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文檔簡介
第8章圓(易錯必刷40題13種題型專項訓(xùn)練)
+題型目錄展示?
A圓的認(rèn)識A切線的判定
A垂徑定理A切線的判定與性質(zhì)
A圓周角定理A切線長定理
A圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)A三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心
A點與圓的位置關(guān)系A(chǔ)正多邊形和圓
A三角形的外接圓與外心A扇形面積的計算
A切線的性質(zhì)
?題型通關(guān)專訓(xùn)?
一.圓的認(rèn)識(共1小題)
i.如圖,一個人握著板子的一端,另一端放在圓柱上,某人沿水平方向推動板子帶動圓柱向前滾動,假設(shè)
滾動時圓柱與地面無滑動,板子與圓柱也沒有滑動.已知板子上的點B(直線與圓柱的橫截面的切點)
與手握板子處的點C間的距離BC的長為Lm,當(dāng)手握板子處的點C隨著圓柱的滾動運動到板子與圓柱
橫截面的切點時,人前進(jìn)了2Lm.
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解:因為圓向前滾動的距離是Ln,所以人前進(jìn)了
二.垂徑定理(共4小題)
2.如圖,在半徑為5的。。中,AB,C。是互相垂直的兩條弦,垂足為尸,且A8=C£)=8,則。尸的長為
(
A.3B.4C.3我D.4、歷
【答案】C
【解答】解:作。于M,0N1CD于N,連接。2,0D,
由垂徑定理、勾股定理得:OM=ON=452-42=3'
;弦AB、CD互相垂直,
:.ZDPB=9Q°,
?.?。河_148于",ONLCD于N,
:.ZOMP=ZONP=90°
四邊形MONP是矩形,
,:OM=ON,
四邊形MONP是正方形,
:.OP=3近
3.如圖,A8是。。的直徑,弦COLA3,垂足為P.若C£)=AP=8,則。。的直徑為()
【答案】A
【解答】解:連接OC,
':CD±AB,CD=8,
.-.PC=AC£)=AX8=4,
22
在RtAOCP中,設(shè)OC=x,貝!JOA=x,
;PC=4,OP^AP-OA=8-x,
C.Od=Pd+OP2,
即X2=42+(8-尤)2
解得x=5,
的直徑為10.
故選:A.
4.如圖,AB是。0的直徑,。。垂直于弦AC于點O,。。的延長線交。。于點E.若AC=4、,歷,DE=4,
則BC的長是()
【答案】C
【解答】解:是O。的直徑,
AZC=90°,
OD±AC,
.,.點。是AC的中點,
,。。是△ABC的中位線,
:.OD//BC,且。。=工8。,
2
設(shè)OZ)=x,貝UBC=2x,
VZ)E=4,
/.OE=4-x,
:.AB=2OE=S-2x,
在RtZXABC中,由勾股定理可得,AB2=AC2+BC2,
(8-2r)2=(4揚2+⑵)2,
解得X=].
?,BC=2x=2.
故選:C.
5.在半徑為10CM圓中,兩條平行弦分別長為12c7w,16c7",則這兩條平行弦之間的距離為()
A.28?!ɑ?cMiB.14c機(jī)或2onC.13cm或4cmD.5。根或13cM
【答案】B
?
【解答】解:有兩種情況①如圖,當(dāng)和CD在。的兩旁時,
過。作MNL43于M,交CD于N,連接08,0D,
U:AB//CD,
:.MN±CDf
由垂徑定理得:BM^l-AB=ScmfDN=LcD=6cm,
22
*.?OB=OD=10cm,
由勾股定理得:OA/=JOB22=6。根,
同理0N=8cm,
/.MN=8cm+6cm=14cm,
A
②當(dāng)AB和CO在。的同旁時,MN=^cm-6cm=2cm,
故選:B.
三.圓周角定理(共5小題)
6.如圖,半圓0的直徑AB=7,兩弦AC、3。相交于點E,弦8=工,且BO=5,則。E等于()
2
AOB
A.2V2B.4V2C.1D.A
32
【答案】A
【解答】解法一:
VZ£?=ZA,ZDCA=ZABD,
:.AAEBs^DEC;
?EC_DE_CD=1.
