2025年上海市數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)的概念與性質(zhì)（含詳解）

專題03函數(shù)的概念與性質(zhì)(講義+一輪復(fù)習(xí)知識掃描練)

01知識梳理

一、函數(shù)的概念

1.函數(shù)的定義

設(shè)A,B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定

的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f:A—B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x),xGA.其中，x叫做自變量，x的

取值范圍A叫做函數(shù)的定義域.顯然，值域是集合B的子集.

2.函數(shù)的構(gòu)成要素

函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.三者缺一不可，其中對應(yīng)關(guān)系是核心，定義域是根本，當(dāng)定義域和對

應(yīng)關(guān)系確定了，值域也就確定了.

二、函數(shù)的定義域

1.函數(shù)的定義域是自變量x的取值集合，它是函數(shù)的重要組成部分.

2.求函數(shù)定義域的注意事項(xiàng)

(1)分式的分母不為0；

⑵偶次根式的被開方數(shù)大于等于0：

(3)零次幕的底數(shù)不為0;

(4)實(shí)際問題中自變量的范圍；

(5)多個式子構(gòu)成的函數(shù)，其定義域要滿足每個式子都有意義.

三、函數(shù)的值域

1.函數(shù)的值域是在對應(yīng)關(guān)系f的作用下，自變量x在定義域內(nèi)取值時相應(yīng)的函數(shù)值組成的集合

四、同一個函數(shù)

如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)

是同一個函數(shù).

溫馨提示：當(dāng)一個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系和定義域確定后，其值域就隨之確定，所以兩個函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義城和對應(yīng)關(guān)系

相同時，才為同一函數(shù)換言之，⑴定義域不同，兩函數(shù)不同；(2)值域不同，兩函數(shù)不同；(3)對應(yīng)關(guān)系不同，兩函

數(shù)不同，即使定義域和值城分別相同的兩個函數(shù)，也不一定是同一函數(shù)，如y=5x與它們的定義域和值域都是實(shí)數(shù)

集R,但不是同一個函數(shù).

五、函數(shù)的表示法

1.解析法

用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

2.圖象法

用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，

3.列表法

列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

溫馨提示：

(1)解析法必須注明函數(shù)的定義域；

⑵列表法必須羅列出所有的自變量的值與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系；⑶圖象法必須清楚函數(shù)圖象是“點(diǎn)”還是“線”，

六、復(fù)合函數(shù)

如果函數(shù)y=f(t)的定義域?yàn)锳,函數(shù)t=g(x)的定義域?yàn)锽,值域?yàn)镃,貝!］當(dāng)CSA時，稱函數(shù)y=f(g(x))為f(t)與g(x)

在B的復(fù)合函數(shù)，其中t叫做中間變量，t=g(x)叫做內(nèi)層函數(shù)，y=f(t)叫做外層函數(shù).

溫馨提示：

1.內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域或定義域的子集.

2.函數(shù)f(g(x))的定義域是指x的取值范圍，而不是g(x)的取值范圍.

七、分段函數(shù)

在函數(shù)y=f(x)的定義域中，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常稱為分段

函數(shù)

八、函數(shù)的單調(diào)性

1.增函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量X],xz,當(dāng)Xi<x2時，都

有)<f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).

2.減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量xi,xz,當(dāng)Xi<x2時，

都有f(xi)>f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).

小結(jié):對任意的Xi,X2CD,且Xi#X2有:

(1)若X]VX2,都有f區(qū))-f(X2)?0of(x)在。上是增函數(shù)；

X1-X2

若X|Vx,,都有f(X|)-f(X2)>0of(x)在。上是嚴(yán)格增函數(shù)；

X「X2

若X|VX2,都有,區(qū))-f(X2)w0of(X)在。上是減函數(shù)；

若X|Vx,,都有f(xP-f(X2)<0of(x)在。上是嚴(yán)格減函數(shù)；

X「X2

(2)(xi-x2)[f(xi)-f(x2)]20=f(x)在D上是增函數(shù)；

(Xi-x2)[f(X1)-f(x2)]40uf(x)在D上是減函數(shù).

九、單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，

區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

溫馨提示：

1.函數(shù)的單調(diào)性是針對定義城內(nèi)某段區(qū)間而言的.

