海南省?？谑心持袑W(xué)2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

海南省?？谑泻？谥袑W(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知全集。={1,2,3,4,5},集合/={1,2,4},3={2,3,4,5},,則用(/口5)=()

A.{2,4}B.{1,2,4}C.{3,5}D.{1,3,5}

2.下列各組中的兩個(gè)函數(shù)為相同函數(shù)的是()

A.y=lgx?與y=21gxB.y=x(x—2)與y=Q_l)2_]

C.y=x與丫=后D.了=3工與,=/

3.已知為單位向量，且"，日+2河，則向量Z與刃的夾角為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.在今年高考數(shù)學(xué)II卷的閱卷工作中，某質(zhì)檢老師隨機(jī)抽取了10份試卷，對(duì)概率統(tǒng)計(jì)解答

題第18題的閱卷評(píng)分進(jìn)行了復(fù)查，得分記錄分別為13,17,11,9,12,15,10,8,10,

7,則這組樣本數(shù)據(jù)的()

A.極差為11分B.眾數(shù)為10.5分

C.平均數(shù)為11分D.中位數(shù)為10.5分

5.在V/BC中，已知N8=5,AC=3,A=120°,貝ijsin8=()

6.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/(x+3)=-〃x),若〃-1)=2,則/(100)=()

A.-1B.1C.-2D.2

7.已知球。的表面積為16兀，邊長(zhǎng)為3的等邊V/2C的三個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，則三

棱錐。-48C的體積等于()

A3A/3n973r373nG

4424

8.已知。>0,關(guān)于％的不等式/+樂(lè)-4<0的解集是卜2%2],則3+6的最小值為()

<a)a

A.2B.272C.4D.472

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

二、多選題

9.下列說(shuō)法正確的是（）

A.在回歸模型的殘差分析中，決定系數(shù)火2越接近1,說(shuō)明回歸模型的擬合效果越好

B.若甲、乙兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為0.92,-0.98,則甲比乙的線性相關(guān)性

強(qiáng)

C.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=0.25x+1.5中，相對(duì)于樣本點(diǎn)（2,1.2）的殘差為-0.8

D.在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，當(dāng)/N%（x“為。的臨界值）時(shí)，推斷用不成立犯錯(cuò)誤的概率

不會(huì)超過(guò)a

10.已知圓的:（%+2）2+必=4的圓心為￡,拋物線C2：r=8x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,動(dòng)

點(diǎn)尸滿足|PE|+|PF|=6,則（）

A.曲線G與G有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)B.點(diǎn)尸的軌跡為橢圓

C.|尸盟的最大值為5D.當(dāng)點(diǎn)尸在/上時(shí)，\PE\=2

11.已知函數(shù)〃x）=竺士貝U（）

A./（x）的定義域?yàn)椋鹸eR|xH-2｝B./（x）的值域?yàn)镽

C.當(dāng)Q<1時(shí)，[（X）在（-2,+8）上單調(diào)遞減D.當(dāng)a=0時(shí)，/（x-2）為奇函數(shù)

12.已知等差數(shù)列｛0“｝的首項(xiàng)4=4,前〃項(xiàng)和為S“，若工=2%，則公差"=.

13.某城區(qū)交通要道有積雪堵塞，現(xiàn)場(chǎng)有9名男志愿者和5名女志愿者，交警擬安排其中3

名女志愿者和2名男志愿者參與掃雪工作.其余志愿者參與鏟雪工作，則不同的安排方法共

有種.（用數(shù)字作答）

14.已知函數(shù)=g（無(wú)）=..若左=-1,貝U/[g⑵]=；

若函數(shù)y=/（x）的圖象與y=g（無(wú)）的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，則上的取值范圍

是.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

四、解答題

15.已知函數(shù)［(x)=asinx-xcosx.

⑴當(dāng)i=1時(shí),求f(x)在區(qū)間(0,2K)上的極大值；

⑵若/'(X)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

16.如圖1,在邊長(zhǎng)為2的正方形4BC。中，P為CD的中點(diǎn)，分別將△尸2。，APBC沿尸/,

尸3所在直線折疊，使C、。兩點(diǎn)重合于點(diǎn)O,如圖2.在三棱錐尸-NOB中，￡為尸8的中點(diǎn).

