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文檔簡介
甘肅省蘭州市一中2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,,,則()A. B. C. D.2.隨著人民生活水平的提高,對城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大,下圖是某城市月至月的空氣質(zhì)量檢測情況,圖中一、二、三、四級是空氣質(zhì)量等級,一級空氣質(zhì)量最好,一級和二級都是質(zhì)量合格天氣,下面敘述不正確的是()A.1月至8月空氣合格天數(shù)超過天的月份有個B.第二季度與第一季度相比,空氣達(dá)標(biāo)天數(shù)的比重下降了C.8月是空氣質(zhì)量最好的一個月D.6月份的空氣質(zhì)量最差.3.已知實數(shù)滿足約束條件,則的最小值是A. B. C.1 D.44.已知向量,,設(shè)函數(shù),則下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的描述正確的是A.關(guān)于直線對稱 B.關(guān)于點(diǎn)對稱C.周期為 D.在上是增函數(shù)5.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,過原點(diǎn)O作斜率為的直線交C的右支于點(diǎn)A,若|OA|=|OF|,則雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.+16.點(diǎn)為不等式組所表示的平面區(qū)域上的動點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.7.設(shè),滿足約束條件,若的最大值為,則的展開式中項的系數(shù)為()A.60 B.80 C.90 D.1208.總體由編號為01,02,...,39,40的40個個體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體,選取方法是從隨機(jī)數(shù)表(如表)第1行的第4列和第5列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出來的第5個個體的編號為()A.23 B.21 C.35 D.329.已知,如圖是求的近似值的一個程序框圖,則圖中空白框中應(yīng)填入A. B.C. D.10.運(yùn)行如圖所示的程序框圖,若輸出的的值為99,則判斷框中可以填()A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù)z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,則實數(shù)a=()A. B. C.2 D.﹣212.直線與拋物線C:交于A,B兩點(diǎn),直線,且l與C相切,切點(diǎn)為P,記的面積為S,則的最小值為A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某校高三年級共有名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測驗(滿分分),已知這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績均不低于分,將這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分組如下:,,,,,,得到的頻率分布直方圖如圖所示,則下列說法中正確的是________(填序號).①;②這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在分以下的人數(shù)為;③這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)約為;④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為.14.在中,,,,則__________.15.已知函數(shù)若關(guān)于的不等式的解集是,則的值為_____.16.如圖,已知扇形的半徑為1,面積為,則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某商場為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量,在進(jìn)場購物的顧客中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行問卷調(diào)查.調(diào)查后,就顧客“購物體驗”的滿意度統(tǒng)計如下:滿意不滿意男女是否有的把握認(rèn)為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān)?若在購物體驗滿意的問卷顧客中按照性別分層抽取了人發(fā)放價值元的購物券.若在獲得了元購物券的人中隨機(jī)抽取人贈其紀(jì)念品,求獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.附表及公式:.18.(12分)已知.(1)若的解集為,求的值;(2)若對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知橢圓C:()的左、右焦點(diǎn)分別為,,離心率為,且過點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)過左焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的A,B兩點(diǎn),若,求直線l的斜率k.20.(12分)已知數(shù)列為公差為d的等差數(shù)列,,,且,,依次成等比數(shù)列,.(1)求數(shù)列的前n項和;(2)若,求數(shù)列的前n項和為.21.(12分)已知函數(shù)(1)若函數(shù)有且只有一個零點(diǎn),求實數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)萬眾矚目的第14屆全國冬季運(yùn)動運(yùn)會(簡稱“十四冬”)于2020年2月16日在呼倫貝爾市盛大開幕,期間正值我市學(xué)校放寒假,寒假結(jié)束后,某校工會對全校100名教職工在“十四冬”期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時間作了一次調(diào)查,得到如圖頻數(shù)分布直方圖:(1)若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時間不低于3小時的教職工定義為“冰雪迷”,否則定義為“非冰雪迷”,請根據(jù)頻率分布直方圖補(bǔ)全列聯(lián)表;并判斷能否有的把握認(rèn)為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關(guān);(2)在全?!氨┟浴敝邪葱詣e分層抽樣抽取6名,再從這6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運(yùn)動知識講座.記其中女職工的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828,