2.函數(shù)單調(diào)性定義中的xi,xg有三個特征：①任意性；②有大?。虎弁瑢僖粋€單調(diào)區(qū)間，三者缺一不可.

3.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求其定義域.

十、單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

1.函數(shù)f(x)與f(x)+c(c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.

2.當(dāng)a>0時，f(x)與a-f(x)的單調(diào)性相同，當(dāng)a<0時，f(x)與a-f(x)的單調(diào)性相反.

3.當(dāng)f(x)恒為正值或恒為負(fù)值時，f(x)與的單調(diào)性相反.

f(x)

4當(dāng)f(x),g(x)同為增(減)函數(shù)時,f(x)+g(x)是增(減)函數(shù).

5.當(dāng)f(x),g(x)同為增(減)函數(shù)時，若兩者都恒大于零,貝!jf(x).g(x)也是增(減)函數(shù)；若兩者都小于零，貝!]f(x>g(x)

是減(增涵數(shù).

十一、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)),在其定義域內(nèi)單調(diào)性滿足：

f(x)g(x)f(g(x)

增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)

增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)

減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)

減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)

溫馨提示:復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性符合“同增異減”的法則.

十二、函數(shù)的最值

1.函數(shù)的最大值

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：⑴任意的xei,都有f(x)WM;(2)存在x。ei,

使得f(x0)=M.那么,我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值，

2.函數(shù)的最小值

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：⑴任意的x曰，都有f(x巨M;⑵存在X。￡1,使

得f(xo)=M.那么,我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值

十三、函數(shù)的奇偶性

I、奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義

1.奇函數(shù)

一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個X,都有f(-x)=-f(x)那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).

2.偶函數(shù)

一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).

溫馨提示：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱,

則此類函數(shù)為非奇非偶函數(shù).

II、奇、偶函數(shù)的性質(zhì)

1.具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.

2.奇函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形；偶函數(shù)的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形.

3.若一個奇函數(shù)在x=0處有意義，則f(0)=0.

4.若一個函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則有f(x)=O.

5.四則運(yùn)算及復(fù)合函數(shù)的奇偶性

f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)-g(x)f(g(x)

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

十四、函數(shù)y=f(x)的圖象的對稱性

1.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱uf(a+x)=f(a-x)uf(2a-x)=f(x).

a-Hb

2.若函數(shù)y=f(x)(xGR),f(x+a)=f(b-x)恒成立，則y=f(x)的圖象的對稱軸是直線x=

a_|_b

3.畫數(shù)y=f(a)的圖象關(guān)于直線x=下一對稱uf(a+mx)=f(b-mx)uf(a+b-mx)=f(mx).

4.若f(x)=-f(-x+a),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(*|,0)對稱.

十五、兩個函數(shù)圖象的對稱性

1.函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于直線x=0(即y軸)對稱.

2.函數(shù)y=f(x+a)與y=f(b-x)的圖象關(guān)于直線X=三一對稱.

3.函數(shù)y=f(mx-a)與函數(shù)y=f(b-mx)的圖象關(guān)于直線*=--對稱.

2m

十六、函數(shù)的周期性

I、周期函數(shù)及最小正周期

1.周期函數(shù)

對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)

為周期函數(shù)，T為這個函數(shù)的周期.

2.最小正周期

如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.

II、函數(shù)周期性的重要結(jié)論

1.若f(x+a)=f(x+b)(a?b),則T=|a-b|.

2.若f(x+a)=-f(x),則T=2|a|.

3.若f(x+a)=±—,JJ!JT=2|a|.

f(x)

4.若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x二a對稱,貝h=2同5.若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a對

稱,貝［］T=4|al.6.若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a與x=b對稱，貝！］T=2|b-a|.

7.右函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱，又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對稱，貝［］T=2|b-a|.

8.若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a對稱，又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對稱,則T=4|b-a|.

02跟蹤訓(xùn)練

一、單選題

i.下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是()

A.〃%)=》與8(力=(冏-

B.〃x)=lg(x-l)與g(x)=lg|x-l|

C.〃x)=x。與g(x)=l

D./(x)=x+l與g⑺=t+l

2.函數(shù)y=的定義域是()

A.[2,+oo)B.(2,+co)C.(-oo,2)D.(-oo,2]

3.函數(shù)y=的定義域是()

A.(-8,1]B.(-l,o)u(o,l)C.[-1,0).(0,1]D.(0,1]

4.若函數(shù)/(2x-l)的定義域?yàn)閇-1,1],則函數(shù)＞=少"的定義域?yàn)?)

