廣東省廣州市重點初中2025屆數(shù)學高二上期末教學質(zhì)量檢測試題含解析

廣東省廣州市重點初中2025屆數(shù)學高二上期末教學質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結(jié)論是A.B.C.D.2．已知點，在雙曲線上，線段的中點，則（）A. B.C. D.3．年月日我國公布了第七次全國人口普查結(jié)果.自新中國成立以來，我國共進行了七次全國人口普查，如圖為我國歷次全國人口普查人口性別構(gòu)成及總?cè)丝谛詣e比（以女性為，男性對女性的比例）統(tǒng)計圖，則下列說法錯誤的是（）A.第五次全國人口普查時，我國總?cè)丝跀?shù)已經(jīng)突破億B.第一次全國人口普查時，我國總?cè)丝谛詣e比最高C.我國歷次全國人口普查總?cè)丝跀?shù)呈遞增趨勢D.我國歷次全國人口普查總?cè)丝谛詣e比呈遞減趨勢4．經(jīng)過直線與直線的交點，且平行于直線的直線方程為（）A. B.C. D.5．下列命題錯誤的是()A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.命題“若，則”的否命題為“若，則”C.若命題p：或；命題q：或，則是的必要不充分條件D.“”是“”的充分不必要條件6．若橢圓的短軸為,一個焦點為,且為等邊三角形的橢圓的離心率是A. B.C. D.7．某產(chǎn)品的銷售收入（萬元）是產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)，且函數(shù)解析式為，生產(chǎn)成本（萬元）是產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)，且函數(shù)解析式為，要使利潤最大，則該產(chǎn)品應生產(chǎn)（）A.6千臺 B.7千臺C.8千臺 D.9千臺8．為調(diào)查參加考試的高二級1200名學生的成績情況，從中抽查了100名學生的成績，就這個問題來說，下列說法正確的是（）A.1200名學生是總體 B.每個學生是個體C.樣本容量是100 D.抽取的100名學生是樣本9．定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知雙曲線，則該雙曲線的實軸長為（）A.1 B.2C. D.11．現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，該金錘共重（）斤A.6 B.7C.9 D.1512．下列四個命題中為真命題的是（）A.設(shè)p：1＜x＜2，q：2x＞1，則p是q的必要不充分條件B.命題“”的否定是“”C.函數(shù)的最小值是4D.與的圖象關(guān)于直線y＝x對稱二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓與雙曲線有公共焦點，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標原點，，則的取值范圍是___________.14．已知點，，，則外接圓的圓心坐標為________15．已知雙曲線：，斜率為的直線與E的左右兩支分別交于A，B兩點，點P的坐標為，直線AP交E于另一點C，直線BP交E于另一點D．若直線CD的斜率為，則E的離心率為___________16．已知拋物線的焦點F為，過點F的直線交該拋物線的準線于點A，與該拋物線的一個交點為B，且，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線與拋物線交于兩點（1）若，直線過拋物線的焦點，線段中點的縱坐標為2，求的長；（2）若交于，求的值18．（12分）已知點到兩個定點的距離比為（1）求點的軌跡方程；（2）若過點的直線被點的軌跡截得的弦長為，求直線的方程19．（12分）已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和20．（12分）（1）已知：函數(shù)有零點；：所有的非負整數(shù)都是自然數(shù).若為假，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知：；：.若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，四棱錐，，，，為等邊三角形，平面平面ABCD，Q為PB中點（1）求證：平面平面PBC；（2）求平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值22．（10分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，再從條件①：；②：；③：這三個條件中選擇一個作為已知，解答下列問題：（1）求和的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，由上述式子可以歸納：左邊每一個式子均有2n-1項，且第一項為n，則最后一項為3n-2右邊均為2n-1的平方故選C點睛：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）2、D【解析】先根據(jù)中點弦定理求出直線的斜率，然后求出直線的方程，聯(lián)立后利用弦長公式求解的長.