*"BF"AE"AB2"
設(shè)BE=2x,則DE=5-2x,EC=x,AE=2(5-2x);
連接8C,則/ACB=90°;
RtZXBCE中,BE=2x,EC=x,則BC=J^x;
在RtZXABC中,AC=AE+EC=IO-3x,8C=?x;
由勾股定理,得:AB-=AC2+BC2,
即:I2—(10-3尤)2+(V3x)2,
整理,得4/-20x+17=0,解得尤1=$+&,X2=5-衣;
22
由于故x=S-我;
32
則DE=5-2x=2近..
解法二:連接?!辏?OC,AD,
":OD=CD=OC
則NOOC=60°,ZDAC=30°
又A2=7,BD=5,
:.AD=2氓,
在RtZXADE中,ZDAC=30°,
所以O(shè)E=2A/5.
故選:A.
7.如圖,。。的半徑為1,AB是。。的一條弦,且則弦A8所對圓周角的度數(shù)為()
C.30°或150°D.60°或120°
【答案】D
【解答】解:如圖,連接OA、OB,過。作A8的垂線;
在Rt^OAC中,。4=1,AC=?;
2
AZAOC=60°,ZAOB=120°;
:.ZD=1ZAOB=60°;
2
,/四邊形ADBE是0O的內(nèi)接四邊形,
AZA£B=180°-ZZ>=120°;
因此弦A8所對的圓周角有兩個:60°或120°;
故選:D.
8.如圖,半圓的半徑0C=2,線段5c與CD是半圓的兩條弦,BC=CD,延長CD交直徑5A的延長線于
點£,若AE=2,貝I]弦8。的長為
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解:如圖,連接O£>,AD,
,:BC=DC,BO=DO,
:.ZBDC=ZDBC,ZBDO=ZDBO,
:.ZCDO=ZCBO,
y.':OC=OB=OD,
:.ZBCO=ZDCO,即OC平分/BCD,
又,:BC=DC,
:.BD±CO,
又?.NB是直徑,
:.AD±BD,
J.AD//CO,
又:AE=AO=2,
:.AD=^CO=1,
2
...RtZxABD中,BD=yJ/fD2r心一12=任.
故答案為:V15.
9.如圖,以AB為直徑的O。經(jīng)過△ABC的頂點C,AE,BE分別平分N8AC和NA8C,AE的延長線交。。
于點D連接2D
(1)判斷△BOE的形狀,并證明你的結(jié)論;
(2)若AB=10,B£=2A/10>求BC的長.
【答案】(1)為等腰直角三角形.證明過程見解答部分;
(2)BC=8.
【解答】(1)解:△3DE為等腰直角三角形.
證明:平分N3AC,平分NABC,
;?NBAE=/CAD=/CBD,ZABE=ZEBC.
?:NBED=NBAE+NABE,/DBE=NDBC+NCBE,
:.ZBED=ZDBE.
:.BD=ED.
TAB為直徑,
AZADB=90°,
???△3DE是等腰直角三角形.
另解:計算NA£B=135°也可以得證.
(2)解:連接OC、CD、OD,0D交BC于點F.
ZDBC=ZCAD=ZBAD=/BCD.
:.BD=DC.
?:OB=OC.
???0。垂直平分BC.
「△BDE是等腰直角三角形,BE=2匹,
:.BD=2炳.
':AB=10,
:.OB=OD=5.
設(shè)OF=t,貝IDF=5-t.
在Rtz^BO尸和RtzXBD/中,52-(275)2-(5-/)2,
解得t=3,
:.BF^4.
:.BC=8.
另解:分別延長AC,8。相交于點G.則△ABG為等腰三角形,先計算AG=10,BG=4爬,AD=4遍,
再根據(jù)面積相等求得BC.
10.已知:如圖,在半徑為2的半圓。中,半徑04垂直于直徑BC,點E與點尸分別在弦A3、AC上滑動
并保持AE=CT,但點產(chǎn)不與A、C重合,點E不與A、8重合.
(1)求四邊形AEOP的面積.
(2)設(shè)AE=x,S^oEF=y,寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,求尤的取值范圍.
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解:(1)為半圓。的直徑,為半徑,且。4L2C,
:.ZB=ZOAF^45°,OA^OB,
又:AE=CRAB=AC,
:.BE=AF,
:./\B0E^/\A0F
S四邊形4E0F=Sz\A0B=工。8*0A=2.
