交平面。瓦石于點(diǎn)R,則P,Q,R三點(diǎn)共線.
(3)DE,BF,CG三線交于一點(diǎn).
解析(1)如圖所示,連接BQi.由題意知跖是△D15G的中位線,所
以EF〃BiA.在正方體ABC。一A向GOi中,BD〃BD,際法EF//BD,
所以8。確定一個(gè)平面,即。,B,F,E四點(diǎn)共面.
(2)記4,C,G三點(diǎn)確定的平面為平面a,平面2。所為平面[3.因?yàn)?/p>
Q^AiCi,所以QGa.又QWEF,所以QG0,所以。是a與|3的公共點(diǎn).同理,尸是a與!3
的公共點(diǎn),所以aCp=P。.又AiCCp=R,所以RGAiC,RGa,且Rep,則RGP0,故
P,Q,R三點(diǎn)共線.
(3)因?yàn)镋F〃BD且EFCBD,所以。E與3P相交,設(shè)交點(diǎn)為則由MGDE,DEU
平面。1DCG,得A/G平面。MCG,同理,A/G平面BiBCG.
又平面OiDCGC平面BiBCCi=CCi,所以MGCCi,
所以。E,BF,CG三線交于一點(diǎn).
方法技巧
1.證明點(diǎn)共線問題的常用方法
基本事先找出兩個(gè)平面,然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn),再根據(jù)基本事實(shí)3
實(shí)法證明這些點(diǎn)都在交線上.
納入直
選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,然后證明其余點(diǎn)也在該直線上.
線法
2.證明線共點(diǎn)問題的常用方法
先證兩條直線交于一點(diǎn),再證明第三條直線經(jīng)過該點(diǎn).
3.證明點(diǎn)、直線共面問題的常用方法
納入平面法先確定一個(gè)平面,再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi).
先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面a,再證明其余元素確定平面。,最后證明
輔助平面法
平面a,P重合.
訓(xùn)練1如圖,已知正方體ABC。-4囪CQi中,E,尸分別是棱CG,A4i
的中點(diǎn).i心I
(1)畫出平面BEDbF與平面ABC。的交線,并說明理由.
(2)設(shè)以為直線2。與平面BE。聲的交點(diǎn),求證:B,H,5三點(diǎn)共線.
解析(1)如圖1所示,直線尸2為平面8即1尸與平面ABC。的交
線,理由如下:)|..
在正方體ABCD-A^BiCiDi中,/']=二:4';
因?yàn)镈4U平面AAQiD,OFU平面A41O。,且D4與不平行,圖1
所以在平面A41Z)。內(nèi)分別延長。1居DA,則。F與D4必相交于一點(diǎn),不妨設(shè)為點(diǎn)P,
所以PGA。,PWDiF.
因?yàn)镈4U平面ABCD,APU平面BEDiF,
所以pe平面ABC。,PG平面BEQiF,
即尸為平面ABCD和平面BEDxF的公共點(diǎn).
連接尸8,又8為平面A3CO和平面BE。尸的公共點(diǎn),
所以直線為平面BEObF與平面42a)的交線.
(2)如圖2所示,連接BA,BD,BiDi,在正方體ABCD—AliG。中,
因?yàn)?修〃。。1,且
所以四邊形8囪。1。為平行四邊形.
因?yàn)镠為直線田。與平面BEDiF的交點(diǎn)、,所以HGBiD,圖2
又8QU平面B81AD所以86平面
又HG平面BEDiF,平面BEPPC平面BBDD=BDi,
所以HGBDi,
所以B,H,。三點(diǎn)共線.
命題點(diǎn)2空間直線、平面間的位置關(guān)系
例2(1)[2023上海春季高考]如圖,在正方體中,尸是
4cl上的動點(diǎn),則下列直線中,始終與直線BP異面的是(B)
A.DDiB.ACC.ADiD.BiC
解析對于A,如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸為4G的中點(diǎn)時(shí),連接BQi,BD,則尸在
S5上,BPU平面BDDiBi,又。AU平面BD£)|S,所以BP與。口共面,故A錯誤;
圖1圖2
對于B,如圖2,連接AC,易知ACU平面ACG4,平面ACG4,且BPCI平面
ACQA^P,尸不在AC上,所以8尸與AC為異面直線,故B正確;當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)Ci重合
時(shí),連接A。,BiC(圖略),由正方體的性質(zhì),易知8尸〃ADi,B尸與SC相交,故C,
D錯誤.故選B.
