數(shù)學探究：楊輝三角的性質與應用（第一課時）教學設計-2023-2024學年高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

數(shù)學探究：楊輝三角的性質與應用（第一課時）教學設計-2023-2024學年高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）數(shù)學探究：楊輝三角的性質與應用（第一課時）教學設計-2023-2024學年高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊教學內容本節(jié)課選自人教A版（2019）選擇性必修第三冊，為“數(shù)學探究：楊輝三角的性質與應用（第一課時）”。內容主要包括：楊輝三角的構造方法、性質及其在組合數(shù)學中的應用。具體涉及以下方面：

1.探究楊輝三角的構造過程，理解其形成規(guī)律；

2.分析楊輝三角的對稱性、組合數(shù)性質及其與二項式定理的關系；

3.應用楊輝三角解決組合問題，如排列、組合數(shù)的計算；

4.引導學生運用歸納推理和數(shù)形結合思想，深入挖掘楊輝三角的數(shù)學價值。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生以下核心素養(yǎng)：

1.邏輯推理：通過楊輝三角的構造與性質探究，提高學生的歸納推理和演繹推理能力；

2.數(shù)學建模：運用楊輝三角解決實際問題，培養(yǎng)學生建立數(shù)學模型、解決問題的能力；

3.數(shù)形結合：借助楊輝三角的圖形特征，發(fā)展學生數(shù)形結合的數(shù)學思維；

4.數(shù)學抽象：引導學生從具體的楊輝三角實例中提煉出一般性規(guī)律，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)；

5.數(shù)據(jù)分析：通過對楊輝三角中數(shù)據(jù)的分析，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結性質的能力。重點難點及解決辦法重點：楊輝三角的構造方法、性質及其在組合數(shù)學中的應用。

難點：理解楊輝三角的對稱性、組合數(shù)性質及與二項式定理的聯(lián)系。

解決辦法及突破策略：

1.利用動態(tài)演示、實物模型等多種教學手段，幫助學生直觀地理解楊輝三角的構造過程，強化重點知識；

2.通過小組合作、討論交流，引導學生發(fā)現(xiàn)楊輝三角的對稱性、組合數(shù)性質，培養(yǎng)學生合作探究能力，突破難點；

3.設計具有層次性的問題，引導學生從特殊到一般、從具體到抽象地進行思考，激發(fā)學生思維，加深對性質的理解；

4.結合實際例子，將楊輝三角與二項式定理相結合，使學生能夠更好地把握知識點之間的聯(lián)系，提高解決問題的能力。教學方法與策略1.選擇講授與討論相結合的教學方法，針對學生特點，以引導啟發(fā)為主，講授楊輝三角的基本概念和性質，同時組織學生進行小組討論，促進學生主動思考和交流；

2.設計實驗性教學活動，如構造楊輝三角的實踐活動，讓學生在操作中感受數(shù)學之美，提高學生的實踐能力；

3.利用多媒體教學資源，如PPT、動畫等，展示楊輝三角的構造過程和性質，增強學生的直觀感受；

4.結合具體案例，組織學生進行探究性學習，引導學生在解決問題中運用所學知識，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和解決問題的能力。教學過程設計1.導入環(huán)節(jié)（5分鐘）

-利用多媒體展示楊輝三角的圖案，引發(fā)學生好奇心，提出問題：“你們覺得這個圖案有什么特別之處？”

-學生分享觀察到的特點，如對稱性、數(shù)字規(guī)律等，教師總結并引導學生思考：“這些規(guī)律是如何產(chǎn)生的？它們有什么用途？”

2.講授新課（15分鐘）

-介紹楊輝三角的構造方法，通過動畫演示和板書相結合的方式，使學生理解其形成過程。

-講解楊輝三角的性質，如對稱性、組合數(shù)性質，結合具體例子，讓學生感受其在組合數(shù)學中的應用。

-解釋楊輝三角與二項式定理的關系，引導學生運用數(shù)形結合的思想，理解數(shù)學知識的內在聯(lián)系。

3.鞏固練習（15分鐘）

-設計具有梯度的問題，讓學生獨立完成，如計算楊輝三角中特定位置的數(shù)值、找出對稱性質等。

-學生相互討論、分享解題思路，教師點評并給予指導，確保學生掌握重點知識。

-針對學困生，進行個別輔導，幫助他們克服難點。

4.課堂提問（5分鐘）

-提問學生在楊輝三角中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，檢查學生對性質的理解程度。

-針對學生的回答，進行追問，引導學生深入思考，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學抽象素養(yǎng)。

5.創(chuàng)新教學（5分鐘）

-組織學生進行小組活動，要求每組設計一個與楊輝三角相關的實際問題，并給出解決方案。

-各小組分享問題及解決方案，其他小組評價、提問，教師總結并進行點評。

6.核心素養(yǎng)能力拓展（5分鐘）

-引導學生思考楊輝三角在其他領域的應用，如計算機編程、圖形設計等，激發(fā)學生的創(chuàng)新意識。

-布置課后作業(yè)：要求學生運用楊輝三角的知識，解決生活中的實際問題。

7.總結與反思（5分鐘）

-教師與學生一起總結本節(jié)課的學習內容，強調重點和難點。

-學生分享學習收獲和感悟，教師給予鼓勵和指導。

教學過程設計中，教師需關注以下幾點：

1.確保教學雙邊互動，充分調動學生的主觀能動性。

2.關注學生的個體差異，因材施教，提高教學效果。

3.結合生活實際，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析能力。

4.注重數(shù)學思想的滲透，提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。教學資源拓展1.拓展資源：

