廣東省深圳市龍崗區(qū)2023-2024學(xué)年高一年級(jí)上冊1月期末考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

龍崗區(qū)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高一期末質(zhì)量監(jiān)測

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共6頁，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

2.答題前，請將學(xué)校、班級(jí)、姓名和考號(hào)用規(guī)定的筆寫在答題卡指定的位置上，并將條形碼

粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū).請保持條形碼整潔、不污損.

3.本卷試題，考生必須在答題卡上按規(guī)定作答；凡在試卷、草稿紙上作答的，其答案一律無

效.答題卡必須保持清潔，不能折疊.

4.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡選擇題答題區(qū)內(nèi)對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；非選擇題答案必須用規(guī)定的筆，按作答題目的

序號(hào)，寫在答題卡非選擇題答題區(qū)內(nèi).

5.考試結(jié)束，請將答題卡交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.化簡sin420。的值是（）

A一立B.--C.|D.立

2222

2設(shè)集合M={x[0<x<4},N="尤-<%<5^則AfcN=（）

3

A.<x0<^<—>B.<x—<x<4>

3：3

C.{x4Kxv5}D.1x|0<x<5}

3.當(dāng)〃>1時(shí)，在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=與y=log“x的圖像是（）

k:

OUlXC

9

4.已知命題“VxwR,/+（〃一2）%+—>0”是真命題，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

4

A.(―8,—1)B.(—5,1)C.(―5,+oo)D.(—1,5)

5.“85。>0且5由2。<0”是“。為第四象限角”的()

A.充要條件B.必要不充分條件

C,充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知“x)=%5+加+陵+3且/(—2)=5,則/'(2)的值是()

A.-3B.-1C.1D.3

7.已知角e終邊上有一點(diǎn)(cos1—sinl,cos1+sin1),則。=()

5兀19兀9〃

A.-+1B.----1C.—D.----1

4444

3\x<0

8.設(shè)函數(shù)〃%對任意給定me(l,+co),都存在唯一的XGR,使得

log3x,x>Q

=+2a〃z-3(a>0)成立，則a的最小值是()

13

A.=B.1C.-D.2

22

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知a,b,c為實(shí)數(shù)，則下列命題中正確的是()

ab

A.若一^<―^,則a</?B.若ac>be,貝！

cc

C.若匕，c>d,則a+c>〃+dD.若Q〈Z?VO,則一>；

ab

10.在中，下列等式恒成立的是()

A.sin(A+B)-sinC=0B.cos（B+C）-cosA=0

,A+BB+C

sin-----cos—

C.-----A=1D.

cos——cos—

22

TT

11.0<a</3<-ftanc和tan/是方程f—5+2=0的兩個(gè)根，則下列結(jié)論正確的是()

Atana+tan[3-mB.tan(?+/7)>0

m>2^2D.m+tancif>4

2

—,x<0

12.設(shè)y(x)Tx,則下列選項(xiàng)中正確的有()

(x-l)',x>0

A.丁=/(力與了=。,。€區(qū)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則ae(l,+co)

B.方程/(X)-機(jī)=0有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則相?0,1]

C.21的解集是[2,包)

D.0</(/(x))<l的解集是(―s,T]U[0,行+1]

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數(shù)/(x)=JH+lnx的定義域是.

14.如圖1,折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，朝紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，其

展開的平面圖如圖2的扇形A08,其中NAO5=150°,CO=-AO=2,則扇面(曲邊四邊形ABOC)的

3

15.設(shè)a=log30-3力=log|0.2,c=0.2°-3,則mb＞。的大小關(guān)系為.

3

JT

16.對任意］《鼠恒有/(1一%)=/(1+1)=/(%-1),對任意6c0,—,/(sm6))=cos20,現(xiàn)已知

函數(shù)丁=/(尤)的圖像與丁="有4個(gè)不同的公共點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)上的值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.己知集合4={,-3<%<2},集合_8={乂1一w<x<3祖-1}.

