分式方程的實際應(yīng)用【十大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版） 八年級數(shù)學下冊

專題16.4分式方程的實際應(yīng)用【十大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1行程問題】 1【題型2工程問題】 4【題型3銷售問題】 8【題型4數(shù)字問題】 11【題型5圖形問題】 13【題型6和差倍分問題】 19【題型7比值問題】 22【題型8航行問題】 27【題型9素材問題】 30【題型10方案問題】 39【題型1行程問題】【例1】（2023上·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）我國的鐵路旅客列車，按不同的運行速度、運行范圍、設(shè)備配置、作業(yè)特征等，分為不同的級別，列車的級別由車次開頭的字母來表示（部分是純數(shù)字）．如G字頭，表示高速動車組旅客列車；D字頭，表示動車組旅客列車；C字頭，表示城際旅客列車；K字頭，表示快速旅客列車，等等．呂梁站至太原南站約180km，隨著交通的發(fā)展呂梁站至太原南站已開通了多次列車，其中“C150”次列車與“K1334”次列車相比，時速加快，并安全性更好．已知“C150”次列車的平均速度是速度是“K1334”次列車的43倍，并“C150”次列車從呂梁站至太原南站所用時間比“K1334”次列車少用30分鐘（兩列車中途停留時間均除外）．求“C150”次列車和“K1334”次列車從呂梁站至太原南站的平均速度分別是多少．【答案】“C150”次列車和“K133”次列車從呂梁站至太原南站的平均速度分別為90km/h，120【分析】設(shè)“K1334”次列車的平均速度是xkm/h，則“C150”次列車的平均速度為4【詳解】解：設(shè)“K1334”次列車的平均速度是xkm/h，則“C150”次列車的平均速度為由題意，得1804整理，得135x方程兩邊乘2x，得270+x=360，解得，x=90，經(jīng)檢驗x=90是原方程的解，43答：“C150”次列車和“K133”次列車從呂梁站至太原南站的平均速度分別為90km/h，120【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用．根據(jù)題意，正確的列出分式方程，是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023上·湖南長沙·八年級統(tǒng)考期末）八年級（1）班組織同學乘大巴車前往“韶山紅色教育基地”開展愛國教育活動，基地離學校有120公里，隊伍8:00從學校出發(fā)，劉老師因有事情，推遲了半個小時從學校自駕小車以大巴1.5倍的速度追趕，追上大巴后繼續(xù)前行，結(jié)果比隊伍提前10分鐘到達基地，問：(1)大巴與小車的平均速度各是多少？(2)劉老師追上大巴的地點到基地的路程有多遠？【答案】(1)大巴的平均速度為60公里/時，則小車的平均速度為90公里/時(2)劉老師追上大巴的地點到基地的路程有30公里【分析】（1）根據(jù)“大巴車行駛?cè)趟钑r間=小車行駛?cè)趟钑r間+小車晚出發(fā)的時間+小車早到的時間”列分式方程求解可得；（2）根據(jù)“從學校到相遇點小車行駛所用時間+小車晚出發(fā)時間=大巴車從學校到相遇點所用時間”列方程求解可得．【詳解】（1）解：設(shè)大巴的平均速度為x公里/時，則小車的平均速度為1.5x公里/時，根據(jù)題意，得：120x解得：x=60，經(jīng)檢驗：x=60是原方程的解，∴1.5x=90（公里/時），答：大巴的平均速度為60公里/時，則小車的平均速度為90公里/時；（2）解：設(shè)劉老師趕上大巴的地點到基地的路程有y公里，根據(jù)題意得：12解得：y=30，答：劉老師追上大巴的地點到基地的路程有30公里．【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目中蘊含的相等關(guān)系，并依據(jù)相等關(guān)系列出方程．【變式1-2】（2023·福建省泉州第一中學八年級期末）如圖，小剛家、王老師家、學校在同一條路上，小剛家到王老師家的路程為3千米，王老師家到學校的路程為0.5千米.由于小剛的父母戰(zhàn)斗在抗震救災(zāi)第一線，為了使他能按時到校，王老師每天騎自行車送小剛上學.已知王老師騎自行車的速度是步行的3倍，每天比平時步行上班多用了20分鐘，問王老師的步行速度及騎自行車的速度各是多少？【答案】王老師的步行速度是5?km/h【分析】王老師接小剛上學走的路程÷騎車的速度-平時上班走的路程÷步行的速度=2060【詳解】設(shè)王老師的步行速度是x?km/h由題意可得：3+3+0.53x?0.5經(jīng)檢驗，x=5是原方程的根，∴3x=15答：王老師的步行速度是5?km/h【點睛】本題考查列分式方程解應(yīng)用題.重點在于準確地找出相等關(guān)系，需注意①王老師騎自行車接小剛所走路程是（3+3+0.5）千米；②注意單位要統(tǒng)一.【變式1-3】（2023上·河北保定·八年級校聯(lián)考期末）某日，河北經(jīng)貿(mào)大學的青年志愿者協(xié)會舉辦了以“低碳生活，綠色出行”為主題的志愿活動．為響應(yīng)“低碳生活，綠色出行”的號召，趙琦每天騎自行車或步行上學，已知趙琦家距離學校4千米，趙琦騎自行車的速度是步行速度的2.5倍（騎自行車和步行均是勻速），騎自行車上學比步行上學早到0.6小時．(1)求趙琦步行上學的速度．(2)若趙琦某次上學步行了0.5千米后發(fā)現(xiàn)沒有帶數(shù)學作業(yè)，于是他原速原路返回家拿數(shù)學作業(yè)，然后騎自行車去上學，他到家后開門、拿數(shù)學作業(yè)、取自行車等共用0.15小時，為了不遲到，趙琦以高于平時騎自行車的速度勻速向?qū)W校行駛．若趙琦從步行出門到最后到學校共用了0.6小時，求趙琦這次騎自行車的速度．【答案】(1)4千米/時(2)20千米/時【分析】（1）設(shè)趙琦步行上學的速度為x千米/時，根據(jù)“趙琦家距離學校4千米，趙琦騎自行車的速度是步行速度的2.5倍（騎自行車和步行均是勻速），騎自行車上學比步行上學早到0.6小時”列出分式方程，解方程檢驗后可得答案；（2）設(shè)趙琦這次騎自行車的速度為y千米/時，根據(jù)從步行出門到最后到學校共用了0.6小時列出分式方程，解方程檢驗后可得答案．【詳解】（1）解：設(shè)趙琦步行上學的速度為x千米/時，根據(jù)題意，得：4x解得x=4，經(jīng)檢驗，x=4是原方程的解，且符合題意，答：趙琦步行上學的速度為4千米/時；（2）解：設(shè)趙琦這次騎自行車的速度為y千米/時，根據(jù)題意，得：2×0.5解得y=20，經(jīng)檢驗，y=20是原方程的解，且符合題意，答：趙琦這次騎自行車的速度為20千米/時．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找出合適的等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．【題型2工程問題】【例2】（2023上·河北唐山·八年級統(tǒng)考期末）某校利用暑假進行田徑場的改造維修，項目承包單位派遣一號施工隊進場施工，計劃用30天時間完成整個工程．當一號施工隊工作10天后，承包單位接到通知，有一大型活動要在該田徑場舉行，要求比原計劃提前8天完成整個工程，于是承包單位派遣二號與一號施工隊共同完成剩余工程，結(jié)果按通知要求如期完成整個工程．（1）若二號施工隊單獨施工，完成整個工程需要多少天？（2）若此項工程一號、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要多少天？【答案】（1）若由二號施工隊單獨施工，完成整個工期需要45天；（2）若由一、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要18天【分析】（1）設(shè)二號施工隊單獨施工需要x天，根據(jù)題意得，兩隊一起施工和一號施工隊單獨施工30天的總工作量相同；兩隊一起施工時，一號施工隊工作30?8天，二號施工隊工作30?8?10天，通過列方程并求解，即可得到答案；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)題意，工程一號、二號施工隊同時進場施工和一號施工隊單獨施工30天的總工作量相同，通過列方程并求解，即可得到答案．【詳解】（1）設(shè)二號施工隊單獨施工需要x天，根據(jù)題意得：30?830解得：x=45，經(jīng)檢驗，x=45是原分式方程的解∴若由二號施工隊單獨施工，完成整個工期需要45天；（2）一號、二號施工隊同時進場施工需要的天數(shù)為x天根據(jù)題意得：1∴x=18∴若由一、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要18天．