江蘇省南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

江蘇省南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若的零點(diǎn)為，極值點(diǎn)為，則（）A. B.0C.1 D.23．已知，向量，，若，則x的值為（）A.-1 B.1C.-2 D.24．某手機(jī)上網(wǎng)套餐資費(fèi)：每月流量500M以下（包含500M），按20元計(jì)費(fèi)；超過(guò)500M，但沒(méi)超過(guò)1000M（包含1000M）時(shí)，超出部分按0.15元/M計(jì)費(fèi)；超過(guò)1000M時(shí)，超出部分按0.2元/M計(jì)費(fèi)，流量消費(fèi)累計(jì)的總流量達(dá)到封頂值（15GB）則暫停當(dāng)月上網(wǎng)服務(wù).若小明使用該上網(wǎng)套餐一個(gè)月的費(fèi)用是100元，則他的上網(wǎng)流量是（）A.800M B.900MC.1025M D.1250M5．已知點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.6．如圖，在直三棱柱中，且，點(diǎn)E為中點(diǎn)．若平面過(guò)點(diǎn)E，且平面與直線AB所成角和平面與平面所成銳二面角的大小均為30°，則這樣的平面有（）A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)7．長(zhǎng)方體中，，，，為側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則四棱錐體積的最小值為（）A. B.C. D.8．直線分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A B.C. D.9．定義焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線為一對(duì)相關(guān)曲線.已知，是一對(duì)相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，Р是這對(duì)相關(guān)曲線在第一象限的交點(diǎn)，則點(diǎn)Р與以為直徑的圓的位置關(guān)系是（）A.在圓外 B.在圓上C.在圓內(nèi) D.不確定10．若圓上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則半徑的取值范圍是（）A. B.C. D.11．如果一個(gè)矩形長(zhǎng)與寬的比值為，那么稱該矩形為黃金矩形.如圖，已知是黃金矩形，，分別在邊，上，且也是黃金矩形.若在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黃金矩形內(nèi)的概率為（）A. B.C. D.12．已知圓，過(guò)點(diǎn)P的直線l被圓C所截，且截得最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度與最短弦的長(zhǎng)度比值為5∶4，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則最大值為（）A.3 B.4C.5 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則______14．經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)的直線斜率為_(kāi)_____.15．已知向量，且，則實(shí)數(shù)________________16．某班學(xué)號(hào)的學(xué)生鉛球測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚簩W(xué)號(hào)12345678成績(jī)9.17.98.46.95.27.18.08.1可以估計(jì)這8名學(xué)生鉛球測(cè)試成績(jī)的第25百分位數(shù)為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）2017年廈門(mén)金磚會(huì)晤期間產(chǎn)生碳排放3095噸．2018年起廈門(mén)市政府在下潭尾濕地生態(tài)公園通過(guò)種植紅樹(shù)林的方式中和會(huì)晤期間產(chǎn)生的碳排放，擬用20年時(shí)間將碳排放全部吸收，實(shí)現(xiàn)“零碳排放”目標(biāo)，向世界傳遞低碳，環(huán)保辦會(huì)的積極信號(hào)，踐行金磚國(guó)家倡導(dǎo)的可持續(xù)發(fā)展精神據(jù)研究估算，紅樹(shù)林的年碳吸收量隨著林齡每年遞增2%，2018年公園已有的紅樹(shù)林年碳吸收量為130噸，如果從2019年起每年新種植紅樹(shù)林若干畝，新種植的紅樹(shù)林當(dāng)年的年碳吸收量為m（）噸．2018年起，紅樹(shù)林的年碳吸收量依次記，，，…（1）①寫(xiě)出一個(gè)遞推公式，表示與之間的關(guān)系；②證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）為了提前5年實(shí)現(xiàn)廈門(mén)會(huì)晤“零碳排放”的目標(biāo)，m的最小值為多少？參考數(shù)據(jù)：，，18．（12分）已知命題：方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，命題：關(guān)于的方程無(wú)實(shí)根（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若“”為假命題，"”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．（12分）已知數(shù)列，若_________________（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，然后對(duì)題目進(jìn)行求解①；②，，；③，點(diǎn)，在斜率是2的直線上20．（12分）如圖，矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于x軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線在x軸上方的曲線上，求矩形面積最大時(shí)的邊長(zhǎng).21．（12分）已知p：關(guān)于x的方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解，.