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文檔簡介
2025屆安徽省定遠縣爐橋中學高三數(shù)學第一學期期末考試試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,是橢圓的左、右焦點,過的直線交橢圓于兩點.若依次構(gòu)成等差數(shù)列,且,則橢圓的離心率為A. B. C. D.2.已知集合,定義集合,則等于()A. B.C. D.3.已知復數(shù),則()A. B. C. D.24.對于函數(shù),定義滿足的實數(shù)為的不動點,設,其中且,若有且僅有一個不動點,則的取值范圍是()A.或 B.C.或 D.5.已知函數(shù),則()A.1 B.2 C.3 D.46.設且,則下列不等式成立的是()A. B. C. D.7.已知橢圓內(nèi)有一條以點為中點的弦,則直線的方程為()A. B.C. D.8.設等差數(shù)列的前項和為,若,則()A.23 B.25 C.28 D.299.要排出高三某班一天中,語文、數(shù)學、英語各節(jié),自習課節(jié)的功課表,其中上午節(jié),下午節(jié),若要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學課也必須相鄰(注意:上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法種數(shù)是()A. B. C. D.10.在中,是的中點,,點在上且滿足,則等于()A. B. C. D.11.如圖所示,正方體的棱,的中點分別為,,則直線與平面所成角的正弦值為()A. B. C. D.12.寧波古圣王陽明的《傳習錄》專門講過易經(jīng)八卦圖,下圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(“—”表示一根陽線,“——”表示一根陰線).從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知x,y滿足約束條件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0,則14.在區(qū)間內(nèi)任意取一個數(shù),則恰好為非負數(shù)的概率是________.15.已知函數(shù)在上僅有2個零點,設,則在區(qū)間上的取值范圍為_______.16.已知數(shù)列的前項和為,,則滿足的正整數(shù)的值為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標系中,曲線上的任意一點到直線的距離比點到點的距離小1.(1)求動點的軌跡的方程;(2)若點是圓上一動點,過點作曲線的兩條切線,切點分別為,求直線斜率的取值范圍.18.(12分)某保險公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險,現(xiàn)從名參保人員中隨機抽取名作為樣本進行分析,按年齡段分成了五組,其頻率分布直方圖如下圖所示;參保年齡與每人每年應交納的保費如下表所示.據(jù)統(tǒng)計,該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費用為一百萬元.年齡(單位:歲)保費(單位:元)(1)用樣本的頻率分布估計總體分布,為使公司不虧本,求精確到整數(shù)時的最小值;(2)經(jīng)調(diào)查,年齡在之間的老人每人中有人患該項疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費為元,如果參保,保險公司補貼治療費元.某老人年齡歲,若購買該項保險(取中的).針對此疾病所支付的費用為元;若沒有購買該項保險,針對此疾病所支付的費用為元.試比較和的期望值大小,并判斷該老人購買此項保險是否劃算?19.(12分)在中,角,,所對的邊分別是,,,且.(1)求的值;(2)若,求的取值范圍.20.(12分)某景點上山共有級臺階,寓意長長久久.甲上臺階時,可以一步走一個臺階,也可以一步走兩個臺階,若甲每步上一個臺階的概率為,每步上兩個臺階的概率為.為了簡便描述問題,我們約定,甲從級臺階開始向上走,一步走一個臺階記分,一步走兩個臺階記分,記甲登上第個臺階的概率為,其中,且.(1)若甲走步時所得分數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望;(2)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(3)求甲在登山過程中,恰好登上第級臺階的概率.21.(12分)已知拋物線與直線.(1)求拋物線C上的點到直線l距離的最小值;(2)設點是直線l上的動點,是定點,過點P作拋物線C的兩條切線,切點為A,B,求證A,Q,B共線;并在時求點P坐標.22.(10分)《山東省高考改革試點方案》規(guī)定:從2017年秋季高中入學的新生開始,不分文理科;2020年開始,高考總成績由語數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學等六門選考科目構(gòu)成.將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、、、、、、共8個等級.參照正態(tài)分布原則,確定各等級人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、.選考科目成績計入考生總成績時,將至等級內(nèi)的考生原始成績,依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個分數(shù)區(qū)間,得到考生的等級成績.某校高一年級共2000人,為給高一學生合理選科提供依據(jù),對六個選考科目進行測試,其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布.(1)求物理原始成績在區(qū)間的人數(shù);(2)按高考改革方案,若從全省考生中隨機抽取3人,記表示這3人中等級成績在區(qū)間的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望.(附:若隨機變量,則,,)
