2024-2025學(xué)年浙教版八年級數(shù)學(xué)上冊專項訓(xùn)練：全等三角形性質(zhì)與判定的綜合（解析版）

全等三角形的性質(zhì)與判定的綜合

1.(2023春?浙江期末)如圖1,兩個大小不同的三角板疊放在一起，圖2是由它得到的抽象幾何圖形，已知/8=

AC,AE=AD,ZCAB=ZDAE=90°,且點(diǎn)8,C,￡在同一條直線上，BC=10cm,CE=4cm,連接DC.現(xiàn)

有一只壁虎以2CM/S的速度沿2-C-D的路線爬行，則壁虎爬到點(diǎn)。所用的時間為()

圖1圖2

A.10sB.IkC.12sD.13s

【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出屬于手拉手型全等，所以。=86=10+4=14

(cm),最后根據(jù)時間=路程+速度即可解答.

【解答】解：：/胡。=/￡/。，

ZBAC+ZCAE=ZEAD+ZCAE,

：.ZBAE^ZCAD,

在△/AE1與△/CD中，

，AB=AC

'ZBAE=ZCAD>

,AD=AE

.?.△ABE咨AACD(SAS),

ACD^BE^BC+CE=10+4=14(cm),

則2C+CD=10+14=24(cm),

:壁虎以2cmis的速度B處往D處爬，

.,1=24+2=12(s).

故選：C.

2.(2023春?金華期末)如圖，AB//CD,BE平分/ABC,BELCE,下列結(jié)論：①CE平分/BCD；(2)AB+CD=

AD；③CE?8￡=S四邊形力BCQ；?AE=DE.其中正確的有()

A.①③B.③④C.①③④D.②③④

【分析】由/8〃CD,得/4BC+NBCD=180°,由NBC￡+/C8E=90°,ZDCE+ZABE=9Q°,且NCBE=N

ABE,得/BCE=/DCE,則CE平分/BCD,可判斷①正確；在3c上截取連接EF,可證明

分ABE,得FE=4E,/FEB=NAEB,推導(dǎo)出/FEC=/DEC,再證明△小C咨△DEC,貝!|CA=CD,FE=

DE,所以4B+CD=2CTMZ),AE—DE,可判斷②不正確，④正確；由S^FR日S^ARRS八FRES人DEC=2S人口*。=

S四邊形"8，且2SABEC=2義LCE，BE=CE,BE,得C『2E=S四邊形9。。，可判斷③正確，于是得到問的答案?

【解答】-AB//CD,

：.ZABC+ZBCD=lSOa,

■:BEICE,

:.NBEC=90°,

：.ZBCE+ZCBE=90°,

ZDCE+ZABE^180°-(,/BCE+NCBE)=90°,

:BE平分/4BC,

:./CBE=NABE,

：.ZBCE=ZDCE,

:.CE平分/BCD,

故①正確；

在8C上截取8尸=3/,連接EF,

在△E8￡和△/BE中，

rBF=BA

<ZFBE=ZABE-

kBE=BE

:.LFBE沿AABE(S4S),

：.FE=AE,/FEB=/AEB,

VZFEC+ZFEB=ZBEC=90°,ZDEC+ZAEB=1SO°-ZBEC=90°,

ZFEC=ZDEC,

在△莊1。和△DEC中，

,ZFEC=ZDEC

<CE=CE，

kZFCE=ZDCE

:.AFEC沿4DEC(ASA),

：.CF=CD,FE=DE,

:.AB+CD=FB+FC=BCWAD,AE=DE,

故②不正確，④正確；

,：SAFBE=S“BE，&FEC=SAZ>EC，

SAFBE^S△ABE'1rsAFEESADEC=2S4BEC=S四邊形48cD，

2SABEC=2XldCE-BE=CE'BE,

2

CE"BE=S四邊形/BC。，

故③正確，

故選：C.

3.（2024春?秦都區(qū)校級月考）如圖，在四邊形48co中，AD//BC,ZC=90°,//3C和NR4D的平分線交于

點(diǎn)P,點(diǎn)尸在CD上，PELAB于點(diǎn)、E,若四邊形N8CD的面積為78,48=13,則。的長為（）

AD

【分析】通過證明尸絲4EBP沿ACBP,得至BE=BC,根據(jù)

（AD+BC

s梯形ABCD=7）?DC="|AB，DC求出結(jié)果即可.

