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2025屆遼寧省大連經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)得勝高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.2021年小林大學(xué)畢業(yè)后,9月1日開始工作,他決定給自己開一張儲蓄銀行卡,每月的10號存錢至該銀行卡(假設(shè)當(dāng)天存錢次日到賬).2021年9月10日他給卡上存入1元,以后每月存的錢數(shù)比上個月多一倍,則他這張銀行卡賬上存錢總額(不含銀行利息)首次達(dá)到1萬元的時間為()A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日2.“,”是“方程表示雙曲線”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.設(shè)F是雙曲線的左焦點,,P是雙曲線右支上的動點,則的最小值為()A.5 B.C. D.94.如果直線與直線垂直,那么的值為()A. B.C. D.25.在空間中,“直線與沒有公共點”是“直線與異面”的()A.必要不充分條件 B.充要條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件6.在正三棱錐S-ABC中,AB=4,D、E分別是SA、AB中點,且DE⊥CD,則三棱錐S-ABC外接球的體積為()A.π B.πC.π D.π7.?dāng)?shù)列中,滿足,,設(shè),則()A. B.C. D.8.已知數(shù)列是公差為等差數(shù)列,,則()A.1 B.3C.6 D.99.在中,若,,,則此三角形解的情況為()A.無解 B.兩解C.一解 D.解的個數(shù)不能確定10.若拋物線的焦點與橢圓的下焦點重合,則m的值為()A.4 B.2C. D.11.已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點,點A到C的焦點的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則p=()A.2 B.3C.6 D.912.已知空間向量,,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖所示四棱錐,底面ABCD為直角梯形,,,,,是底面ABCD內(nèi)一點(含邊界),平面MBD,則點O軌跡的長度為_____________.14.已知函數(shù)在處有極值2,則______.15.經(jīng)過兩直線l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交點P,且與直線l3:3x-4y+5=0垂直的直線l的方程為________16.若數(shù)列滿足,則稱為“追夢數(shù)列”.已知數(shù)列為“追夢數(shù)列”,且,則數(shù)列的通項公式__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線C:x2=2py的焦點為F,點N(t,1)在拋物線C上,且|NF|=.(1)求拋物線C的方程;(2)過點M(0,1)的直線l交拋物線C于不同的兩點A,B,設(shè)O為坐標(biāo)原點,直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點,曲線上點都在軸及其右側(cè),且曲線上的任一點到軸的距離比它到圓的圓心的距離小1(1)求曲線的方程;(2)已知過點的直線交曲線于點,若,求面積19.(12分)已知橢圓C:的長軸長為4,過C的一個焦點且與x軸垂直的直線被C截得的線段長為3(1)求C的方程;(2)若直線:與C交于A,B兩點,線段AB的中垂線與C交于P,Q兩點,且,求m的值20.(12分)在中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且.(1)求角B的大小;(2)若,,且,求a.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,圓外的點在軸的右側(cè)運動,且到圓上的點的最小距離等于它到軸的距離,記的軌跡為(1)求的方程;(2)過點的直線交于,兩點,以為直徑的圓與平行于軸的直線相切于點,線段交于點,證明:是的中點22.(10分)如下圖,已知點是離心率為的橢圓:上的一點,斜率為的直線交橢圓于、兩點,且、、三點互不重合(1)求橢圓的方程;(2)求證:直線,的斜率之和為定值
