導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第20講 取點(diǎn)技巧（含答案及解析）

第20講取點(diǎn)技巧【典型例題】例1．已知函數(shù)，，，．（1）設(shè)，．①求方程的根；②若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；（2）若，，函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求的值．例2．已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；函數(shù)是否存在零點(diǎn)？若存在，求出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．例3．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．例4．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．例5．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．例6．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．2．已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．3．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．4．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．5．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．6．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．7．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．8．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．9．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)大于1的零點(diǎn)，求的取值范圍．10．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．11．已知函數(shù)．（Ⅰ）若在，處導(dǎo)數(shù)相等，證明：；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，證明：；（Ⅲ）若，證明：對(duì)于任意，直線與曲線有唯一公共點(diǎn)．12．已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．13．設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．14．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．15．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

第20講取點(diǎn)技巧【典型例題】例1．已知函數(shù)，，，．（1）設(shè)，．①求方程的根；②若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；（2）若，，函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求的值．【解析】解：函數(shù)，，，．（1）設(shè)，．①方程；即：，在上單調(diào)，可得．②不等式恒成立，即恒成立．令，．不等式化為：在時(shí)，恒成立．可得：△或即：或，，．實(shí)數(shù)的最大值為：4．（2），，，可得，令，則是遞增函數(shù)，而，，，因此，時(shí)，，因此時(shí)，，，則．，時(shí)，，，則，則在遞減，，遞增，因此的最小值為：．①若，時(shí)，，，則，因此，且時(shí)，，因此在，有零點(diǎn)，則至少有兩個(gè)零點(diǎn)，與條件矛盾．②若，函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，的最小值為，可得，由，因此，因此，，即，，則．可得．例2．已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；函數(shù)是否存在零點(diǎn)？若存在，求出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】解：，，．當(dāng)時(shí)，．又，則在處的切線方程為．函數(shù)的定義域?yàn)椋?，．?dāng)時(shí)，，，所以，即在區(qū)間上沒有零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，令，只要討論的零點(diǎn)即可．，．當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，所以在區(qū)間上的最小值為．當(dāng)時(shí)，，所以是的唯一的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，．所以有兩個(gè)零點(diǎn)．例3．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】解：（1）由，求導(dǎo)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，令，解得：，當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得：，時(shí)，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增；綜上可知：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)，在，是增函數(shù)；（2）①若時(shí)，由（1）可知：最多有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于和，當(dāng)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，的最小值小于0即可，由在是減函數(shù)，在，是增函數(shù)，，，即，設(shè)，則，，求導(dǎo)，由（1），，解得：，的取值范圍．方法二：（1）由，求導(dǎo)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，令，解得：，當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得：，時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；綜上可知：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；（2）①若時(shí)，由（1）可知：最多有一個(gè)零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，由（1）可知：當(dāng)時(shí)，取得最小值，，當(dāng)，時(shí)，，故只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，即，故沒有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，由，故在有一個(gè)零點(diǎn)，假設(shè)存在正整數(shù)，滿足，則，由，因此在有一個(gè)零點(diǎn)．的取值范圍．例4．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】解：（1）求導(dǎo)，因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，令，解得：，當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得：，所以時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；綜上可知：當(dāng)時(shí)，在減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；（2）①若時(shí)，由（1）可知：最多有一個(gè)零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，由（1）可知：當(dāng)時(shí)，取得最小值，，當(dāng)，時(shí)，，故只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，即，故沒有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，由，故在有一個(gè)零點(diǎn)，假設(shè)存在正整數(shù)，滿足，則，由，因此在有一個(gè)零點(diǎn)．所以的取值范圍．例5．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】解：（1），若，當(dāng)時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得：或，若，，恒成立，在遞增，若，，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，若，，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，綜上：若，在遞減，在遞增，若，在遞增，若，在遞增，在遞減，在遞增，若，在遞增，在遞減，在遞增；（2）當(dāng)時(shí)，，令，解得：，此時(shí)1個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，由（1）可知，在遞減，在遞增，有2個(gè)零點(diǎn)，必有，即，而（1），故當(dāng)時(shí)，個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，取，則，故當(dāng)，時(shí)，個(gè)零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，個(gè)零點(diǎn)，符合題意，當(dāng)時(shí)，在遞增，不可能有2個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減，在遞增，，，故，此時(shí)，至多1個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減，在遞增，，此時(shí)，最多有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意，綜上，若有2個(gè)零點(diǎn)，則的范圍是，．