2025屆北京市朝陽區(qū)高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

2025屆北京市朝陽區(qū)高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，為一條漸近線上的一點，且，則的面積為（）A. B.C. D.12．已知點在拋物線上，則點到拋物線焦點的距離為（）A.1 B.2C.3 D.43．設(shè)函數(shù)，則（）A.1 B.5C. D.04．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，是上一點，是直線與拋物線的一個交點，若，則（）A. B.3C. D.25．下列雙曲線中，焦點在軸上且漸近線方程為的是A. B.C. D.6．已知奇函數(shù)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，有，則不等式的解集為（）A. B.C. D.7．已知m是2與8的等比中項，則圓錐曲線x2﹣＝1的離心率是（）A.或 B.C. D.或8．命題“，均有”的否定為（）A.，均有 B.，使得C.，使得 D.，均有9．已知，則點關(guān)于平面的對稱點的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.10．若直線過點（1，2），（4，2＋），則此直線的傾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.90°11．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P是橢圓上一點且的最大值為，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.12．有6本不同的書，按下列方式進(jìn)行分配，其中分配種數(shù)正確的是（）A.分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；B.分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；C.分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；D.分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，為雙曲線的左、右焦點，過作的垂線分別交雙曲線的左、右兩支于B，C兩點（如圖）．若，則雙曲線的漸近線方程為______14．《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提到：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則立夏的日影子長為___________尺.15．九連環(huán)是中國的一種古老智力游對，它用九個圓環(huán)相連成串，環(huán)環(huán)相扣，以解開為勝，趣味無窮.中國的末代皇帝溥儀（1906-1967）也曾有一個精美的由九個翡翠繯相連的銀制的九連環(huán)（如圖）.現(xiàn)假設(shè)有個圓環(huán)，用表示按照某種規(guī)則解下個圓環(huán)所需的銀和翠玉制九連環(huán)最少移動次數(shù)，且數(shù)列滿足，，則___________.16．已知拋物線與直線交于D，E兩點，若（點O為坐標(biāo)原點）的面積為16，則拋物線的方程為______；過焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓，點.（1）若，半徑為的圓過點，且與圓相外切，求圓的方程；（2）若過點的兩條直線被圓截得的弦長均為，且與軸分別交于點、，，求.18．（12分）已知數(shù)列的前n項積，數(shù)列為等差數(shù)列，且，（1）求與的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和19．（12分）已知數(shù)列滿足，，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.20．（12分）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且（1）求證：時，；（2）已知a，b，p，q為正實數(shù)，滿足，比較與的大小關(guān)系.21．（12分）已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C相切于點（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線與橢圓C交于不同的兩點M，N，與直線交于點Q（P，Q，M，N均不重合），記的斜率分別為，若．證明：為定值22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的左，右焦點分別為F1（﹣，0），F(xiàn)2（，0），且橢圓C過點（﹣）.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過（0，﹣2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，O為坐標(biāo)原點，若，求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先表示出漸近線方程，設(shè)出點坐標(biāo)，利用，解出點坐標(biāo)，再按照面積公式求解即可.【詳解】由題意知，雙曲線漸近線方程為，不妨設(shè)在上，設(shè)，由得，解得，的面積為.故選：A.2、B【解析】先求出拋物線方程，焦點坐標(biāo)，再用兩點間距離公式進(jìn)行求解.【詳解】將代入拋物線中得：，解得：，所以拋物線方程為，焦點坐標(biāo)為，所以點到拋物線焦點的距離為故選：B3、B【解析】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運算可得，再由導(dǎo)數(shù)的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以原式等于.故選：B.4、D【解析】根據(jù)拋物線的定義求得，由此求得的長.【詳解】過作，垂足為，設(shè)與軸交點為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查拋物線定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】焦點在軸上的是C和D，漸近線方程為，故選C考點：1．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)6、B【解析】根據(jù)給定的不等式構(gòu)造函數(shù)，再探討函數(shù)的性質(zhì)，借助性質(zhì)解不等式作答.【詳解】依題意，令，因是R上的奇函數(shù)，則，即是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則有在單調(diào)遞增，又函數(shù)在R上連續(xù)，因此，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不等式，于是得，解得，所以原不等式的解集是.