-推薦閱讀：《數(shù)學的奇妙世界：楊輝三角》一書，該書詳細介紹了楊輝三角的歷史、性質和應用，有助于學生更深入地了解這一數(shù)學工具。

-視頻資料：尋找有關楊輝三角的科普視頻，如“探索發(fā)現(xiàn)：楊輝三角的奧秘”等，通過視覺呈現(xiàn)，使學生更直觀地感受楊輝三角的美妙。

-實踐活動：組織學生參與數(shù)學俱樂部或社團，開展楊輝三角相關的主題活動，如制作楊輝三角模型、研究楊輝三角在計算機編程中的應用等。

2.拓展建議：

-鼓勵學生閱讀拓展資料，了解楊輝三角的起源和發(fā)展，提高學生的數(shù)學文化素養(yǎng)。

-建議學生觀看拓展視頻，從不同角度認識楊輝三角，加深對性質和應用的理解。

-引導學生參與實踐活動，將所學知識運用到實際中，培養(yǎng)學生的動手能力和創(chuàng)新精神。

-鼓勵學生探索楊輝三角在其他領域的應用，如計算機科學、概率論等，拓寬知識視野。

-布置拓展性作業(yè)，如研究楊輝三角在古代數(shù)學發(fā)展中的作用，撰寫小論文等，提高學生的研究能力和寫作水平。板書設計①條理清楚、重點突出：

-楊輝三角的構造方法

-楊輝三角的性質

-對稱性

-組合數(shù)性質

-與二項式定理的關系

-楊輝三角的應用

②簡潔明了：

-關鍵公式：二項式定理

-核心性質：對稱、組合數(shù)

-實例應用：排列、組合數(shù)計算

③藝術性和趣味性：

-楊輝三角圖案直觀展示，強調視覺美感

-采用不同顏色粉筆標出重點知識，增加視覺沖擊力

-結合實際例子，以趣味故事或謎語形式引入楊輝三角，激發(fā)學生興趣

-設計互動環(huán)節(jié)，如讓學生上黑板參與構造楊輝三角，增強課堂趣味性

板書設計旨在幫助學生清晰掌握知識結構，同時注重藝術性和趣味性，以提高學生的學習興趣和主動性。課后作業(yè)1.楊輝三角的構造與應用

-作業(yè)1：請根據(jù)楊輝三角的構造方法，自行完成一個5行的楊輝三角，并標出其中的對稱性和組合數(shù)性質。

-舉例：第5行第3個數(shù)是10，表示組合數(shù)C(5,3)，同時它也是第3行第5個數(shù)，體現(xiàn)了楊輝三角的對稱性。

2.楊輝三角與二項式定理

-作業(yè)2：利用楊輝三角的性質，證明二項式定理中的組合數(shù)部分，即：

(a+b)^n=Σfromk=0ton(nchoosek)*a^(n-k)*b^k

-舉例：以n=3為例，展開(a+b)^3，利用楊輝三角的組合數(shù)性質，可以得到：

(a+b)^3=C(3,0)*a^3+C(3,1)*a^2*b+C(3,2)*a*b^2+C(3,3)*b^3

3.楊輝三角解決排列組合問題

-作業(yè)3：給定一組數(shù)字1,2,3,4,5，使用楊輝三角計算所有可能的3個數(shù)字的組合數(shù)量。

-舉例：答案為C(5,3)=10，即{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5}。

4.楊輝三角的遞推關系

-作業(yè)4：證明楊輝三角中每一行的數(shù)字都滿足以下遞推關系：

C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)

-舉例：C(5,3)=C(4,3)+C(4,2)=4+6=10。

5.楊輝三角的數(shù)學建模

-作業(yè)5：設計一個實際情境，使用楊輝三角來建立數(shù)學模型，并解決該情境中的問題。

-舉例：假設一個球隊有5名球員，教練需要從這5名球員中選擇3名參加比賽，使用楊輝三角計算教練有多少種不同的選擇方式。教學評價與反饋1.課堂表現(xiàn)：

-觀察學生在課堂上的參與程度，如積極回答問題、主動提問、與同學互動交流等，評價學生的學習態(tài)度和積極性。

-關注學生在楊輝三角構造與應用實踐活動中的表現(xiàn)，評估學生的動手能力和合作意識。

2.小組討論成果展示：

-評價各小組在楊輝三角性質探究、實際應用問題解決等方面的成果，考察學生的團隊合作和問題解決能力。

-鼓勵學生分享學習心得，從同伴互助中汲取經(jīng)驗，提高自身學習能力。

3.隨堂測試：

-設計針對楊輝三角知識點的隨堂測試，包括填空題、解答題等，評估學生對課堂所學知識的掌握程度。

-分析測試結果，針對學生的薄弱環(huán)節(jié)進行有針對性的輔導和講解。

4.課后作業(yè)完成情況：

-檢查學生對課后作業(yè)的完成