重慶市2025屆高三年級(jí)上冊(cè)9月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題+答案

重慶市2025屆高三9月考試

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.

1.已知集合A={-4,-3,-2,0,2,3,4},8=舊2尤?-9Wo},則集合AcB的真子集的個(gè)數(shù)為（）

A.7B.8C,31D.32

7

2.若復(fù)數(shù)z滿足幣=一一,則2=（)

A.2+21B.-2-2iC.-2iD.2i

3.已知且〃b=2,貝1]（。+1）（匕+2）的最小值為（）

A.4B.6c.2V2D.8

4.已知向量扇B的夾角為與，且同=5,歸=4,

則商在B方向上的投影向量為（）

3一5一5一7

A.—bB.--bC.-bD.--br

8888

3=得，貝!jcos￡=(

5.已知a,萬￡(0,兀)，且cosa=w，sin(a—0)

56163363

A.—B.——C.——D.——

65656565

x2+2ax-7,-l<x<2

6.命題p:f(x)=<在xe（-2,2]上為減函數(shù)，命題q：g（x）=竺斗在

(〃+4)In(x+2)-ci—1,-2<x<-1X-1

（1,+co）為增函數(shù)，則命題P是命題4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

7.某校高三數(shù)學(xué)老師共有20人，他們的年齡分布如下表所示，下列說法正確的是（）

年齡[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50)[50,55]

人數(shù)126542

A.這20人年齡的80%分位數(shù)的估計(jì)值是46.5

B.這20人年齡的中位數(shù)的估計(jì)值是41

C.這20人年齡的極差的估計(jì)值是55

D.這20人年齡的眾數(shù)的估計(jì)值是35

8.已知函數(shù)〃無）=lnx-（a+l）x+l,g（尤）=a（Y+l）.當(dāng)尤21時(shí)，2〃x）+g（x）N0恒成立，則。的取值范

圍為（）

A.（0,1）B.（1,+?>）C.（0,1]D.[1,+動(dòng)

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.

9.某學(xué)校有甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)，人數(shù)分別為14、21、14,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行

某項(xiàng)興趣調(diào)查.已知抽出的7人中有5人對(duì)此感興趣，有2人不感興趣，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做

進(jìn)一步的深入訪談，用X表示抽取的3人中感興趣的學(xué)生人數(shù)，則（）

A.從甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)抽取的人數(shù)分別為2人、3人、2人

B.隨機(jī)變量X?

C.隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為/

D.若事件4="抽取的3人都感興趣”，則尸（A）=,

10.在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國(guó)隊(duì)以69.800分的成績(jī)奪得金牌，這是中國(guó)

藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會(huì)上獲得的第一枚金牌.藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它

可看作由拋物線C：/=2px（p>0）繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°、180°270°后

所得三條曲線與C圍成的（如圖陰影區(qū)域），A8為C與其中兩條曲線的交點(diǎn),

若P=l,則（）

A.開口向上的拋物線的方程為>=；/

B.\AB\=4

3

C.直線=f截第一象限花瓣的弦長(zhǎng)最大值為】

4

D.陰影區(qū)域的面積大于4

11.已知直線力是44之間的一定點(diǎn)并且點(diǎn)力到44的距離分別為1，2,6是直線4上一動(dòng)點(diǎn)，作

ACVAB,且使力。與直線&交于點(diǎn)GAG=1（AB+AC）,貝（）

A.△ABC面積的最小值為2

B.點(diǎn)G到直線4的距離為定值

C.當(dāng)|9|=仗@時(shí)，△GAB的外接圓半徑為手

D.演?反;的最大值為-2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.一個(gè)詞典里包含10個(gè)不同的單詞，其中有4個(gè)以字母“A”開頭，其余以其他字母開頭.從中選擇5個(gè)

單詞組成一個(gè)新的子集，其中至少包含兩個(gè)“A”開頭，一共有個(gè)這樣的子集.（要求用數(shù)字

作答）

13.在（3-x）"的展開式中，若彳2的系數(shù)為?！埃ㄗ?）,則支+￡+…+"=.

〃2%

1

,、---F1Ll,若函數(shù)g（x）=/（〃x）-同-2,當(dāng)g（x）恰有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求機(jī)的

14.已知函數(shù)〃x）=2'

2x2+4x+2（x<0）

取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)如圖，三棱錐P-ABC中，M同=忸。|=3五，|/訓(xùn)=|PB|=|PC|=|AC|=6,。是AC的中點(diǎn).