【點睛】本題考查了分式方程、一元一次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程、一元一次方程的性質(zhì)，從而完成求解．【變式2-1】（2023下·重慶九龍坡·八年級重慶市育才中學?？计谀┲貞c育才成功學校食堂有10個供應(yīng)飯菜的窗口，第1到5號窗口的每一位工作人員的打飯速度是相同的，第6到10號窗口是炒菜炒飯?zhí)厣翱?，它的每一位工作人員的打飯速度是第1到5號窗口的每一位工作人員速度的18．小主人委員會同學在執(zhí)勤時發(fā)現(xiàn)：第1到5號窗口分別都有相同數(shù)量的同學在排隊，第6、7、8號窗口分別都有1號窗口數(shù)量的16的同學在排隊，第9、10號窗口分別都有1號窗口數(shù)量的110同學在排隊，從此時開始計時，第1到5號窗口在10分鐘后結(jié)束排隊，第6、7、8號窗口在18分鐘以后結(jié)束排隊，第9、10號窗口在15分鐘以后結(jié)束排隊．后來小主人委員會的同學從伙食團團長處了解到：第1到5號窗口全部安排給了甲組工作人員負責打飯，第6到10號窗口全部安排給了乙組工作人員負責打飯，其中乙組工作人員的35在6、7、8三個窗口打飯，另外的【答案】5：4．【分析】設(shè)1到5號窗口每分鐘來排隊吃飯的同學為x人，甲組有a名工作人員負責打飯，乙組有b名工作人員負責打飯，根據(jù)“第6到10號窗口是炒菜炒飯?zhí)厣翱?，它的每一位工作人員的打飯速度是第1到5號窗口的每一位工作人員速度的18【詳解】解：設(shè)1到5號窗口每分鐘來排隊吃飯的同學為x人，則6到8號窗口每分鐘來排隊吃飯的同學為16x人，9、10號窗口每分鐘來排隊吃飯的同學為110x人，設(shè)甲組有10x×5a∴ab故答案為：5:4．【點睛】本題是一個分式應(yīng)用題，關(guān)鍵是弄清題目中各個數(shù)量關(guān)系，特別是等量關(guān)系：第6到10號窗口是炒菜炒飯?zhí)厣翱冢拿恳晃还ぷ魅藛T的打飯速度是第1到5號窗口的每一位工作人員速度的18【變式2-2】（2023下·江蘇鹽城·八年級東臺市三倉鎮(zhèn)中學?？计谥校┠骋豁椆こ?，在工程招標時，接到甲、乙兩個工程隊的投標書，施工一天，需付甲工程隊工程款1.5萬元，乙工程隊工程款1.1萬元，工程領(lǐng)導小組根據(jù)甲乙兩隊的投標書測算，可有三種施工方案：（1）甲隊單獨完成這項工程剛好如期完成；（2）乙隊單獨完成這項工程要比規(guī)定日期多用5天；（3）若甲、乙兩隊合作4天，余下的工程由乙隊單獨也正好如期完成．據(jù)上述條件解決下列問題：①規(guī)定期限是多少天？寫出解答過程；②在不耽誤工期的情況下，你覺得哪一種施工方案最節(jié)省工程款?【答案】規(guī)定期限20天；方案（3）最節(jié)省【分析】設(shè)這項工程的工期是x天，根據(jù)甲隊單獨完成這項工程剛好如期完成，乙隊單獨完成這項工程要比規(guī)定日期多用5天，若甲、乙兩隊合做4天，余下的工程由乙隊單獨做也正好如期完成以及工作量=工作時間×工作效率可列方程求解．再看費用情況：方案（1）、（3）不耽誤工期，符合要求，可以求費用，方案（2）顯然不符合要求．【詳解】解：設(shè)規(guī)定期限x天完成，則有：4x解得x=20．

經(jīng)檢驗得出x=20是原方程的解；答：規(guī)定期限20天．方案（1）：20×1.5=30（萬元）方案（2）：25×1.1=27.5（萬元），

方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（萬元）．所以在不耽誤工期的前提下，選第三種施工方案最節(jié)省工程款．所以方案（3）最節(jié)?。c睛：本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟，即①根據(jù)題意找出等量關(guān)系②列出方程③解出分式方程④檢驗⑤作答．注意：分式方程的解必須檢驗．【變式2-3】（2023下·重慶南岸·八年級重慶市珊瑚初級中學校?？计谥校┲貞c市某垃圾填埋場生態(tài)修復工程全面竣工驗收，全國最大垃圾填埋場搖身變?yōu)榄h(huán)境優(yōu)美、空氣宜人的生態(tài)綠地，實現(xiàn)了城市土地的循環(huán)再利用．修復之初，一期工程共有7500噸垃圾要運走，計劃由甲、乙兩個工程隊運走垃圾．已知甲、乙兩個工程隊，原計劃甲平均每天運走的垃圾比乙平均每天運走的垃圾多23，這樣甲運走4500(1)求原計劃甲平均每天運垃圾多少噸？(2)實際施工時，甲平均每天運走的垃圾比原計劃增加了5a噸，乙平均每天運走的垃圾比原計劃增加了a150【答案】(1)原計劃甲平均每天運垃圾250噸(2)甲工程隊的運輸費用為210000元【分析】（1）原計劃乙平均每天運垃圾x噸，則原計劃甲平均每天運垃圾1+23x（2）由題意：實際施工時，甲平均每天運走的垃圾比原計劃增加了5a噸，乙平均每天運走的垃圾比原計劃增加了a150，甲、乙合作7天后，甲臨時有其他任務(wù)；剩下的垃圾由乙再單獨工作2【詳解】（1）解：設(shè)原計劃乙平均每天運垃圾x噸，則甲平均每天運垃圾1+2根據(jù)題意得：45001+解得x=150，經(jīng)檢驗x=150是原方程的解且符合題意，則53答：原計劃甲平均每天運垃圾250噸．（2）解：根據(jù)題意得：250+5a×7+150×解得a=100，則250+5×100×7×40=210000答：甲工程隊的運輸費用為210000元．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：①找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；②找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．【題型3銷售問題】【例3】（2023下·山東泰安·八年級肥城市實驗中學?？计谥校┠硞€體經(jīng)營戶了解到有一種盒裝商品能暢銷市場，就用4萬元購進這種商品，面市后果然供不應(yīng)求，他又用8.8萬元購進了第二批這種商品，所購數(shù)量是第一批購進量的2倍，但每盒單價漲了4元，他在銷售這種盒裝商品時每盒定價都是56元，最后剩下的150盒按八折銷售，很快售完．(1)該盒裝商品兩次的單價分別是多少元？(2)在這兩筆生意中，這位個體經(jīng)營戶共贏利多少元？【答案】(1)40元和44元．(2)38320元【分析】（1）設(shè)第一批進貨的單價為x元，則第二批進貨的單價為(x+4)元，根據(jù)第二批進貨是第一批購進數(shù)量的2倍，列方程求出x的值即可．（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，求出盈利即可．【詳解】（1）解：設(shè)第一批進貨的單價為x元，則第二批進貨的單價為(x+4)元，依題意有40000x解得：x=40，經(jīng)檢驗x=40是原分式方程的解，且符合題意，x+4=44，第二次進貨的單價為44元，所以，該盒裝商品兩次的單價分別是40元和44元．（2）解：由（1）可知，第一次進貨1000件，第二次進貨的單價為44元，第二次進貨2000件，總盈利為：(56?40)×1000+(56?44)×(2000?150)+150×(56×0.8?44)=16000+22200+120=38320（元)．答：這位個體經(jīng)營戶共贏利38320元．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解．【變式3-1】（2023下·河南南陽·八年級南陽市第三中學?？茧A段練習）《非機動車管理辦法》規(guī)定：電動自行車駕駛?cè)撕统俗藛T應(yīng)該戴安全頭盔．某商店用1600元購進一批電動車頭盔，銷售發(fā)現(xiàn)供不應(yīng)求，于是，又用5400元再購進一批頭盔，第二批頭盔的數(shù)量是第一批的3倍，但單價比第一批貴10元．第一批頭盔進貨單價多少元?【答案】80【分析】設(shè)第一批頭盔進貨單價x元，則第二批進價為x+10元，再根據(jù)等量關(guān)系“第二批頭盔的數(shù)量是第一批的3倍”列分式方程求解即可．【詳解】解：設(shè)第一批頭盔進貨單價x元，則第二批進價為x+10元，根據(jù)題意可得：1600x×3=5400經(jīng)檢驗，x=80是分式方程1600x答：第一批頭盔進貨單價80元．【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意、正確列出分式方程是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023上·云南紅河·八年級統(tǒng)考期末）昭通蘋果和天麻美味可口，小明在昆明某超市購買1市斤昭通蘋果和2市斤小草壩天麻需要支付105元，購買3市斤昭通蘋果和5市斤小草壩天麻需要265元．(1)1市斤昭通蘋果和1市斤小草壩天麻的單價分別是多少元？