圖1圖2

(1)證明：POVAB-,

(2)求直線BP與平面AOE所成角的正弦值.

17.已知雙曲線C:丫2二-V2谷=l(a>。b>0)的_離心率3為:，且C的右焦點(diǎn)尸到漸近線的距離

為V?.

(I)求c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過(guò)點(diǎn)廠作直線/與。的右支相交于43兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，證明：N/05為銳角.

18.某口罩生產(chǎn)廠生產(chǎn)一個(gè)口罩需經(jīng)過(guò)A,B,C三道相互獨(dú)立的工序，每道工序的生產(chǎn)質(zhì)

量分為優(yōu)和良兩個(gè)層級(jí).當(dāng)三道工序的生產(chǎn)質(zhì)量都為優(yōu)時(shí)，口罩的過(guò)濾等級(jí)為一等；當(dāng)C工

序的生產(chǎn)質(zhì)量為優(yōu)，且A,8工序的生產(chǎn)質(zhì)量至多有一個(gè)為優(yōu)時(shí)，口罩的過(guò)濾等級(jí)為二等；

其余情況下口罩的過(guò)濾等級(jí)均為三等.據(jù)抽樣檢測(cè)和統(tǒng)計(jì)分析，一個(gè)口罩在A,B,C三道

工序中的生產(chǎn)質(zhì)量為優(yōu)層級(jí)的概率分別為0.5,0.75,0.8.生產(chǎn)一個(gè)口罩的利潤(rùn)與過(guò)濾等級(jí)有

關(guān)，其中一等2元/個(gè)，二等1元/個(gè)，三等0.5元/個(gè).

(1)求該廠生產(chǎn)的口罩過(guò)濾等級(jí)為一等所占的概率為多少；

(2)從該廠生產(chǎn)的口罩中任取3個(gè)，求過(guò)濾等級(jí)有2個(gè)二等和1個(gè)三等的概率；

(3)為了提高A工序的生產(chǎn)質(zhì)量為優(yōu)層級(jí)的概率，該廠擬對(duì)A工序的生產(chǎn)環(huán)節(jié)進(jìn)行升級(jí)改造.

升改后每個(gè)口罩的生產(chǎn)成本增加0.2元(銷售價(jià)格不變)，A工序的生產(chǎn)質(zhì)量為優(yōu)層級(jí)的概

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

率達(dá)到0.9.試從一個(gè)口罩利潤(rùn)的期望值考慮，該廠是否應(yīng)該實(shí)施升級(jí)改造？

19.已知函數(shù)/(x)=6sinxcosx+sin2x-1^20),將函數(shù)/(x)的所有零點(diǎn)按從小到大的

順序排成一列，得到一個(gè)無(wú)窮數(shù)列：再,％X“，…，記%=cos(X"+1-匕),〃eN*.

⑴求函數(shù)/(x)的最大值和最小值；

(2)求用的值；

(3)設(shè)數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S“，證明：對(duì)于任意正整數(shù)〃，Sn+2=S?.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案DBCDACABACDBC

題號(hào)11

答案ACD

1.D

【分析】直接利用交集與補(bǔ)集的概念計(jì)算即可.

【詳解】由題意可知/n3={2,4},所以牛(/口8)={1,3,5}.

故選：D

2.B

【分析】根據(jù)相同函數(shù)的判定方法逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】對(duì)A,了=1"2的定義域?yàn)閧X|XHO},y=21gr的定義域?yàn)閧X|X>0},則兩個(gè)函數(shù)

不是相同函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,j.=x(x-2)=(x-l)2-1,且兩函數(shù)的定義域均為R,則兩個(gè)函數(shù)相同函數(shù)，故B正

確；

對(duì)C,y=^=\X\,則兩個(gè)函數(shù)不是相同函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,、=3工與了=》3,兩函數(shù)對(duì)應(yīng)法則完全不同，故兩函數(shù)不是相同函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

3.C

【分析】由1，0+2刃)求出￡石，再利用向量的夾角公式可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閆花為單位向量，且￡_1日+23),

所以a.(Q+2b)=a+2a-b=l+2a-b=0^^a-b=--,

1

因?yàn)?。英,力V180。，所以?,%120。.

故選：C

4.D

答案第1頁(yè)，共11頁(yè)

【分析】利用極差、平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義計(jì)算-一判定選項(xiàng)即可.

