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2025屆黑龍江省克東一中、克山一中等五校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.等差數(shù)列的公差為2,若成等比數(shù)列,則()A.72 B.90C.36 D.452.在正方體中,AC與BD的交點(diǎn)為M.設(shè)則下列向量與相等的向量是()A. B.C. D.3.世界上最早在理論上計(jì)算出“十二平均律”的是我國(guó)明代杰出的律學(xué)家朱載堉,他當(dāng)時(shí)稱這種律制為“新法密率”十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它前一個(gè)單音的頻率的比都相等,且最后一個(gè)單音是第一個(gè)單音頻率的2倍.已知第十個(gè)單音的頻率,則與第四個(gè)單音的頻率最接近的是()A.880 B.622C.311 D.2204.已知直線與圓相切,則的值是()A. B.C. D.5.已知x是上的一個(gè)隨機(jī)的實(shí)數(shù),則使x滿足的概率為()A. B.C. D.6.?dāng)?shù)列滿足且,則的值是()A.1 B.4C.-3 D.67.與空間向量共線的一個(gè)向量的坐標(biāo)是()A. B.C. D.8.已知等比數(shù)列中,,,則公比()A. B.C. D.9.定義焦點(diǎn)相同,且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線為一對(duì)相關(guān)曲線.已知,是一對(duì)相關(guān)曲線的焦點(diǎn),Р是這對(duì)相關(guān)曲線在第一象限的交點(diǎn),則點(diǎn)Р與以為直徑的圓的位置關(guān)系是()A.在圓外 B.在圓上C.在圓內(nèi) D.不確定10.直線被圓截得的弦長(zhǎng)為()A.1 B.C.2 D.311.已知直線交圓于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)滿足,則直線l被圓C截得線段的長(zhǎng)是()A.3 B.2C. D.412.中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋,用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù).如圖所示的圓形剪紙中,正六邊形的所有頂點(diǎn)都在該圓上,若在該圓形剪紙的內(nèi)部投擲一點(diǎn),則該點(diǎn)恰好落在正六邊形內(nèi)部的概率為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn):平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn),的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓.人們將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓,簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)滿足,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線,給出下列四個(gè)結(jié)論:①曲線方程為;②曲線上存在點(diǎn),使得到點(diǎn)的距離為;③曲線上存在點(diǎn),使得到點(diǎn)的距離大于到直線的距離;④曲線上存在點(diǎn),使得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.14.如圖,橢圓的左右焦點(diǎn)為,,以為圓心的圓過(guò)原點(diǎn),且與橢圓在第一象限交于點(diǎn),若過(guò)、的直線與圓相切,則直線的斜率______;橢圓的離心率______.15.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),記直線的斜率分別為,則______.16.如圖,在四棱錐中,平面,底面為矩形,分別為的中點(diǎn),連接,則點(diǎn)到平面的距離為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),證明18.(12分)已知等差數(shù)列的公差為2,且,,成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)已知函數(shù)R)(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的圖象在處的切線方程;(2)求的單調(diào)區(qū)間20.(12分)在如圖所示的多面體中,且,,,且,,且,平面,(1)求證:;(2)求平面與平面夾角的余弦值21.(12分)已知函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)有極值1.(1)求函數(shù)的解析式;(2)若關(guān)于x的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若函數(shù)無(wú)零點(diǎn),求的取值范圍
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由題意結(jié)合成等比數(shù)列,有即可得,進(jìn)而得到、,即可求.【詳解】由題意知:,,又成等比數(shù)列,∴,解之得,∴,則,∴,故選:B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:由其中三項(xiàng)成等比數(shù)列,利用等比中項(xiàng)性質(zhì)求項(xiàng),進(jìn)而得到等差數(shù)列的基本量1、由成等比,即;2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.2、C【解析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則,推出的向量表示,可得答案.【詳解】,故選:C.3、C【解析】依題意,每一個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,由,算出公比,結(jié)合,即可求出.【詳解】設(shè)第一個(gè)單音的頻率為,則最后一個(gè)單音的頻率為,由題意知,且每一個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,設(shè)公比為,則,解得:又,則與第四個(gè)單音的頻率最接近的是311,故選:C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是分析題意將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的知識(shí),考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】直線與圓相切,直接通過(guò)求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與圓相切,所以圓心到直線的距離,所以,.