2
(2);BC為半圓。的直徑,
:.ZBAC=90°,且A2=AC=2&,
Y=SAOEF=S四邊形AEOF-S/\AEF—21-AE'AF—T.--lx(2V2-X)
22
/.y=A%2-yf2x+2(0<%<2^2)-
2
四.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)(共1小題)
11.如圖,四邊形A3CQ是OO的內(nèi)接四邊形,一前=俞,AC為直徑,DELBC,垂足為£
(1)求證:平分NACE;
(2)若AC=9,CE=3,求CO的長.
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】(1)證明:???四邊形ABCD是。0內(nèi)接四邊形,
:.ZBAD+ZBCD=180°,
VZBCZ)+Z£>CE=180°,
DCE=NBAD,
???俞=俞,
/.ZBAD=NACO,
???ZDCE=ZACD,
???CO平分NACE;
(2)解::AC為直徑,
/.ZAZ)C=90°,
?:DEIBC,
:.ZDEC=90°,
???NDEC=ZADC,
?.*ZDCE=ZACD,
:.ADCEsAACD,
?CECDpn3—CD
??,,=”,P>IJ”“,
CDCACD9
:.CD=3y[3.
五.點與圓的位置關(guān)系(共4小題)
12.如圖,點A,8的坐標(biāo)分別為A(2,0),B(0,2),點C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點,8c=1,點M為線段AC
的中點,連接OM,則的最大值為()
D.2V2--
2
【答案】B
【解答】解:如圖,
?.?點C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點,BC=\,
在02上,且半徑為1,
取。。=。4=2,連接CD,
0M是△AC。的中位線,
:.0M^l.CD,
2
當(dāng)0M最大時,即CZ)最大,而£>,B,C三點共線時,當(dāng)C在£)2的延長線上時,最大,
?:0B=0D=2,/BOD=90°,
:.BD=2?
:.CD=2近
即0M的最大值為加+工;
OM——CD=^2」
2
故選:B.
13.如圖,A8是半圓。的直徑,AB=5cm,AC=4cm.。是弧BC上的一個動點(含端點8,不含端點C),
連接A。,過點C作CELAD于E,連接8E,在點。移動的過程中,BE的取值范圍是()
C.圭WBEV3D.J13-9WBE<3
55
【答案】B
在以AC為直徑的0M的自上(不含點C、可含點N),
...BE最短時,即為連接2M與OM的交點(圖中皮點),
,:AB是半圓0的直徑,
AZACB=90°,
.,.AB=5,AC=4,
:?BC=3,CM=2,
BM=22
則VCM+BC=722+32="^13>
...BE長度的最小值BE'=BM-ME1=V13-2,
當(dāng)BE最長時,即E與C重合,
,:BC=3,且點E與點C不重合,
:.BE<3,
綜上,V13-2^BE<3,
故選:B.
14.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)為(4,0),點8的坐標(biāo)為(0,3),0A的半徑為2,點C為
【解答】解:?.,點A的坐標(biāo)為(4,0),點2的坐標(biāo)為(0,3),
:.OA=4,08=3,
是BC的中點,
是△2HC的中位線,
.-.O£)=AB'C,
2
.,.當(dāng)8C最大時,。。有最大值,
如圖2,當(dāng)8,C,A共線時,EC有最大值,
由勾股定理得:AB'="^2^+42=)
.,.B'C=B'A+AC=5+2=7,
此時0D有最大值是」3.5,
15.如圖,等邊△ABC的邊長為4,。為BC邊上的中點,尸為直線BC上方的一個動點,且滿足/E4D
ZPDC,則線段CP長的最小值為二
【答案】W-Vs-
【解答】解:??,等邊△ABC的邊長為4,。為BC邊上的中點,
:.NADP+/PDC=90°,
ZPAD=ZPDC,
:.ZB\D+ZADP=90°,
Z.ZAP£>=90°,
.,.點尸在以A。為直徑的OO上,連接OC,當(dāng)O,P,C三點共線時,PC的長最小,
在RtZXADC中,AC=4,CD=2,
22=2百,
是AD的中點,
:.0D=y[3=0P,
由勾股定理得:OC=SOD24<:D2=>/(時)2+22=中,
:.CP=47-a,
即線段CP長的最小值為救-Vs.
故答案為:V7-V3-
六.三角形的外接圓與外心(共3小題)
16.下列四個命題:
①等邊三角形是中心對稱圖形;
②在同圓或等圓中,相等的弦所對的圓周角相等;
③三角形有且只有一個外接圓;
④垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧.