(2)昆明到昭通的距離大約350km【答案】(1)一市斤昭通蘋果和一市斤小草壩天麻的單價分別是5元和50元(2)原來一市斤蘋果進貨單價為4元【分析】（1）設(shè)一市斤昭通蘋果和一市斤小草壩天麻的單價分別是x元和y元，根據(jù)購買1市斤昭通蘋果和2市斤小草壩天麻需要支付105元，購買3市斤昭通蘋果和5市斤小草壩天麻需要265元，列出方程組，解方程組即可；（2）設(shè)問原來一市斤蘋果進貨單價為a元，則現(xiàn)在的進貨單價為a+1元，根據(jù)以前花240元進購的蘋果現(xiàn)在要花300元，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：設(shè)一市斤昭通蘋果和一市斤小草壩天麻的單價分別是x元和y元，列方程組：x+2y=1053x+5y=165，解方程組得：x=5y=50∴一市斤昭通蘋果和一市斤小草壩天麻的單價分別是5元和50元．（2）解：設(shè)問原來一市斤蘋果進貨單價為a元，則現(xiàn)在的進貨單價為a+1元，由題可得：240a∴解得：a=4經(jīng)檢驗，a=4是原方程的解，且符合題意，∴原來一市斤蘋果進貨單價為4元．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程，準確計算．【變式3-3】（2023上·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學校考階段練習）成都大運會期間，吉祥物“蓉寶”的周邊商品的銷量不斷上升．一家網(wǎng)店的店主統(tǒng)計了前兩周的“蓉寶”單肩包的銷售情況，發(fā)現(xiàn)第一周A型單肩包的銷量是100個，B型單肩包銷量是120個，總利潤是2800元；第二周A型單肩包的銷量是180個，B型單肩包的銷量是200個，總利潤是4800元．(1)請問1個A型單肩包、1個B型單肩包的利潤分別是多少元？(2)店主在第三周調(diào)整了價格，A型單肩包每個漲價a元，B型單肩包每個降價a元，統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)，調(diào)整后的這周A、B兩種型號單肩包的銷量一樣，并且A型單肩包的總利潤達2400元，B型單肩包的總利潤達2600元．求出a的值．【答案】(1)1個A型單肩包的利潤是10元，1個B型單肩包的利潤是15元(2)a=2【分析】（1）設(shè)1個A型單肩包的利潤是x元，1個B型單肩包的利潤是y元，根據(jù)題中第一周和第二周的銷量情況和總利潤，列二元一次方程即可解答；（2）根據(jù)兩種單肩包的銷量一樣，列分式方程，即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)1個A型單肩包的利潤是x元，1個B型單肩包的利潤是y元，由題意可得100x+120y=2800180x+200y=4800解得x=10y=15∴1個A型單肩包的利潤是10元，1個B型單肩包的利潤是15元；（2）解：根據(jù)題意可得：240010+a解得a=2，經(jīng)檢驗，a=2是原方程的解，且符合題意，∴a=2．【點睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系列方程．【題型4數(shù)字問題】【例4】（2023上·貴州銅仁·八年級?？计谥校┮粋€兩位數(shù)的十位數(shù)字是6，如果把十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)，那么所得的兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)之比是47，原來得兩位數(shù)是【答案】63【分析】設(shè)這個兩位數(shù)個位上的數(shù)為x，，再根據(jù)等量關(guān)系列出方程，最后檢驗并作答．【詳解】解：設(shè)這個兩位數(shù)個位上的數(shù)為x，則可列方程：10x+66×10+x整理得66x＝198，解得x＝3，經(jīng)檢驗x＝3是原方程的解，則60+x＝63，故答案為：63．【點睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟，即①根據(jù)題意找出等量關(guān)系②列出方程③解出分式方程④檢驗⑤作答．注意：分式方程的解必須檢驗．【變式4-1】（2023上·全國·八年級專題練習）有一個最簡分數(shù)，如果分子加1，分子則比分母少2；如果分母加1，則分數(shù)值等于12，原分數(shù)是【答案】4【分析】由分子加1，分子則比分母少2可知，原來分子比分母少1+2=3，如果設(shè)原來的分子是x，則分母是x+3，又由分母加1，則分數(shù)值等于【詳解】解：設(shè)原分數(shù)的分子是x，則分母是x+1+2，由題意列出方程x所以xx+4所以2x=x+4，解得：x=4，經(jīng)檢驗符合題意；所以4+1+2=7；因此這個分數(shù)是47故答案為：4【點睛】此題考查的目的是理解掌握分數(shù)的基本性質(zhì)及應(yīng)用，關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，列方程解答比較簡便．【變式4-2】（2023·福建省泉州第一中學八年級期末）有一個兩位數(shù)，它的個位數(shù)字比十位數(shù)字大1，這個兩位數(shù)被個位數(shù)字除時，商是8，余數(shù)是2，求這個兩位數(shù)．【答案】34【分析】設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為x+1，兩位數(shù)是10x+x+1，利用兩位數(shù)減2除以個位數(shù)字，商是8列出方程，解方程求出方程的根，檢驗后求出兩位數(shù)即可．【詳解】解：設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為x+1，則：10x+(x+1)?2x+1解方程得：x=3，經(jīng)檢驗：x=3是原方程的根，所以個位上的數(shù)字為：x+1＝3＋1＝4，所以這個兩位數(shù)是：3×10＋4＝34．答：這個兩位數(shù)是34．【點睛】本題考查數(shù)字問題分式方程應(yīng)用題，掌握分式方程解應(yīng)用題的步驟與解法，關(guān)鍵是抓住兩位數(shù)減2除以個位數(shù)字，商是8列出方程．【變式4-3】（2023上·山東濰坊·八年級校聯(lián)考期末）一個二位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字的和是12，如果交換十位數(shù)字與個位數(shù)字的位置并把所得到的新的二位數(shù)作為分子，把原來的二位數(shù)作為分母，所得的分數(shù)約分為47，則這個二位數(shù)是【答案】84【分析】設(shè)這個二位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個位數(shù)字為（12﹣x），根據(jù)“如果交換十位數(shù)字與個位數(shù)字的位置并把所得到的新的二位數(shù)作為分子，把原來的二位數(shù)作為分母，所得的分數(shù)約分為47”，即可得出關(guān)于x【詳解】設(shè)這個二位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個位數(shù)字為（12﹣x），根據(jù)題意得：1012?x+x10x+解得：x＝8，經(jīng)檢驗，x＝8是所列分式方程的解，且符合題意，∴12﹣x＝4．故答案為84．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【題型5圖形問題】【例5】（2023下·重慶沙坪壩·八年級重慶一中?？茧A段練習）如圖1，在一張長方形紙片的四個角分別剪去一個邊長相等的正方形，可折疊成如圖2的一個無蓋長方體紙盒．圖1

圖2(1)若圖1中原長方形紙片長20cm，寬16cm，被剪掉的正方形邊長為acm，折疊得到的無蓋長方體紙盒的長、寬、高之和為24(2)現(xiàn)有60張同樣規(guī)格的長方形紙片，可制作成60個無蓋長方體紙盒，剪下來的正方形恰好全部制作成正方體（每個正方體需要6個正方形），現(xiàn)把20名同學分為甲、乙兩組，甲組制作無蓋長方體紙盒，乙組制作正方體，若甲組平均每人制作的無蓋長方體紙盒個數(shù)是乙組平均每人制作的正方體個數(shù)的一半，求甲組有多少名同學？【答案】(1)4(2)15名【分析】（1）根據(jù)“折疊得到的無蓋長方體紙盒的長、寬、高之和為24cm（2）設(shè)甲組有x名同學，則乙組有20?x名同學，根據(jù)“甲組平均每人制作的無蓋長方體紙盒個數(shù)是乙組平均每人制作的正方體個數(shù)的一半”，列出方程，即可求解．【詳解】（1）解：20?2a解得：a=4答：a的值為4．（2）解：設(shè)甲組有x名同學，則乙組有20?x名同學，根據(jù)題意得：60x解得：x=15經(jīng)檢驗，x=15是原方程的解且符合題意．答：甲組有15名同學．【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，明確題意，準確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023下·安徽合肥·八年級合肥市第四十五中學校考階段練習）一根水管因使用日久，內(nèi)壁均勻地形成一層厚2mm的附著物，而導致流通截面面積減少至原來的916，這根水管原來的內(nèi)壁直徑是（

