2025年高考數(shù)學一輪復習：導數(shù)與函數(shù)的單調性（十二大題型）（練習）（解析版）

第02講導數(shù)與函數(shù)的單調性

目錄

01模擬基礎練...................................................................2

題型一：利用導函數(shù)與原函數(shù)的關系確定原函數(shù)圖像...............................................2

題型二：求單調區(qū)間.............................................................................3

題型三：已知含參函數(shù)在區(qū)間上的遞增或遞減，求參數(shù)范圍.........................................4

題型四：已知含參函數(shù)在區(qū)間上不單調，求參數(shù)范圍...............................................6

題型五：已知含參函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間或減區(qū)間，求參數(shù)范圍..................................8

題型六：不含參數(shù)單調性討論....................................................................9

題型七：導函數(shù)為含參一次函數(shù)的單調性分析....................................................10

題型八：導函數(shù)為含參準一次函數(shù)的單調性分析..................................................12

題型九：導函數(shù)為含參可因式分解的二次函數(shù)單調性分析..........................................13

題型十：導函數(shù)為含參不可因式分解的二次函數(shù)單調性分析........................................16

題型十一：導函數(shù)為含參準二次函數(shù)型的單調性分析..............................................17

題型十二：分段分析法討論函數(shù)的單調性........................................................20

02重難創(chuàng)新練..................................................................21

03真題實戰(zhàn)練..................................................................34

//

題型一：利用導函數(shù)與原函數(shù)的關系確定原函數(shù)圖像

1.已知函數(shù)“X）的定義域為R且導函數(shù)為了'（X）,如圖是函數(shù)y=W'（x）的圖像，則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（x）的增區(qū)間是（一2,0）,（2,+“）

B.函數(shù)/⑺的減區(qū)間是（-8,-2）,（2,+力）

C.》=-2是函數(shù)的極小值點

D.x=2是函數(shù)的極小值點

【答案】D

【解析】由圖及題設，當0<x<2時，r（x）<o；

當x>2"'（x）>0；

當一2<》<0時，r（“<o；

當x<—2時，r（x）>0；

即函數(shù)/（X）在（口,-2）和（2,+8）上單調遞增，在（-2,2）上單調遞減，

因此函數(shù)/（x）在x=2時取得極小值，在x=-2時取得極大值；

故A,B,C錯,D正確.

故選：D.

2.（2024.高三.安徽亳州.期中）已知函數(shù)/⑺的導函數(shù)是（（力=7^則函數(shù)的圖象可能是（）

c.

【答案】B

【解析】由題知/'(x)20且不恒等于0,又曠=1-三在(0,1)上單調遞減，在(-1,0)上單調遞增,

y=4在定義域上單調遞增，

所以廣⑺在(0,1)上單調遞減，在(-1,0)上單調遞增，

即當時，/'(X)的值由小變大，再由大變小，

即函數(shù)/(x)圖象從左到右是單調遞增，且變化趨勢是先慢后快再變慢.

故選：B.

3.(2024.高三.遼寧撫順.開學考試)如圖為函數(shù)〃力=加+涼+s+d的圖象，尸(x)為函數(shù)/⑺的導函

數(shù)，則不等式丘/'(“<0的解集為(

C.（后+OO）D,卜,8-V3）（0,73）

【答案】D

【解析】由題可得函數(shù)“X)的單調增區(qū)間為卜吸-石)，(石,+8),單調減區(qū)間為卜后代卜

所以尤,一百)(省,+勾時，>0,無€卜君，有)時，/，(%)<0,

由x",(x)<0,可得或］；湍<0,所以無一⑹(0,@.

故選：D.

題型二：求單調區(qū)間

4.函數(shù)/(無)=(x-1)ex—/的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為

【答案】(一8,0),(In2,+oo)(0,In2)

【解析】解析：f(x)的定義域為R,f(無)=xex—2x=x(ex—2),

令f(尤)=0,得x=0或無=ln2.

當x變化時，f(x),/(無)的變化情況如下表,

X(—00,0)0(0,In2)In2(In2,+oo)

f(X)+0—0+

/(x)單調遞增單調遞減單調遞增

/(x)的單調遞增區(qū)間為(一8,0),(In2,+oo),單調遞減區(qū)間為(0,ln2).

5.(2024?高三?遼寧?期中)已知函數(shù)/(%)的定義域為(0,+@),導函數(shù)為r(x),#'(x)-/(x)=xlnx,且

辰"，則"X)的單調遞增區(qū)間為.

【答案】(0,+8)

【解析】因為函數(shù)/(X)的定義域為(0,+8),另g(x)=/@,則="=叱,

XXXX

所以g(x)=;山2%+。,即'(')=；11?冗+。,

又了|4=^+f?cI則f(x)fa+4

貝IJ尸(x)=J_ln2x+lnx+!=!(lnx+l)220,當苫=!取等號，

222e

所以“X)在(0,+8)單調遞增.