(1)當(dāng)m=3時(shí)，求(。4)仆2；

(2)若A。3,求實(shí)數(shù)，"的取值范圍.

18.函數(shù)/(%)=Acos(ftW+0)(其中A>O,0>O，M<])部分圖象如圖所示，先把函數(shù)/(九)的圖象上

的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的;(縱坐標(biāo)不變)，把得到的曲線向左平移四個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單

24

位，得到函數(shù)g(x)的圖象.

(1)求函數(shù)g(x)圖象的對稱中心；

(2)當(dāng)xe時(shí)，求g(x)的值域.

OO

19.已知函數(shù)/(力=簽，是定義在(—1,1)上的奇函數(shù)，且/=

(1)求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)判斷函數(shù)/(%)在(-1,1)上的單調(diào)性，并用定義證明；

(3)解關(guān)于.的不等式：++

兀

20.已知函數(shù)/(%)=sin(2%—)-cos2x,xeR.

6

⑴求函數(shù)“X)的最小正周期；

(2)求函數(shù)八％)的對稱軸方程；

(3)求函數(shù)"%)在［0,會(huì)上的單調(diào)區(qū)間.

21.黨的二十大報(bào)告指出：必須堅(jiān)持科技是第一生產(chǎn)力、人才是第一資源、創(chuàng)新是第一動(dòng)力.科技興則民族

興，科技強(qiáng)則國家強(qiáng).2023年9月，華為Mate60系列的發(fā)布再次引發(fā)了廣泛關(guān)注，它不僅展示了中國科技產(chǎn)

業(yè)的不斷進(jìn)步和發(fā)展，更體現(xiàn)了中國人民自主創(chuàng)新、頑強(qiáng)不屈的精神.某芯片企業(yè)原有400名技術(shù)人員，年

人均投入。萬元(?！?),現(xiàn)為加大對研發(fā)工作的投入，該企業(yè)把原有技術(shù)人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，

其中技術(shù)人員x名，調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加(4司％,技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為機(jī)

萬元.

(1)若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前400名技術(shù)人員的年總投入，求調(diào)整后的研發(fā)人員

的人數(shù)最少為多少人？

(2)為了激勵(lì)研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在投入方面要同時(shí)滿足以下

三個(gè)條件：①技術(shù)人員不少于100人，不多于275人；②研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總

投入；③技術(shù)人員的年人均投入始終不減少.請問是否存在這樣的實(shí)數(shù)滿足以上兩個(gè)條件，若存在，

求出機(jī)的范圍；若不存在，說明理由.

22.已知函數(shù)/(x)=9,—2?3A+m(m>0).

(1)當(dāng)加=1時(shí)，求不等式27的解集；

⑵若%>占>0且石馬=加2，試比較尤J與/(九2)的大小關(guān)系；

⑶令g(x)=/(￡)+/(—x),若y=g(x)在R上的最小值為-11,求相的值.

龍崗區(qū)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高一期末質(zhì)量監(jiān)測

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共6頁，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

2.答題前，請將學(xué)校、班級(jí)、姓名和考號(hào)用規(guī)定的筆寫在答題卡指定的位置上，并將條形碼

粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū).請保持條形碼整潔、不污損.

3.本卷試題，考生必須在答題卡上按規(guī)定作答；凡在試卷、草稿紙上作答的，其答案一律無

效.答題卡必須保持清潔，不能折疊.

4.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡選擇題答題區(qū)內(nèi)對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；非選擇題答案必須用規(guī)定的筆，按作答題目的

序號(hào)，寫在答題卡非選擇題答題區(qū)內(nèi).

5.考試結(jié)束，請將答題卡交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.化簡sin420。的值是()

【答案】D

【解析】

【分析】用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)求解.

【詳解1sin420°=sin(360°+60°)=sin60°=.