A．8mm B．9mm C．16mm D．18mm【答案】C【分析】設(shè)這根水管原來的內(nèi)壁半徑是xmm，然后根據(jù)內(nèi)壁均勻地形成一層厚2mm的附著物，而導致流通截面面積減少至原來的916【詳解】解：設(shè)這根水管原來的內(nèi)壁半徑是xmm，由題意得πx?2∴x?2x=3解得x=8，經(jīng)檢驗x=8是原方程的解，∴這根水管原來的內(nèi)壁直徑是16mm故選C．【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意列出方程．【變式5-2】（2023下·浙江杭州·八年級階段練習）為抗擊新冠疫情，義烏市某企業(yè)承接了一批口罩所需包裝盒的制作業(yè)務(wù)，該企業(yè)進行了前期的試生產(chǎn)，如圖1所示的長方形和正方形紙板（長方形的寬與正方形的邊長相等）加工成如圖2所示的豎式與橫式兩種無蓋的長方形紙箱，（加工時接縫材料不計）（1）該企業(yè)原計劃用若干天加工紙箱300個，后來由于提升工作效率，實際加工時每天加工速度為原計劃的1.5倍，這樣提前3天超額完成了任務(wù)，且總共比原計劃多加工15個，問原計劃每天加工包裝盒多少個；（2）若該企業(yè)購進正方形紙板550張，長方形紙板1200張．問豎式紙盒，橫式紙盒各加工多少個，恰好能將購進的紙板全部用完；（3）該企業(yè)某一天使用的材料清單上顯示，這天一共使用正方形紙板100張，長方形紙板a張，全部加工成上述兩種紙盒，且150<a<168，試求在這一天加工兩種紙盒時a的所有可能值．（請直接寫出結(jié)果）【答案】（1）30個；（2）豎式紙盒加工150個，橫式紙盒加工200個；（3）155、160和165．【分析】（1）設(shè)原計劃每天加工禮盒x個，則實際加工時每天加工禮盒1.5x個，根據(jù)“提前3天超額完成了任務(wù)，且總共比原計劃多加工15個”即可得出關(guān)于x的分式方程，解方程即可得出x值；（2）設(shè)豎式紙盒加工m個，橫式紙盒加工n個，恰好能將購進的紙板全部用完．根據(jù)“豎式紙盒需要4個長方形和1個正方形紙板，橫式紙盒需要3個長方形和2個正方形紙板”即可得出關(guān)于m、n的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論；（3）設(shè)該天橫式紙盒加工t個，則豎式紙盒加工（100-2t）個，根據(jù)“豎式紙盒需要4個長方形和1個正方形紙板，橫式紙盒需要3個長方形和2個正方形紙板”即可得出a與t之間的關(guān)系式，再結(jié)合a的取值范圍即可求出t的取值范圍，根據(jù)t為正整數(shù)，即可得出t的值，從而即可得出a的所有可能值．【詳解】解：（1）設(shè)原計劃每天加工禮盒x個，則實際加工時每天加工禮盒1.5x個，根據(jù)題意得：300x解得：x=30，經(jīng)檢驗：x=30為分式方程的解．答：原計劃每天加工禮盒30個．（2）設(shè)豎式紙盒加工m個，橫式紙盒加工n個，恰好能將購進的紙板全部用完．由已知得：4m+3n=1200m+2n=550，解得：m=150答：豎式紙盒加工150個，橫式紙盒加工200個，恰好能將購進的紙板全部用完．（3）設(shè)該天橫式紙盒加工t個，則豎式紙盒加工（100-2t）個，由題意得：a=3t+4×（100-2t）=-5t+400，∵150＜a＜168，∴150＜-5t+400＜168，解得：4625＜t∵t為整數(shù)，∴t=47、48、49，∴a=165、160、155．答：在這一天加工兩種紙盒時a的所有可能值為155、160和165．【點睛】本題考查了解分式方程、二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x的分式方程；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于m、n的二元一次方程組；（3）根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出a關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程（方程組或函數(shù)關(guān)系式）是關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·江蘇南通·八年級南通田家炳中學校考階段練習）如圖，“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為a米a>1的正方形去掉一個邊長為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為a?1米的正方形，兩塊試驗田的小麥都收獲了500kg(1)①“豐收1號”單位面積產(chǎn)量為__________kg/m2“豐收2號”單位面積產(chǎn)量為___________kgm2（以上結(jié)果均用含②由圖可知，_____________（填“1號”或“2號”）小麥的單位面積產(chǎn)量高；(2)若高的單位面積產(chǎn)量比低的單位面積產(chǎn)量的多40a?12kg/m(3)某農(nóng)戶試種“豐收1號”、“豐收2號”兩種小麥種子，兩種小麥試種的單位面積產(chǎn)量與實驗田一致，“豐收1號”小麥種植面積為n平方米（n為整數(shù)），“豐收2號”小麥種植面積比“豐收1號”少55平方米．若兩種小麥種植后，收獲的產(chǎn)量相同，當a<8且a為整數(shù)時，符合條件的n的值為___________（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)①500a2?1；500(2)24(3)110，165，220【分析】（1）①用“總產(chǎn)量÷面積”列式求得單位面積的產(chǎn)量；②根據(jù)a>1，并利用不等式的性質(zhì)作出比較；（2）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程，從而可以求得a的值；（3）根據(jù)題意列出方程，并結(jié)合a<8，列不等式求解．【詳解】（1）解：①由題意，“豐收1號”小麥的試驗田的面積為a2∴“豐收1號”單位面積產(chǎn)量為500a由題意，“豐收2號”單位面積為a?12∴“豐收2號”單位面積產(chǎn)量為500a?1故答案為：500a2?1②∵a>1，∴a2?1=a+1∴a+1>a?1，∴a2∴500a即“豐收2號”小麥的單位面積產(chǎn)量高．故答案為：2號．（2）根據(jù)題意，得：500a?1解得：a=24，經(jīng)檢驗：a=24是原方程的解且符合題意．∴a的值是24．（3）根據(jù)題意，得：500na整理，可得：a=2n?55∴n=55當a<8時，2n?5555解得：n<495又∵n為正整數(shù)，且滿足n=55當a=3時，n=55×4當a=5時，n=55×6當a=7時，n=55×8∴符合條件的n的值為110，165，220．故答案為：110，165，220．【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用．理解分式的基本性質(zhì)，不等式的基本性質(zhì)，根據(jù)題意列出方程是解題關(guān)鍵．【題型6和差倍分問題】【例6】（2023上·四川廣元·八年級統(tǒng)考期末）某社區(qū)擬建A，B兩類攤位以搞活“地攤經(jīng)濟”，每個A類攤位的占地面積比每個B類攤位的占地面積多2平方米．用60平方米建A類攤位的個數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個數(shù)的35(1)求每個A，B類攤位占地面積各為多少平方米；(2)該社區(qū)擬建A，B兩類攤位共90個，且B類攤位的數(shù)量不少于A類攤位數(shù)量的3倍．求最多建多少個A類攤位．【答案】(1)每個A類攤位占地面積為5平方米，每個B類攤位占地面積為3平方米(2)最多建22個A類攤位【分析】（1）設(shè)每個A類攤位占地面積為x平方米，則每個B類攤位占地面積為x?2平方米，由題意：用60平方米建A類攤位的個數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個數(shù)的35（2）設(shè)A類攤位的數(shù)量為m個，則B類攤位的數(shù)量為90?m個，由題意：建造B類攤位的數(shù)量不少于A類攤位數(shù)量的3倍，列出一元一次不等式，然后解不等式即可．【詳解】（1）解：設(shè)每個A類攤位占地面積為x平方米，則每個B類攤位占地面積為x?2平方米，依題意，得：60x解得：x=5，經(jīng)檢驗，x=5是原分式方程的解，且符合題意，則x?2=5?2=3．