【解答】解：ZC=90°,

AZ￡>=90°,

:PELAB于點(diǎn)E,

；.NPEA=NPEB=90°,

；AP平分/BAD,BP平分/ABC,

：./DAP=NEAP,ZEBP=ZCBP,

在△￡)/尸與aE4P中，

，ZD=ZAEP=90°

<ZDAP=ZEAP，

、AP=AP

:.LDAP經(jīng)LEAP(AAS),

同理AEB尸名ACB尸(AAS)f

：.AD=AE,BE=BC,

S梯形ABCD卷(AD+BC)?DC4(AE+BE)'DC=yAB'DC=78'

'：AB=U,

：.DC=12,

故選：c.

4.(2023秋?西湖區(qū)校級月考)如圖，在△4BC中，NA4c和//5C的平分線AF相交于點(diǎn)O,AE交BC于

E,BF交AC于F,過點(diǎn)。作0D_L2C于。，下列四個結(jié)論：?ZAOB=90°+.lzC；②當(dāng)NC=60°時，/尸EBE

=AB；③若OD=a,4B+BC+CA=2b,則％4改=必其中正確的是()

【分析】由角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理得N408與/C的關(guān)系，判定①正確；在上取一點(diǎn)〃，

使BH=BE,證△〃B。絲△班。，得/BOH=/BOE=60°,再證△/￡4。絲△E4。，得4F=4H,判定②正確;

過。作次，/。于點(diǎn)乂于點(diǎn)M,由三角形的面積證得③正確；即可得出結(jié)論.

【解答】解：①：/氏4。和。的平分線相交于點(diǎn)O,

ZOBA=AzCBA,ZOAB=AzCAB,

22

.,.//。8=180°-ZOBA-ZOAB=1SO°-J^ZCBA-Az(2^5=180°-A(180°-ZC)=90°+1.ZC,

2222

故①正確；

@VZC=60°,

AZBAC+ZABC^120°,

'：AE,3尸分別是/A4c與N4BC的平分線，

J.ZOAB+ZOBA^l-CZBAC+ZABC)=60°,

2

AZAOB^nO0,

：.ZAOF=60°,

:./BOE=60°,

如圖，在N5上取一點(diǎn)X,使BH=BE,連接OH

A

是/ABC的角平分線，

ZHBO=ZEBO,

在和△班。中，

，BH=BE

<ZHBO=ZEBO>

BO=BO

.,.△HBO義AEBO(SAS),

:./BOH=/BOE=60°,

：.ZAOH=\^Q°-60°-60°=60°,

ZAOH=ZAOF,

在△/￡40和△E4。中，

，ZHA0=ZFA0

'A0=A0，

LZAOH=ZAOF

:.△HAOq540(ASA),

：.AF=AH,

：.AB=BH+AH=BE+AF,故②正確；

③過。作。N_LNC于點(diǎn)N,于點(diǎn)M,

；/BAC和N4BC的平分線相交于點(diǎn)。，

.?.點(diǎn)。在NC的平分線上，

：.ON=OM=OD=a,

,：AB+AC+BC=2b

.,.S^ABC=^'XABXOM+^XACXON+^LXBCXOD=1.(.AB+AC+BC)-a=ab,故③正確.

2222

故選：c.

5.（2023秋?黃石港區(qū)期末）如圖，RtZ\/C8中，ZACB=90°,△/8C的角平分線8E相交于點(diǎn)尸，過尸作

尸尸，/。交5c的延長線于點(diǎn)尸，交/C于點(diǎn)區(qū)則下列結(jié)論：①/4P2=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；

④SABDE=^-^AABP'其中正確的是（）

A.①③B.①②④C.①②③D.②③

【分析】根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理逐條分析判斷.

【解答】解：在△/BC中，AD、3E分別平分/A4C、ZABC,

VZACB=90°,

ZA+ZB=90°,

又；4D、BE分別平分NR4C、ZABC,

：.ZBAD+ZABE=1-（,ZA+ZB）=45°,

2

.?./4P3=135°,故①正確.

:./BPD=45°,

5L'：PFLAD,

:./FPB=9Q°+45°=135°,

/APB=NFPB,

又,:/ABP=/FBP,

BP=BP,

：.AABPm△FBP,

：.ZBAP=ZBFP,AB=FB,PA=PF,故②正確.