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
如圖所示,設依次構(gòu)成等差數(shù)列,其公差為.根據(jù)橢圓定義得,又,則,解得,.所以,,,.在和中,由余弦定理得,整理解得.故選D.2、C【解析】
根據(jù)定義,求出,即可求出結(jié)論.【詳解】因為集合,所以,則,所以.故選:C.【點睛】本題考查集合的新定義運算,理解新定義是解題的關(guān)鍵,屬于基礎題.3、C【解析】
根據(jù)復數(shù)模的性質(zhì)即可求解.【詳解】,,故選:C【點睛】本題主要考查了復數(shù)模的性質(zhì),屬于容易題.4、C【解析】
根據(jù)不動點的定義,利用換底公式分離參數(shù)可得;構(gòu)造函數(shù),并討論的單調(diào)性與最值,畫出函數(shù)圖象,即可確定的取值范圍.【詳解】由得,.令,則,令,解得,所以當時,,則在內(nèi)單調(diào)遞增;當時,,則在內(nèi)單調(diào)遞減;所以在處取得極大值,即最大值為,則的圖象如下圖所示:由有且僅有一個不動點,可得得或,解得或.故選:C【點睛】本題考查了函數(shù)新定義的應用,由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與最值,分離參數(shù)法與構(gòu)造函數(shù)方法的應用,屬于中檔題.5、C【解析】
結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出,進而可求出.【詳解】由題意可得,則.故選:C.【點睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運算求解能力,屬于基礎題.6、A【解析】項,由得到,則,故項正確;項,當時,該不等式不成立,故項錯誤;項,當,時,,即不等式不成立,故項錯誤;項,當,時,,即不等式不成立,故項錯誤.綜上所述,故選.7、C【解析】
設,,則,,相減得到,解得答案.【詳解】設,,設直線斜率為,則,,相減得到:,的中點為,即,故,直線的方程為:.故選:.【點睛】本題考查了橢圓內(nèi)點差法求直線方程,意在考查學生的計算能力和應用能力.8、D【解析】
由可求,再求公差,再求解即可.【詳解】解:是等差數(shù)列,又,公差為,,故選:D【點睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運算求解能力和推理論證能力,是基礎題.9、C【解析】
根據(jù)題意,分兩種情況進行討論:①語文和數(shù)學都安排在上午;②語文和數(shù)學一個安排在上午,一個安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目,由分類加法計數(shù)原理可得答案.【詳解】根據(jù)題意,分兩種情況進行討論:①語文和數(shù)學都安排在上午,要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學課也必須相鄰,將節(jié)語文課和節(jié)數(shù)學課分別捆綁,然后在剩余節(jié)課中選節(jié)到上午,由于節(jié)英語課不加以區(qū)分,此時,排法種數(shù)為種;②語文和數(shù)學都一個安排在上午,一個安排在下午.語文和數(shù)學一個安排在上午,一個安排在下午,但節(jié)語文課不加以區(qū)分,節(jié)數(shù)學課不加以區(qū)分,節(jié)英語課也不加以區(qū)分,此時,排法種數(shù)為種.綜上所述,共有種不同的排法.故選:C.【點睛】本題考查排列、組合的應用,涉及分類計數(shù)原理的應用,屬于中等題.10、B【解析】
由M是BC的中點,知AM是BC邊上的中線,又由點P在AM上且滿足可得:P是三角形ABC的重心,根據(jù)重心的性質(zhì),即可求解.【詳解】解:∵M是BC的中點,知AM是BC邊上的中線,又由點P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM=1∴∴故選B.【點睛】判斷P點是否是三角形的重心有如下幾種辦法:①定義:三條中線的交點.②性質(zhì):或取得最小值③坐標法:P點坐標是三個頂點坐標的平均數(shù).11、C【解析】
以D為原點,DA,DC,DD1分別為軸,建立空間直角坐標系,由向量法求出直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值.【詳解】以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標系,設正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2,則,,,取平面的法向量為,設直線EF與平面AA1D1D所成角為θ,則sinθ=|,直線與平面所成角的正弦值為.故選C.【點睛】本題考查了線面角的正弦值的求法,也考查數(shù)形結(jié)合思想和向量法的應用,屬于中檔題.12、B【解析】
根據(jù)古典概型的概率求法,先得到從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù),再找出這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù),代入公式求解.【詳解】從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù)種,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù)有6種,分別是(巽,坤),(兌,坤),(離,坤),(震,艮),(震,坎),(坎,艮),所以這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率是.故選:B【點睛】本題主要考查古典概型的概率,還考查了運算求解的能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、3【解析】