【詳解】設(shè)，，則可得方程組：，兩式相減得：，即，其中因為的中點為，故，故，即直線的斜率為，故直線的方程為：，聯(lián)立，解得：，由韋達定理得：，，則故選：D3、D【解析】根據(jù)統(tǒng)計圖判斷各選項的對錯.【詳解】由統(tǒng)計圖第五次全國人口普查時，男性和女性人口數(shù)都超過6億，故總?cè)丝跀?shù)超過12億，A對，由統(tǒng)計圖，第一次全國人口普查時，我國總?cè)丝谛詣e比為107.56，超過余下幾次普查的人口的性別比，B對，由統(tǒng)計圖可知，我國歷次全國人口普查總?cè)丝跀?shù)呈遞增趨勢，C對，由統(tǒng)計圖可知，第二次，第三次，第四次，第五次時總?cè)丝谛詣e比呈遞增趨勢，D錯,D錯，故選：D.4、B【解析】求出兩直線的交點坐標，可設(shè)所求直線的方程為，將交點坐標代入求得，即可的解.【詳解】解：由，解得，即兩直線的交點坐標為，設(shè)所求直線的方程為，則有，解得，所以所求直線方程為，即.故選：B.5、C【解析】根據(jù)逆否命題的定義可判斷A；根據(jù)否命題的定義可判斷B；求出、，根據(jù)充分條件和必要條件的概念可以判斷C；解出不等式，根據(jù)充分條件和必要條件的概念可判斷D.【詳解】命題“若，則”的逆否命題為“若，則”，故A正確；命題“若，則”的否命題為“若，則”，故B正確；若命題p：或；命題q：或，則：－1≤x≤1是：－2≤x≤1的充分不必要條件，故C錯誤；或x＜1，故“”是“”的充分不必要條件，故D正確.故選：C.6、B【解析】因為為等邊三角形,所以.考點：橢圓的幾何性質(zhì).點評：橢圓圖形當中有一個特征三角形，它的三邊分別為a,b,c.因而可據(jù)此求出離心率.7、A【解析】構(gòu)造利潤函數(shù)，求導，判斷單調(diào)性，求得最大值處對應的自變量即可.【詳解】設(shè)利潤為y萬元，則，∴.令，解得（舍去）或，經(jīng)檢驗知既是函數(shù)的極大值點又是函數(shù)的最大值點，∴應生產(chǎn)6千臺該產(chǎn)品.故選：A【點睛】利用導數(shù)求函數(shù)在某區(qū)間上最值的規(guī)律：(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減，與一個為最大值，一個為最小值(2)若函數(shù)在閉區(qū)間上有極值，要先求出上的極值，與，比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成(3)函數(shù)在區(qū)間上有唯一一個極值點，這個極值點就是最大(或小)值點，此結(jié)論在導數(shù)的實際應用中經(jīng)常用到8、C【解析】根據(jù)總體、個體、樣本容量、樣本的定義，結(jié)合題意，即可判斷和選擇.【詳解】根據(jù)題意，總體是名學生的成績；個體是每個學生的成績；樣本容量是，樣本是抽取的100名學生的成績；故正確的是C.故選：C.9、B【解析】，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得或，解之即可得解.【詳解】解：，由題意可得或即或，解得或故選：B.10、B【解析】根據(jù)給定的雙曲線方程直接計算即可作答.【詳解】雙曲線的實半軸長，所以該雙曲線的實軸長為2.故選：B11、D【解析】設(shè)該等差數(shù)列為，其公差為，根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進而求出結(jié)果.【詳解】設(shè)該等差數(shù)列為，其公差為，由題意知，，由，解得，所以.故選：D12、D【解析】根據(jù)推出關(guān)系和集合的包含關(guān)系判斷A，根據(jù)全稱命題的否定形式可判斷B，根據(jù)對鉤函數(shù)性質(zhì)即三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)反函數(shù)的圖像性質(zhì)可判斷D.【詳解】解：對于選項A：是的真子集，所以命題p是q的充分不必要條件，故A錯誤；對于選項B：命題“”的否定是“”，故B錯誤；對于選項C：函數(shù)，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時取最小值，故C錯誤；對于選項D：與互為反函數(shù)，故圖象關(guān)于直線y＝x對稱，故D正確.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線得定義求得，再根據(jù)，可得，從而有，求出的范圍，根據(jù)，結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：設(shè)，則有，所以，即，又因為，所以，所以，即，則，由，得，所以，所以，則，由，得，因為，當且僅當，即時，取等號，因為，所以，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：.14、【解析】求得的垂直平分線的方程，在求得垂直平分線的交點，則問題得解.