在△4PH和△FPD中，

；/APH=NFPD=9Q°,

/P4H=NB4P=ZBFP,

PA=PF,

???AAPH^AFPD.

:?AH=FD,

又?；AB=FB,

；.AB=FD+BD=AH+BD.故③正確.

連接TTO,ED.

?；AABP名AFBP,AAPHQAFPD,

:*SAAPB=SAFPB，S"PH=S^FPD，PH=PD,

VZHPD=90°,

AZHDP=ZDHP=45°=/BPD,

:?HD〃EP,

,?S叢EPH=SAEPD，

**S四邊形力皿￡=8△452+5—￡7>+8^￡尸￡)+5428。

=^/\ABP+QS叢AEP+S叢EPH)+S叢PBD

=s4ABP+SAAPjSAPBD

=sAAB盧SAFPM~SAPBD

=S”BP+S^FBP

=2S“BP，故④不正確.

故選：c.

6.（2023秋?宿遷月考）如圖，ZACB=90°,AC=BCADA.CE,BELCE,垂足分別是點(diǎn)。、E,40=3,BE=

1,則?！甑拈L是2.

/

Ac

【分析】根據(jù)條件可以得出NE=N4DC=90°,進(jìn)而得出△CE2絲△/DC,就可以得出2E=OC,就可以求出

DE的值.

【解答】解：ADLCE,

；.NE=N4DC=90°,

AZEBC+ZBCE=90°.

VZBCE+ZACD=90°,

：.ZEBC^ZDCA.

在△CE8和△/￡)(；中，

，ZE=ZADC

'ZEBC=ZDCA-

BC=AC

:.ACEB絲AADC(AAS),

:?BE=DC=1,CE=AD=3.

：.DE=EC-CD=3-1=2

故選答案為2.

7.(2023秋?慈溪市期末)如圖，點(diǎn)C、。在線段48上，4C=BD,AE=BF,/A=/B,CF與DE交于點(diǎn)G,若

NCGE=94°,則NGCD的度數(shù)為47°.

【分析】首先證明ND=2C,然后利用S/S即可證得組0△2CF,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等及三角形外

角性質(zhì)求解即可.

【解答】解：：/C=A￡>,

：.AC+CD=BD+CD,

即AD=BC,

在和△3CF中，

'AD=BC

■ZA=ZB>

kAE=BF

:.AADE義LBCF(SAS),

，/ADE=ZBCF,

,：ZCGE=ZADE+ZBCF=94°,

:./GCD=/BCF=A7°,

故答案為：47°.

8.(2023秋?衢江區(qū)期末)如圖，在△48C中，AC=BC,點(diǎn)。在邊上，E,尸分別是射線CD上的兩點(diǎn)，且/

AFC=NBEC,ZACB+ZAFC^1SO°,AF=5,BE=2.則EF的值是3:若DF=2CF,的面積為

4,則△DEB的面積是_2_.

一5一

【分析】依題意，ZAFC=180°-ZAFD,進(jìn)而得到再證明/C/尸=/8CE,再由三角形內(nèi)角

和定理可得NE3C=N尸C4,最后利用/“證明△匹C0Z\FC4得出CF=BE,AF=CE,即可求得E尸=3,進(jìn)

而根據(jù)DF=2CF=4得出DE』CE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出SAEBC=SAFCA，即可求解.

5

【解答】解：VZBEC=ZAFC=1SO°-//C8且/4FC=180°-ZAFD

：.ZACB=ZAFD

由外角定理可得NNFD=/NCD+NC4F,

又,:/4CB=ZACD+ZBCE,

:.NCAF=/BCE,

:/BEC=ZAFC

：.ZEBC=ZFCA

在△￡3C和中，

,ZEBC=ZFCA

-BC=CA

kZBCE=ZCAF

:.AEBC咨MCA(ASA).

:.CF=BE,AF=CE

：4F=5,BE=2

：.EF=CE-CF=AF-EB=5-2=3

'/AEBC^AFCA

:?S叢EBC=S^FCA，

???△4FD的面積為4,DF=2CF=4

:?SAEBC=SAFCA=2，DE=DF-EF=4-3=1

?：CE=5,

DE=4-CE

b

班的面積是看S^EBcV

故答案為：3,2.