其中真命題的個數(shù)有()
A.1個B.2個C.3個D.4個
【答案】B
【解答】解:???等邊三角形是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形,
.?.①是假命題;
如圖,NC和NO都對弦AB,但NC和/。不相等,即②是假命題;
三角形有且只有一個外接圓,外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點,即③是真命題;
垂直于弦的直徑平分弦,且平分弦所對的兩條弧,即④是真命題.
故選:B.
17.在△ABC中,/是外心,且/B/C=130°,則/A的度數(shù)是()
A.65°B.115C.65°或115°D.65°或130°
【答案】C
【解答】解:當(dāng)三角形的外心在三角形的內(nèi)部時,則/A=1/B/C=65°;
2
當(dāng)三角形的外心在三角形的外部時,則NA=180°-1ZBZC=115°.
2
故選:C.
18.如圖,在3X3的正方形網(wǎng)格中,小正方形的頂點稱為格點,頂點均在格點上的圖形稱為格點圖形,圖
中的圓弧為格點AABC外接圓的一部分,小正方形邊長為1,圖中陰影部分的面積為()
24224442
【答案】D
【解答】解:如圖:作的垂直平分線MN,作的垂直平分線尸。,設(shè)MV與相交于點。,連接
OA,OB,0C,則點。是△ABC外接圓的圓心,
由題意得:OA2=l2+22=5,
OC2=l2+22=5,
AC2=l2+32=10,
.,.OA2+OC2=AC2,
...△AOC是直角三角形,
/.ZAOC=90°,
':AO=OC=4S,
圖中陰影部分的面積=扇形AOC的面積-△AOC的面積-△ABC的面積
2
=9QKX(V5),XoA^OC-1小1
36022
=.57I;-AXJ5XJ5-AX2X1
422
42
_-5--兀--,7
42
故選:D.
七.切線的性質(zhì)(共5小題)
19.如圖,AABC中,ZA=90°,AC=3,AB=4,半圓的圓心。在上,半圓與AS、AC分別相切于
點。、E,則半圓的半徑為()
D.2V3
;圓。切AC于E,圓。切AB于。,
:.ZOEA=ZODA=90°,
VZA=9O°,
AZA=ZODA=ZOEA=90°,
":OE=OD,
四邊形ADOE是正方形,
:.AD=AE=OD=OE,
設(shè)OE=AD=AE=OD=R,
VZA=90°,/OEC=90°,
OE//AB,
;.4CEOS/\CAB,
同理△BDOs/XBAC,
:./\CEO^AODB,
?OE^CE,
"BDOD"
即工_=主邑
4-RR
解得:R=^2L,
7
故選:A.
20.如圖,P是拋物線y=W-4x+3上的一點,以點尸為圓心、1個單位長度為半徑作。尸,當(dāng)。尸與直線y
=0相切時,點P的坐標(biāo)為(2+如,1)或(2—歷1)或(2,-1).
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解:當(dāng)>=1時,/-4x+3=l,
解得:尤=2土近,
:.P(2+V2.1)或(2-&,1),
當(dāng)y=-1時,%2-4尤+3=-L
解得:XI=X2=2,
:.P(2,-1),
則點P的坐標(biāo)為:(2+、歷,1)或(2-6,1)或(2,-1).
21.已知一個三角形的周長和面積分別是84、210,一個單位圓在它的內(nèi)部沿著三邊勻速無摩擦地滾動一周
后回到原來的位置(如圖),則這個三角形的內(nèi)部以及邊界沒有被單位圓滾過的部分的面積是」
(結(jié)果保留準(zhǔn)確值).
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解:如圖;
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為R,△£)£產(chǎn)的內(nèi)切圓半徑為廣;
依題意有:AX84X/?=210,即R=5;
2
易知:△DEFs—BC,且r:R=4:5,
CADEF=ACAABC=67.2;
5
易知:被圓滾過的三角形內(nèi)部的三角形也和△ABC相似;
且其內(nèi)切圓半徑為:R-2=3,即其面積=(■|■)2s△4BC=75.6;
由圖知:S四邊形AHOG=2SAAGD=AG?1=AG,同理S四邊形尸EQB=5。,S四邊形CN尸M=CM;
??S四邊形AHDG+S四邊形PEQB+S四邊形cNFM=AG+CAf+BQ=工(C/^ABC~CADEF)=8.4;
2
而S扇形。"G+S扇形尸EQ+S扇形廠MN=S單位圓=71,
工所求的面積=75.6+8.4-n=84-TC.