故答案為：(。,+8)

6.函數(shù)〃力=彳3-3》+1的單調遞減區(qū)間是.

【答案】(-U)

【解析】易知〃x)=d-3x+l的定義域為xeR,

貝!)/'(%)=3*2-3=3(%-1)(%+1),令/'(%)<。，解得一1<%<1；

即可知函數(shù)4》)在區(qū)間(-M)上是單調遞減的，

所以函數(shù)〃力=丁-3%+1的單調遞減區(qū)間是(-1,1).

故答案為：(-M)

題型三：已知含參函數(shù)在區(qū)間上的遞增或遞減，求參數(shù)范圍

7.(2024?貴州遵義?模擬預測)若函數(shù)f(x)=ej'在區(qū)間(1,3)上單調遞增，則。的可能取值為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】由題設/(x)=e/”在區(qū)間(1,3)上單調遞增，所以「(x)=e*5(2x-a)20恒成立,

所以(1,3)上2x-420恒成立，即aV2x恒成立，

而y=2x在(1,3)上遞增，故aW2.

所以A符合要求.

故選：A

8.若函數(shù)/(%)="-Inx在區(qū)間(1,口)單調遞增，則左的取值范圍是()

A.(-oo,l)B.(-oo,l]

C.(1,+co)D.[l,+oo)

【答案】D

【解析】若函數(shù)〃力="-In%在區(qū)間(1,+a))單調遞增，

貝IJ/(X)=Z-L20在(1,E)上恒成立，即左21在(1,+8)上恒成立；

X%

又函數(shù)>=!在(1,包)上遞減，所以,<1恒成立，則上21

%X

故上的取值范圍是[1,+8).

故選：D.

9.設/(元)=》-三+。在。,+0))上為增函數(shù)，則實數(shù)。取值范圍是()

A.[0,+<?)B.[1,+<?)C.[-2,+oo)D.[-l,+oo)

【答案】D

【解析】由題意，:。)=1+40在。,+8)上恒成立，即02-爐恒成立，

而~x2e(―co,—1),故a2-4.

故選：D

10.已知函數(shù)/(力=〃。'-111%在區(qū)間(2,3)上單調遞增，則〃的最小值為()

1

A.2e_2B.eC.e-1D.-e-29

2

【答案】D

【解析】依題可知，1(力二〃^-/之。在(2,3)上恒成立，

顯然。>0,所以

設g(x)=B,x?2,3),所以g〈x)=(x+l)>>0,所以g(x)在(2,3)上單調遞增,

1111

g(x)>g(2)=2e2,故2e2z：,即“？￡=；片2,即°的最小值為

故選：D.

題型四：已知含參函數(shù)在區(qū)間上不單調，求參數(shù)龜圍

11.(2024?高三?福建三明?期中)已知函數(shù)〃耳=加-4冰-Inx,則〃x)在(1,3)上不單調的一個充分不必

要條件是()

A.B.C.八6，+1D./-曇)

【答案】B

【解析】/(%)=w~^ax~\x>o),

令g(x)=2ax2-4ax-1,

因為〃X)在(1,3)上不單調，

/⑴在(1,3)上有變號零點，即g(x)在(1,3)上有變號零點，

當a=0時，g(x)=-l,不成立；

當中0時,只需g⑴w(3)<0,即(-2a-l)(6o-l)<0,

解得0<一(或a>”，

26

所以/(X)在(1,3)上不單調的充要條件是a<-；或a>|,

所以/'(x)在(1,3)上不單調的一個充分不必要條件是a>：,

故選：B

12.(2024.高三.河南?期末)函數(shù)〃x)=2x2-alnx+l在("3,a)上不單調，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.*4B.RjC.[3,4)D.[3,4]

【答案】C

【解析】函數(shù)”》)=2*—Hnx+1定義域為(0,+8),

由題意，函數(shù)八％)=2%2_如％+1在(〃一3,a)上不單調，

所以((耳=4光，在("3,0)上有零點，

X

即方程r（x）=4x-/=0在（。一3,。）上有卞艮,

即方程4/=0在（a-3,a）上有根，

寸…4（〃-3）2<〃<4〃2

所以<v7,即34a<4,

。一320

所以實數(shù)。的取值范圍為［3,4）.

故選：C.