(1)求△POB繞尸。旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；

(2)點(diǎn)M在棱BC上，且忸閭=:忸1,求直線尸C與平面PAM所

成角的大小.

16.(15分)已知"BC的內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊分別是a,6,c,q三=?吧二羋.

a+bsinC

(1)求角B；

(2)若△ABC外接圓的面積為12兀，且AABC為銳角三角形，求AABC周長(zhǎng)的取值范圍.

17.(15分)夏日天氣炎熱，學(xué)校為高三備考的同學(xué)準(zhǔn)備了綠豆湯和銀耳羹兩種涼飲，某同學(xué)每天都會(huì)在

2

兩種涼飲中選擇一種，已知該同學(xué)第1天選擇綠豆湯的概率是若在前一天選擇綠豆湯的條件下,

后一天繼續(xù)選擇綠豆湯的概率為:，而在前一天選擇銀耳羹的條件下，后一天繼續(xù)選擇銀耳羹的概率

為(，如此往復(fù).(提示：設(shè)4表示第〃天選擇綠豆湯)

(1)求該同學(xué)第一天和第二天都選擇綠豆湯的概率

(2)求該同學(xué)第2天選擇綠豆湯的概率；

(3)記該同學(xué)第〃天選擇綠豆湯的概率為勺，求出勺的通項(xiàng)公式.

18.(17分)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為3,滿足2s“=3/+5〃，數(shù)列加,｝是等比數(shù)列，公比

q>。也=6力3=2a3+4.

(1)求數(shù)列｛4｝和他,｝的通項(xiàng)公式；

12“<幾<

/ck，其中左eN*.

)4,w=2

①求數(shù)列｛c“｝的前2024項(xiàng)和；

②求象2烏,(〃eN)

1=1

19.（17分）已知雙曲線E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為卜6,0）,漸近線方程為y=土*x.

（1）求￡的方程；

⑵若互相垂直的兩條直線//均過點(diǎn)尸（?！啊＃?〉血，且〃eN*）,直線《交E于AB兩點(diǎn)，4交E

于C,￡>兩點(diǎn)，M,N分別為弦AS和C。的中點(diǎn)，直線交x軸于點(diǎn)。&⑼（"N*）,設(shè)p“=2".

①求小

2n

②記％=|尸。|,勿=2l（〃eN*）,求￡出+「（一1）廄%*.

k=T

名校方案重慶市2025屆高三9月考試

數(shù)學(xué)答案

題號(hào)1234567891011

答案ACDBAABDACDABDABD

1.A【試題解析】2=同2尤2-9v0}=>亨，亨，Afi8={-2,0,2},三個(gè)元素，真子集個(gè)數(shù)為23-1=7.

7

2.C【試題解析】因?yàn)閹?-1,所以+

3.D【試題解析]且〃b=2,貝!J（Q+l）S+2）=〃8+2〃+b+2=4+2〃+b24+2V^^=8,當(dāng)且僅當(dāng)

2a=b,即。=1,%=2時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)。=1,6=2時(shí)，（。+1）（6+2）的最小值為8.

―-同區(qū)cos臼-5x4x---

4.B【試題解析】一/_Lxa_____92x2一汴，故苕在B方向上的投影向量為s

\b\\b\~\b\可-44-808

■1>0,貝貝兀（Jsina貝［一兀,兀

5.A【試題解析】由。，5?0,兀）,cosa=

22

由sin（a-7?）=尚cos（?-^）=^|

3124556

cos[3=cos[a—（0一6）]=cosacos（a-尸）+sinasin（a-尸）=—x----1——x——=—

51351365

-->2

2

6.A【試題解析】要在xe（-2,2］上單調(diào)遞減，貝。，6Z+4<0,解得-5?〃<—4,

-a-l>l-2a-7

/8（尤）二藝/"1）+4+°=”+￡±￡在（1,+8）為增函數(shù),貝U4+a<0,解得°<一4,因?yàn)橐?4a<—4

x~lx~lx—1

是a<-4的真子集，故命題P是命題4的充分不必要條件.