【詳解】由數(shù)據(jù)可知得分最高為17,最低為7,故極差為10,A錯(cuò)誤；

顯然10出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)為10,B錯(cuò)誤；

13+17+11+9+12+15+10+8+10+7…

平均數(shù)為—11.2,故c錯(cuò)誤;

10

從小到大排列數(shù)據(jù),易知中位數(shù)為月310.5,

故D正確.

故選：D

5.A

【分析】首先利用余弦定理求出。=7,再利用正弦定理即可.

【詳解】設(shè)角4瓦。所對(duì)應(yīng)的邊分別為。,6,。，

貝|c=5,6=3,根據(jù)余弦定理有a1=/?2+c2-2Z?ccosl20°=32+52-2x3x5xl-|j=49,

則。=7,根據(jù)正弦定理有三=3即尋時(shí)3

sinAsinBsin5

373

解得.RF36

714

故選：A.

6.C

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的奇偶性與周期性計(jì)算即可.

【詳解】由/(%+3)=-/(%)今/0+6)=—/(%+3)=/(%),所以T=6是函數(shù)的一個(gè)周期,

所以/(100)=(16x6+4)=f(4),

又/'(X)是偶函數(shù)且〃x+3)=-/(x),所以汽4)=-/(1)=-/(-1)=-2.

故選：C

7.A

【分析】求出球的半徑和V/3C所在平面截球所得的小圓的半徑，利用勾股定理可得球心O

到V/3C所在平面的距離，再利用棱錐的體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)球。的半徑為n，貝IJ4成2=16兀，得五、4,

設(shè)V/8C所在平面截球所得的小圓的半徑為「，圓心為

則「為V/8C外接圓的半徑，

答案第2頁(yè)，共11頁(yè)

因?yàn)榈冗匳ABC的邊長(zhǎng)為3,所以r=|xx3)=V3>

所以球心。到VN8C所在平面的距離為

。。1=J。42-。142=VR2_r2=74-3=1,

所以三棱錐O-ABC的體積24BC?。。1=1X苧X32X1=苧

2

【分析】利用“三個(gè)二次”關(guān)系，先確定X|=-2a,x,=—是方程/+樂(lè)-4=0的兩個(gè)不等根得

a

出。力關(guān)系式再利用基本不等式計(jì)算即可.

2

【詳解】由題設(shè)網(wǎng)=-2。=—是方程/+bx-4=0的兩個(gè)不等根，

a

從+16〉0

c27

所以:-2aH——=-b,

a

2。

->-2a

又a>0,貝!|3+6=24+%242aL=26,

aaa

當(dāng)且僅當(dāng)2a=!，即”日時(shí)取得最小值.

a

故選：B

9.ACD

【分析】根據(jù)決定系數(shù)的定義即可判斷A；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念即可判斷B；根據(jù)殘差的計(jì)

算方法即可判斷C；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算方法即可判斷D.

【詳解】對(duì)A,根據(jù)決定系數(shù)越大，說(shuō)明回歸模型的擬合效果越好，

即決定系數(shù)霜越接近1,說(shuō)明回歸模型的擬合效果越好，故A正確；

對(duì)B,因?yàn)閨0.92|〈卜0.98|,則則甲比乙的線性相關(guān)性弱，故B錯(cuò)誤;

答案第3頁(yè)，共11頁(yè)

對(duì)C,當(dāng)x=2時(shí)，預(yù)估值V=2,則殘差為1.2-2=-0.8,故C正確；

對(duì)D,根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，知D選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

10.BC

【分析】先求出圓心坐標(biāo)、拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，根據(jù)題中條件可得點(diǎn)尸的軌跡為焦點(diǎn)

在x軸上，焦距為4,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓判斷BCD；聯(lián)立圓和拋物線方程解得交點(diǎn)坐標(biāo)判斷

A；

【詳解】圓3：(%+2)2+產(chǎn)=4的圓心為￡(-2,0),半徑為2,拋物線=阮的焦點(diǎn)為

」(2,0),準(zhǔn)線為/:尤=一2,

對(duì)于A,曲線￡與聯(lián)立方程組++y=4,消〉得萬(wàn)2+12%=0,

(yZ=8%

解得x=0或x=-12(舍)，所以曲線。與C2有一個(gè)公共點(diǎn)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,動(dòng)點(diǎn)P滿足|PE|+|PF|=6,根據(jù)橢圓的定義可知點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上，焦