故選：B7、A【解析】利用等比數(shù)列求出m，然后求解圓錐曲線的離心率即可【詳解】解：m是2與8的等比中項，可得m＝±4，當(dāng)m=4時,圓錐曲線為雙曲線x2﹣＝1,它的離心率為：,當(dāng)m=-4時，圓錐曲線x2﹣＝1為橢圓，離心率：，故選：A8、C【解析】全稱命題的否定是特稱命題【詳解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“，均有”的否定為“，使得”故選：C9、C【解析】根據(jù)對稱性求得坐標(biāo)即可.【詳解】點關(guān)于平面的對稱點的坐標(biāo)是，故選：C10、A【解析】求出直線的斜率，由斜率得傾斜角【詳解】由題意直線斜率為，所以傾斜角為故選：A11、A【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，從而得到，則，其中，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)求出，即可得到方程，從求出橢圓的離心率；【詳解】解：依題意，所以，又，所以，因為在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時函數(shù)取得最大值，即，即所以，即，所以，解得或（舍去）故選：A12、D【解析】根據(jù)題意，分別按照選項說法列式計算驗證即可做出判斷.【詳解】選項A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有種分配方法，故該選項錯誤；選項B，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，先將6本書分成4-1-1的3組，再將三組分給甲乙丙三人，有種分配方法，故該選項錯誤；選項C，6本不同的書分給甲乙每人各2本，有種方法，其余分給丙丁每人各1本，有種方法，所以不同的分配方法有種，故該選項錯誤；選項D，先將6本書分為2-2-1-14組，再將4組分給甲乙丙丁4人，有種方法，故該選項正確.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)雙曲線的定義先計算出，，注意到圖中漸近線，于是利用兩種不同的表示法列方程求解.【詳解】，則，由雙曲線的定義及在右支上，，又在左支上，則，則，在中，由余弦定理，，而圖中漸近線，于是，得，于是，不妨令，化簡得，解得，漸近線就為：.故答案為：.14、【解析】利用等差數(shù)列的通項公式求出首項和公差，然后求出其中某一項.【詳解】解：由題意得從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，解得故立夏的日影子長為尺.故答案為：15、684【解析】利用累加法可求得的值.【詳解】當(dāng)且時，，所以，.故答案為：.16、①.②.1【解析】利用的面積列方程，化簡求得的值，從而求得拋物線方程.將的斜率分成存在和不存在兩種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得.【詳解】依題意可知，，所以，解得.所以拋物線方程為.焦點，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，，即，此時.當(dāng)直線的斜率存在且不為時，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，，設(shè)，則，結(jié)合拋物線的定義可知.故答案為：；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或（2）【解析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出、的值，即可得出圓的方程；（2）分析可知直線、的斜率存在，設(shè)過點且斜率存在的直線的方程為，即，利用勾股定理可得出，可知直線、的斜率、是關(guān)于的二次方程的兩根，求出、的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值.【小問1詳解】解：設(shè)圓心，圓的圓心為，由題意可得，解得或，因此，圓的方程為或.【小問2詳解】解：若過點的直線斜率不存在，則該直線的方程為，圓心到直線的距離為，不合乎題意.設(shè)過點且斜率存在的直線的方程為，即，由題意可得，整理可得，設(shè)直線、的斜率分別為、，則、為關(guān)于的二次方程的兩根，，由韋達(dá)定理可得，，在直線的方程中，令，可得，即點在直線的方程中，令，可得，即點，所以，，解得.18、（1），.（2）.【解析】（1）由已知得，，兩式相除得，由已知得，求得數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項公式可求得；（2）運用錯位相減法可求得.【小問1詳解】解：因為數(shù)列的前n項積，所以，所以，兩式相除得，因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，，所以，即，所以數(shù)列的公差為，所以，所以，【小問2詳解】解：由（1）得，所以，，所以，所以.19、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）由已知條件，可得為常數(shù)，從而得證數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而可得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，又，所以，所以，利用錯位相減法即可求解數(shù)列的前項和.【小問1詳解】證明：由題意，因為，，，所以，，所以數(shù)列是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以；【小問2詳解】解：由（1）可得，又，所以，所以，所以，所以，，所以，所以.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性求出其最大值，即可證出；（2）由（1）知：，再變形即可得出小問1詳解】因為，∴在上單調(diào)遞減，又因，故當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.【小問2詳解】由（1）知：，兩邊同乘以a得：，∴，即.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率和橢圓經(jīng)過的點建立方程組，求解方程組可得橢圓的方程；（2）先根據(jù)相切求出直線的斜率，結(jié)合可得，再逐個求解，，然后可證結(jié)論.【小問1詳解】解：由題意，解得故橢圓C的方程為.【小問2詳解】證明：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，因為直線與橢圓C相切，所以判別式，即，整理得，所以，故直線的方程為，因為，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組解得故點Q坐標(biāo)為，聯(lián)立方程組，化簡得設(shè)點因為判別式，得又，所以故，于是為定值.【點睛】直線與橢圓的相切問題一般是聯(lián)立方程，結(jié)合判別式為零求解；定值問題的求解一般結(jié)合目標(biāo)式中的項，