13.已知函數(shù)〃同=；加+尤2+尤+3在［0,2］上不單調，則0的取值范圍是（）

5

A.B.—oo,--

4

5

C.1D.——,+oo

-?-4

【答案】B

【解析】由題意可知，f'（x^ax2+2x+l,

若函數(shù)〃元）在［0,2］上單調，則/'（X）20或/'⑺V0,

當x=0時，/'（0）=1>0恒成立，

71O1

當X￡（0,2］,轉化為-------,或------,

XXXX

設％=—1￡2'+8）‘貝U4或〃<一2/-產(chǎn)恒成立,

x

25

y=-2t—t=—(t+1『+1e—00,-------

4

所以

4

所以函數(shù)〃尤）=363+/+尤+3在［0,2］上不單調，則。

故選：B

14.已知"x）=-gx2+6x_81nx在［以機+1］上不單調，則實數(shù)加的取值范圍是（

A.（1,2）B.（3,4）C.（l,2］u［3,4）D.（1,2）（3,4）

【答案】D

【解析】由于/a）=_L/+6x_81nx,可得尸（無）=_X+6—1__（X2）（X4）,

2xx

可得函數(shù)"x)=-gx2+6x-81nx的極值點為：x=2,x=4,

由-；尤2+6x—81nx在上不單調,

可得根<2<冽+1或相<4</"+1,

解得機?1,2)。(3,4).

故選：D.

題型五：已知含參函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間或減區(qū)間，求參數(shù)范圍

15.函數(shù)/(x)=2/+6的一個單調遞增區(qū)間為口，+"),則減區(qū)間是()

A.(-8,0)B.(-U)C.(0,1)D.(-oo,l),(0,1)

【答案】B

【解析】函數(shù)/(尤)=2_?-亦+6,貝I］/'(x)=6/-a,

當aWO時，/'(尤)20恒成立，函數(shù)Ax)在其定義域內(nèi)是遞增.

當。>0時，令尸(x)=0,解得：*=±A，

當時，f'(x)>0,函數(shù)/(x)是遞增.

.函數(shù)/(無)的一個單調遞增區(qū)間為［1,+?)),故得：戊=1,解得：a=6,

???X在(-1,1)時,f\x)<0,函數(shù)/(X)是遞減.

故選：B.

16.已知函數(shù)/(力=滓-Inx在區(qū)間(1,2)上單調遞增，則。的最小值為().

A.e1B.eC.e-1D.e-2

【答案】C

【解析】依題可知，尸⑺=a'-g20在(1,2)上恒成立，顯然°>0,所以xe一，

設g(x)=xe，,x?L2),所以g'(x)=(x+l)->0,所以g(x)在(1,2)上單調遞增，

g(x)>g(l)=e,故eN，，即即a的最小值為

故選：C.

17.(2024.高三?陜西漢中?期末)若函數(shù)/(x)=lnx+依2—2在區(qū)間\,1］內(nèi)存在單調遞增區(qū)間，則實數(shù)。的

取值范圍是.

【答案】(-8,+8)

【解析】定義域為xe(O,—),而/'(尤)=:+2"，由已知得函數(shù)/(x)=lnx+^2_2在區(qū)間U內(nèi)存在單

調遞增區(qū)間，則戶")>°在'J上有解，化簡得，令旦⑴二-5，由幕函數(shù)性質得g(x)在'J

上單調遞增，g(x)>g[：j=-8,則ae(-8,+00).

故答案為：(-8,+oo)

18.(2024.全國?模擬預測)若函數(shù)〃x)=(尤2-m+2)e，在上存在單調遞減區(qū)間，則根的取值范圍

是.

【答案】(2,+8)

【解析】因為“力=(%2—mx+2)e",

所以/'(%)—(2x—m)ex+(x2—mx+2)ex=^x2+(2—m)x+2—m^ex,

11

則原問題等價于尸(x)<0在-g」上有解，即尤2+(2-加)x+2-“<0在--J上有解，即2-〃?<‘一在

2」x+l

-pl上有解，

令，=%+1,貝g,2,x=t-l,

所以x+廣t=++[21[22]=。，

當且僅當"L即方=i時，等號成立，此時％=0,

t

所以?=0,貝|J2—m<0,

1%+lmax

所以m>2,即m￡(2,+oo).

故答案為：(2,+8).

題型六：不含參數(shù)單調性討論

19.設函數(shù)/(%)=辦2_%_1nx當[=1時，求/(X)的單調區(qū)間；

1_2/一天一1_(2x+l)(x-1)

【解析】當1=1時，/(x)=d—X—Inx,其定義域為(o,y).尸(X)=2x—1—

XXX

當X€(O,1)時，/'(力<0,當xe(l,+co)時，/'(x)>。，

所以/(x)的單調遞減區(qū)間為(。,1),單調遞增區(qū)間為(1,4W).

20.若函數(shù)〃x)=21nx+無+求/(X)的單調區(qū)間.

【解析】由函數(shù)〃尤)=21nx+x+1,可得其定義域為(0,+巧，

且廣(x)=2+1二=42=攵匚學±'>o,

XXXX

令廣(x)=0,可得x=l,

當xe(O,l)時，r(x)<0,/(x)在(0,1)上單調遞減;

當xw(l,+oo)時，>0,/(X)在(1,+8)上單調遞增.

綜上，〃元)的單調遞減區(qū)間為(0,1),單調遞增區(qū)間為(1,+8).