VX-1

A.(-1,2]B.[0,2]C.[-1,2]D.(1,2]

5.已知函數(shù)y=〃x+l)的定義域?yàn)閇1,2],則函數(shù)y=/(2x-l)的定義域?yàn)?)

-1~|「31

A.—,1B.C.[―1,1]D.[3,5]

6.若函數(shù)/(2x-l)的定義域?yàn)閇-3』，則y="二")的定義域?yàn)?)

y/x-l

A.{1}B.[1,|_C.(If.D-月

7.已知/■(無)=占，則/'(/(x))的定義域?yàn)?)

A.{x|xw—2}B.{x[%w-l}C.{%|%工一1且xw—2}D.{RxwO且無力一1}

8.已知函數(shù)=則函數(shù)g(x)=/(l-x)的定義域?yàn)?)

A.(-2,1]B.[—2,1)

C.(-1,2]D.[-1,2)

9.已知函數(shù)/(X—l)=d—2x,且/(。)=3,則實(shí)數(shù)。的值等于()

A.72B.±72C.2D.±2

10.已知“X)對于任意x,yeR,都有〃x+y)=〃x)-〃y),且則〃4)=()

A.4B.8C.64D.256

11.已知函數(shù)/(%)=肅"，則對任意實(shí)數(shù)心函數(shù)/(%)的值域是()

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2)D.

12.函數(shù)/(%)=?+，4一、一"|Jx(4—x)的最大值為()

4121

A.4B.2C.—D.

2010

若函數(shù)工的值域是。

13.y=(-8,0)則此函數(shù)的定義域?yàn)?)

x-1

A.(—8,3]B.(-a),l)(1,3)C.(―8,l)U[3,+8)D.(—8,1)51,3]

14.已知二次函數(shù)〃尤)滿足〃2)==/(x),且〃x)的最大值是8,則此二次函數(shù)的解析式為/(X)=()

A.-4X2+4X+7B.4/+4x+7

C.-4X2-4%+7D.-4/+4X-7

15.函數(shù)/(x)=ln(2x2-3x+l)的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.1一B.,C.(j+sjD.(1,+℃)

16.設(shè)aeR,則“a>-2"是"函數(shù)/"(xAzk+Qx+l在(2,+oo)上單調(diào)遞增”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

_丫2?Y<1

""，是定義在R上的增函數(shù)，則。的取值范圍是()

(3-a)x+29x>l

A.[1,3)B.[L2]C.[2,3)D.(0,3)

18.已知函數(shù)/(尤)是定義在(T,4)上的偶函數(shù)，且則下列各式中一定成立的是()

A./(2)>/(0)B./(一2)<〃1)

C./(-2)>/(O)D./(2)>/(-1)

19.已知y=〃x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)xe(f,o)時，〃力=精—e，+l,則當(dāng)xe(0,y)時,/(%)=()

A.x2-ev+1B.x2+e-v+1C.x2-e-v+lD.-x2+e~x-1

20.已知是定義在R上的奇函數(shù)，/(l)=/(3)=0,且在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，則

不等式04。的解集為()

2x-l

A.[1,+⑹B.[-3,-邛[1,3]

C.o,￡|I[3,+?)D.[-3,-1]0,^[1,3]

21.已知定義在R上的函數(shù)滿足〃x+3)=—〃x),<f(-x)+/(x-2)=4,則“2024)=()

A.-4B.-2C.4D.2

22.定義在R上的函數(shù)〃x)滿足了(1-尤)=/(尤+1),且y=〃x+2)為奇函數(shù).當(dāng)xe(2,3]時，

/(X)=(X-2)3-3(X-2),則〃2023)=()

A.-5B.-2C.-1D.1

23.已知定義在R上的函數(shù)/⑺滿足，①/(%+2)=/(x),②/(%-2)為奇函數(shù)，③當(dāng)x<(M)時,

"%)］，/)>0(無產(chǎn)工2)恒成立.則/(4)、/［曰］的大小關(guān)系正確的是()

24.定義在R上的函數(shù)g(x)滿足g(x)=〃x)+2x,g(x+2)為偶函數(shù)，函數(shù)/(3x+l)的圖象關(guān)于(0,2)對稱,則

“27)=()

A.-46B.4C.-50D.-4

二、填空題

/\1—2%-1,x1/1

25.設(shè)函數(shù)/(尤)=,若〃/(2))=石，貝小=.