【詳解】線段中點坐標為，線段斜率為，所以線段垂直平分線的斜率為，故線段的垂直平分線方程為，即.線段中點坐標為，線段斜率為，所以線段垂直平分線的斜率為，故線段的垂直平分線方程為，即.由.所以外接圓的圓心坐標為.故答案為：.【點睛】本題考查直線方程的求解，直線交點坐標的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.15、【解析】分別設(shè)線段的中點，線段的中點，再利用點差法可表示出，由平行關(guān)系易知三點共線，從而利用斜率相等的關(guān)系構(gòu)造方程，代入整理可得到關(guān)系，利用雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，進而求得離心率.【詳解】設(shè)，，線段的中點，兩式相減得：…①設(shè)，，線段的中點同理可得：…②，易知三點共線，將①②代入得：，所以，即，由題意可得，故.∴，即故答案為：16、【解析】作垂直于準線，垂足為，準線與軸交于點，根據(jù)已知條件，利用幾何方法，結(jié)合拋物線的定義得到答案.【詳解】拋物線的焦點坐標，準線方程，作垂直于準線于，準線與軸交于點，則，∴.∵，∴，由拋物線的定義得，∴.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）6（2）2【解析】（1）通過作輔助線，利用拋物線定義，結(jié)合梯形的中位線定理，可求得答案；（2）根據(jù)題意可求得直線AB的方程為y=x+4，聯(lián)立拋物線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，由OA⊥OB，得，根據(jù)數(shù)量積的計算即可得答案.【小問1詳解】取AB的中點為E，當p=2時，拋物線為C：x2=4y，焦點F坐標為F（0，1），過A，E，B分別作準線y=-1的垂線，重足分別為I，H，G，在梯形ABGI中（圖1），E是AB中點，則2EH=AI+BG，EH=2-（-1）=3，因為AB=AF+BF=AI+BG，所以AB=2EH=6.【小問2詳解】設(shè)，由OD⊥AB交AB于D（-2，2）,（圖2），得kOD=-1，kAB=1，則直線AB的方程為y=x+4，由得，所以，由，得，即，即，可得，即，所以p=2.18、（1）（2）或【解析】（1）設(shè)出，表達出，直接法求出軌跡方程；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，先考慮直線斜率不存在時是否符合要求，再考慮斜率存在時，設(shè)出直線方程，表達出圓心到直線的距離，利用垂徑定理列出方程，求出直線方程.【小問1詳解】設(shè),則，，故，兩邊平方得：【小問2詳解】當直線斜率不存在時，直線為，此時弦長為，滿足題意；當直線斜率存在時，設(shè)直線，則圓心到直線距離為，由垂徑定理得：，解得：，此時直線的方程為，綜上：直線的方程為或.19、（1）（2）【解析】（1）當時，由，可得，兩式相減化簡可求得通項，（2）由（1）得，然后利用裂項相消法可求得結(jié)果【小問1詳解】因為，所以時，，兩式作差得，，所以時，，又時，，得，符合上式，所以的通項公式為【小問2詳解】由（1）知，所以即數(shù)列的前n項和20、（1）；（2）.【解析】(1)易知為真命題，根據(jù)且命題的真假可知為假命題，結(jié)合函數(shù)零點與對應方程的根之間的關(guān)系得出，解不等式即可；(2)根據(jù)一元二次不等式的解法可得和，結(jié)合必要不充分條件的概念可得，利用集合與集合之間的關(guān)系即可得出答案.【詳解】解：（1）對于：所有的非負整數(shù)都是自然數(shù)，顯然正確.因為為假，所以為假.所以“函數(shù)沒有零點”為真，所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.（2）對于：，解得或.對于，不等式的解集為，因為是的必要不充分條件，所以所以或，所以或，所以實數(shù)的取值范圍是.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點為，連接，可證，從而可利用面面垂直的判定定理可證平面平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的法向量、平面的法向量后可得二面角的正弦值.【小問1詳解】如圖，取的中點為S，連接，因為為等邊三角形，故，，而平面平面ABCD，平面平面，平面，故平面，而平面，故，而，故，因，故平面，因平面，故，因，故平面，而平面，故平面平面.【小問2詳解】連接，因為，故四邊形為平行四邊形，而，故四邊形為矩形，所以，由（1）可得平面，故建立如圖所示的空間直角坐標系，則所以，，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，故，故平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值為.22、（1）an＝n，bn＝（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，q＞0，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及