21.已知函數(shù)+Q為實數(shù)).當。=一1時，求函數(shù)了⑺的單調區(qū)間;

【解析】函數(shù)y=/(x)的定義域為(0,+8),f'M=2x-(2?+1)+-=(2--1)6￥--).

XX

當〃=一1時，x-a=x+l>0f所以當?！?0,；)時，/'(%)<0,

當尤￡(；,+8)時，Ax)>0,所以/⑺的單調遞減區(qū)間為(()1),遞增區(qū)間為(1+8).

22.已知函數(shù)/(x)=Ye，.求函數(shù)/(x)的單調區(qū)間.

【解析】因f(x)=2xex+x2ex=x(x+2)ex,

由/'(x)>?？山獾?，x<-2或x>0；由/'(x)<。可解得，-2<x<0.

故函數(shù)/(尤)的單調遞增區(qū)間為：(-8，-2)和(0,+s)；

函數(shù)〃x)的單調遞減區(qū)間為：(-2,0).

題型七：導函數(shù)為含參一次函數(shù)的單調性分析

23.(2024?山東聊城?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(%)=(機+1)%-根Inx-m.

討論人龍)的單調性；

(m+1)Xm

【解析】f(x)=m+l--=~,xe(0,+s),

XX

①當%+1=0,即〃7=-1時，/，(%)=->0,〃處在區(qū)間(0,+8)單調遞增.

②當m+l<0,即加<一1時,

令r（x）＞o,得o＜無＜上「令r（x）＜o,得

所以"X）在區(qū)間（0,一竺；］單調遞增；在區(qū)間［一4,+3］單調遞減.

Im+1）＜m+l）

③當機+1＞0,即機〉一1時，

^-l＜m＜0,則/口）＞0,人犬）在區(qū)間（0,+8）單調遞增.

若相＞0,令/'（x）＜0,得0＜x〈旦,令/'（x）＞0,得無

所以〃x）在區(qū)間［0,」、］單調遞減；在區(qū)間［上7,+s］單調遞增.

綜上，加＜-1時，/⑴在區(qū)間［。，一單調遞增；在區(qū)間（一單調遞減；

—IWWWO時，了⑺在區(qū)間（0,+s）單調遞增

機＞0時一,/（X）在區(qū)間［o,一生；］單調遞減、在區(qū)間單調遞增.

24.已知函數(shù)/（%）=〃（％-l）-lnx（Q￡R）.求函數(shù)/食）的單調區(qū)間；

【解析】/（尤）的定義域為（0,+8）,f\x）=a--=~,

XX

當aWO時，/'（x）＜0,則”x）單調遞減區(qū)間為（0,+8）,無單調遞增區(qū)間；

當a＞0時，令（（x）=0,解得：x=-

a:

.,.當xe（0,J時，/'（x）＜0；當時，f\x）＞0；

.../（x）的單調遞減區(qū)間為（0,￡|；單調遞增區(qū)間為+8）；

綜上所述：aWO時，則/（尤）的單調遞減區(qū)間為（0,+8）,無單調遞增區(qū)間；

a＞0時，/⑺的單調遞減區(qū)間為（0,：）；單調遞增區(qū)間為+二|.

25.（2024.河南?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=alnx+尤-l（aeR）.討論〃x）的單調性;

【解析】/⑴的定義域為（0,+8）,r（x）=?+i=T，

當a20時，f\x）＞0,所以〃x）在（0,+8）上單調遞增；

當〃＜0時,當xe（o,-。）時，/r（x）＜0,當X￡（-a,+oo）時，＞0,

所以“X）在（0,-。）上單調遞減，在內(nèi)）上單調遞增.

題型八：導函數(shù)為含參準一次函數(shù)的單調性分析

26.(2024?北京?統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)/。)=敏_白2.

(1)當人=1時，求曲線y=/(尤)在x=l處的切線方程；

⑵設g(尤)=/'(x),討論函數(shù)g(x)的單調性；

【解析】(1)[k=l,

f(x)=e、-Q-，

當x=l時，/(l)=e-p

切點坐標為[1，e-g),

又/'(l)=e-l,.?.切線斜率為e-l,

???曲線y=/(x)在x=l處切線方程為：

(e-l)x-y+g=0.

(2)/(x)=Ae*,xeR,

''-g(x)=f(x)=kex-x,xeR,

g'(x)=fex-1,xeR,

①當ZWO時，g'(x)<0成立，

f(x)的單調遞減區(qū)間為R,無單調遞增區(qū)間.

②當左>0時，g'{x)=kex-l=0=>x=-\nk,

所以當x<-In左時，g'(x)<0,g(x)在(-oo,-lnQ上單調遞減

x>-ln%時，g'(x)>0,g(x)在(Tn上,+8)上單調遞增

綜上：ZWO時，/(x)的單調遞減區(qū)間為R,無單調遞增區(qū)間；

4>0時，的單調遞增區(qū)間為(-歷％,+8),單調遞減區(qū)間為(-0-m左)；

27.已知函數(shù)/(x)=e￡-初一l(aeR).

