新疆烏魯木齊2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

新疆烏魯木齊2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知拋物線:,直線與分別相交于點(diǎn),與的準(zhǔn)線相交于點(diǎn),若,則()A.3 B. C. D.2.已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn),若點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.23.在平行六面體中,M為與的交點(diǎn),若,,則與相等的向量是()A. B. C. D.4.橢圓是日常生活中常見的圖形,在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水,將杯體傾斜一個角度,水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有一高度為12厘米,底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯,且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半(玻璃厚度忽略不計),在玻璃杯傾斜的過程中(杯中的水不能溢出),杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知命題,且是的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.6.已知雙曲線C:1(a>0,b>0)的焦距為8,一條漸近線方程為,則C為()A. B.C. D.7.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.8.若,則的虛部是()A. B. C. D.9.已知橢圓(a>b>0)與雙曲線(a>0,b>0)的焦點(diǎn)相同,則雙曲線漸近線方程為()A. B.C. D.10.設(shè)為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則實(shí)數(shù)的值是()A.1 B.-1 C.0 D.211.已知拋物線:的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,是上一點(diǎn),直線與拋物線交于,兩點(diǎn),若,則為()A. B.40 C.16 D.12.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為,則雙曲線的焦距為______.14.已知二面角α﹣l﹣β為60°,在其內(nèi)部取點(diǎn)A,在半平面α,β內(nèi)分別取點(diǎn)B,C.若點(diǎn)A到棱l的距離為1,則△ABC的周長的最小值為_____.15.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中,要求每天消耗原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤是__________元.16.已知兩圓相交于兩點(diǎn),,若兩圓圓心都在直線上,則的值是________________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)自湖北武漢爆發(fā)新型冠狀病毒惑染的肺炎疫情以來,武漢醫(yī)護(hù)人員和醫(yī)療、生活物資嚴(yán)重缺乏,全國各地紛紛馳援.截至1月30日12時,湖北省累計接收捐贈物資615.43萬件,包括醫(yī)用防護(hù)服2.6萬套N95口軍47.9萬個,醫(yī)用一次性口罩172.87萬個,護(hù)目鏡3.93萬個等.中某運(yùn)輸隊(duì)接到給武漢運(yùn)送物資的任務(wù),該運(yùn)輸隊(duì)有8輛載重為6t的A型卡車,6輛載重為10t的B型卡車,10名駕駛員,要求此運(yùn)輸隊(duì)每天至少運(yùn)送720t物資.已知每輛卡車每天往返的次數(shù):A型卡車16次,B型卡車12次;每輛卡車每天往返的成本:A型卡車240元,B型卡車378元.求每天派出A型卡車與B型卡車各多少輛,運(yùn)輸隊(duì)所花的成本最低?18.(12分)如圖,正方形是某城市的一個區(qū)域的示意圖,陰影部分為街道,各相鄰的兩紅綠燈之間的距離相等,處為紅綠燈路口,紅綠燈統(tǒng)一設(shè)置如下:先直行綠燈30秒,再左轉(zhuǎn)綠燈30秒,然后是紅燈1分鐘,右轉(zhuǎn)不受紅綠燈影響,這樣獨(dú)立的循環(huán)運(yùn)行.小明上學(xué)需沿街道從處騎行到處(不考慮處的紅綠燈),出發(fā)時的兩條路線()等可能選擇,且總是走最近路線.(1)請問小明上學(xué)的路線有多少種不同可能?(2)在保證通過紅綠燈路口用時最短的前提下,小明優(yōu)先直行,求小明騎行途中恰好經(jīng)過處,且全程不等紅綠燈的概率;(3)請你根據(jù)每條可能的路線中等紅綠燈的次數(shù)的均值,為小明設(shè)計一條最佳的上學(xué)路線,且應(yīng)盡量避開哪條路線?19.(12分)已知函數(shù),.(1)若不等式對恒成立,求的最小值;(2)證明:.(3)設(shè)方程的實(shí)根為.令若存在,,,使得,證明:.20.(12分)如圖,在三棱柱中,平面平面,側(cè)面為平行四邊形,側(cè)面為正方形,,,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的大小.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),若直線與曲線相交于、兩點(diǎn),求的值22.(10分)如圖,過點(diǎn)且平行與x軸的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)M且斜率為正的直線交橢圓于段C、D,直線AC、BD分別交直線于點(diǎn)E、F,求證:是定值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線,斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線過拋物線的焦點(diǎn)如圖,過A,M作準(zhǔn)線的垂直,垂足分別為C,D,過M作AC的垂線,垂足為E根據(jù)拋物線的定義可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M為AN的中點(diǎn),所以MD為三角形NAC的中位線,故MD=CE=EA=AC設(shè)MF=t,則MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的焦點(diǎn)弦的斜率,常見于利用拋物線的定義構(gòu)建關(guān)系,屬于中檔題.2、A【解析】