故選:D5、B【解析】先解不等式得到的范圍,再利用幾何概型的概率公式進(jìn)行求解.【詳解】由得,即,所以使x滿足的概率為故選:B.6、A【解析】根據(jù)題意,由于,可知數(shù)列是公差為-3的等差數(shù)列,則可知d=-3,由于=,故選A7、C【解析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示即可得出結(jié)果.【詳解】.故選:C.8、C【解析】利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值,再由可求得結(jié)果.【詳解】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得,解得,又,,故選:C.9、A【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,橢圓的焦距為,雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為,根據(jù)題意可得,設(shè),根據(jù)橢圓與雙曲線的定義將分別用表示,設(shè),再根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式將點(diǎn)的坐標(biāo)用表示,從而可判斷出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.【詳解】解:設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,橢圓的焦距為,雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為,設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為,則,所以,以為直徑的圓的方程為,設(shè),則有,所以,設(shè),,所以①,②,則①②得,所以,所以,將代入②得,所以,,則點(diǎn)到圓心的距離為,所以點(diǎn)Р在以為直徑的圓外.故選:A.10、C【解析】利用直線和圓相交所得的弦長(zhǎng)公式直接計(jì)算即可.【詳解】由題意可得圓的圓心為,半徑,則圓心到直線的距離,所以由直線和圓相交所得的弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)為:.故選:C.11、B【解析】由題設(shè)知為圓的圓心且A、B在圓上,根據(jù)已知及向量數(shù)量積的定義求的大小,進(jìn)而判斷△的形狀,即可得直線l被圓C截得線段的長(zhǎng).【詳解】∵點(diǎn)為圓的圓心且A、B在圓上,又,∴,∴,又,∴,故△為等邊三角形,∴直線l被圓C截得線段的長(zhǎng)是2故選:B12、D【解析】設(shè)圓的半徑,求出圓的面積與正六邊形的面積,再根據(jù)幾何概型的概率公式計(jì)算可得;【詳解】解:設(shè)圓的半徑,則,則,所以,所以在該圓形剪紙的內(nèi)部投擲一點(diǎn),則該點(diǎn)恰好落在正六邊形內(nèi)部的概率;故選:D二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①④【解析】設(shè),根據(jù)滿足,利用兩點(diǎn)間距離公式化簡(jiǎn)整理,即可判斷①是否正確;由①可知,圓上的點(diǎn)到的距離的范圍為,進(jìn)而可判斷②是否正確;設(shè),根據(jù)題意可知,再根據(jù)在曲線上,可得,由此即可判斷③是否正確;由橢圓的的定義,可知在橢圓上,再根據(jù)橢圓與曲線的位置關(guān)系,即可判斷④是否正確.【詳解】設(shè),因?yàn)闈M足,所以,整理可得:,即,所以①正確;對(duì)于②中,由①可知,點(diǎn)在圓的外部,因?yàn)榈綀A心的距離,半徑為,所以圓上的點(diǎn)到的距離的范圍為,而,所以②不正確;對(duì)于③中,假設(shè)存在,使得到點(diǎn)的距離大于到直線的距離,又,到直線的距離,所以,化簡(jiǎn)可得,又,所以,即,故假設(shè)不成立,故③不正確;對(duì)于④中,假設(shè)存在這樣的點(diǎn),使得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為,則在以點(diǎn)與點(diǎn)為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為的橢圓上,即在橢圓上,易知橢圓與曲線有交點(diǎn),故曲線上存在點(diǎn),使得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為;所以④正確.故答案為:①④.14、①.②.【解析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得,由此求得,結(jié)合橢圓的定義求得離心率.【詳解】連接,由于是圓的切線,所以.在中,,所以,所以,所以直線的斜率.,根據(jù)橢圓的定義可知.故答案為:;【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的定義、橢圓的離心率,屬于中檔題.15、【解析】過(guò)焦點(diǎn)作直線要分為有斜率和斜率不存在兩種情況進(jìn)行分類討論.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí),直線方程可設(shè)為,不妨令則,故當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的直線斜率存在時(shí),直線方程可設(shè)為,令由整理得則,綜上,故答案為:16、【解析】利用轉(zhuǎn)化法,根據(jù)線面平行的性質(zhì),結(jié)合三棱錐的體積等積性進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)是的中點(diǎn),連接,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以,因?yàn)槠矫妫矫?,所以平面,因此點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,設(shè)為,因?yàn)槠矫?,所以,,于是有,底面為矩形,所以有,,因?yàn)槠矫?,所以,于是有:,由余弦定理可知:cos∠PEC=所以,因此,,因?yàn)?,所以,故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】(1)求導(dǎo)得,進(jìn)而分和兩種情況討論求解即可;(2)根據(jù)題意證明,進(jìn)而令,再結(jié)合(1)得,研究函數(shù)的性質(zhì)得,進(jìn)而得時(shí),,即不等式成立.