討論〃工)的單調性；

【解析】V/(x)=ex-ax-l(aGR),/.f\x)^ex-a,

①當aWO時，^^)>。恒成立，此時〃尤)在(3,+?)上單調遞增；

②當a>0時，令/'(x)=e*-a=0,解得x=lna,

當xe(-co,lna)時，f'(x)<0,在區(qū)間(YO,Ina)上單調遞減，

當xw(lna,+x>)時，>0,/⑺在區(qū)間(lna,y。)上單調遞增.

綜上所述，當aVO時，〃x)在上單調遞增；當。>0時，在區(qū)間(―,Ina)上單調遞減，在區(qū)

間(Ina,+w)上單調遞增.

題型九：導函數(shù)為含參可因式分解的二次函數(shù)單調性分析

28.已知函數(shù)/(“uf+alnx.aeR.

⑴若函數(shù)g(x)=/(x)-x在定義域上單調遞增，求實數(shù)〃的取值范圍；

⑵討論函數(shù)/i(x)=〃x)-(a+2)x的單調性.

【解析】(1)g'(x)=2尤+/-120在(O,+e)恒成立,即°2(-21+可皿；

設y=—2彳2+x=-2(x-；J+g,

所以

o

(2)/z(x)=x2+aln%-(Q+2)x且定義域為x?0,+oo),

h'(x]=2x+--(a+2)=2尤T"+2)x+"=(2」—耳(尤1),

XXX

令/(%)=0,解得玉="I，%2=1，

若a?0,

當光￡(o,l)時，h\x)<0,函數(shù)/z(x)單調遞減；當X￡(l,+8)時，hf(x)>0,函數(shù)"(%)單調遞增.

若。<。<2,

當時，O。，函數(shù)MX)單調遞增，當時，"(x)<0,函數(shù),(X)單調遞減;

當尤￡(,+8)時,〃(%)>0,函數(shù)M%)單調遞增，

若〃=2,”(幻20在定義域內(nèi)恒成立，函數(shù)力(X)在(0,+8)單調增，

若a>2,

當xe(0,l)時，〃(x)>0,函數(shù)/z(x)單調遞增；當時，/i'(x)<0,函數(shù)/z(x)單調遞減；

當時，h\x)>0,函數(shù)/z(x)單調遞增.

綜上所述:

當aWO,xe(0,l),函數(shù)/z(x)單調遞減；xe(l,+e),//(尤)>0,函數(shù)/z(x)單調遞增.

當0<a<2,函數(shù)/i(x)單調遞增；xe[],)函數(shù)/i(x)單調遞減；xe(l,+s),函數(shù)//(%)單

調遞增.

當a=2,函數(shù)/z(x)在(0,+8)單調遞增.

當。>2,xe(O,l),函數(shù)/i(x)單調遞增;尤函數(shù)/z(x)單調遞減；xef|,+aol,函數(shù)/z(x)單調遞

增.

29.已知函數(shù)〃x)=x-(a+2)lnx-"L規(guī)范討論函數(shù)/(無)的單調性.

【解析】“X)=X-(a+2)InX-卓定義域為(0,+8),

a+2a+1

(⑴1?=(xT)[x(a+l)],

令/'(x)=0,得x=l或x=a+l.

當。+1<0,即。<一1時，

xe(O,l),/'(尤)<0,函數(shù)〃x)在(0,1)上單調遞減;

xe(l,+a)),/(x)>0,函數(shù)/(x)在(1,+8)上單調遞增；

當0<。+1<1,即-l<a<0時，

xe(O,a+l),/'(x)>0,函數(shù)/(x)在(0,a+l)上單調遞增；

x?a+l,l),f'(x)<0,函數(shù)/(x)在(a+1,1)上單調遞減；

xe(l,+e),/'(x)>0,函數(shù)/(%)在(1,+8)上單調遞增；

當。+1=1即4=0時，

xe(O,+8),r(x)>0,函數(shù)/⑺在(0,+句上單調遞增;

當a+1>1即a>0時，

xe(O,l),r(x)>0,函數(shù)。(X)在(0,1)上單調遞增;

xe(l,a+l),f'(x)<0,函數(shù)/(x)在(l,a+l)上單調遞減；

xw(a+l,+8),/,(x)>0,函數(shù)/(尤)在(a+L+s)上單調遞增；

綜上：當aW-1時，單調遞減區(qū)間為(0,1),單調遞增區(qū)間為(1,+。)；

當-l<a<0時，單調遞減區(qū)間為(a+1,1),單調遞增區(qū)間為(O,a+l),。,+力)；

當a=0時，單調遞增區(qū)間為(0,+"),無單調遞減區(qū)間；

當a>0時，單調遞減區(qū)間為單調遞增區(qū)間為(0,1),(。+1,+8).