7.B【試題解析】因?yàn)椋?20x80%=16,故80%分位數(shù)落在區(qū)間［45,50）,設(shè)其估計(jì)值為m,則

+京+《+焉〕+］(冽—45)=68，解得加=46，A錯(cuò)；因?yàn)椋?20x50%=10,所以中位數(shù)(50%分位

\乙U4VJ/V/4UJ/U

數(shù))落在區(qū)間［40,45),設(shè)其估計(jì)值為〃，則［1+總+曰+4("-40)=0.5,解得H,B正確；有表

格中數(shù)據(jù)可知極差不超過55-25=30,C錯(cuò);因?yàn)楸绢}無法確定年齡的具體數(shù)值，故無法判斷眾數(shù)的值.

8.D【試題解析】=2/(x)+g(x)=21nx-2(a+l)x+ax2+a+2(x>l),貝|

〃⑺=Z_2(a+l)+2辦/(I)(辦T).若/0,貝也(司<0在［1,+動(dòng)上恒成立，則〃(x)在［1,+⑹上單

/1(%)</!(1)=0,不符合題意.若“21,則/?x)20在［1,+8)上恒成立，則〃(x)在［1,+⑹上單調(diào)遞增，即

h(x)>h(l)=0,符合題意.

9.ACD【試題解析】設(shè)甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)分別需抽取x?，z人，則言====：，“，所以x=2,

y=3,Z=2,所以從甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)抽取的人數(shù)分別為2人、3人、2人，A正確；隨機(jī)變量X的取

C(21C2cl4r3c02

值有1,2,3,尸(X=l)=-^=］,P(X=2)=-^=-,P(X=3)=-^=-,所以隨機(jī)變量X的

分布列為：

123

142

777

所以B錯(cuò)誤；

14?15?

由期望公式可得隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望片(XhlX'+ZX'+BxiM7,C正確；因?yàn)槭?A)=P(X=3)=］,

所以D正確.

10.ABD【試題解析】由題，開口向右的拋物線方程為C:丁=2尤，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為K(g,0),將其逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到的拋物線開口向上，焦點(diǎn)為心(0,；),則其方程為尤2=2丫，即y=故A正確；

2_2X

“可解得，x=0或x=2,即%=2,代入可得以=2,

{x=2y

由圖象對(duì)稱性，可得4(2,2),3(2,-2),故恒同=4,即B正確；

對(duì)于C,定如圖，設(shè)直線x+y=t與第一象限花瓣分別交于點(diǎn)M,N,

y=-x+t

y=-x+txM=/+1-y]2t+1由，fy…=-x+1解x得N=J2/+1g—1

由…解得

yM=J2/+1-1

即得M(r+1-J2r+1,V2/+1-1),N(j2r+1-l,z+l-J21+1),

則弦長(zhǎng)為：IMN|=j2(f+2-2j2f+l)2=V2|f+2-2j2r+l|，

由圖知，直線x+y=f經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)f取最大值4,經(jīng)過點(diǎn)。時(shí)力取最小值0,

即在第一象限部分滿足0<rV4,不妨設(shè)"=歷1，貝也<"43,且/=也二L,

2

代入得，|MN|=V^|^^+2-2a|=也|(a-2)2-l|,(1<M<3)

22

由此函數(shù)的圖象知，當(dāng)M=2時(shí)，取得最大值為交，即C錯(cuò)誤；

2

對(duì)于D,根據(jù)對(duì)稱性，每個(gè)象限的花瓣形狀大小相同，故可以先求。部分面積的近似值.

O

如圖，在拋物線丫=3^,520)上取一點(diǎn)p,使過點(diǎn)P的切線與直線。4平行,

由y'=x=l可得切點(diǎn)坐標(biāo)為尸(1二)，因心：無7=0,則點(diǎn)p到直線。4的距離為2_V2,

2正一彳

于是加工匠方乂旦」,由圖知，半個(gè)花瓣的面積必大于:，

MPA2422

故原圖中的陰影部分面積必大于8X；=4,故D正確.

11.ABD【試題解析】對(duì)于A,過A作44的垂線，分別交44于點(diǎn)E],則AE=1,AP=2,設(shè)/E4c=夕,

AF2

則在RtZSACF中,AC=

cos3cos6

AE1

因?yàn)锳C_LA5,所以在RtZXABE中，/ABE=6,所以A5=

sin0sin6

11212

所以S口.c——AB,AC——x-------x--------

22cos。sin。sin20

因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)e=:時(shí)，sin28=l取到最大值,

所以AABC面積的最小值為2,所以A正確,

對(duì)于B,如圖，以A為原點(diǎn)，EF所在的直線為1軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