【小問(wèn)1詳解】解:函數(shù)的定義域?yàn)?,,∴?dāng)時(shí),在上恒成立,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),由得,由得,即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;綜上,當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;【小問(wèn)2詳解】證明:因?yàn)闀r(shí),證明,只需證明,由(1)知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;所以.令,則,所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,所以.所以時(shí),,所以當(dāng)時(shí),18、(1)(2)【解析】(1)由,,成等比數(shù)列和,可得,解方程求出,從而可求出的通項(xiàng)公式,(2)由(1)可得,然后利用裂項(xiàng)相消法可求出【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為2,所以又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以,解得,所以.【小問(wèn)2詳解】由(1)得,所以.19、(1)(2)答案見解析【解析】(1)根據(jù)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率,切點(diǎn)在曲線上可得切線方程;(2)求導(dǎo),分類討論可得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí),,,,則,所以在處的切線方程為【小問(wèn)2詳解】,,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),令,則,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為20、(1)證明見解析(2)【解析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得,,如圖所示,以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,證明即可得證;(2)求出平面與平面的法向量,再利用向量法即可得解.【小問(wèn)1詳解】證明:因?yàn)槠矫妫矫?,平面,所以,且,因?yàn)?,如圖所示,以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,所以,,,所以;【小問(wèn)2詳解】,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,有,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,有,設(shè)平面和平面的夾角為,,所以平面和平面的夾角的余弦值為21、(1)(2)【解析】(1)根據(jù),可得可得結(jié)果.(2)根據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想,可得,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,并比較的極值與的大小關(guān)系,可得結(jié)果.【詳解】(1)由,有,又有,解得:,,故函數(shù)的解析式為(2)由(1)有可知:故函數(shù)的增區(qū)間為,,減區(qū)間為,所以的極小值為,極大值為由關(guān)于x的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根,等價(jià)于方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根,即等價(jià)于函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)實(shí)數(shù)m的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)極值求函數(shù)的解析式,還考查了方程的根與函數(shù)圖像交點(diǎn)的等價(jià)轉(zhuǎn)換,屬基礎(chǔ)題.22、(1)單調(diào)減區(qū)間為和;(2)的取值范圍為:或【解析】(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率,由兩直線垂直的條件,可得,求得的解析式,可得導(dǎo)數(shù),令導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間;(2)先求得,要使函數(shù)無(wú)零點(diǎn),即要在內(nèi)無(wú)解,亦即要在內(nèi)無(wú)解.構(gòu)造函數(shù),對(duì)其求導(dǎo),然后對(duì)進(jìn)行分類討論,運(yùn)用單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在性定理,即可得到的取值范圍.【詳解】(1),又由題意有:,故.此時(shí),,由或,所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和.(2),且定義域?yàn)?,要函?shù)無(wú)零點(diǎn),即要在內(nèi)無(wú)解,亦即要在內(nèi)無(wú)解.構(gòu)造函數(shù).①當(dāng)時(shí),在內(nèi)恒成立,所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)也單調(diào)遞減.又,所以在內(nèi)無(wú)零點(diǎn),在內(nèi)也無(wú)零點(diǎn),故滿足條件;②當(dāng)時(shí),⑴若,則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)也單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增.又,所以在內(nèi)無(wú)零點(diǎn);易知,而,故在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),所以不滿足條件;⑵若,則函數(shù)在
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