距為4,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓，B正確；

對(duì)于C,點(diǎn)尸的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上，焦距為4,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓，所以|PF|的最大值為

3+2=5,C正確；

對(duì)于D,點(diǎn)尸(x,y)的軌跡為焦點(diǎn)在X軸上，焦距為4,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓，

22

即點(diǎn)P的軌跡方程為土+匕=1,點(diǎn)P在/:》=-2上時(shí)，

95

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(—2,§或(—2,—因?yàn)椤?-2,0),所以|PE|=,,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

II.ACD

【分析】對(duì)于A,直接求解函數(shù)的定義域判斷，對(duì)于B,分析函數(shù)的值域判斷，對(duì)于C,由

函數(shù)圖象平移規(guī)律分析判斷，對(duì)于D,根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義分析判斷.

答案第4頁(yè)，共11頁(yè)

【詳解】對(duì)于A,由x+2w0,得尤~2,所以/(x)的定義域?yàn)椋鹸eR|x~2｝,所以A正

確，

一丁“、ax+2a(x+2)+2-2a2-2a

對(duì)于B,/(%)=--=-——J-------=。+—

x+2x+2x+2

當(dāng)awl時(shí)，/(x)H。，所以/(x)的值域?yàn)椋?R|yw。｝,

當(dāng)〃=1時(shí)，/(力=1,所以/(尤)的值域?yàn)椋?｝,

所以B錯(cuò)誤，

一十l,、，“、ax+22-2a

對(duì)于C,因?yàn)?(%)=-----=。+------,

x+2x+2

所以/?的圖象可以由y=4子向左平移2個(gè)單位，向上或向下平移同個(gè)單位得到,

當(dāng)。＜1時(shí)，2-2。＞0,因?yàn)椋?^^在(0,+s)上遞減，

X

所以“X)在(-2,+8)上單調(diào)遞減，所以C正確，

22

對(duì)于D,當(dāng)。=0時(shí)，f(x)=——,設(shè)g(無(wú))=〃x-2)=-,定義域?yàn)椋鹸eR|x30｝,

22

因?yàn)間(-x)=—=——=-g(x),所以g(x)=/(x-2)為奇函數(shù)，所以D正確.

-XX

故選：ACD

12.-2

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及和的性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】由題意可知￡=4+。2+。3+&+。5=5%=2%,

所以。3=0=%+2d=4+2dnd=—2.

故答案為：-2

13.360

【分析】直接利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.

【詳解】先選3名女志愿者有C；=10種選法，再選2名男志愿者有C；=36種選法，

最后余下的鏟雪，有1種選法，所以共10x36x1=360種安排方法.

故答案為：360

14.-2[-pl]

【分析】利用分段函數(shù)的定義直接計(jì)算可得第一空；作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合分

答案第5頁(yè)，共11頁(yè)

類討論即得.

【詳解】若后=-1,則g(x)=_x,顯然g⑵=-2,

如圖所示作出y=/(x)的大致圖象，

易知y=g(x)過(guò)原點(diǎn)，要滿足題意需與了=|尤-3|-1有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)y=g(x)過(guò)(3,-1)時(shí)，止匕時(shí)左=一，不滿足題意，

當(dāng)左=1時(shí)，y=g(x)與了=卜-3|-1只一個(gè)交點(diǎn)，

數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)v=g(x)的斜率介于1—J時(shí)滿足題意，即萬(wàn)

故答案為：-2；

15.⑴兀

【分析】(1)直接利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值即可；

(2)分離參數(shù)，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為。=笆%在定區(qū)間上有解，構(gòu)造函數(shù)g(x)=2^,

smxsinx

利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值即可.