11711___?—?1

則FC=2tan0,BE=——，所以。(2tan仇一2),B(——,1),。w0,一,所以AC=(2tan仇—2),AB=(——,1),

tan。tan。2)tan3

所以衣=」(而+衣)=」(2tan6*+^—,_l)=(2tan(9+^—「3,所以G(2tan0+-^—廠3,

33tan。33tan6>333tan6>3

4

所以點(diǎn)G到直線的距離為是定值，所以B正確，

對(duì)于因?yàn)椤?一向+/),

C,C(2tan2)tan6+---

3tan03

—?224—?415

所以GB=(------------tan0一),GC=(—tan6-----------,——),

3tan。3333tan<93

因?yàn)閨9|=|歷I，所以一:tanO)2+￥=(《tanO-T^)2+3,

11113tan6^3933tan89

4.1?.161,.八1j25

所以HI一(------tanff)2H二一(4tan0---------)H------,

9tan<999tan<99

所以4(」--tan6>)23=(4tanQ一——)2+9,

tan0tan6

所以4(——-2+tan26>)=16tan26>-8+^—+9

tan0tan0

41

—-----8+4tan90—16tan9。-8H--------F9,

tan26tan26

所以—團(tuán)備+3=。，解得t^。J或t/O=-1(舍去),

所以tan?=；,所以C(1,-2),B(2,1),,

，3

因?yàn)槎?<0,兀］,所以

5

GB3_5百

所以由正弦定理得2'=

sinZBAGJ23

2

所以“還，即AGAB的外接圓半徑為迪，所以C錯(cuò)誤,

66

—?224—-41

對(duì)于D,因?yàn)镚5=(------------tan。,一),GC=(—tanO-----------,

3tan<93333tan6>

—?—?22。-—-祖

所以MGC=(菰獷”tanL-)

3tan<99

號(hào).+"型7，丁+?tan2O)_W<_2282cl08A，

-------------tarr0

99tan2(99999tan*99-9tan2619-----------99

oQ1

當(dāng)且僅當(dāng)即tan?。時(shí)取等號(hào)，

9tan~092

所以演?文的最大值為-2,所以D正確，

12.186【試題解析】從含有4個(gè)以字母“A”開頭的10個(gè)不同的單詞選擇5個(gè)單詞，其中至少包含兩個(gè)

“A”開頭的選法可分為4類，

第一類：所選5個(gè)單詞中，有且只有兩個(gè)“A”開頭的單詞，符合要求選法有C：C：；

第二類：所選5個(gè)單詞中，有且只有三個(gè)“A”開頭的單詞，符合要求選法有C：C；；

第三類：所選5個(gè)單詞中，有且只有四個(gè)“A”開頭的單詞，符合要求選法有C：C)；

由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，符合要求的子集共有C；C：+C：C；+C：C：=186個(gè).

13.IN"」)【試題解析】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式可得第&|=C：3"T(T)'=C；3i(-l)b"

n

令廠=2,可得犬的系數(shù)為C；3-2(一I)?,所以為=^3"-2=若2.3"-2,

3"_23_18_J8__18

n-2

ann(n-1)-3n{n-1)n-1n

32333〃1818181818181818(n-l)

則jj???+——=--------+--------+???+--------=118O----=-----

14.(1,3]U{4}

令g(x)=/(/(%)-時(shí)一2=0,即/(/⑴—時(shí)=2,

由圖可知，/(%)-加=一2或/(%)-機(jī)=。，則/(x)=加-2或/⑶=祇，

當(dāng)〃x)<0,函數(shù)無解；

當(dāng)〃x)=0或〃尤)>2,函數(shù)只有一個(gè)解;

當(dāng)。</(x)Wl或/。)=2,函數(shù)有兩個(gè)解;

當(dāng)l</(x)<2,函數(shù)有三個(gè)解;

m-2<0m-2=0、m-2=0

當(dāng)g(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)時(shí),1<加<2或0<i或

m=2

[fOm<>m2-2<1或fO<m-或2<11<m-2<2

或

m<0

fm-2=2(m-2=2(m-2>2fm-2>2

[m=0或耳>2或1ocwWl或1m=2解得mw(1,3]U{4}.