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
求得集合中函數(shù)的值域,由此求得,進(jìn)而求得.【詳解】由,得,所以,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法,考查集合補(bǔ)集、交集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】由圖表可知月空氣質(zhì)量合格天氣只有天,月份的空氣質(zhì)量最差.故本題答案選.3、B【解析】
作出該不等式組表示的平面區(qū)域,如下圖中陰影部分所示,設(shè),則,易知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時,z取得最小值,由,解得,所以,所以,故選B.4、D【解析】
當(dāng)時,,∴f(x)不關(guān)于直線對稱;當(dāng)時,,∴f(x)關(guān)于點(diǎn)對稱;f(x)得周期,當(dāng)時,,∴f(x)在上是增函數(shù).本題選擇D選項.5、B【解析】
以為圓心,以為半徑的圓的方程為,聯(lián)立,可求出點(diǎn),則,整理計算可得離心率.【詳解】解:以為圓心,以為半徑的圓的方程為,聯(lián)立,取第一象限的解得,即,則,整理得,則(舍去),,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解,考查學(xué)生的計算能力,是中檔題.6、B【解析】
作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識,利用的幾何意義即可得到結(jié)論.【詳解】不等式組作出可行域如圖:,,,的幾何意義是動點(diǎn)到的斜率,由圖象可知的斜率為1,的斜率為:,則的取值范圍是:,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式是解決本題的關(guān)鍵.7、B【解析】
畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到,再利用二項式定理計算得到答案.【詳解】如圖所示:畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),,即,故表示直線與截距的倍,根據(jù)圖像知:當(dāng)時,的最大值為,故.展開式的通項為:,取得到項的系數(shù)為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃求最值,二項式定理,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.8、B【解析】
根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法的抽樣方法,確定選出來的第5個個體的編號.【詳解】隨機(jī)數(shù)表第1行的第4列和第5列數(shù)字為4和6,所以從這兩個數(shù)字開始,由左向右依次選取兩個數(shù)字如下46,64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,…其中落在編號01,02,…,39,40內(nèi)的有:16,26,16,24,23,21,…依次不重復(fù)的第5個編號為21.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行抽樣,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
由于中正項與負(fù)項交替出現(xiàn),根據(jù)可排除選項A、B;執(zhí)行第一次循環(huán):,①若圖中空白框中填入,則,②若圖中空白框中填入,則,此時不成立,;執(zhí)行第二次循環(huán):由①②均可得,③若圖中空白框中填入,則,④若圖中空白框中填入,則,此時不成立,;執(zhí)行第三次循環(huán):由③可得,符合題意,由④可得,不符合題意,所以圖中空白框中應(yīng)填入,故選C.10、C【解析】
模擬執(zhí)行程序框圖,即可容易求得結(jié)果.【詳解】運(yùn)行該程序:第一次,,;第二次,,;第三次,,,…;第九十八次,,;第九十九次,,,此時要輸出的值為99.此時.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖,考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想,涉及判斷條件的選擇,屬基礎(chǔ)題.11、D【解析】
化簡z=(1+2i)(1+ai)=,再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因為z=(1+2i)(1+ai)=,又因為z∈R,所以,解得a=-2.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
設(shè)出坐標(biāo),聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用弦長公式求得,再由點(diǎn)到直線的距離公式求得到的距離,得到的面積為,作差后利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】設(shè),,聯(lián)立,得則,則由,得設(shè),則,則點(diǎn)到直線的距離從而.令當(dāng)時,;當(dāng)時,故,即的最小值為本題正確選項:【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的問題.解決圓錐曲線中的面積類最值問題,通常采用構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式,然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來求解最值.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、②③【解析】