故選：D

2.設(shè)集合M={x[0<x<4},N=<x,則AfcN=()

A.<xQ<x<—>B.<x—<x<4>

3、3

C.1x|4<%<51D.1x|0<%<51

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)交集定義運(yùn)算即可

【詳解】因?yàn)?=口|0＜工＜4},雙=口|!＜工＜5},所以McN=klg＜x＜41,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補(bǔ)的基本概念即可求解.

【解析】

【分析】由可知0(L＜1,根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象的單調(diào)性即可判斷得出結(jié)果.

a

【詳解】依題意可將指數(shù)函數(shù)y=G'化為、=化［,由a＞1可知0＜工＜1；

a

由指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得y=為單調(diào)遞減，且過定點(diǎn)(0,1),即可排除BD,

由對數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得》=1。瓦%為單調(diào)遞增，且過定點(diǎn)(1,0),排除C,

故選：A.

9

4.已知命題“V%eR,犬2+(〃-2)%+w〉0”是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.B.(—5,1)C.(-5,+co)D.(-1,5)

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得AvO,即可得解.

9

【詳解】因?yàn)槊}"VxwR,V+S—2)尤+1〉0”是真命題，

所以A=(a—2『—9＜0,解得—1＜。＜5,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-1,5).

故選：D.

5.“cos6>0且sin26?<0”是*為第四象限角”的()

A,充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】先考查充分性，根據(jù)條件確定。的終邊位置，再考查必要性，有終邊位置確定符號(hào)即可.

【詳解】充分性：

因?yàn)閏os6>0,

所以。為第一象限角或第四象限角或終邊在x軸的非負(fù)半軸，

又sin2e=2sin8cose<0,則sin6<0,

所以。為第三象限角或第四象限角或終邊在y軸的非正半軸，

綜上知，。為第四象限角，故充分性成立；

必要性：若。為第四象限角，則cos?！?。且sin(9<0,

此時(shí)sin20=2sinGeos0<0,

故必要性成立，故"cos。>0且sin26?<0”是“0為第四象限角”的充要條件，

故選:A.

6.已知/(x)=%5+加+區(qū)+3且/(—2)=5,則/(2)的值是()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】C

【解析】

【分析】^g(x)=x5+ax3+bx,利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】4g(x)=x5+av3+bx,

Hg(-x)=-x5-ax3-bx=-g(x),所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，

由〃—2)=g(—2)+3=5,得g(—2)=2,所以g(2)=—g(—2)=—2,

所以〃2)=g(2)+3=L

故選：c.

7.已知角(0,2%),a終邊上有一點(diǎn)(cos1—sin1,cos1+sin1),則a=()

9TI

T

【答案】A

【解析】

【分析】先判斷點(diǎn)在第幾象限，再求tanc并用正切得兩角和公式化簡，然后求得答案.

【詳解】因?yàn)閘e,所以cos1>0,sin1>0,cos1<sin1,

4'2

所以點(diǎn)(cosl-sinl,cosl+sinl)在第二象限.

tan——I-tan1

cos1+sin11+tan1

由已知得tana=

cos1-sin11-tan11-tan—tan1

4

7T

所以a=l+<

故選：A

,、3x,x<0/、

8.設(shè)函數(shù)/(%)={,對任意給定的me(l,4^o),都存在唯一的xeR,使得

log3x,x>0

/(/(%))=■+2劭7—3(。>0)成立，則a的最小值是()

【答案】C

【解析】

【分析】4g(rn)=m2+2am-3(a>0),結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求加e(l,+e)上的值域，畫出了(%)的大致圖

象，根據(jù)已知及圖象有(2a-2,+oo)是(1,+8)的子集，求。的范圍即可.