26.若函數(shù)〃x+3)的定義域?yàn)?-5,-2),則尸(x)=〃x+l)+/(x-1)的定義域?yàn)?

27.已知偶函數(shù)y=y(x+l)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=/(尤-1)的單調(diào)增區(qū)間是.

28.已知/0+,)=/+4，則函數(shù)八x)=.

XX

29.若函數(shù)於)滿足方程碇x)+#1)=〃x,x￡R,且樣0,a為常數(shù),〃丹1,且〃邦，則於)=.

x

30.已知定義在R上的函數(shù)，y=〃x)滿足+-胃=0,+=+="0)=2,

則/(1)+/(2)++/(2024)=.

31.已知小)=2用嗎黃瓜'則

f(x-2019)+/(x-2018)+.+f(x-6)+/(2013-元)+/(2012一元)++f(-x)=.

32.已知y=/(無)是定義在R上的增函數(shù)，且y=/(元)的圖像關(guān)于點(diǎn)(6,0)對稱.若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式

/(X2-6x)+f(y2-8y+36)<0,貝！|x2+_y2的取值范圍是.

三、解答題

7r-1

33.已知函數(shù)/(耳=不］.

⑴試判斷函數(shù)在區(qū)間(-1,+少)上的單調(diào)性，并證明;

⑵求函數(shù)“力在區(qū)間［。,+8)上的值域.

b

34.已知函數(shù)/(x)=x+—過點(diǎn)(1,2).

x

(1)判斷了(丈)在區(qū)間(1,+?)上的單調(diào)性，并用定義證明；

(2)求函數(shù)/(x)在［2,7］上的最大值和最小值.

35.已知函數(shù)/(%)=改2-,一4，xeR.

⑴當(dāng)”=1時，求函數(shù)〃尤)的零點(diǎn)：

(2)若函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的值.

36.設(shè)/(%)=爐+依2-2%(xeR),其中常數(shù)aeR.

⑴判斷函數(shù)y=/(x)的奇偶性，并說明理由；

3「1一

⑵若不等式F(x)>：x3在區(qū)間-4上有解，求a的取值范圍.

37.己知函數(shù)〃x)=署^是定義在(-M)上的函數(shù)，〃T)=-“X)恒成立，且一

⑴確定函數(shù)“力的解析式，并用定義研究/(無)在上的單調(diào)性；

⑵解不等式〃xT)+〃x)<0.

38.已知函數(shù)f(x)對一切實(shí)數(shù)尤,yeR,都有/@+、)-/(>)=/+2到-2x成立，且/⑴=0,/(尤)=xg(x)其中x片0.

(1)求g(x)的解析式;

2k

⑵若關(guān)于龍的方程g(|2A'-1|)+-3左=°有三個不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

2X-1

39.設(shè)“,ceR,函數(shù)/(x)=x"+(3"+l)"+c

x+a

⑴若。=0,判斷fa)函數(shù)是否存在實(shí)數(shù)c,使得y=/(x)為奇函數(shù)？說明理由.

⑵若。=0,函數(shù)y=/e)在區(qū)間［1,4］上是嚴(yán)格增函數(shù)，求C的最大值.

⑶若函數(shù)〃無)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,3),且函數(shù)〃尤)圖像與無軸負(fù)半軸有兩個不同的交點(diǎn)，求此時c的值和實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

專題03函數(shù)的概念與性質(zhì)(講義+一輪復(fù)習(xí)知識掃描練)

01知識梳理

一、函數(shù)的概念

1.函數(shù)的定義

設(shè)A,B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)X,在集合B中都有唯一確定

的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f:A—B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x),xGA.其中，x叫做自變量，x的

取值范圍A叫做函數(shù)的定義域.顯然，值域是集合B的子集.