答：每個A類攤位占地面積為5平方米，每個B類攤位占地面積為3平方米．（2）設(shè)A類攤位的數(shù)量為m個，則B類攤位的數(shù)量為90?m個，依題意，得：90?m≥3m，解得：m≤22.5，因為m取整數(shù)，所以m的最大值為22．答：最多建22個A類攤位．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出分式方程：（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【變式6-1】（2023上·福建福州·八年級福建省福州屏東中學?？计谥校W校要舉行跳繩比賽，同學們都積極練習．甲同學跳120個所用的時間，乙同學可以跳180個；又已知甲每分鐘比乙少跳20個，求每人每分鐘各跳多少個？【答案】甲每分鐘跳40個，乙每分鐘跳60個．【分析】設(shè)甲每分鐘跳x個，則乙每分鐘跳x+20個，然后根據(jù)“甲同學跳120個所用的時間，乙同學可以跳180個”列分式方程求解即可．【詳解】解：設(shè)甲每分鐘跳x個，則乙每分鐘跳x+20個，由題意可得：120x=180經(jīng)檢驗，x=40是分式方程的解所以，甲每分鐘跳40個，乙每分鐘跳40+20=60個．答：甲每分鐘跳40個，乙每分鐘跳60個．【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，審清題意、找到等量關(guān)系、列出分式方程是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023上·山東東營·八年級校考期中）某學校決定購買A，B兩種的亞運會紀念徽章作為“校園讀書節(jié)”活動獎品，已知A種比B種每件多20元，預(yù)算資金為1600元．(1)其中700元購買A種徽章，其余資金購買B種徽章，且購買B種的數(shù)量是A種的3倍．求A，B兩種徽章的單價．(2)購買當日，正逢“十一”大促銷，所有商品均按原價八折銷售，學校調(diào)整了購買方案：在不超過預(yù)算資金的前提下，準備購買A，B兩種徽章共120件；問最多購買A種徽章的多少件？【答案】(1)A種徽章的單價為35元，B種徽章的單價為15元(2)10件【分析】本題考查分式方程，一元一次不等式的實際應(yīng)用，（1）設(shè)B種徽章的單價為x元，則A種徽章的單價為x+20元，根據(jù)題意列出分式方程求解，最后要檢驗；（2）設(shè)購買A種徽章m件，則購買B種徽章120?m件，根據(jù)題意列出一元一次不等式求解即可；正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．【詳解】（1）設(shè)B種徽章的單價為x元，則A種徽章的單價為x+20元，依題意得：1600?700x解得：x=15，經(jīng)檢驗，x=15是原方程的解，且符合題意，∴x+20=15+20=35．答：A種徽章的單價為35元，B種徽章的單價為15元．（2）設(shè)購買A種徽章m件，則購買B種徽章120?m件，依題意得：35×0.8m+15×0.8120?m解得：m≤10，∴m的最大值為10．答：最多購買A種徽章10件．【變式6-3】（2023上·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）在甲、乙兩公司全體員工捐款活動中，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙兩公司員工的一段對話：甲公司員工：我們公司的人數(shù)比你們公司少20人乙公司員工：我們公司的人均捐款數(shù)是你們公司的76(1)甲、乙兩公司各有多少人？(2)現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購買A、B兩種物資，A種物資每箱15000元，B種物資每箱12000元．若購買B種物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有幾種購買方案？請設(shè)計出來．（注：A、B兩種物資均需購買，并按整箱配送．）【答案】(1)甲公司有100人，乙公司有120人(2)購買方案有2種：一種A物資買8箱，B物資買10箱．另一種是A物資買4箱，B物資買15箱【分析】（1）設(shè)甲公司有x人，則乙公司有(x+20)人，根據(jù)“乙公司的人均捐款數(shù)是甲公司的76（2）設(shè)購買A種物資x箱，購買B種物資y箱，且y≥10，x，y都是正整數(shù)．根據(jù)“恰好將捐款用完”再建立方程，利用方程的正整數(shù)解即可解決問題．【詳解】（1）解：設(shè)甲公司有x人，則乙公司有(x+20)人，根據(jù)題意得100000解得：x=100檢驗：把x=100代入6x(x+20)=6×100×(100+20)≠0故x=100是所列方程的解．則x+20=100+20=120（人）答：甲公司有100人，乙公司有120人．（2）設(shè)購買A種物資x箱，購買B種物資y箱，且y≥10，x，y都是正整數(shù)．根據(jù)題意得15000x+12000y=100000+140000∴5x=80?4y∴x=16?4當y=10時，x=16?45當y=15時，x=16?45當y=20時，x=16?45綜上所述，購買方案有2種：一種A物資買8箱，B物資買10箱．另一種是A物資買4箱，B物資買15箱．【點睛】本題考查的是二元一次方程的整數(shù)解問題的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【題型7比值問題】【例7】（2023上·重慶江北·八年級統(tǒng)考期末）“鞏固脫貧成果，長興鄉(xiāng)村經(jīng)濟”，大力發(fā)展高山生態(tài)經(jīng)濟林是一重大舉措．某村委會決定在紅光、紅旗、紅錦三個村民小組種植高山脆李和晚熟香桃兩種果樹，初步預(yù)算這三個村民小組各需兩種果樹之和的比為4∶5∶6，其中需要高山脆李樹的棵數(shù)分別為4千棵，3千棵和7千棵，并且紅光、紅旗兩個村民小組所需晚熟香桃樹之比為2∶3．在購買這兩種果樹時，高山脆李樹的價格比預(yù)算低了10%，晚熟香桃樹的價格高了20%，晚熟香桃樹購買數(shù)量減少了12.5%【答案】3【分析】設(shè)紅光村需要晚熟香桃樹為2x棵，紅旗村需要晚熟香桃樹為3x棵，紅錦村需要晚熟香桃樹y棵，根據(jù)三個村民小組各需兩種果樹之和的比為4∶5∶6列出方程求出x=4000，y=11000，從而求出三個村民小組種植兩種果樹的情況；設(shè)高山脆李的預(yù)算價格為a元，晚熟香桃樹的預(yù)算幾個為b元，分別表示出預(yù)算總費用，實際兩種果樹的費用和實際兩種果樹的總費用，再根據(jù)預(yù)算總費用和實際總費用相等求出ab【詳解】解：設(shè)紅光村需要晚熟香桃樹為2x棵，紅旗村需要晚熟香桃樹為3x棵，紅錦村需要晚熟香桃樹y棵∴2x+40003x+3000解得x=4000，經(jīng)檢驗，x=4000是原方程的解，∴紅光村需要晚熟香桃樹為8000棵，紅旗村需要晚熟香桃樹為12000棵，∴8000+4000y+7000解得y=11000，經(jīng)檢驗，y=11000是原方程的解，∴紅錦村需要晚熟香桃樹11000棵；設(shè)高山脆李的預(yù)算價格為a元，晚熟香桃樹的預(yù)算幾個為b元，∴預(yù)算總費用為8000+12000+11000=31000b+14000a，實際購買晚熟香桃樹的費用為8000+12000+11000=32550b，實際購買高山脆李的費用為4000+3000+7000實際總費用為32550b+12600a，∴31000b+14000a=32550b+12600a，∴31b=28a，即ab∴實際購買高山脆李樹的總費用與實際購買晚熟香桃樹的總費用之比為12600a32550b故答案為：37【點睛】本題主要考查了分式方程的實際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系建立方程是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023上·河北保定·八年級校聯(lián)考期末）數(shù)學的美無處不在．數(shù)學家們研究發(fā)現(xiàn)，彈撥琴弦發(fā)出聲音的音調(diào)高低，取決于弦的長度，繃得一樣緊的幾根弦，如果長度的比能夠表示成整數(shù)的比，發(fā)出的聲音就比較和諧．例如，三根弦長度之比是15：12：10，把它們繃得一樣緊，用同樣的力彈撥，它們將分別發(fā)出很調(diào)和的樂聲do，mi，so，研究15，12，10這三個數(shù)的倒數(shù)發(fā)現(xiàn)：112?115=110?112．我們稱15，12，10這三個數(shù)為一組調(diào)和數(shù)．現(xiàn)有一組調(diào)和數(shù)：x【答案】15【分析】由調(diào)和數(shù)的定義列分式方程求解即可．【詳解】解：根據(jù)調(diào)和數(shù)的定義可得：15?1經(jīng)檢驗：x=15是分式方程的解．