【詳解】4g(m)=m2+2am-3(a>0),開口向上且對稱軸為加=一。<0,

則g(m)在(1,+oo)上遞增，故對應(yīng)值域?yàn)?2a-2,+oo),

由解析式可得函數(shù)大致圖象如下,

y”

令r=/(x),貝hwo或ci時(shí)有一個(gè)解；0</wi時(shí)有兩個(gè)解，結(jié)合圖象，

當(dāng)/⑺e(70,0],則0<Yl,此時(shí)/=/(x)有兩個(gè)解；

當(dāng)/⑺e(0,l],則*0或1<區(qū)3,此時(shí)。=/(x)有兩個(gè)解；

當(dāng)/”)G(L+8),則r>3,此時(shí)/=/(x)有一個(gè)解；

任意給定的me(1,+oo),存在唯一的xeR使/(。=g(m)成立，

所以/0)e(l,+8),且(2a—2,+oo)是(1,+co)子集，所以2a—221,即

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將問題化為g(nz)=4+2am-3(a>0)在〃??1,+8)上的值域?yàn)?1,+<功的子集

為關(guān)鍵.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知a,b,c為實(shí)數(shù)，則下列命題中正確的是()

db

A.若不<二，則B.若ac>be,則4>人

cc

C.若a>b,c>d,則a+c>〃+dD.若avbvO,則

ab

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.

ah

【詳解】對于A,若二<二，則,2>。，所以〃<從故A正確；

CC

對于B,當(dāng)c<0時(shí)，若ac>be,則故B錯(cuò)誤；

對于C,若c>d,則a+c>Z?+d,故C正確；

對于D,若a<b<0,則一>不，故D正確.

ab

故選：ACD.

10.在AA5C中，下列等式恒成立的是()

A.sin(A+B)-sinC=0B.cos(B+C)-cosA=0

.A+BB+C

sin—cos—

C.-----^=1D.------_=]

A

cos—cos—

22

【答案】AC

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系分別對各選項(xiàng)進(jìn)行化簡計(jì)算即可驗(yàn)證.

【詳解】對于A,sin(4+3)-sinC=sinC-sinC=O,A正確;

對于B,cos(B+C)-cosA=-cosA-cosA=-2cosA,B錯(cuò)誤;

,A+BC

sm-----cos—

對于c,-----2__—合=l,c正確;

cos——COS——

22

B+C|71A.A

cos---c-o-s

對于D,-----"—g=tan?,D錯(cuò)誤.

A~~T-A2

cos—coscos—

222

故選:AC.

八c兀

11.0<a</<w，tana和tan4是方程9―3+2=0的兩個(gè)根，則下列結(jié)論正確的是()

A.tana+tanJ3=mB.tan(a+/?)>0

C.m>2>/2D.m+tana>4

【答案】AD

【解析】

【分析】由題設(shè)tan。>tana>0,利用根與系數(shù)關(guān)系及判別式有tan?+tan/7=m>O,tan(ztan/7=2,

m>2立,再結(jié)合和角正切公式、基本不等式判斷各項(xiàng)正誤.

71

【詳解】由0<a<夕<5,貝!|tan/7>tana>0,

則tana+tan〃=n?>0,tanatan/7=2且八=：/一&>。，則山〉2立，

由tan(〃+止:器=人對，B、C錯(cuò);

由tan[3----，貝！J根+tana=2tana+----->2/2tana-------4，

tan。tana\tana

當(dāng)且僅當(dāng)tana=l,tan/?=2時(shí)取等號(hào)，故陽+tana之4,D對.

故選：AD

-2

—,x<0

12.設(shè)y(x)=jx,則下列選項(xiàng)中正確的有()

(x-l)2,x>0

A.y=/(x)與y=a,aeR的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則ae(l,+8)

B.方程/(x)-〃z=0有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則me(0,1]

C.〃#21的解集是[2,也)

D.0</(〃力)W1的解集是(―嗎—1]U[0,后+”

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)解析式化為函數(shù)大致圖象，數(shù)形結(jié)合判斷各項(xiàng)的正誤.