22.已知點M(2.0),的半徑為1,0A切于點A,點尸為OM上的動點,當(dāng)尸的坐標(biāo)為(1,
0),(3,0)(2,1)時,△尸。4是等腰三角形.
2-2一
y,
【答案】(1,0),(3,0),(3,1).
22
【解答】解:如圖,當(dāng)P的坐標(biāo)為(1,0),(3,0),(3,近)時,/\尸。4是等腰三角形.理由如下:
22
':M(2.0),OM的半徑為1,
;.OM=2,
:.OP=1,
切OM于點A,
ZMAO=90°,
;.NAOM=30°,
:.ZAMO=6Q°,
:.PA=AM=PM=1,
;.OP=B4=1,
:.P(1,0);
當(dāng)OA=OP'時,連接AP'交x軸于點H,
切OM于點A,
:.OP,切OM于點P',
:.ZP'OM=ZAOM=30°,
:.ZAOP'=60°,
:.^AOP'是等邊三角形,
=OA=1/QH2_AM2=^22_12=V3,
.?.?!?近04=3,P'H=^AP'=四,
2222
:.P'(反,返);
22
":MA=MP",ZAMO=60°,
:.ZMAP"=ZMP"A=30°,
AZAOP"=ZMP"A=30°,
:.OA=OP",
:.P"(3,0).
綜上所述:當(dāng)尸的坐標(biāo)為(1,0),(3,0),(旦,返)時,△POA是等腰三角形.
22
故答案為:(1,0),(3,0),(3,1).
22
23.AABC內(nèi)接于O。,ZBAC的平分線交。。于。,交BC于E(BE>EC),過點D作。。的切線DF,
交AB的延長線于足
(1)求證:DF//BC-,
(2)連接OR若tan/8AC=2A歷,BD=473>DF=S,求OF的長.
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】(1)證明:連接OD
.。尸是。。的切線,
J.ODYDF,
,:AD平分N3AC,
:.ZBAD=ZCAD,
.?.BD=CD)
:.OD±BC,
:.DF//BC;
(2)解:連接OB,
BD=CD.
NBOD=ABAC,
由(1)知ODLBC,
.,.tanZBO£>=^,
ON
■an/2AC=2&,
.??里=WI,
ONv
設(shè)。N=x,BN=2y/2x,
由勾股定理得:OB=3x,
/.OD=3x,
:?DN=3x-x=2x,
RtZ\B£W中,BN^Dl^-^BD2,
(2V2X)2+(2X)2=(4V3)21
x=2或-2(舍),
:.OB=OD=3x=6,
Rt△。尸。中,由勾股定理得:。尸=而三^^=在屋記=10.
八.切線的判定(共2小題)
24.如圖,半圓。的直徑。E=12%在Rt^ABC中,ZACB=90°,ZABC=30°,BC=12cm.半圓。
以2cm/s的速度從左向右運動,當(dāng)圓心0運動到點B時停止,點、D、E始終在直線BC上.設(shè)運動時間
為f(s),運動開始時,半圓。在△ABC的左側(cè),OC=8cm.當(dāng)kIs,4s,7s時,Rt^ABC的一邊
所在直線與半圓。所在的圓相切.
B
【答案】Is,4s,Is.
【解答】解:①當(dāng)圓心。運動到點石與點。重合是時,
VACXOE,OC=OE=6cm,
此時AC與半圓0所在的圓相切,點。運動了2cm,
所求運動時間為£=2+2=1(s);
②當(dāng)圓心0運動到AC右側(cè)與AC相切時,
止匕時0。=65,點。運動的距離為8+6=14(cm),
所求運動時間為£=14+2=7(s);
③如圖1,過。點作C尸,A5,交A3于廠點;
VZABC=30°,BC=ncm,
FO=6cm;
當(dāng)半圓。與△ABC的邊AB相切時,
,/圓心O到AB的距離等于6cm,
且圓心。又在直線BC上,
與C重合,
即當(dāng)。點運動到C點時,半圓O與AABC的邊A8相切;
此時點O運動了8cm,所求運動時間為f=8+2=4(s),
當(dāng)點。運動到8點的右側(cè),且OB=12c加時,
如圖2,過點。作0。,直線垂足為Q.
在RtZXQOB中,ZOBQ=30°,則OQ=6c〃?,
即。。與半圓。所在的圓相切.