例6．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】解：（1）的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由解得，由解得，此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，由于，且，由零點(diǎn)存在性定理可知，在上存在唯一零點(diǎn)，由于，且（由于，由零點(diǎn)存在性定理可知，在上存在唯一零點(diǎn)；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】解：（1）由，可得，①當(dāng)時(shí)，由，可得；由，可得，即有在遞減；在遞增；②當(dāng)時(shí)，由，解得或，若，則恒成立，即有在上遞增；若時(shí)，由，可得或；由，可得；即有在，，遞增，在，遞減；若，由，可得或；由，可得即有在，，遞增；在，遞減；綜上：當(dāng)時(shí)，在遞減；在遞增；當(dāng)時(shí)，時(shí)，在上遞增；時(shí)，在，，遞增，在，遞減；時(shí)，在，，遞增；在，遞減．（2）①由（1）可得，當(dāng)時(shí)，在遞減；在遞增，且（1），（2），故在上存在1個(gè)零點(diǎn)，取滿足，且，則（b），故在是也存在1個(gè)零點(diǎn)，故時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，所以只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；③當(dāng)時(shí)，若時(shí)，在遞增，不存在2個(gè)零點(diǎn)，不合題意；若，在遞增，又當(dāng)時(shí)，，不存在2個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)增，在，遞減，在，遞增，極大值（1），故不存在2個(gè)零點(diǎn)，不合題意；綜上，有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為．2．已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】解：（1），①時(shí)，，則時(shí)，，在遞減，時(shí)，，在遞增，②當(dāng)時(shí)，由得，，若，則，故在遞增，若，則當(dāng)或時(shí)，，時(shí)，，故在，遞增，在遞減；綜上：時(shí)，在遞減，在遞增，時(shí)，在，遞增，在遞減；時(shí)，在遞增；（2）①時(shí)，在遞增，不可能有2個(gè)零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，在，遞增，遞減，故當(dāng)時(shí)，取極大值，極大值為，此時(shí)，不可能有2個(gè)零點(diǎn)，③當(dāng)時(shí)，，由得，此時(shí)，僅有1個(gè)零點(diǎn)，④當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增，故，有2個(gè)零點(diǎn)，，解得：，，而（1），取，則（b），故在，各有1個(gè)零點(diǎn)，綜上，的取值范圍是，．3．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】解：（1）由，可得，①當(dāng)時(shí)，由，可得；由，可得，即有在遞減；在遞增；②當(dāng)時(shí)，由得或；若，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；，恒成立，即有在上遞增；若時(shí)，則；由，可得或；由，可得．即有在，，遞增；在，遞減；若，則，由，可得或；由，可得．即有在，，遞增；在，遞減．（2）①由（1）可得當(dāng)時(shí)，在遞減；在遞增，且，，取滿足且．則，有兩個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，所以只有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，若時(shí)，由（1）知在，遞減，在，，遞增，又當(dāng)時(shí)，，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由（1）知，在單調(diào)增，又當(dāng)時(shí)，，故不存在兩個(gè)零點(diǎn)；綜上可得，有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為．4．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】解：（1）．當(dāng)時(shí)，令，得；令，得．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，得，．①當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增．②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，，上單調(diào)遞增．③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，，上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知只有一個(gè)極小值點(diǎn)，且，．（方法一）取，且，則，，因?yàn)?，所以，則（b），此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)．（方法二）當(dāng)時(shí)，，，從而，因此有兩個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)時(shí)，若，則恒有．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)在上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，若，同理可知在上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；若，在上先減后增，此時(shí)在上也不可能有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，的取值范圍是．5．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】解：（1），①當(dāng)時(shí)，，由，得，由，得，的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為．②當(dāng)時(shí)，令，或，當(dāng)，即時(shí)，，在單增，當(dāng)，即時(shí)，由得，，，，由得，，，單增區(qū)間為，，，單減區(qū)間為，．當(dāng)，即時(shí)，由得，，，，由得，，，的單增區(qū)間為，，，的單減區(qū)間為，．（2）．當(dāng)時(shí)，，，可得，不符題意，故；當(dāng)時(shí)，由（1）可得只需，即時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上單增，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，的極大值，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，的極小值，，，只有才能滿足題意，即有解，令，，則，（a）在單增，而，（a），方程無解．綜上所述，．6．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】解：（1）由題意知：若，即時(shí)，在上單減，在單增，若，即時(shí)，①當(dāng)時(shí)，在單增；②當(dāng)時(shí)，在上單增，在單減，在上單增；③當(dāng)時(shí)，在上單增，在單減，在上單增．（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，在單增，故不可能有兩個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．當(dāng)時(shí)，在上單減，在單增，且時(shí)，；時(shí)，．故只要（1），解得：．當(dāng)時(shí)，在上單增，在單減，在上單增．因?yàn)楣室膊豢赡苡袃蓚€(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，在上單增，在單減，在上單增且，故要使有兩個(gè)零點(diǎn)，必有由即當(dāng)時(shí)，有因?yàn)榧丛谏蠁卧觯視r(shí)，．故當(dāng)時(shí)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上所述：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．7．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】解：（1）函數(shù)．定義域?yàn)?，，①時(shí)，，當(dāng)．，單調(diào)遞增；當(dāng)．