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析可得每月所存錢數(shù)依次成首項為1,公比為2的等比數(shù)列,其前n項和為,分析首次達(dá)到1萬元的值,即得解【詳解】依題意可知,小林從第一個月開始,每月所存錢數(shù)依次成首項為1,公比為2的等比數(shù)列,其前n項和為.因為為增函數(shù),且,所以第14個月的10號存完錢后,他這張銀行卡賬上存錢總額首次達(dá)到1萬元,即2022年10月11日他這張銀行卡賬上存錢總額首次達(dá)到1萬元.故選:C2、A【解析】根據(jù)雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】由,可知方程表示焦點在軸上的雙曲線;反之,若表示雙曲線,則,即,或,所以“,”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件故選:A3、B【解析】由雙曲線的的定義可得,于是將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值,由得出答案.【詳解】設(shè)雙曲線的由焦點為,且點A在雙曲線的兩支之間.由雙曲線的定義可得,即所以當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時,取得等號.故選:B4、A【解析】根據(jù)兩條直線垂直列方程,化簡求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直,所以.故選:A5、A【解析】由于在空間中,若直線與沒有公共點,則直線與平行或異面,再根據(jù)充分、必要條件的概念判斷,即可得到結(jié)果.【詳解】在空間中,若直線與沒有公共點,則直線與平行或異面.故“直線與沒有公共點”是“直線與異面”的必要不充分條件.故選:A.6、C【解析】取中點,連接,證明平面,得證,然后證明平面,得兩兩垂直,以為棱把三棱錐補成一個正方體,正方體的對角線是其外接球的直徑,而正方體的外接球也是正三棱錐的外接球,由此計算可得【詳解】取中點,連接,則,,,平面,所以平面,又平面,所以,D、E分別是SA、AB的中點,則,又,所以,,平面,所以平面,而平面,所以,,是正三棱錐,因此,因此可以為棱把三棱錐補成一個正方體,正方體的對角線是其外接球的直徑,而正方體的外接球也是正三棱錐的外接球,由,得,所以所求外接球直徑為,半徑為,球體積為故選:C7、C【解析】由遞推公式可歸納得,由此可以求出的值【詳解】因為,,所以,,,因此故選C【點睛】本題主要考查利用數(shù)列的遞推式求值和歸納推理思想的應(yīng)用,意在考查學(xué)生合情推理的意識和數(shù)學(xué)建模能力8、D【解析】結(jié)合等差數(shù)列的通項公式求得.【詳解】設(shè)公差,.故選:D9、C【解析】求出的值,結(jié)合大邊對大角定理可得出結(jié)論.【詳解】由正弦定理可得可得,因為,則,故為銳角,故滿足條件的只有一個.故選:C.10、D【解析】求出橢圓的下焦點,即拋物線的焦點,即可得解.【詳解】解:橢圓的下焦點為,即為拋物線焦點,∴,∴.故選:D.11、C【解析】利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F,由拋物線的定義知,即,解得.故選:C.【點晴】本題主要考查利用拋物線的定義計算焦半徑,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想,是一道容易題.12、C【解析】直接利用向量的坐標(biāo)運算法則求解即可【詳解】因為,,所以,故選:C二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】繪出如圖所示的輔助線,然后通過平面平面得出點軌跡為線段,最后通過求出、的長度即可得出結(jié)果.【詳解】如圖,延長到點,使且,連接,取上點,使得,作,交于點,交于點,連接,因為,所以,因為,又,所以,,因為,,,所以平面平面,因為平面,面,所以點軌跡為線段,因為,,所以,因為,,,所以,因為底面為直角梯形,所以,,,,故答案為:.14、6【解析】根據(jù)函數(shù)在處有極值2,可得,解方程組即可得解.【詳解】解:,因為函數(shù)在處有極值2,所以,即,解得,則,故當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以函數(shù)在處有極大值,所以,所以.故答案為:6.15、4x+3y-6=0【解析】直接求出兩直線l1:x﹣2y+4=0和l2:x+y﹣2=0的交點P的坐標(biāo),求出直線的斜率,然后求出所求直線方程【詳解】由方程組可得P(0,2)∵l⊥l3,∴kl=﹣,∴直線l的方程為y﹣2=﹣x,即4x+3y-6=0故答案為:4x+3y-6=016、##【解析】根據(jù)題意,由“追夢數(shù)列”的定義可得“追夢數(shù)列”是公比為的等比數(shù)列,進(jìn)而可得若數(shù)列為“追夢數(shù)列”,則為公比為3的等比數(shù)列,進(jìn)而由等比數(shù)列的通項公式可得答案【詳解】根據(jù)題意,“追夢數(shù)列”滿足,即,則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.