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入橢圓方程可得,然后分別求出點(diǎn)到兩條漸近線的距離,由距離之積為,并結(jié)合,可得到的齊次方程,進(jìn)而可求出離心率的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,有,得.雙曲線的兩條漸近線方程為和,則點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,所以,則,即,故,即,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率,構(gòu)造的齊次方程是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.3、D【解析】

根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算,用作基底表示即可得解.【詳解】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可知因?yàn)?,則即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算,用基底表示向量,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)題意可知當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時,水面邊界所形成橢圓的離心率最大,由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定此時橢圓的離心率,進(jìn)而確定離心率的取值范圍.【詳解】當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時,水面邊界所形成橢圓的離心率最大.此時橢圓長軸長為,短軸長為6,所以橢圓離心率,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

求出命題不等式的解為,是的必要不充分條件,得是的子集,建立不等式求解.【詳解】解:命題,即:,是的必要不充分條件,,,解得.實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍,其思路方法:(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.(2)求解參數(shù)的取值范圍時,一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).6、A【解析】

由題意求得c與的值,結(jié)合隱含條件列式求得a2,b2,則答案可求.【詳解】由題意,2c=8,則c=4,又,且a2+b2=c2,解得a2=4,b2=12.∴雙曲線C的方程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

由圖象可以求出周期,得到,根據(jù)圖象過點(diǎn)可求,根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】由圖象知,所以,,又圖象過點(diǎn),所以,故可取,所以令,解得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),利用“五點(diǎn)法”求函數(shù)解析式,屬于中檔題.8、D【解析】

通過復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則化簡求解復(fù)數(shù)為:的形式,即可得到復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題可知,所以的虛部是1.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算,復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

由題意可得,即,代入雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】依題意橢圓與雙曲線即的焦點(diǎn)相同,可得:,即,∴,可得,雙曲線的漸近線方程為:,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì),考查漸近線方程的求法,考查方程思想和運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡,由復(fù)數(shù)的意義即可求得的值.【詳解】復(fù)數(shù),由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡可得,所以由復(fù)數(shù)定義可知,解得,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,復(fù)數(shù)的意義,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

如圖所示,過分別作于,于,利用和,聯(lián)立方程組計算得到答案.【詳解】如圖所示:過分別作于,于.,則,根據(jù)得到:,即,根據(jù)得到:,即,解得,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中弦長問題,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.12、B【解析】

化簡得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,結(jié)合0<A<π,可求A=π【詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用,兩角差的正弦公式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是靈活利用基本公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

由雙曲線的漸近線,以及求得的值即可得答案.【詳解】由于雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為,所以,即①,把代入,得,即②又③聯(lián)立①②③,得.所以.故答案是:1.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì),注意題目“雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為”這一條件的運(yùn)用,另外注意題目中要求的焦距即,容易只計算到,就得到結(jié)論.14、【解析】

作A關(guān)于平面α和β的對稱點(diǎn)M,N,交α和β與D,E,連接MN,AM,AN,DE,根據(jù)對稱性三角形ADC的周長為AB+AC+BC=MB+BC+CN,當(dāng)四點(diǎn)共線時長度最短,結(jié)合對稱性和余弦定理求解.【詳解】作A關(guān)于平面α和β的對稱點(diǎn)M,N,交α和β與D,E,連接MN,AM,AN,DE,根據(jù)對稱性三角形ABC的周長為AB+AC+BC=MB+BC+CN,當(dāng)M,B,C,N共線時,周長最小為MN設(shè)平面ADE交l于,O,連接OD,OE,顯然OD⊥l,OE⊥l,∠DOE=60°,∠MOA+∠AON=240°,OA=1,∠MON=120°,且OM=ON=OA=1,根據(jù)余弦定理,故MN2=1+1﹣2×1×1×cos120°=3,故MN.故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查求空間三角形邊長的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)幾何性質(zhì)找出對稱關(guān)系,結(jié)合解三角形知識求解.15、1元【解析】設(shè)分別生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品為桶,桶,利潤為元

則根據(jù)題意可得目標(biāo)函數(shù),作出可行域,如圖所示作直線然后把直線向可行域平移,

由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過時,目標(biāo)函數(shù)的截距最大,此時最大,