2.函數(shù)的構(gòu)成要素

函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.三者缺一不可，其中對應(yīng)關(guān)系是核心，定義域是根本，當(dāng)定義域和對

應(yīng)關(guān)系確定了，值域也就確定了.

二、函數(shù)的定義域

1.函數(shù)的定義域是自變量x的取值集合，它是函數(shù)的重要組成部分.

2.求函數(shù)定義域的注意事項(xiàng)

(1)分式的分母不為0；

⑵偶次根式的被開方數(shù)大于等于。：

(3)零次幕的底數(shù)不為0;

(4)實(shí)際問題中自變量的范圍；

⑸多個式子構(gòu)成的函數(shù)，其定義域要滿足每個式子都有意義.

三、函數(shù)的值域

1.函數(shù)的值域是在對應(yīng)關(guān)系f的作用下，自變量x在定義域內(nèi)取值時相應(yīng)的函數(shù)值組成的集合

四、同一個函數(shù)

如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)

是同一個函數(shù).

溫馨提示：當(dāng)一個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系和定義域確定后，其值域就隨之確定，所以兩個函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義城和對應(yīng)關(guān)系

相同時，才為同一函數(shù)換言之，⑴定義域不同，兩函數(shù)不同；(2)值域不同，兩函數(shù)不同；(3)對應(yīng)關(guān)系不同，兩函

數(shù)不同，即使定義域和值城分別相同的兩個函數(shù)，也不一定是同一函數(shù)，如y=5x與它們的定義域和值域都是實(shí)數(shù)

集R,但不是同一個函數(shù).

五、函數(shù)的表示法

L解析法

用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

2.圖象法

用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，

3.列表法

列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

溫馨提示：

(1)解析法必須注明函數(shù)的定義域；

⑵列表法必須羅列出所有的自變量的值與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系；⑶圖象法必須清楚函數(shù)圖象是“點(diǎn)”還是線”，

六、復(fù)合函數(shù)

如果函數(shù)y=f(t)的定義域?yàn)锳,函數(shù)t=g(x)的定義域?yàn)锽,值域?yàn)镃,貝?。莓?dāng)CSA時，稱函數(shù)y=f(g(x))為f(t)與g(x)

在B的復(fù)合函數(shù)，其中t叫做中間變量，t=g(x)叫做內(nèi)層函數(shù)，y=f(t)叫做外層函數(shù).

溫馨提示：

1.內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域或定義域的子集.

2.函數(shù)f(g(x))的定義域是指x的取值范圍，而不是g(x)的取值范圍.

七、分段函數(shù)

在函數(shù)y=f(x)的定義域中，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常稱為分段

函數(shù)

八、函數(shù)的單調(diào)性

1.增函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)長如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量Xi,xz,當(dāng)Xi<x2時，都

有f(xi)<f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).

2.減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量X1，xz,當(dāng)xi<x2時，

都有f(xi)>f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).

小結(jié):對任意的X],X2GD,且Xi#X2有:

(2)若X1<X2,都有f區(qū))-f區(qū),'oof(x)在。上是增函數(shù)；

X|一X2

若X]Vx,,都有f(xj-f(xQ>0of(X)在。上是嚴(yán)格增函數(shù)；

X「X2

若X]<X2,都有f6)—f(x.woof(X)在。上是減函數(shù)；

X「X2

若X|Vx,,都有f區(qū))-f(士00f(x)在。上是嚴(yán)格減函數(shù)；

Xi

(2)(Xi-x2)[f(Xi)-f(x2)]20=f(x)在D上是增函數(shù)；

(X1-x2)[f(X!)-f(x2)]4OT(X)在D上是減函數(shù)

九、單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，

區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

溫馨提示：

1.函數(shù)的單調(diào)性是針對定義城內(nèi)某段區(qū)間而言的.

2.函數(shù)單調(diào)性定義中的七,xg有三個特征：①任意性；②有大小；③同屬一個單調(diào)區(qū)間，三者缺一不可.

3.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求其定義域.

十、單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

1.函數(shù)f(x)與f(x)+c(c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.

2.當(dāng)a>0時,f(x)與a-f(x)的單調(diào)性相同,當(dāng)a<0時,f(x)與a-f(x)的單調(diào)性相反.