5

9.（2022春?海曙區(qū)期末）如圖，一塊含45°的三角板的一個頂點(diǎn)/與矩形A8CD的頂點(diǎn)重合，直角頂點(diǎn)￡落在邊

BC上,另一頂點(diǎn)尸恰好落在邊CD的中點(diǎn)處，若2C=12,則AB的長為8.

【分析】利用矩形和等腰直角三角形性質(zhì)可證得：LABE義LECF(AAS),得出：AB=CE,BE=CF,由點(diǎn)尸

是CD的中點(diǎn)，可得8￡=CF=&CD=L8,再由2C=12,可得L8+/3=12,即可求得答案.

222

【解答】解：???四邊形是矩形，

：.AB=CD,/B=/C=90°,

ZBAE+ZAEB=90°,

,/AAEF是等腰直角三角形，

C.AE^EF,/AEF=9Q°,

:./FEC+NAEB=9Q°,

NBAE=ZFEC,

在△4BE和△￡<?〃中,

2B=NC

-ZBAE=ZFEC-

,AE=EF

:.AABE當(dāng)AECF(AAS),

：.AB=CE,BE=CF,

;點(diǎn)尸是CD的中點(diǎn)，

：.CF^1.CD,

2

:.BE=CF=LB,

2

'：BE+CE=BC=\2,

:.1AB+AB=12,

2

：.AB=S,

故答案為：8.

10.(2023秋?海曙區(qū)期中)己知：如圖，點(diǎn)尸在2c上，BE=CF,AB=DC,/B=/C.求證：/A=/D.

【分析】根據(jù)&4s證明△ZB尸之由全等三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】證明：尸，

：.BE+EF=CF+EF,

:.BF=CE,

在/和△OCE中，

'AB=CD

.ZB=ZC)

LBF=CE

:.AABF父ADCE(MS),

/4=ND.

11.(2023秋?上城區(qū)期末)已知：如圖，NC與。8相交于點(diǎn)。，Z1=Z2,Z3=Z4,求證：AB=DC.

【分析】證明△/8C絲△DCS(ASA),即可得到結(jié)論.

【解答】證明：=/3=/4,

ZABC=ZDCB,

在△45C和中，

,ZABC=ZDCB

，Z2=Z1

kBC=CB

.?.△ABC空ADCB(ASA),

；.AB=DC.

12.(2023秋?婺城區(qū)期末)如圖，在△N8C中，N4BC=45°,尸是高和高BE的交點(diǎn).

(1)求證：Z1—Z2.

(2)寫出圖中的一對全等三角形，并給出證明.

【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等解答即可；

(2)根據(jù)NSN證明三角形全等即可.

【解答】(1)證明：??.尸是高AD和高的交點(diǎn)，

.1.Zl+ZC=Z2+ZC=90°,

.-.Z1=Z2；

(2)解：；/ADB=9Q°,ZABC=45°,

:.BD=AD,

在△ATO與中，

fZl=Z2

<BD=AD，

,ZBDA=ZCDA=90°

/./\BFD^/\CAD(ASA).

13.(2022秋?余杭區(qū)月考)如圖，點(diǎn)4,8在射線CN,CB上,C4=CB.點(diǎn)、E,尸在射線8上，/BEC=N

CFA,ZBEC+ZBCA=1SO°.

(1)求證：ABCE義ACAF；

(2)試判斷線段斯，BE,/尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【分析】(1)由“AAS”可證△2CE'0Z\C/1R

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得/B=CE,CF=BE,可得結(jié)論.

【解答】(1)證明：?.?N2EC+N2G4=180°,

ZBEC+ZECB+ZACF^130°,

VZCFA+ZACF+ZFAC=180°,NBEC=NCFA,

/BCF=/FAC,

在△BCE與尸中

，ZBEC=ZCFA

-ZBCF=ZFAC>

tCA=CB

:.LBCE咨ACAF(AAS)；

(2)解：AF+EF=BE,理由如下：

LBCE義LCAF,

：.AF=CE,CF=BE,

,：CE+EF=CF,

；.AF+EF=BE.

14.(2023秋?寧波期末)如圖，ZCBE=ZDBF,ZA=ZD,AC=DE.求證：AB=DB.

【分析】根據(jù)44s證明△/5C與全等，利用全等三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】證明：：/D8尸，

ZCBE+ZABE=ZDBF+ZABE,

即ZABC=ZDBE,

在△A8C與中，

2A=/D

"ZABC=ZDBE>

AC=DE

:.△4BC冬ADBE(AAS),

；.AB=DB.