故答案為：15【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)調(diào)和數(shù)的定義列出分式方程是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023上·重慶·八年級重慶一中?？计谀┡D味食品是川渝人民的最愛，去年12月份，某銷售商出售臘腸、臘舌、臘肉的數(shù)量之比為3:5:3，臘腸、臘舌、臘肉的單價之比為3:3:2．今年1月份，該銷售商將臘腸單價上調(diào)20%，臘舌、臘肉的單價不變，并加大了宣傳力度，預(yù)計今年1月份的營業(yè)額將會增加，其中臘肉增加的營業(yè)額占總增加營業(yè)額的14，今年1月份臘肉的營業(yè)額將達到今年1月份總營業(yè)額的730．若臘舌今年1月份增加的營業(yè)額與今年1月份總營業(yè)額之比為1:5【答案】20：21【分析】設(shè)去年12月份臘腸的單價為3x，則去年12月份臘舌，臘肉的單價分別為3x，2x，今年1月份臘腸的單價為3.6x，去年12月份臘腸的銷售數(shù)量為3y，則臘舌，臘肉的銷售數(shù)量分別為5y、3y，1月份臘肉增加的營業(yè)額為z，則總增加營業(yè)額為4z；先求出去年12月份的銷售額為30xy，1月份臘肉的銷售額為6xy+z，從而得到今年1月份的總銷售額為30xy+4z，再由今年1月份臘肉的營業(yè)額將達到今年1月份總營業(yè)額的730，推出z=15xy，即可求出今年1月份的總銷售額為90xy，臘肉的銷售額21xy，則臘腸今年1月份的營業(yè)額為90xy?33xy?21xy=36xy，設(shè)今年1月份出售臘腸與臘肉的數(shù)量分別為a和b，可以得到3.6ax=36xy【詳解】解：設(shè)去年12月份臘腸的單價為3x，則去年12月份臘舌，臘肉的單價分別為3x，2x，今年1月份臘腸的單價為3.6x，去年12月份臘腸的銷售數(shù)量為3y，則臘舌，臘肉的銷售數(shù)量分別為5y、3y，1月份臘肉增加的營業(yè)額為z，則總增加營業(yè)額為4z，∴去年12月份的銷售額為3x?3y+5x?3y+2x?3y=30xy，1月份臘肉的銷售額為2x?3y+z=6xy+z，∴今年1月份的總銷售額為30xy+4z，∵今年1月份臘肉的營業(yè)額將達到今年1月份總營業(yè)額的730∴6xy+z30xy+4z∴z=15xy（經(jīng)檢驗，符合分式方程有意義的條件），∴今年1月份的總銷售額為90xy，臘肉的銷售額21xy∵臘舌今年1月份增加的營業(yè)額與今年1月份總營業(yè)額之比為1：5，∴臘舌今年1月份增加的營業(yè)額為18xy，∴臘舌今年1月份的營業(yè)額為3x?5y+18xy=33xy，∴臘腸今年1月份的營業(yè)額為90xy?33xy?21xy=36xy，設(shè)今年1月份出售臘腸與臘肉的數(shù)量分別為a和b，∴3.6ax=36xy2bx=21xy∴3.6a2b∴ab故答案為：20：21．【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意設(shè)出相應(yīng)的未知量，然后推導出對應(yīng)的關(guān)系式．【變式7-3】（2023上·重慶大足·八年級統(tǒng)考期末）隨著期末考試來臨，李勇同學原計劃延時服務(wù)期間復習語文、數(shù)學、英語的時間為2:4:4，班主任李老師提醒要學科均衡，補短板．他便將數(shù)學復習時間的20%分給了語文和英語，調(diào)整后語文和英語的復習時間之比為3:5．李勇同學非?？炭?，實際復習時還擠出部分休息時間分給了三個學科，其中20%分給了語文，余下的80%分別分給數(shù)學和英語，這樣語文的總復習時間與三科總復習時間比為1:4．若李勇同學最終希望使數(shù)學與英語總復習時間比為5:6【答案】15【分析】：設(shè)李勇同學原計劃延時服務(wù)期間復習語文、數(shù)學、英語的時間分別為2x,4x,4x，設(shè)他分給語文的時間為a，則分給英語的時間為45x?a，此時語文時間為：2x+a，英語時間為：4x+45x?a，依據(jù)語文英語時間的比值解得：a=11x20，此時各科學習時間分別為語文：51x20，數(shù)學：165x，英語：85x20，設(shè)擠出的休息時間為b，則第二次調(diào)整后語文時間為：51x20+【詳解】解：設(shè)李勇同學原計劃延時服務(wù)期間復習語文、數(shù)學、英語的時間分別為2x,4x,4x，依題意：他分給語文和英語的復習時間和為20%×4x=4設(shè)他分給語文的時間為a，則分給英語的時間為45此時語文時間為：2x+a，英語時間為：4x+4依題意得：2x+a4x+解得：a=11x故第一次調(diào)整后語文時間為：2x+11x數(shù)學時間為：165英語時間為：4x+0.8x?設(shè)擠出的休息時間為b，則第二次調(diào)整后語文時間為：51x20依題意得：51x20解得b=x，則總學習時間為：2x+4x+4x+x=11x，設(shè)此時他的數(shù)學時間為5c，則英語6c，依題意得5c+6c=3解得：c=3故數(shù)學的總復習時間與最后三科總復習時間之比為：5c11x故答案為：1544或15:44【點睛】本題考查了分式的實際應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是用代數(shù)式準確表示出每次調(diào)整后各學科的時間，依據(jù)比例列方程求解．【題型8航行問題】【例8】（2023上·天津和平·八年級天津市匯文中學?？计谀┮粭l船往返于甲，乙兩港之間，由甲至乙是順水行駛，由乙至甲是逆水行駛，已知船在靜水中的速度為8km/h，平時逆水航行與順水航行所用的時間比為2:1，某天恰逢暴雨，水流速度是原來的2倍，這條船往返共用了9h．則甲，乙兩港之間的距離為（A．160km3 B．15km C．25【答案】D【分析】本題有兩個等量關(guān)系：①平時逆水航行時間：順水航行時間=2:1；②雨天逆水航行時間+順水航行時間=9，同時順水速度=靜水速度+水流速度，逆水速度=靜水速度-水流速度，再列方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩港相距Skm，水流速度平時速度為xkm/?∴S8?x:S解得：x=8∵某天恰逢暴雨，水流速度是原來的2倍，這條船往返共用了9h∴S8?2×解得：S=20．答：甲，乙兩港相距20km故選D．【點睛】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，注意找好兩個未知量之間的關(guān)鍵．分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023·浙江杭州·八年級期末）一艘輪船在靜水中的最大航速為30km/h，它以最大航速沿江順流航行108km所用時間是以最大航速逆流航行60km所用時間的1.2倍，則江水的流速為多少km/h？【答案】6km/h【分析】根據(jù)題意可得順水速度為（30+v）km/h，逆水速度為（30-v）km/h，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：以最大航速沿江順流航行108km所用時間=以最大航速逆流航行60km所用時間×1.2，根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)江水的流速為vkm/h，根據(jù)題意得：10830+v解得：v=6．經(jīng)檢驗，v=6是原方程的解．答：江水的流速為6km/h．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出順水和逆水行駛速度，找出題目中等量關(guān)系，然后列出方程．【變式8-2】（2023上·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）一小船由A港順流而下到B港需6h，由B港逆流而上到A港需8h．某天早晨6點，該船由A港出發(fā)駛向B港，到達B港時，發(fā)現(xiàn)船上一救生圈在途中掉入水中，于是立刻返回，1(1)該船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小時？(2)救生圈是何時掉入水中的？【答案】(1)小船按水流速度由A港漂流到B港需要48小時(2)救生圈是在上午11點鐘掉下水的【分析】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系列方程是解本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)小船按水流速度由A港漂流到B港需要x小時，由靜水中速度不變列方程求解即可；（2）設(shè)救生圈是在y點鐘落下水中的，由（1）小題結(jié)果，救生圈每小時順水漂流的距離等于全程的148，小船早晨6時從A港出發(fā)，順流航行需6小時，它在中午12點鐘到達B港．而救生圈在y點鐘就已掉下水，到這時已漂流的時間為12?y小時，在這段時間里，每小時船行駛?cè)痰?6，救生圈沿著航行方向漂流全程的148【詳解】（1）解：設(shè)小船按水流速度由A港漂流到B港需要x小時，根據(jù)題意得：16解得x=48，