由頻率分布直方圖可知,解得,故①不正確;這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在分以下的人數(shù)為,故②正確;設(shè)這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為,則,解得,故③正確;④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為,故④不正確.綜上,說法正確的序號是②③.14、1【解析】
由已知利用余弦定理可得,即可解得的值.【詳解】解:,,,由余弦定理,可得,整理可得:,解得或(舍去).故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)題意可知的兩根為,再根據(jù)解集的區(qū)間端點(diǎn)得出參數(shù)的關(guān)系,再求解即可.【詳解】解:因為函數(shù),關(guān)于的不等式的解集是的兩根為:和;所以有:且;且;;故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的解集與參數(shù)之間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
根據(jù)題意,利用扇形面積公式求出圓心角,再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出,利用向量的數(shù)量積公式求出.【詳解】設(shè)角,則,,所以在等腰三角形中,,則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積公式和向量的數(shù)量積公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、有的把握認(rèn)為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān);.【解析】
由題得,根據(jù)數(shù)據(jù)判斷出顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān);獲得了元購物券的人中男顧客有人,記為,;女顧客有人,記為,,,.從中隨機(jī)抽取人,所有基本事件有個,其中僅有1人是女顧客的基本事件有個,進(jìn)而求出獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.【詳解】解析:由題得所以,有的把握認(rèn)為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān).獲得了元購物券的人中男顧客有人,記為,;女顧客有人,記為,,,.從中隨機(jī)抽取人,所有基本事件有:,,,,,,,,,,,,,,,共個.其中僅有1人是女顧客的基本事件有:,,,,,,,,共個.所以獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.【點(diǎn)睛】本小題主要考查統(tǒng)計案例、卡方分布、概率等基本知識,考查概率統(tǒng)計基本思想以及抽象概括等能力和應(yīng)用意識,屬于中檔題.18、(1);(2)【解析】
(1)利用兩邊平方法解含有絕對值的不等式,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的值;(2)利用絕對值不等式求出的最小值,把不等式化為只含有的不等式,求出不等式解集即可.【詳解】(1)不等式,即兩邊平方整理得由題意知和是方程的兩個實數(shù)根即,解得(2)因為所以要使不等式恒成立,只需當(dāng)時,,解得,即;當(dāng)時,,解得,即;綜上所述,的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了含有絕對值的不等式解法與應(yīng)用問題,也考查了分類討論思想,是中檔題.19、(1)(2)直線l的斜率為或【解析】
(1)根據(jù)已知列出方程組即可解得橢圓方程;(2)設(shè)直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,轉(zhuǎn)化為,借助向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,及韋達(dá)定理即可求得結(jié)果.【詳解】(1)由題意得解得故橢圓C的方程為.(2)直線l的方程為,設(shè),,則由方程組消去y得,,所以,,由,得,所以,又所以,即所以,因此,直線l的斜率為或.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計算求解能力,難度一般.20、(1)(2)【解析】
(1)利用等差數(shù)列的通項公式以及等比中項求出公差,從而求出,再利用等比數(shù)列的前項和公式即可求解.(2)由(1)求出,再利用裂項求和法即可求解.【詳解】(1),且,,依次成等比數(shù)列,,即:,,,,,;(2),.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的前項和公式、裂項求和法,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.21、(1);(2).【解析】
(1)求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,計算函數(shù)的單調(diào)性,得到,再討論,,三種情況,計算得到答案.(2)計算得到,討論,兩種情況,分別計算單調(diào)性得到函數(shù)最值,得到答案.【詳解】(1),①當(dāng)時恒成立,所以單調(diào)遞增,因為,所以有唯一零點(diǎn),即符合題意;②當(dāng)時,令,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,函數(shù)。(i)當(dāng)即,所以符合題意,(ii)當(dāng)即時,因為,故存在,所以
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