，單調(diào)遞減；②時(shí)，，解得或，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減；③時(shí)，，在單調(diào)遞減；④時(shí)，，解得或，當(dāng)，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增；，．單調(diào)遞減；（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，在定義域上只有一個(gè)零點(diǎn)，，由（1）可得，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則（2），即（2），所以，下證有兩個(gè)零點(diǎn)，取，，滿足（2），故在有且只有一個(gè)零點(diǎn)；因?yàn)椋?），滿足（2）（4），故在有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由（1）可得，（a），故在無零點(diǎn)，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，在至多一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，，（2），故在上無零點(diǎn)，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，在至多一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件；滿足條件的取值范圍，8．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1），函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，解得，或，（舍去），①當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，③當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，，時(shí)，，函數(shù)在，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，（2）由（1）可知，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，（1），取，，令，，則在成立，故單調(diào)遞增，，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于（2），解得，當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)極值，（2），，令，，令，，當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞減，故，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故，又（2），由（1）可知，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．9．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)大于1的零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】解：（1）的定義域是，，當(dāng)時(shí)，，在遞減，當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在，遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在，遞增；（2）由（1）可得若函數(shù)有2個(gè)大于1的零點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，需，無解，當(dāng)時(shí)，需，解得：，且當(dāng)時(shí)，在遞減，（1），故在有1個(gè)零點(diǎn)，，下面證明，令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，故（1），即，故，，又在，遞增，故在，有1個(gè)零點(diǎn)，綜上，的范圍是，．10．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．【解析】解：（1）由函數(shù)，得．另，得．列表如下：，0極小值因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為．（2）由（1）可知，．當(dāng)時(shí)，由，得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．當(dāng)時(shí)，因在，上是單調(diào)增，在上單調(diào)減，故，，時(shí)，．此時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．當(dāng)時(shí)，．①時(shí)，因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間，上無零點(diǎn)；另一方面，因?yàn)樵?，單調(diào)遞增，且，由，，且，此時(shí)，函數(shù)在，上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．②時(shí)，因?yàn)樵?，上單調(diào)遞增，且（1），，所以函數(shù)在區(qū)間，上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；另一方面，因?yàn)樵?，上是單調(diào)遞減，且又，且，（當(dāng)時(shí)，成立）此時(shí)，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．所以，當(dāng)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．11．已知函數(shù)．（Ⅰ）若在，處導(dǎo)數(shù)相等，證明：；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，證明：；（Ⅲ）若，證明：對(duì)于任意，直線與曲線有唯一公共點(diǎn)．【解析】解：（Ⅰ）由所以，即化簡得：；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由基本不等式得，則得，則設(shè)，，，在上單調(diào)遞增，所以，所以；（Ⅲ）記，，令，記，則△，①當(dāng)時(shí)，，有，單調(diào)遞減，當(dāng)，；當(dāng)，所以取，時(shí)，有，又，所以有唯一零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，△，令，解得，，則當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)，單調(diào)遞增，記，，則，記，注意，所以，，則，所以，又，，且，結(jié)合單調(diào)性，可知有唯一零點(diǎn)．綜上可知，若，對(duì)于任意，直線與曲線有唯一公共點(diǎn)．12．已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．【解析】解：（1）因?yàn)?，所以．?分）由，得；由，得．（2分）所以的增區(qū)間是，減區(qū)間是．（3分）（2）因?yàn)椋?，得或．?分）設(shè)，又，即不是的零點(diǎn)，故只需再討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．（5分）所以當(dāng)時(shí)，取得最小值（a）．（6分）①當(dāng)（a），即時(shí)，，無零點(diǎn)；（7分）②當(dāng)（a），即時(shí)，有唯一零點(diǎn)；（8分）③當(dāng)（a），即時(shí)，因?yàn)?，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．（9分）令，則．設(shè)（a），則（a），所以（a）在上單調(diào)遞增，所以，，都有（a）（1）．所以（a）．（10分）所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．（11分）綜上所述，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)．（12分）13．設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，令得；令得或，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令得；令得或，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為．（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以，，注意到，所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又注意到，（4）所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增是和上，單調(diào)遞減是上，所以，，注意到，所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)，綜上，函數(shù)有唯一零點(diǎn)．14．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，則，所以時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．（2）因?yàn)?，則．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，則時(shí)，，所以時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（1）．當(dāng)（1）時(shí)，即時(shí)，（1），所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)，即函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)