經(jīng)檢驗x=48符合題意，

答：小船按水流速度由A港漂流到B港需要48小時．（2）設(shè)救生圈是在y點鐘落下水中的，由（1）小題結(jié)果，救生圈每小時順水漂流的距離等于全程的148∴12?y解得：y=11，答：救生圈是在上午11點鐘掉下水的．【變式8-3】（2023上·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考期末）圖書管理員小張要騎車從學校到教育局，一出校門，遇到了王老師，王老師說：“今天有風，而且去時逆風，要吃虧了”，小張回答說：“去時逆風，回來時順風，和無風往返一趟所用時間相同”．（順風速度＝無風時騎車速度＋風速，逆風速度＝無風時騎車速度－風速）（1）如果學校到教育局的路程是15km，無風時小張騎自行車的速度是20km/h，他逆風去教育局所用時間是順風回學校所用時間的53（2）如果設(shè)從學校到教育局的路程為s千米，無風時騎車速度為v千米/時，風速為a千米/時（v＞a），那么有風往返一趟的時間無風往返一趟的時間（填“＞”、“＜”或“＝”），試說明理由．【答案】（1）當天的風速為5km/h；（2）＞，理由詳見解析.【分析】(1)首先設(shè)當天的風速為xkm/h，則順風的速度為（20+x）千米/時，逆風速度是（20-x）千米/時，根據(jù)逆風去教育局所用時間是順風回學校所用時間的53(2)無風時的時間=總路程÷無風時的速度；有風時的時間=單程的路程÷順風的速度+單程的路程÷逆風的速度，進而讓兩個代數(shù)式相減，根據(jù)作差比較法可知結(jié)論.【詳解】解：（1）設(shè)當天的風速為xkm/h．根據(jù)題意，得1520-x＝解這個方程，得x＝5．經(jīng)檢驗，x＝5是所列方程的解．答：當天的風速為5km/h．（2）＞，理由如下：

有風往返一趟的時間為（sv-a+s∵sv-a+sv+a-2又∵v>a，∴2sa2v（v-a∴有風往返一趟的時間＞無風往返一趟的時間．【點睛】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確表示出順風的速度，逆風速度，再根據(jù)時間關(guān)系列出方程．根據(jù)相應(yīng)的定值求得無風時往返的時間和有風時往返的時間是解決本題的突破點；比較兩個代數(shù)式，通常讓兩個代數(shù)式相減，看結(jié)果是正數(shù)還是負數(shù)．【題型9素材問題】【例9】（2023下·浙江溫州·八年級蒼南縣金鄉(xiāng)鎮(zhèn)第二中學校聯(lián)考階段練習）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).奶茶銷售方案制定問題素材1當下年輕人喜歡喝奶茶，在入夏之際某知名奶茶品牌店推出兩款爆款水果茶“滿杯楊梅”和“芝士楊梅”．每杯“芝士楊梅”的售價比“滿杯楊梅”貴2元，購買1杯“芝士楊梅”和2杯“滿杯楊梅”共需53元．素材2兩款奶茶配料表如下：芝士楊梅配料芝士100mL茉莉清茶400mL楊梅肉多肉

滿杯楊梅配料茉莉清茶500mL楊梅肉多肉

素材35月27日當天銷售“芝士楊梅”共獲利潤400元，“滿杯楊梅”獲利潤480元，其中每杯“芝士楊梅”的利潤是每杯“滿杯楊梅”的54素材4由于芝士保質(zhì)期將至，為了去庫存，5月28日決定對“芝士楊梅”每杯降價4元促銷，并要求當天芝士消耗量不少于3500mL，配制的17500mL茉莉清茶全部用于制作“芝士楊梅”和“滿杯楊梅”．問題解決任務(wù)1確定奶茶的售價每杯“芝士楊梅”和“滿杯楊梅”的售價是多少？任務(wù)2確定奶茶的成本每杯“芝士楊梅”和“滿杯楊梅”的成本是多少？（每杯利潤=每杯售價?任務(wù)3擬定最優(yōu)方案為了使5月28日這兩種奶茶獲利最大，需制做“芝士楊梅”和“滿杯楊梅”共多少杯？【答案】（1）“芝士楊梅”的定價為19元，“滿杯楊梅”的定價為17元；（2）“芝士楊梅”和“滿杯楊梅”的成本均為9元/杯；（3）當利潤最大時，兩種奶茶共制作42杯【分析】（1）設(shè)“芝士楊梅”的售價為x元/杯，“滿杯楊梅”的定價為y元/杯，根據(jù)題意列方程求解即可；（2）設(shè)“滿杯楊梅”成本為a元/杯，則“滿杯楊梅”利潤為17?a元/杯，根據(jù)素材3列方程求解即可；（3）設(shè)制作m杯“芝士楊梅”和n杯“滿杯楊梅”，根據(jù)素材4列方程求解正整數(shù)解，再結(jié)合獲利最大即可求解．【詳解】（1）設(shè)“芝士楊梅”的售價為x元/杯，“滿杯楊梅”的定價為y元/杯，由題意得：x?y=2x+2y=53解得x=19答：“芝士楊梅”的定價為19元，“滿杯楊梅”的定價為17元，（2）設(shè)“滿杯楊梅”成本為a元/杯，則“滿杯楊梅”利潤為17?a元/杯，則“芝士楊梅”利潤為54由題意4005解得a=9，經(jīng)檢驗滿足題意，芝士楊梅成本：19?5答：“芝士楊梅”和“滿杯楊梅”的成本均為9元/杯；（3）設(shè)制作m杯“芝士楊梅”和n杯“滿杯楊梅”，由題意得：400m+500n=17500，變形得n=35?4m∵芝士配料不低于3500mL∴m≥3500÷100=35且∴解得m=40n=3，∵“芝士楊梅”每杯減4元則每杯利潤6元，“滿杯楊梅”每杯利潤8元，當m=35n=7當m=40n=3∴當利潤最大時，兩種奶茶共制作42杯．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、二元一次方程組及二元一次方程的應(yīng)用．找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023下·浙江湖州·八年級?？计谀└鶕?jù)素材，完成活動任務(wù)：素材一為鼓勵學生積極參加學校勞動，養(yǎng)成勞動習慣，培養(yǎng)勞動品質(zhì)某校“方志實踐”勞動基地打算用如圖所示的圍欄搭建一塊蔬菜基地．已知圍欄的橫杠長為15dm，豎杠長為8dm一副圍欄由2個橫杠，5個豎杠制作而成

素材二項目化學習小組到市場了解到：現(xiàn)木材市場的這種規(guī)格的圍欄材料每根長為40dm，價格為50元/根．為了深度參與學校蔬菜基地的建立，項目化小組打算自己購買材料，制作搭建蔬菜基地的圍欄同時為了圍欄的牢固性，用料不能是拼接而成．解決問題任務(wù)要求解決辦法任務(wù)一一根40dm長的圍欄材料有哪些裁剪方法呢？（余料作廢）．方法①：當只裁剪8dm長的豎杠時，最多可裁剪_______________根；方法②：當先裁剪下1根15dm長的橫杠時，余下部分最多能裁剪8dm長的豎杠_______________根；方法③：當先裁剪下2根15dm長的橫杠時，余下部分最多能裁剪8dm長的豎杠________________根：任務(wù)二基地負責老師告訴項目化學習小組：搭建蔬菜基地需要用到的圍欄長為75dm（即需要制作5副圍欄，需要的用料為：25個豎杠，10個橫杠），請完成裁剪并計算費用．項目化小組打算用“任務(wù)一”中的方法②和方法③完成裁剪任務(wù)．請計算：分別用“任務(wù)一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm長的圍欄材料，才能剛好得到所需要的相應(yīng)數(shù)量的用料？并求出購買圍欄材料的費用．任務(wù)三某安裝技術(shù)人員告訴項目化小組同學：我們在單位時間內(nèi)可以安裝m根豎杠或（7－m）根橫杠．現(xiàn)需知道技術(shù)人員的安裝效率．任務(wù)二中的5副圍欄安裝完畢時，項目化小組發(fā)現(xiàn)技術(shù)人員安裝豎杠所需的時間與安裝橫杠所需的時間相同，則m＝_______________．【答案】任務(wù)一：5

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1；任務(wù)二：8根，1根，費用450元；任務(wù)三：5【分析】根據(jù)圍欄材料不同裁剪方法，分別計算出需要的豎杠或橫杠；利用方法②與方法③列出方程組求解即可；利用在單位時間內(nèi)可以安裝m根豎杠或(7?m)根橫杠，所用的時間相同，建立分式方程，求解即可．【詳解】任務(wù)一：40÷8=5(根)方法①：當只裁剪8dm40?15÷8=3方法②：當先裁剪下1根15dm長的橫杠時，余下部分最多能裁剪840?2×15÷8=1方法③：當先裁剪下2根15dm長的橫杠時，余下部分最多能裁剪8任務(wù)二：設(shè)方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依據(jù)題意得：x+2y=103x+y=25，解得：x=850×8+1答：方法②和方法③各裁剪8根與1根40dm任務(wù)三：依據(jù)題意得25m=10【點睛】本題考查了二元一次方程組與分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細審題，正確列出方程．【變式9-2】（2023下·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計獎品購買及兌換方案？素材1某文具店銷售某種鋼筆與筆記本，已知鋼筆的單價是筆記本的2倍，用120元購買筆記本的數(shù)量比用160元購買鋼筆的數(shù)量多8件．素材2某學?；ㄙM400元購買該文具店的鋼筆和筆記本作為獎品頒發(fā)給“優(yōu)秀學生”，購買鋼筆和筆記本的數(shù)量之比為3:2．素材3學?；ㄙM400元后，文具店贈送m張(1<m<10)兌換券（如右）用于商品兌換．兌換后，筆記本與鋼筆數(shù)量相同．