（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線：，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)：當(dāng)l與拋物線的對(duì)稱軸垂直時(shí)，（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)A在第一象限，記的面積為，的面積為，求的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得或，解之即可得解.【詳解】解：，由題意可得或即或，解得或故選：B.2、C【解析】令可求得其零點(diǎn)，即的值，再利用導(dǎo)數(shù)可求得其極值點(diǎn)，即的值，從而可得答案【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，即，解得；當(dāng)時(shí)，恒成立，的零點(diǎn)為又當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故在，上無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，取到極小值，即的極值點(diǎn)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，突出分析運(yùn)算能力的考查，屬于中檔題3、D【解析】根據(jù)給定條件利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】因向量，，，則，解得，所以x的值為2.故選：D4、C【解析】根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)求得小明的上網(wǎng)流量.【詳解】顯然小明上網(wǎng)流量超過(guò)了1000M但遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)達(dá)到封頂值，假設(shè)超出部分為M，由得.故選：C5、A【解析】由兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的斜率，利用，結(jié)合傾斜角的范圍即可求解.【詳解】設(shè)直線AB的傾斜角為，因?yàn)?，所以直線AB的斜率，即，因?yàn)?，所?故選：A6、B【解析】構(gòu)造出長(zhǎng)方體，取中點(diǎn)連接然后利用臨界位置分情況討論即可.【詳解】如圖，構(gòu)造出長(zhǎng)方體，取中點(diǎn)，連接則所有過(guò)點(diǎn)與成角的平面，均與以為軸的圓錐相切，過(guò)點(diǎn)繞且與成角，當(dāng)與水平面垂直且在面的左側(cè)（在長(zhǎng)方體的外面）時(shí)，與面所成角為75°（與面成45°，與成30°），過(guò)點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周，90°顯然最大，到了另一個(gè)邊界（在面與之間）為15度，即與面所成角從75°→90°→15°→90°→75°變化，此過(guò)程中，有兩次角為30

，綜上，這樣的平面α有2個(gè)，故選：B.7、D【解析】取的中點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分析可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓，求出橢圓的方程，可知當(dāng)點(diǎn)為橢圓與棱或的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離取最小值，由此可求得四棱錐體積的最小值.【詳解】取的中點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中，，則、，因?yàn)槠矫?，平面，則，所以，，同理可得，所以，，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓的一部分，則，，，所以，點(diǎn)的軌跡方程為，點(diǎn)到平面的距離為，當(dāng)點(diǎn)為曲線與棱或棱的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離取最小值，將代入方程得，因此，四棱錐體積的最小值為.故選：D.8、A【解析】把求面積轉(zhuǎn)化為求底邊和底邊上的高，高就是圓上點(diǎn)到直線的距離.【詳解】與x，y軸的交點(diǎn)，分別為，，點(diǎn)在圓，即上，所以，圓心到直線距離為，所以面積的最小值為，最大值為.故選：A9、A【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，橢圓的焦距為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，根據(jù)題意可得，設(shè)，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義將分別用表示，設(shè)，再根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式將點(diǎn)的坐標(biāo)用表示，從而可判斷出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.【詳解】解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，橢圓的焦距為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，則，所以，以為直徑的圓的方程為，設(shè)，則有，所以，設(shè)，，所以①，②，則①②得，所以，所以，將代入②得，所以，，則點(diǎn)到圓心的距離為，所以點(diǎn)Р在以為直徑的圓外.故選：A.10、B【解析】先求出圓心到直線的距離為，由此可知當(dāng)圓的半徑為時(shí)，圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)圓的半徑時(shí)，圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故半徑的取值范圍是，即可求出答案.【詳解】由已知條件得的圓心坐標(biāo)為，圓心到直線為，∵圓上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，∴圓的半徑的取值范圍是，即，即半徑的取值范圍是.故選：.11、B【解析】由幾何概型的面積型，只需求小矩形的面積和大矩形面積之比.【詳解】由題意，不妨設(shè)，則，又也是黃金矩形，則，又，解得，于是大矩形面積為：，小矩形的面積為，由幾何概型的面積型，概率為若在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黃金矩形內(nèi)的概率為：.