15.(2022秋?蕭山區(qū)期中)如圖，在四邊形/BCD中，點(diǎn)￡為對角線3。上一點(diǎn)，ZA=ZBEC,AD//BC,且ND

=BE.

(1)證明：LABDmAECB；

(2)若BC=15,AD=6,請求出的長度.

A

【分析】(1)由4D〃2C,得/ADB=/EBC,即可根據(jù)全等三角形的判定定理證明△/AD之△ECB；

(2)由A4BD咨AECB,得DB=BC=15,AD=EB=6,即可由。-￡8求得DE的長度為9.

【解答】(1)證明：

ZADB=ZEBC,

在和△ECS中,

，ZA=ZBEC

-AD=EB，

LZADB=ZEBC

AAABD^AECB(ASA).

(2)解：LABD會LECB,

：.DB=BC=15,AD=EB=6,

：.DE=DB-￡8=15-6=9,

:.DE的長度是9.

16.（2023秋?竦州市期中）已知：如圖，在△N8C中，平分NA4c.在N8上截取NE=/C,連結(jié)DE.若BC=

6cm,BE—3cm.

(1)求證：△NEDg△/CD；

(2)求△BED的周長.

【分析】（1）先由/。平分/A4c證明/再根據(jù)全等三角形的判定定理“WS”證明

ACD；

（2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得ED=CD,由BD+ED=BD+CD=BC先求出BD+ED的值,再求出

的值，即得到△BED的周長.

【解答】（1）證明：平分NA4C,

ZEAD=ZCAD,

在△4EZ）和△/CD中,

，AE=AC

"ZEAD=ZCAD)

,AD=AD

：.AAED^/XACD(S4S).

(2)解：,:ED=CD,BC=6cm,BE=3cm,

：.BD+ED=BD+CD=BC=6cm,

：.BD+ED+BE=6+3=9(cm),

：./\BED的周長是9cm.

17.(2023秋?臨平區(qū)月考)如圖，點(diǎn)/,B,C在一條直線上，△48。、△3CE均為等邊三角形，連接/￡和CD,

/￡分別交CD,BD于點(diǎn)M,P,CD交BE于點(diǎn)、Q.

(1)求證：AABE沿ADBC；

(2)求NDK4的度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，由&4s可得△N8E之△D2C；

（2）結(jié)合（1）,由三角形的內(nèi)角和和三角形的外角性質(zhì)可得答案.

【解答】（1）證明：△BCE為等邊三角形，

；.AB=DB,/ABD=/CBE=60°,BE=BC,

:.NABE=/DBC,ZPBQ=60°,

在△4RE1和△O8C中，

'AB=DB

-ZABE=ZDBC>

BE=BC

:.LABE當(dāng)ADBC（SAS）,

（2）解：由（1）知AABE2△DBG

：.ZBAE=ZBDC,

VZBDC+ZBCD^18Q°-60°-60°=60°,

：.ZDMA=ZBAE+ZBCD=ZBDC+ZBCD=60°.

18.（2023秋?堇B州區(qū)期末）如圖，/A=NB,AE=BE,點(diǎn)。在/C邊上，Nl=/2,/￡與2。相交于點(diǎn)。

（1）求證：△4EC四△BED；

(2)若N2=40°,求/ADE的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定即可判斷會ABE。；

(2)由(1)可知：EC=ED,ZC=ZBDE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可知/C的度數(shù)，從而可求出/ADE的

度數(shù)；

【解答】(1)證明：和AD相交于點(diǎn)。，

ZAOD^ZBOE.

在和△80E中，

ZA=ZB,：,ZBEO=Z2.

又=

：.Z1=ZBEO,

：.ZAEC=ZBED.

在△NEC和△BED中，

，ZA=ZB

<AE=BE，

LZAEC=ZBED

:.AAEC%ABED(ASA).

(2)解：:AAEC咨ABED,

:.EC=ED,NC=/BDE.

在△EOC中，

,:EC=ED,Zl=Z2=40°,

:./C=NEDC=70°,

：.ZBDE=ZC=70°.

19.(2023秋?江北區(qū)期末)如圖，乙4c8=90°,AC=BC,AD±MN,BE1.MN,垂足分別是。，E.

(1)求證：△/DC絲△CE2；

(2)猜想線段NO,BE,DE之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等得到/NCD=/C8E,利用44S定理證明△/。。也△以臺；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ND=CE,BE=CD,結(jié)合圖形解答即可.