此時點0運動了32cm.
所求運動時間為:f=32+2=16s,
綜上可知當(dāng)t的值為15或4s或7秒或16s時,
天△ABC的一邊所在直線與半圓。所在的圓相切.
因為圓心。運動到點B時停止,
所以此種情況不符合題意舍去,
故答案為:Is,4s,Is.
圖1
25.已知,如圖,點A的坐標(biāo)為(2,0),0A交x軸于點8和C,交y軸于點。(0,4),過點。的直線與
無軸交于點P,且tan/AP£)=_l.
2
(1)求證:是OA的切線;
(2)判斷在直線尸。上是否存在點使得SAMOD=2S?OD?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,
請說明理由.
【解答】(1)證明:1N(2,0)D(0,4),
;.AO=2,00=4,
...在RtAADO中,tan/A£>O=_2A_=2=_l,
0D42
VtanZAPD——,
2
ZADO=ZAPD,
VZAOD=90°,
ZADO+ZDAO=90°,
AZDAO+ZAPD=90°,
:.ZPDA=180°-90°=90°,
:.AD.LPD,
「AD是OA的半徑,
是OA的切線.
(2)解:在△AD。中,OA=2,OD=4,由勾股定理得:AD=2痘,
在RtAPDA中,tan/AP£)=3^=」,
PD2
即PD=4遍,
由勾股定理得:AP=d(4泥)。(2叱)2=1。,
\'OA=2,
:.OP=8,
即P(-8,0),
':D(0,4),
設(shè)直線尸。的解析式是:y^kx+4,
把P的坐標(biāo)代入得:0=-8女+4,
解得:k=工,
2
?,?直線PD的解析式是y=L+4,
2
假如存在M點,使得S^MOD=2SMOD,
設(shè)M的坐標(biāo)是(無,1+4),
2
如圖:
當(dāng)M在y軸的左邊時,過M■作MN_L。。于N,
**SAMOD=2SAAOD,
.\AX4X(-x)=2XJLX2X4,
22
解得:x=-4,
y=A%+4=2,
2
即此時M坐標(biāo)是(-4,2),
當(dāng)”■點在y軸的右邊時,同法可求M的橫坐標(biāo)是4,代入y=』x+4得y=6,
2
此時M的坐標(biāo)是(4,6),
即在直線尸。上存在點使得SAMOD=2SAAOD,點M的坐標(biāo)是(-4,2)或(4,6).
26.如圖,在△ABC中,AB=AC,以A8為直徑作圓O,分別交于點交CA的延長線于點E,過點
。作DHLAC于點X,連接DE交線段04于點?
(1)求證:?!笆菆AO的切線;
(2)若四=旦,求證:A為EH的中點.
EF2
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】證明:(1)連接?!?gt;,如圖1,
":OB=OD,
...△0Q8是等腰三角形,
N0BD=/0DB①,
在△ABC中,':AB=AC,
:.ZABC^ZACB?,
由①②得:Z0DB=Z0BD=ZACB,
:.OD//AC,
":DH±AC,
:.DH±OD,
.??O”是圓。的切線;
(2)如圖1,在。。中,,:/E=NB,
...由(1)可知:NE=NB=/C,
:.Z\EDC是等腰三角形,
???—FD—_>3
EF2
'JAE//OD,
:./\AEF^/\ODF,
???FD_0D_3,
EFAE2
設(shè)0。=3羽AE=2x,
9:AO=BO.OD//AC,
:?BD=CD,
.\AC=2OD=6x,
EC=AE+AC=2x+6x=8x,
?;ED=DC,DH1EC,
:.EH=CH=4x,
:.AH=EH-AE=4x-2x=2x,
:.AE=AH,
???A是由的中點;
(3)如圖1,設(shè)。。的半徑為r,即。。=08=r,
?:EF=EA,
:.ZEFA=ZEAF,
9:OD//EC,
:.ZFOD=ZEAF,
則ZFOD=/EAF=ZEFA=NOFD,
:.DF=OD=r,
:.DE=DF+EF=r+l,
:.BD=CD=DE=r+l,
在O。中,,//BDE=ZEAB,
:.NBFD=/EFA=NEAB=ZBDE,
:.BF=BD,尸是等腰三角形,
:.BF=BD=r+1,
:.AF=AB-BF=2OB-BF=2r-(1+r)=r-1,
:NBFD=NEFA,NB=/E,
:./\BFD^/\EFA,
?EF_BF;
"FA"FD'
???1---=-r--+-1,
r-lr
解得:n=W5_,e上叵(舍),
22
綜上所述,O。的半徑為止區(qū).