故選：B.12、C【解析】由題意，點(diǎn)P在圓C內(nèi)，且最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度為直徑長(zhǎng)10，則最短弦的長(zhǎng)度為8，進(jìn)而可得，所以點(diǎn)P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，從而即可求解.【詳解】解：由題意，圓，所以圓C是以為圓心，半徑為5的圓，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P的直線l被圓C所截，且截得最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度與最短弦的長(zhǎng)度比值為5∶4，所以點(diǎn)P在圓C內(nèi)，且最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度為直徑長(zhǎng)10，則最短弦的長(zhǎng)度為8，所以由弦長(zhǎng)公式有，所以點(diǎn)P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，所以，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##25【解析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性即可求得結(jié)果.【詳解】，，又，，.故答案為：.14、【解析】利用斜率公式可求得結(jié)果.【詳解】由斜率公式可知，直線的斜率為.故答案為：.15、【解析】，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】，則，解得故答案為：16、【解析】利用百分位數(shù)的計(jì)算方法即可求解.【詳解】將以上數(shù)據(jù)從小到大排列為，，，，，，，；%，則第25百分位數(shù)第項(xiàng)和第項(xiàng)的平均數(shù)，即為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）①；②證明見(jiàn)解析，（2）最少為6.56噸【解析】（1）①根據(jù)題意直接寫(xiě)出一個(gè)遞推公式即可；②要證明是等比數(shù)列，只要證明為一個(gè)常數(shù)即可，求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)題意求出，利用分組求和法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，再令，解之即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解：①依題意得,則，②因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樗詳?shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)是，公比是1.02，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】解：記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，依題，所以，所以m最少為6.56噸18、（1）；（2）.【解析】(1)由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)得，即可求m的范圍；(2)當(dāng)q命題為真時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，判別式小于零，求得m的范圍，再由復(fù)合命題的真假得和一真一假，列出不等式組運(yùn)算可得解【小問(wèn)1詳解】∵方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，∴，解得【小問(wèn)2詳解】若為真命題，則，解得，∵“”為假命題，”為真命題，∴一真一假當(dāng)真假時(shí)，“”且“或”，則；當(dāng)假真時(shí)，，則綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是19、答案見(jiàn)解析.【解析】（1）若選①，根據(jù)通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的關(guān)系求解通項(xiàng)公式即可；若選②，根據(jù)可得數(shù)列為等差數(shù)列，利用基本量法求解通項(xiàng)公式即可；若選③，根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式可得，可得數(shù)列為等差數(shù)列進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消求和即可【詳解】解：（1）若選①，由，所以當(dāng)，，兩式相減可得：，而在中，令可得：，符合上式，故若選②，由（，）可得：數(shù)列為等差數(shù)列，又因?yàn)?，，所以，即，所以若選③，由點(diǎn)，在斜率是2的直線上得：，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列且（2）由（1）知：，所以20、當(dāng)矩形面積最大時(shí)，矩形邊AB長(zhǎng)，BC長(zhǎng)【解析】先設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出矩形的面積，通過(guò)求導(dǎo)可求出其最大面積.【詳解】設(shè)點(diǎn)，那么矩形面積，.令解得（負(fù)舍）.所以S在（0，）上單調(diào)遞增，在（，2）上單調(diào)遞；..所以當(dāng)時(shí)，S有最大值.此時(shí)答：當(dāng)矩形面積最大時(shí)，矩形邊AB長(zhǎng)，BC長(zhǎng).21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)命題p為真命題，可得，解之即可得解；（2）若p是q的充分不必要條件，則，列出不等式組，解之即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解：命題p：關(guān)于x的方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解，∴，解得，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是；【小問(wèn)2詳