【解答】(1)證明：?.?N/CB=90°,

AZACD+ZBCE^90°,

■:BELMN,

：.ZCBE+ZBCE=90°,

ZACD=ZCBE,

在△/DC和△CE2中，

，ZACD=ZCBE

'ZADC=ZCEB>

,AC=CB

AADC^ACEB(AAS)；

(2)解：AD=BE+DE,

理由如下：,:AADC會ACEB,

:.AD=CE,BE=CD,

：.AD=CE=CD+DE^BE+DE.

20.(2022秋?拱墅區(qū)期中)如圖，在△48C中，ZC=90°,AD是NC42的角平分線，于E,點(diǎn)尸在邊

NC上，連接。尸.

(1)求證：AC—AE；

⑵若DF=DB,試說明N8與/4ED的數(shù)量關(guān)系；

(3)在(2)的條件下，若AB=m,AF=n,求BE的長(用含"?，〃的代數(shù)式表示).

【分析】(1)由于。E_L42,那么//即=90°,則有N/C3=N4EZ),聯(lián)合NC4Z)=/A4D,4D=AD,利用

AAS即可證明△ZC。絲△/￡〃，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解；

(2)由證得DC=DE,然后根據(jù)此判定RtZkCDF^RtZ\Eim,得到NCFD=NB,再根據(jù)鄰

補(bǔ)角的定義等量代換即可得解；

(3)由/C=/E,CF=BE,AB^AE+BE,/C=/B+C/即可得解.

【解答】(1)證明：：/。=90°,DELAB,

；./C=/4ED=90°,

在△/CD和△/￡￡>中，

,ZC=ZAED

"ZCAD=ZEAD>

tAD=AD

:.4ACD冬AAED(//S),

'.AC—AE；

(2)解：ZB+ZAFD=\SQ°,理由如下：

由(1)得：AACD咨AAED,

:.DC=DE,

在RtACZ)F和R3DB中,

fDC=DE,

lDF=DB)

RtACDF^HA/\EDB(HL),

：.ZCFD=ZB,

VZCFD+ZJFD=180°,

：.ZB+ZAFD=\S0°；

(3)解：由(2)知，Ri/\CDF^Rt/\EDB,

:.CF=BE,

由(1)知NC=/E,

?：AB=AE+BE,

：.AB=AC+BE,

'：AC=AF+CF,

:?AB=AF+2BE,

\'AB=m,AF—n,

21.(2023秋?北侖區(qū)期末)如圖，已知ZBAD=ZCAE,ZB=ZD,與BC交于點(diǎn)P,點(diǎn)、C在DE

上.

(1)求證：AC—AE；

(2)若N2=36°,ZAPC=72°.

①求NE的度數(shù)；

②求證：CP=CE.

【分析】(1)證明△R4C名△￡>/￡(ASA),由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；

(2)①由三角形外角的性質(zhì)求出NC4E=40°,由全等三角形的性質(zhì)得出/C=/E,由等腰三角形的性質(zhì)可求

出答案；

②證明(AAS),由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：

ZBAD+ZDAC=ZCAE+ZDAC,

即N8/C=ZDAE,

在AA4c和中，

2B=ND

-AB=AD，

kZBAC=ZDAE

.?.△BAC%4DAE(ASA),

.\AC=AE；

(2)①解：VZ5=36°,ZAPC=72°,

：./BAP=NAPC-NB=72°-36°=36°,

:./CAE=36°,

,/^BAC^^DAE,

：.AC=AE,

：.ZACE=Z￡,=Ax(180°-NCAE)=Ax(180°-36°)=72°；

22

②證明：?:△BA8LDAE,

：.ZACB=ZE,

：.ZACB^ZACE,/4PC=/E,

在△/CP和中，

，ZAPC=ZE

<ZACP=ZACE>

AC=AC

/.AACP^AACE(AAS),

:.CP=CE.

22.(2021秋?新化縣期末)(1)如圖(1),已知：在△48C中，ZBAC=90°,AB=AC,直線加經(jīng)過點(diǎn)),BD1.

直線加，CEL直線加，垂足分別為點(diǎn)。、E.證明：DE=BD+CE.