2
E
圖1
27.如圖,在Rt^ABC中,ZACB=90°,以斜邊AB上的中線CO為直徑作OO,與8C交于點與A8
的另一個交點為E,過M作MVLAB,垂足為N.
(1)求證:MN是。。的切線;
(2)若。。的直徑為5,sinB=&,求即的長.
5
【解答】(1)證明:連接。如圖1,
OC^OM,
:.ZOCM^ZOMC,
在RtZXABC中,CD是斜邊AB上的中線,
:.CD=1AB=BD,
2
:.ZDCB=ZDBC,
:.ZOMC=ZDBC,
J.OM//BD,
':MN±BD,
:.OM±MN,
過
:.MN是。)0的切線;
(2)解:連接。M,CE,圖2
^.^c。是。。的直徑,
.\ZCED=90°,ZDMC=90°,
即DMLBC,CE±AB,
由(1)知:BD=CD=5,
為BC的中點,
\'sinB=—,
5
??D?_COS4D—I
5
在RtZkBMD中,BM=BD-cosB=A,
:.BC=2BM=8,
在RtACEB中,BE=BC?COSB=£
5
:.ED=BE-B£)=絲-5=工.
55
28.如圖,己知OO是△ABC的外接圓,且4B=BC=C。,AB//CD,連接BD
(1)求證:8。是OO的切線;
(2)若AB=10,cos/84c=3,求8。的長及。。的半徑.
5
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】(1)證明:如圖1,作直徑2E,交。。于E,連接EC、OC,
則/BCE=90°,
:.ZOCE+ZOCB^90°,
':AB//CD,AB=CD,
...四邊形ABDC是平行四邊形,
,?OE=OC,
:.ZE=ZOCE,
,:BC=CD,
:.ZCBD=ZD,
':ZA=ZE,
:.ZCBD=ZD=ZA=ZOCE,
':OB=OC,
:./OBC=/OCB,
:.ZOBC+ZCBD=9Q°,
即N£B£>=9。,
???8。是。。的切線;
(2)如圖2,,.?COSZBAC=COSZE=^-=A
EB5
設(shè)EC=3x,EB=5x,則BC=4x,
\"AB=BC=10=4x,
x=—,
2
.,.EB=5x=^-,
2
.??O。的半徑為絲,
4
過C作CGJ_B。于G,
VBC=CD=10,
:.BG=DG,
RtZiCG。中,COSZD=COSZBAC=^-=A,
CD5
?DG3
105
:?DG=6,
:.BD=12.
圖1
29.如圖,AABC內(nèi)接于。0,AC是。。的直徑,過OA上的點P作POLAC,交CB的延長線于點。,交
A8于點E,點尸為QE的中點,連接
(1)求證:8F與。。相切;
(2)若4尸=。尸,COSA=A,AP=4,求2尸的長.
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】(1)證明:連接。8,
:AC是O。的直徑,
AZABC=90°,
:.ZABD=18O°-ZABC=90°,
,點/為DE的中點,
:.BF=EF=LDE,
2
:"FEB=/FBE,
ZAEP=AFEB,
:.ZFBE=ZAEP,
':PD±AC,
:.ZEPA=90°,
/.ZA+ZAEP=90°,
.OA=OB,
ZA=ZOBA,
:.ZOBA+ZFBE=90°,
:.ZOBF=9Q°,
是O。的半徑,
二2斤與O。相切;
(2)解:在RtZ\AE尸中,cosA=2,AP=4,
5
:.AE==^=5,
cosAA
5
?*-PE=VAE2-AP2=V52-42=3'
,:AP=OP=4,
:.OA=OC=2AP=89
:.pc=opwc=n,
VZA+ZAEP=90°,ZA+ZC=90°,
???NAEP=/C,
VZAPE=ZDPC=90°,
???AAPE^ADPC,
A-P—PE,
D4PPC
-3
DP12
二。尸=16,
:.DE=DP-PE=16-3=13,
.,.BF=AZ)£=11,
22
.?.3歹的長為旦.
2
30.如圖,以△ABC的邊48為直徑作。0,與3C交于點。,點E是弧2。的中點,連接AE交8C于點
F,ZACB=2ZBAE.