要使丁=/(%)與y=a,aeR的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則ae(l,+8),A對;

方程/(%)—機(jī)=。有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則程e(0,1]，B對;

由圖象知：/(同之1的解集是[—2,0]。[2,+8),c錯(cuò)；

令t=/(x),由OW/“)W1,貝Ue(f,—2]U[0,2],而/=/(x)20,

0<--<2°,（x1）<2可得xV—1或o<x<l+0,故解集是

所以=/（%）<2,則X或<

x>0

x<0

（—00,—l]U[0,V2+l],D對.

故選：ABD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數(shù)/(x)=JH+lnx的定義域是

【答案】｛x|0<x<2]

【解析】

【分析】根據(jù)給定函數(shù)有意義直接列出不等式組，解不等式組可得答案.

2-x>0

【詳解】要使/(x)=12-x+lnx有意義,只需<c，解得0〈尤W2,

x>Q

故函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸[0<x<2｝,

故答案為：｛x[0<x<2]

14.如圖1,折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，初紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，其

展開的平面圖如圖2的扇形AO8,其中NAO5=150°,CO=-AO=2,則扇面(曲邊四邊形ABOC)的

3

面積是.

B

40兀

【答案】亍

【解析】

【分析】利用扇形面積公式求扇面(曲邊四邊形ABOC)的面積即可.

5兀

【詳解】由題設(shè)，e=ZAOB=——,則

6

1]5兀40幾

扇面（曲邊四邊形ABDC）的面積S=—x6x（OA2—。。2）=-x—><（36—4）=——.

2263

4071

故答案為：----

3

15.設(shè)a=log30-3力=log[0.2,c=0.2°3,則/乩c的大小關(guān)系為

3

【答案】a<c<b##b>c>a

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量法即可得解.

【詳解】ci=log30.3<0,

b=log10.2=log1->log】鼻=1,

333J

0<C=0.2°，3<0.2°=1，

所以a<c<b.

故答案為：a<c<b.

16.對任意》《口，恒有/(1一%)=/(》+1)=/(1-1),對任意0,-1,/(sin6>)=cos26>,現(xiàn)已知

函數(shù)y=f(x)的圖像與y=自有4個(gè)不同的公共點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)上的值為.

【答案】8-2715

【解析】

jr

【分析】由，e0,-,/(sin，)=cos2,，得=,由已知條件可得函數(shù)/(%)的圖像

的對稱性和周期性，可作出函數(shù)了⑺的圖像，由題意y=kx(k>0)的圖像函數(shù)y=/(%)在［3,5］上的圖

像相切，聯(lián)立方程組利用判別式求解.

【詳解】9G0,5,sin0G[0,1],/(sin^)=cos2^=l-sin2

令兀=5皿。，則有/(x)=l-x2(OWxWl),

任意xeR,恒有/(I—x)=/(x+l)=/(x—1),則函數(shù)/(%)的圖像關(guān)于x=l對稱，函數(shù)/(%)是以

2為周期的周期函數(shù)，

在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)y=/(x)與丁=履(左>0)的圖像，如圖所示,

函數(shù)y=/(x)的圖像與y=自有4個(gè)不同的公共點(diǎn)，由圖像可知，y=履(左>0)的圖像函數(shù)y=/(%)

在［3,5］上的圖像相切，

△=(左-8『-60=0_

由;”勺，消去，得f+(1)川5=0,則.

k—8，解得左=8—2a.

3<-----<5

、2

故答案為：8-2715

點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

(1)直接求零點(diǎn)：令40=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間團(tuán)，句上是連續(xù)不斷的曲線，且五。)：/仍)<0,還必須結(jié)合

函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)利用圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖像，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同

的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.己知集合4={,-3<%<2},集合3={乂1一w<x<3祖-1}.

(1)當(dāng)m=3時(shí)，求(。4)口2；

(2)若A。3,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】(1){x［2<x〈8}；

(2)m>4.

【解析】

【分析】(1)應(yīng)用集合的交補(bǔ)運(yùn)算求集合；

1-m<-3

(2)由包含關(guān)系得13機(jī)-122,即可求參數(shù)范圍.