3.當(dāng)f(x)恒為正值或恒為負(fù)值時，f(x)與J式的單調(diào)性相反.

f(x)

4.當(dāng)f(x),g(x)同為增(減)函數(shù)時,f(x)+g(x)是增(減)函數(shù).

5.當(dāng)f(x),g(x)同為增(減)函數(shù)時，若兩者都恒大于零，則f(x>g(x)也是增(減)函數(shù)；若兩者都小于零，則f(x)g(x)

是減(增涵數(shù).

十一、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)),在其定義域內(nèi)單調(diào)性滿足：

f(x)g(x)f(g(x)

增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)

增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)

減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)

減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)

溫馨提示:復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性符合“同增異減”的法則.

十二、函數(shù)的最值

1.函數(shù)的最大值

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)長如果存在實(shí)數(shù)M滿足：⑴任意的XEI,都有f(x)WM;⑵存在Xoei,

使得f(Xo)=M.那么,我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值，

3.函數(shù)的最小值

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)長如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)任意的xGI,都有f(x)NM;⑵存在X。61,使

得f(xo)=M.那么,我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值

十三、函數(shù)的奇偶性

I、奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義

L奇函數(shù)

一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個X,都有f(-x)=-f(x)那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).

2.偶函數(shù)

一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個X,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).

溫馨提示：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱,

則此類函數(shù)為非奇非偶函數(shù).

II、奇、偶函數(shù)的性質(zhì)

1.具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.

2.奇函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形；偶函數(shù)的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形.

3.若一個奇函數(shù)在x=0處有意義,則f(0)=0.

4.若一個函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則有f(x)=O.

5.四則運(yùn)算及復(fù)合函數(shù)的奇偶性

f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)-g(x)f(g(x)

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

十四、函數(shù)y=f(x)的圖象的對稱性

1.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱中a+x)=f(a-x)<<(2a-x)=f(x).

a_|-b

2.若函數(shù)y=f(x)(xGR),f(x+a)=f(b-x)恒成立，則y=f(x)的圖象的對稱軸是直線x=^-

a-Hb

3.畫數(shù)=yf(a)的圖象關(guān)于直線x=下一對稱uf(a+mx)=f(b-mx)uf(a+b-mx)=f(mx).

4.若f(x)=-f(-x+a),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(l，。)對稱.

十五、兩個函數(shù)圖象的對稱性

1.函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于直線x=0(即y軸)對稱.

2.函數(shù)y=f(x+a)與y=f(b-x)的圖象關(guān)于直線X二三一對稱.

3.函數(shù)y=f(mx-a)與函數(shù)y=f(b-mx)的圖象關(guān)于直線*=——對稱.

2m

十六、函數(shù)的周期性

I、周期函數(shù)及最小正周期

1.周期函數(shù)

對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,當(dāng)X取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)

為周期函數(shù)，T為這個函數(shù)的周期.

2.最小正周期

如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.

II、函數(shù)周期性的重要結(jié)論

1.若f(x+a)=f(x+b)(a?b),則T=|a-b|.

2.若f(x+a)=-f(x),則T=2|a|.

3.若f(x+a)=±—^-―,JJIJT=2|a|.

f(x)

4.若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a對稱，貝h=2|a|.5.若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x二a對

稱，貝[]T=4|al.6.若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a與x=b對稱，貝!]T=2|b-a|.

7.右函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱,又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對稱，貝！]T=2|b-a|.

8.若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x二a對稱，又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對稱，則T=4|b-a|.

02跟蹤訓(xùn)練

一、單選題

i.下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是()

A.〃x)=gg(x)=(V7)-

B.〃x)=lg(x-l)與g(x)=lg|x-l|

C.〃x)=x。與g(x)=l

D./(x)=x+l與g⑺=t+l

【答案】D

【分析】根據(jù)相等函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系相同依次討論各選項(xiàng)即可得答案.

【解析】對于A選項(xiàng)，〃力=了定義域?yàn)镽,g(x)=(?y的定義域?yàn)椋〗?，故不滿足條件；

對于B選項(xiàng)，/(力=3(-1)定義域?yàn)?1,+?)),g(x)=lg|x-l|的定義域?yàn)椋?#1｝,,故不滿足條件;

對于C選項(xiàng)，g(x)=l定義域?yàn)镽,〃司=工°的定義域?yàn)椋葇中0｝,故不滿足條件；

對于D選項(xiàng)，〃x)=x+l(xeR)與g(f)=r+l(/eR)定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，故滿足條件.