(2)[2023高三名校聯(lián)考(一)]設(shè)。是空間中的一個(gè)平面,/,加,"是三條不同的直線,
則下列說法正確的是(B)
A.若機(jī)u(x,nUa,/_Lw,貝!J/_La
B.若/〃m,mHn,/_La,則nJ_a
C.若I//m,m_La,〃J_a,貝!JlA^n
D.若〃zUa,w_l_a,貝!!/〃/"
解析A選項(xiàng),若機(jī)Ua,〃Ua,ZJ_m,/J_n,則/與a相交、平行或/Ua,如圖1,
m//n,且滿足“zUa,“Ua,lA_m,/J_w,但此時(shí)/與a斜交,故A錯誤;B選項(xiàng),因?yàn)?/p>
I//m,m//n,所以/〃”,因?yàn)?J_a,所以“J_a,故B正確;C選項(xiàng),因?yàn)椤↗_a,
所以m〃w,因?yàn)?〃m,所以/〃",故C錯誤;D選項(xiàng),若wiUa,“J_a,l-Ln,則/與相
相交、平行或異面,如圖2,滿足機(jī)Ua,Z±n,但此時(shí)/與〃z異面,故D錯誤.故選
B.
圖1圖2
方法技巧
1.判斷空間直線、平面間的位置關(guān)系時(shí),注意對平面的基本性質(zhì)及有關(guān)定理的應(yīng)用.
2.判斷空間直線、平面間位置關(guān)系的命題的真假時(shí),常借助幾何模型(長方體、正方體)
或?qū)嵨铮▔?、桌面等?
3.注意反證法在判斷空間兩直線位置關(guān)系時(shí)的應(yīng)用.
訓(xùn)練2若直線八和,2是異面直線,/i在平面a內(nèi),在平面P內(nèi),/是平面a與平面p的交
線,則下列命題正確的是(D)
A.I與h,,2都不相交
BJ與6,L都相交
C./至多與/1,/2中的一條直線相交
DJ至少與/1,/2中的一條直線相交
解析解法一(反證法)若/〃/l,l//h,則這與/2是異面直線矛盾.故/至少
與/l,/2中的一條直線相交.
解法二(模型法)如圖1,/1與,2是異面直線,/1與/平行,/2與/相交,故A,B不正
確;如圖2,/1與/2是異面直線,/l,L都與/相交,故C不正確.
四'命題點(diǎn)習(xí)題講解
I.[命題點(diǎn)1]到空間不共面的四點(diǎn)距離相等的平面的個(gè)數(shù)為(C)
A.lB.4C.7D.8
解析當(dāng)空間四點(diǎn)A,B,C,。不共面時(shí),則四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐.當(dāng)平面一側(cè)有一個(gè)點(diǎn),
另一側(cè)有三個(gè)點(diǎn)時(shí),如圖1,當(dāng)平面過A。,BD,CZ)的中點(diǎn)時(shí),滿足條件.因?yàn)槿忮F有4
個(gè)面,則此時(shí)滿足條件的平面有4個(gè).
圖1圖2
當(dāng)平面一側(cè)有兩個(gè)點(diǎn),另一側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)時(shí),如圖2,當(dāng)平
面過AB,BD,CD,AC的中點(diǎn)時(shí),滿足條件.因?yàn)槿忮F的相對棱有3對,則此時(shí)滿足條
件的平面有3個(gè).所以滿足條件的平面共有7個(gè).故選C.
2.[命題點(diǎn)2/多選]已知G,N,M,X分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則下列表示
直線GH,是異面直線的圖形是(BD)
解析A中,直線GH〃朋N;B中,G,H,N三點(diǎn)共面,但M在平面GHN,因此直線G”
與異面;C中,連接MG,GM//HN,因此GH與共面;D中,G,M,N三點(diǎn)共
面,但用平面GMN,因此G8與MN異面.
五'習(xí)題實(shí)戰(zhàn)演練
1.[2024廣東省深圳市第二高級中學(xué)模擬]已知平面a,[3,丫兩兩垂直,直線a,b,c滿足
aUa,bup,cUy,則直線a,b,c不可能滿足以下哪種關(guān)系(B)
A.兩兩垂直B.兩兩平行
C.兩兩相交D.兩兩異面
解析如圖1,可得〃,b,c可能兩兩垂直;如圖2,可得〃,b,c可能兩兩相交;如圖
3,可得。,b,c可能兩兩異面.故選B.
圖1圖2圖3
2.[2024河南焦作模擬]已知根,〃為異面直線,平面a,〃_L平面0.若直線/滿足
l-Lm,lA_n,/Ua,/C0,貝U(B)
A.a〃(3,I//a
B.a與0相交,且交線平行于/
C.a±p,Z±p
D.a與0相交,且交線垂直于/
解析若?!?,則由m_L平面a,幾_1平面0,可得加〃九,這與根,〃是異面直線矛盾,故
a與0相交.
設(shè)aCp=〃,過空間內(nèi)一點(diǎn)、P,作W〃機(jī),n'//n,W與〃'相交,
設(shè)W與〃'確定的平面為y.
因?yàn)?J_m,Z_Ln,所以/_Lm',故/_Ly,
因?yàn)閙_La,n±p,所以“_La,nrJ_p,所以〃_LM,a_L〃',所以〃_Ly,
又因?yàn)?Ca,/CB,所以/與〃不重合,所以/〃〃.故選B.