3m-1>1-m

【小問1詳解】

由題設(shè)3={x[—2<x<8},且々A={x|尤<一3或x>2},

所以(Q4)c5={x[2<x?8}.

【小問2詳解】

1-m<-3

由AgB,貝巾加—122,可得加

3m-1>1-m

18.函數(shù)/(X)=ACOS(GX+0)(其中A>OM>O，M<])的部分圖象如圖所示，先把函數(shù)八力的圖象上

的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的;(縱坐標(biāo)不變)，把得到的曲線向左平移四個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單

位，得到函數(shù)g(x)的圖象.

(1)求函數(shù)g(x)圖象的對稱中心；

(2)當(dāng)xe時(shí)，求g(x)的值域.

OO

【答案】(1)(---------,1),左eZ；

412

3

(2)[0,-].

【解析】

【分析】⑴根據(jù)函數(shù)圖象求函數(shù)解析式，由圖象平移得g(x)=cos[4x+"1+l,再由余弦函數(shù)性質(zhì)求

對稱中心；

(2)由余弦型函數(shù)性質(zhì)求值域.

【小問1詳解】

In7iT.271c

由題設(shè)及圖知:A=1且一=------=—=>T=7i,貝n1|。=——=2,

41234T

7兀個(gè)+夕]=-1且Id7171

所以/(x)=cos(2x+9),而/cos<7,則0=一2

122o

綜上，/(x)=cosl2x--^-

函數(shù)7(%)的圖象上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的g(縱坐標(biāo)不變)，得〉=35卜-焉

把曲線向左平移四個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位，得g(x)=cos(4x++1,

令4XH-----=ATH—，左eZ,則工=-------，左eZ,即圖象對稱中心為(-------,1),左eZ.

62412412

【小問2詳解】

,「兀兀1r一5兀「兀471r(5兀、「1I：

由工￡，貝IJ4%H-----e[―,—],cos4Ax+--G[―1,—],

188」633I6J2

3

所以g(x)的值域?yàn)椋?,萬］.

式，是定義在上的奇函數(shù)，且/

19.己知函數(shù)/(x)=(-1,1)1對

(1)求函數(shù)/(%)解析式；

(2)判斷函數(shù)/(%)在(-1,1)上的單調(diào)性，并用定義證明；

(3)解關(guān)于r的不等式：++

【答案】(1)/(%)=--;

X'+1

⑵函數(shù)”X)在(—1,1)上是增函數(shù)，證明見解析；

⑶H-4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義可求得b的值，再結(jié)合已知條件可求得實(shí)數(shù)。的值，由此可得出函數(shù)

了(%)的解析式；

⑵判斷出函數(shù)“X)在(-M)上是增函數(shù)，任取均、工2€(—1，1)且占＜々，作差/(七)—/(%)，因

式分解后判斷/(石)-/(%)的符號(hào)，即可證得結(jié)論成立；

<0得小1

（3）由f\t+—j+,根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性與定義域可得出關(guān)

I2

于實(shí)數(shù)方的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)?的取值范圍.

【小問1詳解】

ax+b

解：因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=是定義在（—1,1）上的奇函數(shù)，貝x）=—/（X），

x2+l

-ax+bax+bax

即,可得5=0,則/（x）=

%2+1%2+1%2+1

1

-a

2___22X

所以，f=-a=~,則a=l,因此,〃x）=

x-+l

2

【小問2詳解】

證明：函數(shù)/（%）在（-M）上是增函數(shù)，證明如下:

2,2

石X_XX+石一千％2一X2

任取毛、/￡（一1，1）且再<%2，則/（尤1）一/（尤2）二2x2

x；+lxf+1（仁+1乂%；+1）

玉冗2（X2一芯）+（下一九2）（X1一九2）（1一%逮2）

（片+1）（^2+1）（片+1）（其+1）'

因?yàn)椤獎(jiǎng)t須一％2<0，-1<%%2<1，故/（%1）—/（%2）〈°，即/（石）</（工2）,

因此，函數(shù)八%）在（-1,1）上是增函數(shù).