若數(shù)列為“追夢數(shù)列”,則.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)x2=2y;(2)證明見解析【解析】(1)利用拋物線的定義進(jìn)行求解即可;(2)設(shè)直線l的直線方程與拋物線方程聯(lián)立,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、斜率公式進(jìn)行證明即可.【小問1詳解】∵點N(t,1)在拋物線C:x2=2py上,且|NF|=,∴|NF|=,解得p=1,∴拋物線C的方程為x2=2y;【小問2詳解】依題意,設(shè)直線l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立,得x2﹣2kx﹣2=0.則x1x2=﹣2,∴.故k1k2為定值.【點睛】關(guān)鍵點睛:利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.18、(1)(2)【解析】(1)由題意直接列或根據(jù)拋物線的定義求軌跡方程(2)待定系數(shù)法設(shè)直線方程,聯(lián)立直線與拋物線方程,根據(jù)拋物線的定義,利用韋達(dá)定理解出直線方程,再求面積【小問1詳解】解法1:配方法可得圓的方程為,即圓的圓心為,設(shè)的坐標(biāo)為,由已知可得,化簡得,曲線的方程為解法2:配方可得圓的方程為,即圓的圓心為,由題意可得上任意一點到直線的距離等于該點到圓心的距離,由拋物線的定義可得知,點的軌跡為以點為焦點的拋物線,所以曲線的方程為【小問2詳解】拋物線的焦點為,準(zhǔn)線方程為,由,可得的斜率存在,設(shè)為,,過的直線的方程為,與拋物線的方程聯(lián)立,可得,設(shè),的橫坐標(biāo)分別為,,可得,,由拋物線的定義可得,解得,即直線的方程為,可得到直線的距離為,,所以的面積為19、(1);(2).【解析】(1)由題設(shè)可得且,求出,即可得橢圓方程.(2)聯(lián)立直線l和橢圓C并整理為關(guān)于x的一元二次方程,由求出m的范圍,再應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長公式求,進(jìn)而可得線段AB的中垂線,同理聯(lián)立曲線C求相交弦長,再由已知條件求m值,注意其范圍.【小問1詳解】由題意知,,則,令,可得,由題設(shè)有,則,所以C的方程為【小問2詳解】聯(lián)立方程得:,由,得設(shè),,則,,所以,另一方面,,即線段AB的中點為,所以線段AB的中垂線方程為令,聯(lián)立方程得:同理求法,可得:,即因此,解得,故20、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)已知條件,運用余弦定理化簡可求出;(2)由可求出,利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求出,再利用正弦定理即求.【小問1詳解】)∵且,∴,∴,∴,∵,∴.【小問2詳解】∵,∴,∴,∵,∴,∵,∴,又∵,,,∴.21、(1)(2)證明見解析【解析】(1)設(shè)點,求得到圓上的最小距離為,根據(jù)題意得到,整理即可求得曲線的方程;(2)當(dāng)直線的斜率不存在時,顯然成立;當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程,聯(lián)立方程組求得和,得到,結(jié)合拋物線的定義和方程求得,,結(jié)合,即可求解.【小問1詳解】解:設(shè)點,(其中),由圓,可得圓心坐標(biāo)為,因為在圓外,所以到圓上的點的最小距離為,又由到圓上的點的最小距離等于它到軸的距離,可得,即,整理得,即曲線的方程為【小問2詳解】解:當(dāng)直線的斜率不存在時,可得點為拋物線的交點,點為坐標(biāo)原點,點為拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點,顯然滿足是的中點;當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程,設(shè),,,則,聯(lián)立方程組,整理得,因為,且,則,故,由拋物線的定義知,設(shè),可得,所以,又因為,所以,解得,所以,因為在地物線上,所以,即,所以,即是的中點22、(1);(2)證明見解析.【解析】(1)根據(jù)離心率為可得,把代入方程可得,又,解方程組即可求得方程;(2)設(shè)直線的方程為,整理方程組,求得,及參數(shù)的范圍,由斜率公式表示出,結(jié)合直線方程和韋達(dá)定理整理即可得到定值.試題解析:(1)由題意,可得,代入得
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