30.(2024?河北石家莊?三模)已知函數(shù)=g尤2一(。+1)尤+“1nM。>0).討論函數(shù)的單調性；

，/、/、

【解析】尸(苫)=無一(。+1)+2a=——x~~(——a+l}——x+a=(——x—l}(——x—a),x>0,

XXX

當0<“<1時，當xe(0,a),xe(l,+oo)時，/'(x)>0,/(x)單調遞增；當xe(a,l)時，/'(x)<0,/(x)單調遞

減.

當時,當xe(O/),xe(a,+e)時，/'(x)>04(x)單調遞增;當xe(l,a)時,/'(x)<0J(x)單調遞減;

當a=1時，r(x)>0,/(x)在(0,+s)單調遞增.

31.(山東省日照市2024屆高三校際聯(lián)考(三模)數(shù)學試題)已知函數(shù)/(x)=alnx-x2+(a-2)x,aeR.

討論函數(shù)“X)的單調性；

【解析】函數(shù)“X)的定義域為(0,+8),求導得1⑴=9-2x+a-2=a+1)(3+a),

XX

①當aWO時，有尸(尤)<0,此時函數(shù)/⑺在區(qū)間(0,+e)上單調遞減；

②當a>0時，當xe(0,￡|時，/^x)>0,此時函數(shù)〃x)在區(qū)間(0,1上單調遞增；

當尤仁+。寸，r(x)<0,此時函數(shù)〃x)在區(qū)間已+小單調遞減.

所以當aW0時，函數(shù)〃x)在區(qū)間(0,+向上單調遞減；

當a>0時，函數(shù)/(x)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間［鼻,+8)上單調遞減.

32.已知函數(shù)/(力=如一/.討論/⑺的單調性；

【解析】由題意知函數(shù)“X)的定義域為(0,+8),/(尤)=0-2x=佇丑匚.

XX

當aWO時，/'(x)<0恒成立，在(0,+功上單調遞減；

當a>0時，由得0〈尤〈警，

由/(力<0,得了>冬.

所以/⑺在，，警)上單調遞增，在1與，+"上單調遞減，

綜上所述，當aWO時，/(尤)在(0,+8)上單調遞減；

當a>0時，在0,早上單調遞增，在［與，+$上單調遞減.

題型十：導函數(shù)為含參不可因式分解的二次函數(shù)單調性分析

33.已知函數(shù)〃x)=gx2-ax-21nxSeR),當。>0時，討論函數(shù)〃x)的單調性.

【解析】函數(shù)〃尤)=：尤2-6-21n尤(aeR)的定義域為(0,+8),

T7rf(\2X_CLX_2

乂/(%)=x-a——=---------，

xx

又。〉0,二次函數(shù)y=/一依一2,開口向上，對稱軸為％="|>0,

當x=0時y=-2,所以關于工的方程爐—冰—2=0存在兩個異號的實數(shù)根,

用牛仔x=-------------->0,羽=----------<0，

1222

所以當0<x〈”學8時廣(力<0,

當尤>a+Jj+8時/4天)>0,

,單調遞增區(qū)間為竺與踵,+s

所以的單調遞減區(qū)間為0,

\7

34.已知函數(shù)/⑺=x-：Y,g(x)=alnx,其中a>0,p(x)=/(x)-g(x),討論尸⑺的單調性.

【解析】因為〃x)=x-gx2,g(x)=alnx,/(0=f(x)-g(尤),

所以?(%)=尤-；尤2-alnx(a>0),定義域為(0,+功,

則F'(x\=\-x--=-^~X+a

XX

當1—4aW0,即時廠'(x)W0,所以尸⑺在(0,+e)上單調遞減,

當1,即0<a<—時，令尸'(1)=0,

［?！?4\'

解得七二匕孚2,%=1+^^,

所以當上咚近<X<葉(近時尸⑴>0,

當0一<三經(jīng)2或乜正時E'(x)<0,

所以“X）在1一手詬,叱宇3上單調遞增,在0,上嚀近］,［上嚀近,+」上單調遞減,

綜上可得，當az1時尸（X）在（0,+8）上單調遞減；

r八1,\（八1—11—4a）.乂、E、“、_IX,/1—J1—441+11—44）X、E、乂1

當0<a<1時/（x）在0,——-——上單倜遞減，在——-——,——-——上t單調遞增，在

4I1）\22）

笆三,+。］上單調遞減.

35.已知函數(shù)/（x）=2ax-lnx+Law0.試討論函數(shù)/（%）的單調性.