【詳解】(1)當(dāng)°=1時(shí)，/(X)=sin尤一尤cosx,所以/''(x)=cos尤一(cosx-xsinx)=xsinx,

由三角函數(shù)性質(zhì)可知xe(O,時(shí)時(shí)，/,(x)>0,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(兀,2兀)時(shí)，/\x)<0,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，

即〃兀)=兀是函數(shù)/⑺在區(qū)間(0,2無(wú))上的極大值；

答案第6頁(yè)，共11頁(yè)

713兀

(2)問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為。=匯吧在區(qū)間上有解,

sin%2?T

1.。

人/xxcosx713兀,r-sin2x-x

令g(x)=W‘則m

2,Tg'3=

sinx

令/z(x)=；sin2x-x=>〃(q=cos2x-l<0,所以力卜)單調(diào)遞減,

71

則A(x)<A0,即g'(x)<0,

兀3兀、3兀371

時(shí)1單調(diào)遞減，此時(shí)

故g(x)在尤ePTg(x)<g0,g(x)>gT

所以ae

16.(1)證明見解析;

⑵w

【分析】(1)利用線線垂直證明線面垂直，再證線線垂直即可;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算線面夾角即可.

PDVDAPOYOA

【詳解】(1)由條件易知,所以

PCA.CBPO1OB

而04("105=0,04OBu平面046,所以PO_L平面048,

又/2u平面0/3,所以尸OL/3；

取的中點(diǎn)尸，連接。尸，過(guò)。作N8的平行線/,

易知04=08=A8=2,則尸O_LNB,

由上可以以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則/(省,-1,0)司瓜1,0),網(wǎng)0,0,1),所以尸

答案第7頁(yè)，共11頁(yè)

即刃=(6,-1,0),礪=麗=卜后-1,1),

\乙)

設(shè)平面AOE的一個(gè)法向量n=(x,y,z),

nOA=~y-0

有_—?7311,令y=6,則X=1,Z=—2G，

n?OE=——xH——y-\——z=0

〔222

所以為=(l,g,-2后)，

設(shè)直線8P與平面/OE所成角為a,

\n-BP\_4G_詬

則sina-cosn,BP\

|和|明4x755

22

17.

(葉十=1

(2)證明見解析

【分析】(1)利用雙曲線的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離計(jì)算即可;

(2)設(shè)直線/的方程及48坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積公式證明的余弦值

為正即可.

【詳解】(1)設(shè)戶(c,0)(c>0),貝1]/+62=,2,

易知C的漸近線方程為y=±-x,

a

由對(duì)稱性知焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離相同，即退=IM--A

4^'

-ryC3s/ci+b\

乂一=—=---------=>a=2?

a2a

22

則雙曲線方程為：土-匕=1；

45

(2)由上知c=3,不妨設(shè)/的方程為x=(y+3及4(%1，%),3(久2，了2)，

顯然，w土拽，外,力異號(hào)，

5

則OA={x^yx\OB=(x2,y2),/AOB=l^)A,OB),

x=卬+3

聯(lián)立*>2,整理得(5?-4)/+30^+25=0,

145

答案第8頁(yè)，共11頁(yè)

30/

乂+%=-口

則

25

3廣

2-20/—11

易知OAOB=x]x2+yxy2=+6必++僅i+為-9:

5產(chǎn)一4

而必，歹2異號(hào),貝!|5*-4<0,

所以為?麗>0，即cosO4O8=wu「0,

即N/O8=（厲，礪）為銳角，得證.

18.（1）0.3

⑵0.15

（3）該廠應(yīng)該實(shí)施升級(jí)改造，理由見解析

【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算可得答案；

（2）利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求出二等所占、三等所占的比率；再由相互獨(dú)立事

件的概率乘法公式計(jì)算可得答案；

（3）求出改造前、改造后生產(chǎn)一個(gè)口罩的利潤(rùn)均值，再做比較可得答案.

【詳解】（1）該廠生產(chǎn)的口罩過(guò)濾等級(jí)為一等的概率為0.5x0.75x0.8=0.3；

（2）該廠生產(chǎn)的口罩過(guò)濾等級(jí)為二等的概率為0.8x0-0.75x0.5）=0.5,

為三等的概率為1-0.3-0.5=0.2,

所以從該廠生產(chǎn)的口罩中任取3個(gè)，過(guò)濾等級(jí)有2個(gè)二等和1個(gè)三等的概率

為C；X0.52>0.2=0.15；

（3）該廠應(yīng)該實(shí)施升級(jí)改造，理由如下，

X1表示改造前生產(chǎn)一個(gè)口罩的利潤(rùn)，則X1可取2,1,0.5,

答案第9頁(yè)，共11頁(yè)

所以尸(Xi=2)=0.3,尸(X|=l)=0.5,尸(％=0.5)=0