(1)求證:AC是O。的切線;
(2)若sinB=Z,BD=5,求8尸的長.
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】(1)證明:連接AD
是弧8。的中點,
???BE=DE-
NBAD=2/BAE.
NACB=2/BAE,
:.ZACB=ZBAD,
?..AS為。O直徑,
Z.ZADB=90°,
:.ZDAC+ZACB=90°.
:.ZBAC=ZDAC+ZBAD=90°.
;.AC是O。的切線;
(2)解:過點尸作于點G.
VZBAE=ZDAE,/AO8=90°,
:.GF=DF,
在RtZiBGP中,/BG產(chǎn)=90°,sinB=&£_=三,
BF3
即5-BF=2,
BF3
;解得,BF=3.
E
圖2
31.如圖,AB是。。的直徑,C、。是。。上兩點,且。為弧BC中點,過點D的直線DE±AC交AC的
延長線于點E,交A8的延長線于點R連接AD
(1)求證:OE是。。的切線;
(2)若/ZMB=30°,。。的半徑為2,求陰影部分的面積;
(3)若sin/E4P=4,。尸=4,求AE的長.
5
E
【答案】(i)證明過程解解答;
(2)陰影部分的面積為2百-2n;
3
(3)AE的長為2生
5
【解答】(1)證明:連接on,
E
9:DELAC,
???NE=90°,
ID為弧BC中點,
=布,
:.ZCAD=ZBAD,
9
:OA=ODf
:.ZBAD=ZADO,
:.ZCAD=ZADO,
:.AC//ODf
:.ZE=Z0DF=9Q°,
TOD是。。的半徑,
JOE是。。的切線;
(2)u:ZDAB=30°,
AZDOF=2ZDAB=6Q°,
在Rtz\OD/中,00=2,
:.DF=ODnan60°=2?,
J陰影部分的面積=2\0。/的面積-扇形80。的面積
=10D-DF-^X^
2360
=_1乂2*2?-4
23
=2^3--ir-
3
陰影部分的面積為2a-2TT;
3
(3)?:AC//OD,
:.ZEAF=ZDOF,
:.sinZEAF=sinZDOF=^,
5
在RtZkOD/中,sinZDOF=^l=A,
OF5
二。尸=5,
???OD=VOF2-DF2=VB2-42=3,
:?0A=0D=3,
.\AF=OA+OF=3+5=8,
?:/F=/F,
:.AAEFsAODF,
AEAF
一—9
ODOF
AE
3-8,
5
24
.AE—J
5
:.AE的長為
5
十.切線長定理(共1小題)
32.如圖,四邊形ABCD是。。的外切四邊形,且AB=10,CD=12,則四邊形ABCD的周長為44
【解答】解::四邊形ABCZ)是O。的外切四邊形,
:.AD+BC=AB+CD=22,
四邊形ABCD的周長=AD+BC+A2+C£)=44,
故答案為:44.
H^一.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心(共1小題)
33.在銳角三角形ABC中,BC=5,sinA=l,
(1)如圖1,求三角形ABC外接圓的直徑;
(2)如圖2,點/為三角形ABC的內(nèi)心,BA=BC,求A/的長.
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】(1)解:作。8垂直于8C,連OC,
VZDBC=90°,
:.DC為直徑.
VZA=ZD,BC=5,sinA=A,
5
sin£)=^-=A,
CD5
:.CD=2L,
4
答:三角形ABC外接圓的直徑是至.
4
(2)解:連接/C、BI,且延長3/交AC于R過點/作/GL2C于點G,過/作ZELA2于E,
':AB=BC=5,/為△ABC內(nèi)心,
:.BF±AC,AF=CF,
:sinA=&=更,
5AB
/.BF=4,
在RtZXABB中,由勾股定理得:AB=3,
":BA=BC,/是內(nèi)心,
即3歹是NABC的角平分線,
:.AC=2AF=6,
是AABC內(nèi)心,IEYAB,IFLAC,IGYBC,
:.IE=IF=IG,
設(shè)IE=IF=IG=R,
;△AB/、△AC/、△2C7的面積之和等于△ABC的面積,
/.AABxR+ABCxR+AACXT?=AACXBF,
2222
即5XR+5XR+6XR=6X4,
:.R=1,
2
在△A//中,AF=3,IF=±,由勾股定理得:AI=3娓.
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