故選：D.

2.函數(shù)y=的定義域是()

A.[2,+00)B.(2,+co)C.(F,2)D.(-<?,2]

【答案】A

【分析】直接根據(jù)被開方數(shù)不小于零列不等式求解.

【解析】與有意義，X-2>O,即X22,

所以函數(shù)y=的定義域是[2,心)，

故選:A.

3.函數(shù)y=的定義域是()

A.(-oo,l]B.(-l,0)U(0,l)C.[-1,0)(0,1]D.(0,1]

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意得到不等式組，解出即可.

【解析】由題得11一二"°,解得xe[-L,O）（0,1],

xw0

故選：C.

4.若函數(shù)/（2x-l）的定義域?yàn)閇-1』，則函數(shù)卜T）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

VX-1

A.（-1,2]B.[0,2]C.[-1,2]D.（1,2]

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)有意義并結(jié)合抽象函數(shù)的定義域求解作答.

【解析】由函數(shù)〃2x—1）的定義域?yàn)閇7,1],即得-3W2X-1W1,

/■（尤一1）

因此由函數(shù)。=,有意義,得?八，解得

J尤-1[無一1>0

所以函數(shù)y=的定義域?yàn)椋?,2].

y/x-l

故選：D

5.已知函數(shù)y=〃x+l）的定義域?yàn)閇1,2],則函數(shù)y=〃2x-l）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

-11「31

A.—,1B.C.[―1,1]D.[3,5]

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【解析】???函數(shù)y=〃x+l）的定義域?yàn)閇1,2],即1WXW2,可得2WX+1W3,

???函數(shù)）=〃力的定義域?yàn)閇2,3],

3

42<2x-l<3,解得一VxV2,

2

-3-

故函數(shù)y=/（2x-i）的定義域?yàn)?,2.

故選：B.

6.若函數(shù)〃2x-l）的定義域?yàn)閇-3』，則y="：-4x）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

VX-1

A-律B.[1,|]C.[|，|]D,

【答案】D

【分析】根據(jù)題意先求得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-7』，然后結(jié)合抽象函數(shù)定義域與衣斤求解即可；

f（3-4,r）|-7<3-4尤<1,5

【解析】由題意可知一34x41,所以一7V2X—1V1,要使函數(shù)y=有意義，貝葉1n解得

Vx-1[尤-1>0,2

故選：D

7.已知〃x)=士，則/(〃X))的定義域?yàn)?)

A.{x\x^-2}B.{x|x^-1}C.且xw-2}D.{x|x#O且x.-l}

【答案】C

【分析】利用分母不為0及復(fù)合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)不等于0求解具體函數(shù)定義域

【解析】因?yàn)椤ɑ?」二，所以尤工-1,又因?yàn)樵?(/(X))中，〃X)N-1,所以々ht,所以“一2,

x+1X+1

所以/(/(%))的定義域?yàn)閧尤I尤/一1且x?-2).

故選：C

8.已知函數(shù)〃月=后；，則函數(shù)g(x)=/(lr)的定義域?yàn)?)

A.(-2,1]B.[—2,1)

C.(-1,2]D.[-1,2)

【答案】D

【分析】先求得的定義域，進(jìn)而求得g(x)的定義域.

【解析】由七f2。，解得-l<x42,所以的定義域?yàn)?-1,2].

令—1<1—x<2,貝|-lWx<2,所以g(x)的定義域?yàn)?/p>

故選：D

9.已知函數(shù)/'(%-1)=尤2—2X,且/'.)=3,則實(shí)數(shù)。的值等于()

A.72B.±0C.2D.±2

【答案】D

【分析】利用抽象函數(shù)定義域求法求解即可；

【角簞析】令無一l=a,%2-2x=3,解得犬=一1或x=3由止匕角牟得a=±2,

故選：D

10.己知對于任意x,yeR,都有/(x+y)=/(x)-〃y),且/&)=2,則〃4)=()

A.4B.8C.64D.256

【答案】D

【分析】由題意有了(2力=/(可，得"4)=/]￡[,求值即可.