3.[多選/2024貴州省遵義市南白中學(xué)聯(lián)考]已知a,b是兩條不重合直線,a,P是兩個(gè)不重
合平面,則下列說法正確的是(BC)
A.若a〃0,〃Ua,hup,則〃與Z?是異面直線
B.若?!??,bua,則直線〃平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線
C.若a〃。,〃Ua,則〃〃p
D.若aGp=8,qUa,則〃與p一定相交
解析
選項(xiàng)正誤原因
AX若a〃0,〃Ua,Z?cp,則〃與/?平行或異面.
B<若〃〃/?,Z?Ca,則平面a內(nèi)所有與人平行的直線都與〃平行.
C7若a〃0,則平面a內(nèi)所有直線都與0平行,因?yàn)閍Ua,所以〃〃仇
DX若aGp=b,〃Ua,則當(dāng)〃〃Z?時(shí),a//p.
4.[多選Z2023廣東省廣州市模擬]已知直線/與平面a相交于點(diǎn)P,則下列結(jié)論正確的是
(ABD)
A.a內(nèi)不存在直線與/平行
B.a內(nèi)有無數(shù)條直線與/垂直
C.a內(nèi)所有直線與/是異面直線
D.至少存在一個(gè)過/且與a垂直的平面
解析直線/與平面a相交于點(diǎn)P,故a內(nèi)不存在直線與/平行,A正確.若/_La,則a內(nèi)的
所有直線都與/垂直;若/與a不垂直,設(shè)與/在平面a內(nèi)的射影垂直的直線為“,則平面
a內(nèi)與〃平行的直線都與/垂直,有無數(shù)條,B正確.平面a內(nèi)過點(diǎn)尸的直線與/相交,C錯
誤.若/La,則過/的任一平面都與a垂直;若/與a不垂直,取/上異于點(diǎn)尸的一點(diǎn)。,過
。作QM_L平面a于點(diǎn)M,則平面PQM_La,D正確.故選ABD.
5.[多選Z2023高三名校模擬]下列關(guān)于點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的命題中不正確的是
(ABC)
A.若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則它們一定重合
B.空間中,相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)
C.兩條直線a,6分別和異面直線c,d都相交,則直線a,6是異面直線
D.正方體ABC。一A18CQ1中,點(diǎn)。是的中點(diǎn),直線4C交平面ABQi于點(diǎn)則
A,M,。三點(diǎn)共線,且A,M,O,C四點(diǎn)共面
解析如圖,在正方體ABC。-4B1C1D1中,A,D,E三個(gè)點(diǎn)在一條直?1—-~71c
線上,平面A8CZ)與平面4。。的1相交,不重合,故A不正確;從點(diǎn)A
出發(fā)的三條棱AAi,AB,AD不在同一平面內(nèi),故B不正確;若a〃b,則二,
a,方確定一個(gè)平面,且a,b分別與直線c,d的交點(diǎn)都在此平面內(nèi),則,以二一匕
c,d共面,與c,d是異面直線矛盾,所以直線a,??赡苁钱惷嬷本€,也可能是相交直線
(c,1中的一條直線過a,6的交點(diǎn)),故C不正確;如圖,平面AA1CA平面48101=
AO,因?yàn)橹本€4C交平面ASA于點(diǎn)所以MG4。,即A,M,。三點(diǎn)共線,因?yàn)橹本€
和直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面,所以A,O,C,M四點(diǎn)共面,故D正確.故選ABC.
6.如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,AECD為正三角形,平面EC£)_L平面ABC。,M是
線段ED的中點(diǎn),則(B)
\.BM=EN,且直線BW,EN是相交直線
B.BMWEN,且直線EN是相交直線
C.BM=EN,且直線8M,EN是異面直線
D.BM^EN,且直線BAT,EN是異面直線
解析設(shè)C。的中點(diǎn)為。,連接ON,EO,因?yàn)椤鱁CZ)為正三角形,所以EO_LCD,又平
面ECO_L平面ABCD,平面ECZJC平面ABCD=CD,所以EO_L平面A8CD設(shè)正方形
A3。的邊長為2,則石。=遍,ON=1,所以EN2=EO2+ON2=4,得EN=2.過點(diǎn)M作
CD的垂線,垂足為P,連接8P,則CP=|,所以即於二皿尸十^^二(。)2+
(|)2+22=7,得BM=由,所以BMWEN.連接BD,BE,因?yàn)樗倪呅?BCD為正方形,
所以N為8。的中點(diǎn),即EN,MB均在平面5DE內(nèi),所以直線EN是相交直線.故選
B.
7.[多選Z2024云南昆明高三??迹萑鐖D,在正方體ABCO—AIiGA中,E,F,G,反分別
是棱CG,BC,CD,81cl的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是(AC)
A.AF//平面ArDE,必
B.AG〃平面ADE
C.Ai,D,E,H四點(diǎn)共面^注?’
D.Ai,D,E,G四點(diǎn)共面
解析如圖1,取4。的中點(diǎn)跖連接AM,EF,ME,BCi,則EP〃BG,EF=[BCI,
AM//BQ,AM=^BCi,所以所〃AM,EF=A
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