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湖北省宜昌二中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,,且,則向量與的夾角為()A. B.C. D.2.已知兩個(gè)向量,,且,則的值為()A.-2 B.2C.10 D.-103.“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.設(shè)集合,集合,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.如圖,在平行六面體中,設(shè),,,用基底表示向量,則()A. B.C. D.6.若,則()A.22 B.19C.-20 D.-197.已知數(shù)列中,,(),則()A. B.C. D.28.橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)、,與在第一象限內(nèi)交于點(diǎn),是以線段為底邊的等腰三角形,若橢圓的離心率的范圍是,則雙曲線的離心率取值范圍是()A. B.C. D.9.有7名同學(xué)參加百米競(jìng)賽,預(yù)賽成績(jī)各不相同,取前3名參加決賽,小明同學(xué)已經(jīng)知道了自己的成績(jī),為了判斷自己是否能進(jìn)入決賽,他還需要知道7名同學(xué)成績(jī)的()A.平均數(shù) B.眾數(shù)C.中位數(shù) D.方差10.在正方體中,分別為的中點(diǎn),為側(cè)面的中心,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B.C. D.11.設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的前項(xiàng)積為,且,則()A. B.C. D.12.在等差數(shù)列中,,,則數(shù)列的公差為()A.1 B.2C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.雙曲線的離心率______.14.已知、是空間內(nèi)兩個(gè)單位向量,且,如果空間向量滿足,且,,則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、,的最小值為_(kāi)_____15.雙曲線的左焦點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_______.16.設(shè)a為實(shí)數(shù),若直線與直線平行,則a值為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在一個(gè)盒子中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球,球的編號(hào)分別為1,2,3,4,先從盒子中隨機(jī)取出一個(gè)球,該球的編號(hào)記為,將球放回盒子中,然后再?gòu)暮凶又须S機(jī)取出一個(gè)球,該球的編號(hào)記為.(1)寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間;(2)求“”的概率.18.(12分)已知函數(shù)的圖像為曲線,點(diǎn)、.(1)設(shè)點(diǎn)為曲線上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),求線段的長(zhǎng)(用表示);(2)設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn),求證:為常數(shù);(3)由(2)可知,曲線為雙曲線,請(qǐng)研究雙曲線的性質(zhì)(從對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率四個(gè)角度進(jìn)行研究).19.(12分)在直三棱柱中,、、、分別為中點(diǎn),.(1)求證:平面(2)求二面角的余弦值20.(12分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1);(2)21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,有一條長(zhǎng)度為3的線段,端點(diǎn),分別在軸、軸上運(yùn)動(dòng),為線段上一點(diǎn),且.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)已知不過(guò)原點(diǎn)的直線與相交于,兩點(diǎn),且線段始終被直線平分.求的面積取最大時(shí)直線的方程.22.(10分)如圖所示,在直四棱柱中,底面ABCD是菱形,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在棱,上,且,(1)證明:點(diǎn)在平面BEF內(nèi);(2)若,,,求直線與平面BEF所成角的正弦值
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】先求出向量與的夾角的余弦值,即可求出與的夾角.【詳解】,所以,∴,∴,∴,又∵,∴與的夾角為.故選:B.2、C【解析】根據(jù)向量共線可得滿足的關(guān)系,從而可求它們的值,據(jù)此可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,故存在常?shù),使得,所以,故,所以,故選:C.3、B【解析】因但4、A【解析】解不等式求集合,然后判斷兩個(gè)集合的關(guān)系【詳解】,解得,故,可化為或,解得或,故,故“”是“”的充分不必要條件故選:A5、B【解析】直接利用空間向量基本定理求解即可【詳解】因?yàn)樵谄叫辛骟w中,,,,所以,故選:B6、C【解析】將所求進(jìn)行變形可得,根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式,即可求得答案.【詳解】由題意得所以.故選:C7、A【解析】由已知條件求出,可得數(shù)是以3為周期的周期數(shù)列,從而可得,進(jìn)而可求得答案【詳解】因?yàn)椋?),所以,所以數(shù)列的周期為3,,故選:A8、B【解析】求得,可得出,設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為、,可得,由可求得的取值范圍.【詳解】設(shè),設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為,因?yàn)榕c在第一象限內(nèi)交于點(diǎn),是以線段為底邊的等腰三角形,則,由橢圓的定義可得,由雙曲線的定義可得,所以,,則,設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為、,則,即,因,則,故.故選:B.9、C【解析】根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì),結(jié)合題設(shè)按成績(jī)排序7選3,即可知還需明確的成績(jī)數(shù)據(jù)信息.【詳解】由題設(shè),7名同學(xué)參加百米競(jìng)賽,要取前3名參加決賽,則成績(jī)從高到低排列,確定7名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù),即第3名的成績(jī)便可判斷自己是否能進(jìn)入決賽.故選:C.10、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量求解異面直線夾角的余弦值.【詳解】如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,則,,,,則,,設(shè)異面直線與所成角為(),則.