【解析】的定義域為（0,+助,

\c11—X—1△

f（x）=2cl----------=-------彳------,〃W0,

\,XX2X2

當〃<0時，廣（“<0,則〃、）在（。,+8）上單調遞減，

當a>0時，令/'（力=0,可得彳=1±2叵^或％=匕也適，

4a4〃

因為1一疝赤<0,所以x=l一疝甌舍去,

4a4a

所以當o<x<匕互藥時，r（x）<o,

4a

則/（%）在0,匕，上單調遞減,

I4〃J

所以當彳>1±巫苑時，r（力>0,

4a

則“X）在］“逗,+J上單調遞增，

14aJ

綜上，當“<0時，〃x）在（0,+8）上單調遞減，

當a>0時，〃x）在（o,l+嚴忑］上單調遞減,在（1+下礪,+“］上單調遞增.

（4a4a

題型十一：導函數(shù)為含參準二次函數(shù)型的單調性分析

36.（2024?云南?模擬預測）已知函數(shù)“”=（%-2戶+5/一內(nèi).討論函數(shù)〃司的單調性.

【解析】由〃力="一2產(chǎn)+三/一辦，

所以(⑴=(%-1卜工+口(%-1)=(%_1)?+。),

①當a?0時，若尤?(-?/)時，/(%)<0,

所以“X)為(3,1)上的單調遞減函數(shù)，

若無)時，戶")>0,所以/⑺為(1,+8)上的單調遞增函數(shù)，

②當ae(-e,O)時，In(-a)<1,

若xe(-oo,In(-a))時，/?)>。，

所以〃x)為(一雙In(-⑼上的單調遞增函數(shù)，

若無e(ln(-a),l)時，/'(龍)<0,

所以〃x)為(ln(-“)，l)上的單調遞減函數(shù)，

若尤e(l,+a>)時，f\x)>Q,所以/(x)為(1,+s)上的單調遞增函數(shù)，

③當a=-e時，ln(—a)=1,

對VxeR，r(x”0,所以〃x)為R上的單調遞增函數(shù)，

④當ae(-8,-e)時，ln(-a)>l,

若xe(-?),l)時，用x)>0,所以/(x)為(-*1)上的單調遞增函數(shù)；

若無e(l,In(-a))時，/'(x)<0,所以“X)為(1,In(-0)上的單調遞減函數(shù)；

若xe(ln(-a),+8)，r(x)>0,所以/(尤)為(ln(-a),+e)上的單調遞增函數(shù).

37.已知函數(shù)/(%)=(x-2)e”—3加+ax^aGR).

⑴當a=l時，求曲線)=/(尤)在點(2,〃2))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)“X)的單調性；

【解析】(1)當a=l時，/(x)=(x-2)el-1x2+x,得“2)=0,

_f(x)=(x-l)eT-x+l,則左=(⑵=e2-1,

222

所以切線方程為：y^[e-l)(x-2),gp(e-l)%-y-2(e-l)=0.

(2)由題/(%)=(尤-2)e'-gax2+依其定義域為R,可得f'(^x)=(x-l)ex-ax+a=(x-l)(^ex-aj,

當aV0時，/'(x)<0,〃尤)在(一力,1)單調遞減，

xe(l,+oo),f\x)>0,/(x)在(1,+8)單調遞增，

當a>0時，由/'(力=0,解得玉=lna，z=1,

①當ln4=l,即a=e時，/(^)>0,則〃x)在(一“,+8)上單調遞增；

②當lna<l,即0<a<e時，在區(qū)間(-8,lna),(l,+oo)上，/'(X)>°；

在區(qū)間(lna,l)上,r(x)<o:

所以/(x)的單調增區(qū)間為(-8,Ina),(1,+“)；單調減區(qū)間為(Ino,1)；

③當Ina>1,即a>e時，

在區(qū)間(-8,1),(Ina,+8)上，/'(x)>0,在區(qū)間(1,Ina)上，/,(x)<0,

所以“X)的單調增區(qū)間為(-e,l),(lna,+e);單調減區(qū)間為Ina).

38.(2024.黑龍江.模擬預測)已知函數(shù)〃x)=［m_q：e%aeR).

⑴當a=3時，求“X)在點(2,〃2))處的切線方程；

(2)討論的單調性，并求出/(%)的極小值.

【解析】(1)當。=3時，〃x)=1|x—3)e\

貝lJ/，(x)=1+2_|x］e>

所以左=/'(2)=0,

又知"2)=0,

所以“X)在點(2,”2))處的切線方程為y=0.

一9c(9、c-11

(2)因為了'(%)=-x2+\—-3a\x+a2-3aex=-(3x-2a^(3x-2a+6^ex,

令/'(x)=0，

r?2。-2a-6

貝I」x=§或尤=--一,

所以當?時，r(x)<o,

當x<&F或x>g時，r(x)>o.

綜上，〃無)在］上單調遞減，在［雙/6］和1上單調遞增;

所以『(X)極小值=/(Ia)=(IX：a一'e石=0.