問題解決任務(wù)1探求商品單價請運用適當方法，求出鋼筆與筆記本的單價．任務(wù)2探究購買方案探究購買鋼筆和筆記本的數(shù)量．任務(wù)3確定兌換方式運用數(shù)學知識，確定兌換方式．【答案】任務(wù)1：筆記本的單價為5元，鋼筆的單價為10元；任務(wù)2：購買鋼筆30支，筆記本20本．任務(wù)3：文具店贈送2張兌換券時，其中1張兌換鋼筆，1張兌換筆記本；文具店贈送5張兌換券，其中3張兌換鋼筆，2張兌換筆記本；文具店贈送8張兌換券時，其中5張兌換鋼筆，3張兌換筆記本．【分析】任務(wù)1：設(shè)筆記本的單價為x元，根據(jù)用120元購買筆記本的數(shù)量比用160元購買鋼筆的數(shù)量多8件列出分式方程，解方程即可；任務(wù)2：設(shè)購買鋼筆為a支，筆記本為b本，根據(jù)總的花費為400元，購買鋼筆和筆記本的數(shù)量之比為3:2，列出方程，求出a、b的值即可；任務(wù)3：由任務(wù)2可知鋼筆和筆記本數(shù)量的情況進行解答即可．【詳解】解：任務(wù)1：設(shè)筆記本的單價為x元，根據(jù)題意，得120x解得x=5，經(jīng)檢驗，x=5是原方程的根，這時2x=10．∴筆記本的單價為5元，鋼筆的單價為10元；任務(wù)2：設(shè)購買鋼筆為a支，筆記本為b本，根據(jù)題意，得：10a+5b=4002a=3b解得a=30b=20∴購買鋼筆30支，筆記本20本．任務(wù)3：當原有鋼筆30支，筆記本20本時，設(shè)有y張兌換券兌換鋼筆，根據(jù)題意，得30+10y=20+20(m?y)，整理得y=2m?1∵1<m<10，且m，y均為正整數(shù)，解得：m=2y=1或m=5y=3或∴文具店贈送2張兌換券時，其中1張兌換鋼筆，1張兌換筆記本；文具店贈送5張兌換券時，其中3張兌換鋼筆，2張兌換筆記本；文具店贈送8張兌換券時，其中5張兌換鋼筆，3張兌換筆記本．【點睛】本題主要考查了分式方程和二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系，列出方程，準確解方程．【變式9-3】（2023下·浙江溫州·八年級階段練習）根據(jù)素材，完成任務(wù)．如何設(shè)計雪花模型材料采購方案？素材一學校組織同學參與甲、乙兩款雪花模型的制怍．每款雪花模型都需要用到長、短兩種管子材料．某同學用6根長管子、48根短管子制作了1個甲雪花模型與1個乙雪花模型，已知制作一個甲、乙款雪花模型需要的長、短管子數(shù)分別為1∶7與1∶9．素材二某商店的店內(nèi)廣告牌如右圖所示．5月，學?；ㄙM320元向該商店購得的長管子數(shù)量比花200元購得的短管子數(shù)量少80根．

素材三6月，學校有活動經(jīng)費1280元，欲向該商店采購長、短管子各若干根全部用來制作甲、乙雪花模型（材料沒有剩余），且采購經(jīng)費恰好用完．問題解決任務(wù)一分析雪花模型結(jié)構(gòu)求制作一個甲、乙款雪花模型分別需要長、短管子多少根？任務(wù)二確定采購費用試求a的值并求出假如6月只制作一個甲款雪花模型的材料采購費．任務(wù)三擬定采購方案求出所有滿足條件的采購方案，并指出哪種方案得到的雪花總數(shù)最多．【答案】任務(wù)一：制作一個甲款雪花模型需要長管子3根，則短管子21根，制作一個乙款雪花模型需要長管子3根，則短管子2根；任務(wù)二：a=0.5；制作一個甲款雪花模型需要13元；任務(wù)三：購買258根長管子，2130根短管子；購買261根長管子，2125根短管子；購買264根長管子，2120根短管子；購買267根長管子，2115根短管子；當購買267根長管子，2115根短管子時，制作的雪花模型最多【分析】任務(wù)一：設(shè)制作一個甲款雪花模型需要長管子x根，則短管子7x根，制作一個乙款雪花模型需要長管子y根，則短管子9y根，根據(jù)用6根長管子、48根短管子制作了1個甲雪花模型與1個乙雪花模型，列出方程組，解方程組即可；任務(wù)二：根據(jù)題意列出關(guān)于a的方程，解方程即可，根據(jù)6月份的優(yōu)惠方案求出制作一個甲款雪花模型需要的費用即可；任務(wù)三：設(shè)學校中采購了m根長管子，n根短管子，根據(jù)總費用1280元列出方程2×0.5m+12n?m3=1280，得出n=2560?53m，根據(jù)商店中長管子僅剩267根，短管子僅剩2130根，列出不等式組m≤267【詳解】解：任務(wù)一：設(shè)制作一個甲款雪花模型需要長管子x根，則短管子7x根，制作一個乙款雪花模型需要長管子y根，則短管子9y根，根據(jù)題意得：x+y=67x+9y=48解得：x=3y=37x=21，9y=27，答：制作一個甲款雪花模型需要長管子3根，則短管子21根，制作一個乙款雪花模型需要長管子3根，則短管子2根；任務(wù)二：∵5月，學校花費320元向該商店購得的長管子數(shù)量比花200元購得的短管子數(shù)量少80根，∴3202a解得：a=0.5，經(jīng)檢驗a=0.5是原方程的根；∵制作一個甲款雪花模型需要長管子3根，則短管子21根，且6月1日起購買3根長管子贈送一根短管子，∴制作一個甲款雪花模型需要的費用為：2×0.5×3+21?1任務(wù)三：設(shè)學校中采購了m根長管子，n根短管子，根據(jù)題意得：2×0.5m+1解得：n=2560?5∵商店中長管子僅剩267根，短管子僅剩2130根，∴m≤2672560?解得：258≤m≤267，∵m必須能被3整除，∴m=258，261，264，267，當m=258時，n=2560?5∵258÷3=86，∴能制作甲、乙兩款雪花模型共86個，需要的短管子最少為86×21=1806（根），最多為：86×27=2322（根），∵1806<2130<2322，∴此時短管子可以用完，∴可以購買258根長管子，2130根短管子；當m=261時，n=2560?5∵261÷3=87，∴能制作甲、乙兩款雪花模型共87個，需要的短管子最少為87×21=1827（根），最多為：87×27=2349（根），∵1827<2125<2349，∴此時短管子可以用完，∴可以購買261根長管子，2125根短管子；當m=264時，n=2560?5∵264÷3=88，∴能制作甲、乙兩款雪花模型共88個，需要的短管子最少為88×21=1848（根），最多為：88×27=2376（根），∵1848<2120<2376，∴此時短管子可以用完，∴購買264根長管子，2120根短管子；當m=267時，n=2560?5∵267÷3=89，∴能制作甲、乙兩款雪花模型共89個，需要的短管子最少為89×21=1869（根），最多為：89×27=2403（根），∵1869<2115<2403，∴此時短管子可以用完，∴可以購買267根長管子，2115根短管子；∵制作一個甲款雪花模型和制作一個乙款雪花模型，都需要3根長管子，∴長管子數(shù)越多制作的雪花模型越多，∴當購買267根長管子，2115根短管子時，制作的雪花模型最多．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組、分式方程和不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系和不等關(guān)系列出方程或不等式．【題型10方案問題】【例10】（2023上·湖南永州·八年級?？茧A段練習）永州市萬達廣場籌建之初的一項挖土工程招標時，接到甲、乙兩個工程隊的投標書，每施工一天，需付甲工程隊工程款2.4萬元，付乙工程隊工程款1.8萬元，工程領(lǐng)導小組根據(jù)甲、乙兩隊的投標書測算，可有三種施工方案：(方案一)甲隊單獨完成這項工程，剛好按規(guī)定工期完成；(方案二)乙隊單獨完成這項工程要比規(guī)定工期多用6天；(方案三)若由甲、乙兩隊合作做5天，剩下的工程由乙隊單獨做，也正好按規(guī)定工期完工．(1)請你求出完成這項工程的規(guī)定時間；(2)如果你是工程領(lǐng)導小組的組長，為了節(jié)省工程款，同時又能如期完工，你將選擇哪一種方案?說明理由．【答案】(1)30天；(2)選擇方案三,理由為既節(jié)省了工程款且又能如期完工．【分析】（1）設(shè)完成這項工程的規(guī)定時間為x天,則甲隊單獨完成這項工程為x天,乙隊單獨完成這項工程為x+6天，然后根據(jù)“甲、乙兩隊合作做5天，剩下的工程由乙隊單獨做，也正好按規(guī)定工期完工”列分式方程求解即可；（2）根據(jù)題意可知有方案一和方案三符合條