【小問3詳解】

解：因?yàn)楹瘮?shù)/（力是（-1,1）上的奇函數(shù)且為增函數(shù),

11￡

由小+』+/T2<°得小+曰2（一小I2

11

t+—<——t

22

11

由已知可得<—1<t-\—<1,解得—<Z<0.

22

-l?<t——1<?1

2

因此，不等式+1+—1的解集為；,o]

22

JI

20.已知函數(shù)/(%)=sin(2%—)-cos2x,%eR.

6

(1)求函數(shù)的最小正周期；

(2)求函數(shù)〃尤)的對稱軸方程；

(3)求函數(shù)/(%)在［0,會(huì)上的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(1)兀；

/、kit7i

(2)x----------(zk7GZ)；

212

(3)單調(diào)增區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是［工,］］.

【解析】

【分析】(1)(2)(3)利用差角的正弦公式及輔助角公式化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.

【小問1詳解】

依題意，/(x)=sin2x--cos2x-cos2x=sin2x--cos2x=yj3sin(2x--)，

22223

所以函數(shù)八%)的最小正周期為7=笄=限

【小問2詳解】

由(1)知，/(x)=A/3sin(2x-^-),由—1=也一］,%eZ,得x=g-/,左eZ,

所以函數(shù)/(%)的對稱軸方程是x=￡-A/eZ).

【小問3詳解】

由(1)知，/(x)=V3sin(2x-^),當(dāng)時(shí)，2%-|e[-|,yJ,

由—巴＜2x—二V巴，解得OWxW型，由工＜2x—二解得4巴，

33212233122

所以函數(shù)小)在嗚］上的單調(diào)增區(qū)間是［0,含，單調(diào)遞減區(qū)間是電，鼻.

21.黨的二十大報(bào)告指出：必須堅(jiān)持科技是第一生產(chǎn)力、人才是第一資源、創(chuàng)新是第一動(dòng)力.科技興則民族

興，科技強(qiáng)則國家強(qiáng).2023年9月，華為Mate60系列的發(fā)布再次引發(fā)了廣泛關(guān)注，它不僅展示了中國科技產(chǎn)

業(yè)的不斷進(jìn)步和發(fā)展，更體現(xiàn)了中國人民自主創(chuàng)新、頑強(qiáng)不屈的精神.某芯片企業(yè)原有400名技術(shù)人員，年

人均投入。萬元(?！?),現(xiàn)為加大對研發(fā)工作的投入，該企業(yè)把原有技術(shù)人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員,

其中技術(shù)人員X名，調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加(4%)%,技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為。[加-石J

萬元.

(1)若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前400名技術(shù)人員的年總投入，求調(diào)整后的研發(fā)人員

的人數(shù)最少為多少人？

(2)為了激勵(lì)研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在投入方面要同時(shí)滿足以下

三個(gè)條件：①技術(shù)人員不少于100人，不多于275人；②研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總

投入；③技術(shù)人員的年人均投入始終不減少.請問是否存在這樣的實(shí)數(shù)加，滿足以上兩個(gè)條件，若存在，

求出加的范圍；若不存在，說明理由.

【答案】⑴25人(2)存在；加e{23}

【解析】

【分析】⑴根據(jù)題意，得到不等式(400—x)[l+(4x)%]a2400a,(a>0),得出x,再用己知條件得出

25W400—xW400得出結(jié)果

x9Y

⑵由條件②得加<—+—+15,由條件③得加2——+1,假設(shè)存在機(jī)滿足上述條件，則上述兩個(gè)不等

x2525

式恒成立，求出m即可.

【小問1詳解】

依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入為[l+(4x)%]a萬元，

則(400-x)[l+(4x)%