15.(1)(6分)如圖：因?yàn)椤魇琌B繞尸。旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為以為底面圓半徑的圓錐，

由\AB\=\BC\=3V2,\PA\=\PB\=\PC\=|AC|=6,所以|AB「+|BC『=|AC|2,所以NABC=%,所以|。同=3,

又因?yàn)閨PA|=|PC|=|AC|=6,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，所以P01AC,且1Poi=后二第=3百,

所以|尸?！?|02『=|尸城，所以尸且ACnOB=。，

所以尸。，平面ABC,所以XPOB繞PO旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

為以|0同=3為底面圓半徑,以|PO|=3G為高的圓錐，所以丫=；皿32.36=9百幾

（2）（7分）如圖:可知：P。，平面ABC,又14可=\BC\=3V2,|PA|=\PB\=\PC\=\AC\=6,

所以|AB『+忸c「=|AC「，所以NABC=],△ABC為等腰直角三角形，

又由點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，所以。B_LAC,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)3,OC,OP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角

坐標(biāo)系。一乎，由忸閭=，BC|,P（0,0,3A/3）,C（0,3,0）,A（0,-3,0）,川（2,1,0）,

所以定=（0,3,-36），又有Q=（0,3,36）,瘋=（2,4,0）,

,、n-AP^O3y+3j§z=0.r1-

設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為n二(x,y,z),則｛___.即＜'令y=■,則x=-2j^,z=-l

n-AM=02x+4y=0

所以為=卜26,若,-1）,設(shè)直線PC與平面PA"所成角為仇0,曰，

mr、i-nPCn66G

所以sin6=.——,，=-~~-=——,所以8=arcsin——.

|PC|-|n|6x444

“x”八、a-csinA-sinB^,a-ca-b

16.(1)(6分)因m為一-=一七一,所以由正弦定rr理aZF得一-=——,

a+bsinCa+bc

〃2?2_*1

化簡(jiǎn)可得a2+c2-b2=ac,由余弦定理得cosB==

2ac2

7T

因?yàn)?為三角形內(nèi)角，Be（o,n）,所以B=§.

（2）（9分）因?yàn)椤鰽BC的外接圓面積為12%，故其外接圓半徑為26,

因?yàn)?=]，所以由正弦定理可得三=二°,「

sinAsinBsinC

故Q=4V3sinA,b=4V3sinB=6,c=4V3sinC=4Gsin

A--

所以a+Z?+c=6+4^/3=6+4^3—sinAd——-cosAj=6+12cosf

(22JI3.

-2兀'兀

C=------A<—

32

因?yàn)?c為銳角三角形，則<

.7T

0<A<—

2

^>6+12cosA-|-e(6+6>/3,18]

即"BC的周長(zhǎng)的取值范圍為(6+66,18］.

212

17.(1)(2分)該同學(xué)第一天和第二天都選擇綠豆湯的概率為§><§=§；

(2)(5分)設(shè)4表示第1天選擇綠豆湯，&表示第2天選擇綠豆湯，則］表示第1天選擇銀耳羹，

根據(jù)題意得，尸(4)=|,尸(A)=g尸(414)=:，尸(4閭=1-：=:,

所以尸(4)=尸⑷尸(414)+尸閭尸(4l4)=H+；x；q.

JJJ乙_LO

(3)(8分)設(shè)4表示第〃天選擇綠豆湯，則月=尸(六),尸(4)=1-尺，

根據(jù)題意得，尸(4+/4)4,網(wǎng)心|%)=1-；=；,

由全概率公式得，2(%)=2(4)網(wǎng)電14)+「伍加4+"工)=，+：(1-月)=-卜+；,

113“3、35

即月討=一7匕+1，整理得，匕+1一弓=一公匕一不，又片_亍二五"0，

o2/ovI)721

所以［匕-：］是以三為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列.所以匕一=3(一3"、所以e=3(一!嚴(yán)+"

［7J21672162167

18.(1)(5分)當(dāng)〃=1時(shí)，2sl=2%=8n%=4,

2S=3n2+5n

當(dāng)〃22時(shí)，/、2/、，所以=Si=3〃+1,顯然4符合上式，所以為=3〃+1,

[2S〃T=35-1)+5(~1)

由題意&=2(3、3+1)+4=24=4，=4=2,所以“二乙/一1=3-2〃.

(2)①(6分)易矢口21°=1024,2"=2048>2024,

即數(shù)歹U｛c〃｝的前2024項(xiàng)中有10項(xiàng)分別為。2=伉，。4="2,…，。512二4,。1024二40，其余項(xiàng)均為1，

故數(shù)列｛%｝的前2024項(xiàng)和G.=2024一10+々+仇+…+如=2014+，*心：)=8152；

②(6分)由(1)知旬=32+1