題型十二：分段分析法討論函數(shù)的單調性

39.已知函數(shù)/(%)=(1+%)'-療一1(%>-1),〃>0且rwl.討論了(九)的單調性；

【解析】易知r(x)=r[(l+x)i-1].

?0<r<l.

當一1<尤<0時，(1+x尸>(1+1)。=1,BPf(x)>0,所以f(x)在(-1,0)上單調遞增,當彳>0時，

(1+<-'<(l+x)°=l,BPf(x)<0,所以在(0,+8)上單調遞減;

@r>l.當-l<x<0時，(1+<-'<(1+X)°=1,即/'(x)<0,所以八尤)在(一1,0)上單調遞減，當x>0時,

(1+尤尸>(1+用°=1,即r(尤)>0,所以/⑺在(0,+8)上單調遞增；綜上所述，當0<廠<1時，Ax)在(—1,0)

上單調遞增，在(0,+8)上單調遞減；

當廠>1時，/(無)在(-1,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增；

40.(2024?全國?模擬預測)設加>1,函數(shù)〃x)=e2?M2x+l)[x>-￡|,g(x)=e"-(x+l)2”(x>-l).

討論“X)在[-+[的單調性；

【解析】因為〃>L所以-在「1,+coJ有定義,

/(x)=2ms1mx-2m(2x+1)'^=2〃心叩1一(2x+,

設/?(x)=1-(2x+iyn-le-2mx,xe則

h(x)=2〃2(2%+1廣匕2皿-(2rn-2)(2x+l)m-2e-2mv=2片2M(2尤+1產(chǎn)？(2/nr+l).

當時，2x+l>0,2/nx+l>0,所以/z(x)>0,/z(x)在］-J,+。單調遞增，而//⑼=。，所

以當卜寸/'(%)<0,"(0,+<?)時/'(力>0,

因此〃x)在［-］,。)單調遞減，在(0,+8)單調遞增；

41.(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=(e'-a卜inx+bcosx,a,b&R.

若。=6,討論/(x)在(o，g］上的單調性.

【解析】因為〃=6,所以/'(%)=exsinx+(ex-cosx-asinx

=(sinx+co&x)ex-a(sinx+cosx)

=(sinx+cosx)fex-a\

=V2sinlx+：J(e*一〃

因為所以％+：￡信兀)所以sin［%+；J>0.

①若aVl,當彈(0曰時，r(x)>0,所以〃x)在(0,亳上單調遞增；

②若1<°<渭，當彳€(。，叫時，/'(“<。，當尤e卜正時，/(%)>0,所以/(x)在(0,lna)上單調遞

減，在［na,上單調遞增；

③若在/,當x<0書時，r(x)<0,所以在“書上單調遞減.

綜上，當時，〃尤)在［岑)上單調遞增；當i<°<浸時，/⑴在(。，皿)上單調遞減，在卜氏辛1上

單調遞增；當aze當時，〃x)在［°，｝］上單調遞減.

1.(2024.湖北武漢.模擬預測)函數(shù)〃x)=ln(e'+l)、()

A.是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+e)上單調遞增B.是偶函數(shù)，且在區(qū)間(。,+e)上單調遞獨

C.是奇函數(shù)，且在區(qū)間(。,+e)上單調遞增D.既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

【答案】A

【解析】"》)的定義域為R,f(-x)=ln(e^+l)+|=ln(eJ+l)-%+|=ln(e^+l)-|=f(x),

\/(x)為偶函數(shù)；

x1ex-1

當x>。時，尸⑺=e-5=2G+1)>,"X)在區(qū)間(o,+8)上單調遞增.

故選：A.

2.(2024.江西鷹潭.二模)已知函數(shù)〃力=￡,XG(0,+O)),則下列命題不正確的是()

A.有且只有一個極值點B./（x）在g,+s1上單調遞增

11

C.存在實數(shù)ae（0,+oo）,使得〃"）=-D.〃x）有最小值F

eee

【答案】C

【解析】由y=x*得lny=：dnx,令z=xlnx,

則函數(shù)z=xlnx可以看作為函數(shù)z=lny與函數(shù)y=V的復合函數(shù),

因為z=lny為增函數(shù)，所以2=封11%與y=x”單調性、圖象變換等基本一致，z'=lnx+l,

由2'=0得》=’，列表如下:

%+8］上單調遞增,

在尤=工時，取得極小值（最小值）

ee

所以〃x）=V在］,+e上單調遞增，即B正確；

111

在兀=人時，取得唯一極值（極小值，也是最小值）ee>-,即A、D都正確，C錯誤.

ee

故選：C

3.（2024.全國.模擬預測）已知函數(shù)〃x）=ln（x-2）+ln（4-x）,則的單調遞增區(qū)間為（

A.（2,3）B.（3,4）C.（-oo,3）D.（3,+oo）

【答案】A

rx—2