【解析】由〃x+y)=/(x)力y),當(dāng)y=x時,有/(2耳=尸(力,

由/=2,則有"4)=f(2)=/⑴=fW=28=256.

故選：D

11.已知函數(shù)〃x）=E^，則對任意實(shí)數(shù)X，函數(shù)/（X）的值域是（

)

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2)D.[0,2]

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)求出函數(shù)值域得解.

【解析】依題意，〃X)=2(2X』)2=2一2

''2X2+12X2+1

2?

顯然2/+121,則0〈二「42,于是。42—^^<2,

2X2+12X2+1

所以函數(shù)的值域是[0,2）.

故選：C

12.函數(shù)/（尤）=&+-尤-gJx（4-x）的最大值為（）

21

A.4B.2D.

To

【答案】C

【分析】令t=W+14-x（，＞0），通過/求出，的范圍，則/（%）=0=-g產(chǎn)+r+：配方后即可求得最大值.

【解析】由解析式易知/（%）的定義域?yàn)閇0,4],

令/=y[x+A/4—x(，>0)，

所以廠=4+2dx(4-x),貝5|Jx(4-x)=萬廠—2

由y=Jx(4_x),0<x?4可知,

0<y<2,所以4W?W8,則2W/V2a,

2/112a124

所以f(x)=g(/)="——t-2=——t+Z+—

5255

則/'(x)=g(/)=-g5

212020

所以〃尤/\）的最大值為④41.

故選：C.

13.若函數(shù)交小1的值域是（一。）口卜沙則此函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

)

x-1

A.(-oo,3]B.(-co,l)J(1,3)C.(-oo,l)U[3,+oo)D.

【答案】D

【分析】分類討論解不等式即可.

【解析】由函數(shù)y=1的值域是（一%0）口J+s],

Xx-—112）

所以當(dāng)ye(-00,0)時，y=—!—<0n尤<1,

x-1

g,+001寸,2-(1)3-x

當(dāng)ye>0

x-12x-122(1)2(1)

即忙"，一I"'解得Id,

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?f,l)u(l,3],

故選：D

14.已知二次函數(shù)〃尤)滿足〃2)==/(X),且〃x)的最大值是8,則此二次函數(shù)的解析式為/(無)=()

A.-4%2+4x+7B.4x2+4x+7

C.-4X2-4X+7D.-4/+4X-7

【答案】A

【分析】根據(jù)條件設(shè)二次函數(shù)為了(無)=。+左(awO),代入條件求解即可.

【解析】根據(jù)題意，由/(1-%)=，。)得:/(勸圖象的對稱軸為直線工=1,

2

設(shè)二次函數(shù)為/(x)=+左("0),

因/(X)的最大值是8,所以〃<0,當(dāng)X=g時，/&]=左=8,

即二次函數(shù)/(x)=+8(awO),

由/(2)=-1得：42)=<2-+8=-1,解得：a=Y,

貝ij二次函數(shù)/(x)=-4]尤一<)+8=—4/+4無+7,

故選：A.

15.函數(shù)/(x)=ln(2x2-3x+l)的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.雙:B.卜C.(j+sjD.(1,+℃)

【答案】B

【分析】先求出函數(shù)/⑺的定義域，再求出函數(shù)"=2f-3x+l在所求定義域上的單調(diào)區(qū)間并結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

即可作答.

【解析】在函數(shù)/(x)=ln(2x2-3x+l)中，由2/一3彳+1>0得或x>l,則/⑴的定義域?yàn)?-8,；)一(1,+℃),

函數(shù)"=2犬-3》+1在（-s,g）上單調(diào)遞減，在（1,+?）上單調(diào)遞增，又y=ln“在ae（O,+w）上單調(diào)遞增，

于是得了（%）在上單調(diào)遞減，在CLy）上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)Ax）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-8,g）.

故選：B

16.設(shè)oeR,則“4>-2"是"函數(shù)/（力=2f+401；+1在（2,+8）上單調(diào)遞增”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，由二次函數(shù)的對稱軸和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及充分性與必要性的應(yīng)用，即可得到結(jié)果.

【解析】函數(shù)/（x）=2x2+4