由可得,即此時最大,

即該公司每天生產(chǎn)的甲4桶,乙4桶,可獲得最大利潤,最大利潤為1.【點(diǎn)睛】本題考查用線性規(guī)劃知識求利潤的最大值,根據(jù)條件建立不等式關(guān)系,以及利用線性規(guī)劃的知識進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.16、【解析】

根據(jù)題意,相交兩圓的連心線垂直平分相交弦,可得與直線垂直,且的中點(diǎn)在這條直線上,列出方程解得即可得到結(jié)論.【詳解】由,,設(shè)的中點(diǎn)為,根據(jù)題意,可得,且,解得,,,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查相交弦的性質(zhì),解題的關(guān)鍵在于利用相交弦的性質(zhì),即兩圓的連心線垂直平分相交弦,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、每天派出A型卡車輛,派出B型卡車輛,運(yùn)輸隊(duì)所花成本最低【解析】

設(shè)每天派出A型卡車輛,則派出B型卡車輛,由題意列出約束條件,作出可行域,求出使目標(biāo)函數(shù)取最小值的整數(shù)解,即可得解.【詳解】設(shè)每天派出A型卡車輛,則派出B型卡車輛,運(yùn)輸隊(duì)所花成本為元,由題意可知,,整理得,目標(biāo)函數(shù),如圖所示,為不等式組表示的可行域,由圖可知,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時,最小,解方程組,解得,,然而,故點(diǎn)不是最優(yōu)解.因此在可行域的整點(diǎn)中,點(diǎn)使得取最小值,即,故每天派出A型卡車輛,派出B型卡車輛,運(yùn)輸隊(duì)所花成本最低.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題中的最優(yōu)整數(shù)解問題,考查了數(shù)形結(jié)合的思想,解題關(guān)鍵在于列出不等式組(方程組)尋求約束條件,并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù),同時注意整點(diǎn)的選取,屬于中檔題.18、(1)6種;(2);(3).【解析】

(1)從4條街中選擇2條橫街即可;(2)小明途中恰好經(jīng)過處,共有4條路線,即,,,,分別對4條路線進(jìn)行分析計算概率;(3)分別對小明上學(xué)的6條路線進(jìn)行分析求均值,均值越大的應(yīng)避免.【詳解】(1)路途中可以看成必須走過2條橫街和2條豎街,即從4條街中選擇2條橫街即可,所以路線總數(shù)為條.(2)小明途中恰好經(jīng)過處,共有4條路線:①當(dāng)走時,全程不等紅綠燈的概率;②當(dāng)走時,全程不等紅綠燈的概率;③當(dāng)走時,全程不等紅綠燈的概率;④當(dāng)走時,全程不等紅綠燈的概率.所以途中恰好經(jīng)過處,且全程不等信號燈的概率.(3)設(shè)以下第條的路線等信號燈的次數(shù)為變量,則①第一條:,則;②第二條:,則;③另外四條路線:;;,則綜上,小明上學(xué)的最佳路線為;應(yīng)盡量避開.【點(diǎn)睛】本題考查概率在實(shí)際生活中的綜合應(yīng)用問題,考查學(xué)生邏輯推理與運(yùn)算能力,是一道有一定難度的題.19、(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】

(1)由題意可得,,令,利用導(dǎo)數(shù)得在上單調(diào)遞減,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)不等式轉(zhuǎn)化為,令,,利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性即可得到答案;(3)由題意可得,進(jìn)而可將不等式轉(zhuǎn)化為,再利用單調(diào)性可得,記,,再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增,即,即,即可得到結(jié)論.【詳解】(1),即,化簡可得.令,,因?yàn)?,所以?所以,在上單調(diào)遞減,.所以的最小值為.(2)要證,即.兩邊同除以可得.設(shè),則.在上,,所以在上單調(diào)遞減.在上,,所以在上單調(diào)遞增,所以.設(shè),因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù),所以.所以,即.(3)證明:方程在區(qū)間上的實(shí)根為,即,要證,由可知,即要證.當(dāng)時,,,因而在上單調(diào)遞增.當(dāng)時,,,因而在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋?,要證.即要證.記,.因?yàn)?,所以,則..設(shè),,當(dāng)時,.時,,故.且,故,因?yàn)椋?因此,即在上單調(diào)遞增.所以,即.故得證.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、函數(shù)恒成立問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,轉(zhuǎn)化思想,構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性,屬于難題.20、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)連接,交與,連接,由,得出結(jié)論;(2)以為原點(diǎn),,,分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用夾角公式求出即可.【詳解】(1)連

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