故選:A11、B【解析】當(dāng)可求得;當(dāng)時(shí),可證得數(shù)列為等差數(shù)列,利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到,由求得后,利用可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí),,解得:;當(dāng)時(shí),由得:,即,,數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,,解得:,,經(jīng)檢驗(yàn):滿足,,故選:B.12、B【解析】將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式,由此求得.【詳解】在等差數(shù)列中,設(shè)公差為d,由,,得,解得.故選:B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】根據(jù)雙曲線方程直接可得離心率.【詳解】由,可得,,故,離心率,故答案為:.14、【解析】根據(jù)已知可設(shè),,,根據(jù)已知條件求出、、的值,將向量用坐標(biāo)加以表示,利用空間向量的模長(zhǎng)公式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)椤⑹强臻g內(nèi)兩個(gè)單位向量,且,所以,,因?yàn)?,則,不妨設(shè),,設(shè),則,,解得,則,因?yàn)?,可得,則,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,因此,對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、,的最小值為.故答案為:.15、【解析】根據(jù)雙曲線方程求得左焦點(diǎn)的坐標(biāo),利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的方程為,設(shè)其左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,故可得,解得,故左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其到直線的距離.故答案為:.16、【解析】根據(jù)兩直線平行得到,解方程組即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知,解得,故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】(1)利用列舉法列出試驗(yàn)的樣本空間,(2)由(1)可知共有16種情況,其中和為5的有4種,然后利用古典概型的概率公式求解即可【小問(wèn)1詳解】由題意可知試驗(yàn)的樣本空間為:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)【小問(wèn)2詳解】由(1)可知共有16種等可能情況,其中滿足的有:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),4種,所以“”的概率為18、(1);(2)具體見(jiàn)解析;(3)具體見(jiàn)解析.【解析】(1)由兩點(diǎn)間的距離公式求出距離,進(jìn)而將式子化簡(jiǎn)即可;(2)求出,進(jìn)而討論兩種情況,然后結(jié)合基本不等式即可證明問(wèn)題;(3)根據(jù)為雙曲線的焦點(diǎn),結(jié)合雙曲線的圖形特征即可求得該雙曲線的相關(guān)性質(zhì).【小問(wèn)1詳解】由題意,.【小問(wèn)2詳解】設(shè),由(1),.若x>0,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”,則,,所以.若x<0,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”,則,,所以.綜上:,為常數(shù).【小問(wèn)3詳解】易知函數(shù):為奇函數(shù),則其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.由(2)可知,曲線為雙曲線,為雙曲線的焦點(diǎn),則它關(guān)于直線對(duì)稱,還關(guān)于與垂直且過(guò)原點(diǎn)的直線對(duì)稱.,則,易得.綜上:雙曲線關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱,且關(guān)于直線對(duì)稱.容易知道,直線是雙曲線C的漸近線.易知線段是雙曲線的實(shí)軸,將代入雙曲線解得頂點(diǎn):.于是實(shí)軸長(zhǎng)為焦距為,則離心率.19、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】(1)取中點(diǎn),連接,根據(jù)直棱柱的特征,易知,再由、分別為的中點(diǎn),根據(jù)中位線定理,可得,得到四邊形為平行四邊形,再利用線面平行的判定定理證明.(2)取的中點(diǎn),連接,以為原點(diǎn),、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,則.,再分別求得平面和平面的一個(gè)法向量,利用面面角的向量公式求解.【詳解】(1)證明:如圖所示:取中點(diǎn),連接,易知,、分別為的中點(diǎn),∴,∴故四邊形為平行四邊形,∴,∵平面,平面,平面(2)取的中點(diǎn),連接,以為原點(diǎn),、、分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:則∴,設(shè)平面的法向量為,則,即,取,得,易知平面的一個(gè)法向量為,∴,∴二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理和面面角的向量求法,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.20、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】(1)導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算中的乘除法則.(2)求導(dǎo)數(shù),主要考查復(fù)合函數(shù),外導(dǎo)乘內(nèi)導(dǎo).【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】.21、(1)(2)【解析】(1)設(shè),根據(jù)題意可得,,利用兩點(diǎn)之間的距離公式表示出,化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果;(2)設(shè),,線段的中點(diǎn)為,利用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示直線斜率的公式和點(diǎn)差法求出直線的斜率,設(shè)的方程為,聯(lián)立橢圓方程并消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,根據(jù)韋達(dá)定理表示、進(jìn)而得出弦長(zhǎng),利用點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到的距離,結(jié)合基本不等式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè),由為線段上一點(diǎn),且,得,,又,則,整理可得,所以軌跡的方程為;【小問(wèn)2詳解】設(shè),,線段的中點(diǎn)為.∵在直線上,∴,∵A,在軌跡上,∴兩式相減,可得,∴,即直線的斜率為,依題意,可設(shè)直線的方程為,由可得,則解得且由韋達(dá)定理,得,∴∵原點(diǎn)到直線的距離為∴,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,即時(shí),三角形的面積最大,此時(shí)直線的方程為.22、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】(1)設(shè)、、、AC與BD的交點(diǎn)為O,由直四
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