先根據(jù)約束條件畫出可行域,再由y=2x-z表示直線在y軸上的截距最大即可得解.【詳解】x,y滿足約束條件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0,畫出可行域如圖所示.目標函數(shù)z=2x-y,即平移直線y=2x-z,截距最大時即為所求.2y+1=0x-y-1=0點A(12,z在點A處有最小值:z=2×1故答案為:32【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的基本應用,利用數(shù)形結(jié)合,結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義是解決此類問題的基本方法.14、【解析】
先分析非負數(shù)對應的區(qū)間長度,然后根據(jù)幾何概型中的長度模型,即可求解出“恰好為非負數(shù)”的概率.【詳解】當是非負數(shù)時,,區(qū)間長度是,又因為對應的區(qū)間長度是,所以“恰好為非負數(shù)”的概率是.故答案為:.【點睛】本題考查幾何概型中的長度模型,難度較易.解答問題的關(guān)鍵是能判斷出目標事件對應的區(qū)間長度.15、【解析】
先根據(jù)零點個數(shù)求解出的值,然后得到的解析式,采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因為在上有兩個零點,所以,所以,所以且,所以,所以,所以,令,所以,所以,因為,所以,所以,所以,所以,,所以.故答案為:.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合,其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問題,難度較難.對形如的函數(shù)的值域求解,關(guān)鍵是采用換元法令,然后根據(jù),將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的值域,同時要注意新元的范圍.16、6【解析】
已知,利用,求出通項,然后即可求解【詳解】∵,∴當時,,∴;當時,,∴,故數(shù)列是首項為-2,公比為2的等比數(shù)列,∴.又,∴,∴,∴.【點睛】本題考查通項求解問題,屬于基礎題三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)設,根據(jù)題意可得點的軌跡方程滿足的等式,化簡即可求得動點的軌跡的方程;(2)設出切線的斜率分別為,切點,,點,則可得過點的拋物線的切線方程為,聯(lián)立拋物線方程并化簡,由相切時可得兩條切線斜率關(guān)系;由拋物線方程求得導函數(shù),并由導數(shù)的幾何意義并代入拋物線方程表示出,可求得,結(jié)合點滿足的方程可得的取值范圍,即可求得的范圍.【詳解】(1)設點,∵點到直線的距離等于,∴,化簡得,∴動點的軌跡的方程為.(2)由題意可知,的斜率都存在,分別設為,切點,,設點,過點的拋物線的切線方程為,聯(lián)立,化簡可得,∴,即,∴,.由,求得導函數(shù),∴,,,∴,因為點滿足,由圓的性質(zhì)可得,∴,即直線斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查了動點軌跡方程的求法,直線與拋物線相切的性質(zhì)及應用,導函數(shù)的幾何意義及應用,點和圓位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍,屬于中檔題.18、(1)30;(2),比較劃算.【解析】
(1)由頻率和為1求出,根據(jù)的值求出保費的平均值,然后解一元一次不等式即可求出結(jié)果,最后取近似值即可;(2)分別計算參保與不參保時的期望,,比較大小即可.【詳解】解:(1)由,解得.保險公司每年收取的保費為:∴要使公司不虧本,則,即解得∴.(2)①若該老人購買了此項保險,則的取值為∴(元).②若該老人沒有購買此項保險,則的取值為.∴(元).∴年齡為的該老人購買此項保險比較劃算.【點睛】本題考查學生利用相關(guān)統(tǒng)計圖表知識處理實際問題的能力,掌握頻率分布直方圖的基本性質(zhì),知道數(shù)學期望是平均數(shù)的另一種數(shù)學語言,為容易題.19、(1);(2)【解析】
(1)利用正弦定理邊化角,結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得,進而求得和,代入求得結(jié)果;(2)利用正弦定理可將表示為,利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為,根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法,結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【詳解】(1)由正弦定理可得:即(2)由(1)知:,,即的取值范圍為【點睛】本題考查解三角形知識的相關(guān)應用,涉及到正弦定理邊化角的應用、兩角和差正弦公式和輔助角公式的應用、與三角函數(shù)值域有關(guān)的取值范圍的求解問題;求解取值范圍的關(guān)鍵是能夠利用正弦定理將邊長的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題,進而利用正弦型函數(shù)值域的求解方法求得結(jié)果.20、見解析【解析】
(1)由題可得的所有可能取值為,,,,且,,,,所以的分布列為所以的數(shù)學期望.(2)由題可得,所以,又,,所以,所以是以為首項,為公比的等比數(shù)列.(3)由(2)可得.21、(1);(2)證明見解析,或【解析】
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