(2)如圖(2),將(1)中的條件改為：在△/8C中，AB=AC,D、A、￡三點(diǎn)都在直線加上，并且有=/

AEC=NBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論?！?AD+C￡是否成立？如成立，請你給出證明；若不

【分析】（1）由條件可證明△48。絲△G4E,可得Z）/=CE,AE=BD,可得DE=BD+CE；

（2）由條件可知/8/ZH/C/￡=180°-a,且180°-a,可得/DBA=/CAE,結(jié)合條件可

證明△N3Dg同（1）可得出結(jié)論.

【解答】（1）證明：

\'BD±DE,CELDE,

:./BDA=/CEA=90°,

VZBAC^90°,

；./BAD+/CAE=/BAD+/ABD=90°，

：.ZABD=ZCAE,

在△48。和中

,ZBDA=ZCEA

"ZABD=ZCAE

,AB=AC

:.AABD咨LCAECAAS),

:.BD=AE,CE=DA,

：.DE=AE+DA=BD+CE-,

(2)解：成立，證明如下：

/BDA=/AEC=NBAC=a,

：.ZBAD+ZCAE=1SO°-a,且180°-a,

NDB4=NCAE,

在△48。和中

，ZBDA=ZCEA

?ZABD=ZCAE

,AB=AC

:.LABDqACAE(AAS),

:.BD=AE,CE=DA,

：.DE^AE+DA=BD+CE.

23.(2023秋?金華期中)根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

問題解決

任務(wù)1△080與△COE全等嗎？請說明理由；

任務(wù)2當(dāng)爸爸在C處接住小麗時，小麗距離地面有多高？

【分析】任務(wù)1：理由44s可以證明△。臺。與△COE全等；

任務(wù)2：理由△8。。0△OCE,得到2。=?！?1.4加，EC=0D=L8m,進(jìn)而可求出當(dāng)爸爸在C處接住小麗時,

小麗距離地面高度.

【解答】解：任務(wù)1：?.,RD，。/,CE±OA,

：./ODB=NOEC=90°,

VZBOC=9Q°,ZBOD+ZEOC=90°,ZBOD+ZDBO=90°,

：.ZOBD=ZEOC,

在△8。。和△<?(?￡中，

，ZBD0=Z0EC=90o

"ZOBD=ZEOC，

kBO=CO

.,.△BOD與AOCE(AAS)；

任務(wù)2：設(shè)。區(qū)的延長線與地面交于M,如圖，

.\BD=OE=\Am,EC=OD=1.8m,

：.EM=OD+DM-OE=1.8+1-1.4=1.4(m).

24.(2023秋?桐鄉(xiāng)市月考)閱讀與思考

下面是小明同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請您仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：構(gòu)造全等三角形解決圖形與幾何問題

在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中，常常會遇到一些問題無法直接解答，需要添加輔助線才能解決.比如下面的題目中出現(xiàn)

了角平分線和垂線段，我們可以通過延長垂線段與三角形的一邊相交構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)解

決問題.

例：如圖1,。是△/BC內(nèi)一點(diǎn)，且/。平分/B/C,CDLAD,連接8。，若△48。的面積為10,求△/8C的

面積.

該問題的解答過程如下：

解：如圖2,過點(diǎn)8作8〃J_CD交。延長線于點(diǎn)〃，CH、交于點(diǎn)￡,

平分/A4C,

/DAB=/DAC.

"：ADLCD,

：.ZADC=ZADE=90°.

rZDAE=ZDAC

在△/￡>￡和△/DC中，，AD=AD，

LZADE=ZADC

:.AADE咨&4DC（依據(jù)1）

:.ED=CD（依據(jù)2）,S“DE=S”，

11

革巧??

'^ABDEDE,BH，SABDCBH-

任務(wù)一：上述解答過程中的依據(jù)1,依據(jù)2分別是兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等(或角邊角或

ASA),全等三角形的對應(yīng)邊相等；

任務(wù)二：請將上述解答過程的剩余部分補(bǔ)充完整;

應(yīng)用：如圖3,在△/8C中，ZBAC=90°,AB=AC,BE平分/CB4交4c于點(diǎn)、D,過點(diǎn)C作CE_L8D交8。

延長線于點(diǎn)E.若CE=6,求AD的長.

【分析】任務(wù)一：根據(jù)全等三角形判定和性質(zhì)即可得到答案;

任務(wù)二：先推出(NSN),得出鼠⑺七二限切。ED=CD,進(jìn)而可得以BDE