專(zhuān)題12角相交線與平行線（6大考點(diǎn)）

第四部分三角形專(zhuān)題12角、相交線與平行線（6大考點(diǎn)）核心考點(diǎn)核心考點(diǎn)一直線和線段核心考點(diǎn)二角與角平分線核心考點(diǎn)三相交線核心考點(diǎn)四平行線的判定核心考點(diǎn)五利用平行線求角度或證明核心考點(diǎn)六命題新題速遞核心考點(diǎn)一直線和線段例1（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）互不重合的A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，這三點(diǎn)的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)A在B、C兩點(diǎn)之間 B．點(diǎn)B在A、C兩點(diǎn)之間C．點(diǎn)C在A、B兩點(diǎn)之間 D．無(wú)法確定【答案】A【分析】分別對(duì)每種情況進(jìn)行討論，看a的值是否滿足條件再進(jìn)行判斷．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)A在B、C兩點(diǎn)之間，則滿足，即，解得：，符合題意，故選項(xiàng)A正確；②點(diǎn)B在A、C兩點(diǎn)之間，則滿足，即，解得：，不符合題意，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；③點(diǎn)C在A、B兩點(diǎn)之間，則滿足，即，解得：a無(wú)解，不符合題意，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的和與差及一元一次方程的解法，分類(lèi)討論并列出對(duì)應(yīng)的式子是解本題的關(guān)鍵．例2（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．點(diǎn)B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長(zhǎng)為_(kāi)________．【答案】【分析】先求解再利用線段的和差可得答案．【詳解】解：由題意可得：同理：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角的正切的應(yīng)用，二次根式的減法運(yùn)算，掌握“利用銳角的正切求解三角形的邊長(zhǎng)”是解本題的關(guān)鍵．例3（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，和，點(diǎn)E，F(xiàn)在直線BC上，，，．如圖①，易證：．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)如圖②，如圖③，請(qǐng)猜想BC，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫(xiě)出猜想結(jié)論；(2)請(qǐng)選擇（1）中任意一種結(jié)論進(jìn)行證明；(3)若，，，，則______，______．【答案】(1)圖②：；圖③：(2)證明見(jiàn)解析(3)8，14或18【分析】（1）先判斷兩個(gè)三角形全等，再結(jié)合線段的和差求解即可；（2）先證兩個(gè)三角形全等，再結(jié)合線段的和差求解即可；（3）過(guò)點(diǎn)A作△ABC的高AG，求出AG的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積求出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BF即可．【詳解】（1）解：圖②：．圖③：．（2）解：圖②中在和中，∵，∴≌，∴BC=FE，∴BF=BC+CE+EF=BC+CE+BC，即．或圖③中，在和中，∵，∴≌，∴BC=FE，，即．（3）解：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于G，∵≌，∴∠B=∠F=60°，在Rt△ABG中，∵AB=6，∠B=60°，∴AG=AB·sinB=6×sin60°=，又∴∴BC=8，又∵，∴BF=BC+BE=8+82=14，或BF=BC+BE=8+8+2=18，故答案為：8，14或18．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，線段的和差，三角形的面積，解直角三角形，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形找到線段之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．直線由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)構(gòu)成，點(diǎn)動(dòng)成線。直線是面的組成成分，并繼而組成體。沒(méi)有端點(diǎn)，向兩端無(wú)限延伸，長(zhǎng)度無(wú)法度量。直線是軸對(duì)稱圖形。它有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，對(duì)稱軸為所有與它垂直的直線（有無(wú)數(shù)條）。在平面上過(guò)不重合的兩點(diǎn)有且只有一條直線，即不重合兩點(diǎn)確定一條直線。在球面上，過(guò)兩點(diǎn)可以做無(wú)數(shù)條類(lèi)似直線。構(gòu)成幾何圖形的最基本元素。在D·希爾伯特建立的歐幾里德幾何的公理體系中，點(diǎn)、直線、平面屬于基本概念，由他們之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系和五組公理來(lái)界定。線段指直線上兩點(diǎn)間的有限部分（包括兩個(gè)端點(diǎn)）

[1]

，有別于直線、射線【變式1】（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在下列說(shuō)法中，正確的有（）①兩點(diǎn)確定一條直線；

②過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；

③垂直于同一條直線的兩條直線垂直；④平行于同一條直線的兩條直線平行；

⑤過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)，平行線公理，垂線的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)對(duì)各小題分析判斷即可得解．【詳解】解：①兩點(diǎn)確定一條直線，正確；

②應(yīng)為過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故本小題錯(cuò)誤；

③應(yīng)為在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，故本小題錯(cuò)誤；④平行于同一條直線的兩條直線平行，正確；

⑤應(yīng)為在同一個(gè)平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直，故本小題錯(cuò)誤；綜上所述，說(shuō)法正確的有①④共2個(gè)．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，直線的性質(zhì)，平行公理以及垂線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·江蘇常州·校考二模）如圖，矩形中，點(diǎn)E在邊上，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)到B停止，過(guò)點(diǎn)E作垂直交射線于點(diǎn)F，如果M是線段的中點(diǎn)，那么P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為（

）A．5 B．5.5 C．4 D．4.5【答案】D【分析】如圖，當(dāng)P與A重合時(shí)，點(diǎn)F與K重合，此時(shí)點(diǎn)M在H處，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，點(diǎn)F與G重合，點(diǎn)M在N處，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段．求出的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，點(diǎn)分別為中點(diǎn)，并連接，則當(dāng)P與A重合時(shí)，點(diǎn)F與K重合，此時(shí)點(diǎn)M在H處，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，點(diǎn)F與G重合，點(diǎn)M在N處，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段．，，，，，，，，，，，，點(diǎn)分別為中點(diǎn)，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查軌跡、矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用、中位線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，學(xué)會(huì)利用起始位置和終止位置尋找軌跡．【變式3】（2021·廣西柳州·統(tǒng)考一模）建筑工人砌墻時(shí)，經(jīng)常在兩個(gè)墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線，用到的數(shù)學(xué)知識(shí)是______．【答案】?jī)牲c(diǎn)確定一條直線【分析】根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：用到的數(shù)學(xué)知識(shí)是兩點(diǎn)確定一條直線．故答案為：兩點(diǎn)確定一條直線【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的性質(zhì)，熟練掌握兩點(diǎn)確定一條直線是解題的關(guān)鍵．【變式4】（2021·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）定義：數(shù)軸上給定兩點(diǎn)A、B以及一條線段PQ，當(dāng)線段AB的中點(diǎn)在線段PQ上時(shí)（包含點(diǎn)P、Q），就稱點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于線段PQ徑向?qū)ΨQ，若A、P、Q三點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于線段PQ徑向?qū)ΨQ．則點(diǎn)B表示的數(shù)x的取值范圍是____．【答案】1≤x≤5##【分析】設(shè)點(diǎn)A和點(diǎn)B的中點(diǎn)為C，根據(jù)題意分點(diǎn)C與點(diǎn)P重合和點(diǎn)C與點(diǎn)Q重合兩種情況討論，分別求出點(diǎn)B表示的數(shù)即可求解．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A和點(diǎn)B的中點(diǎn)為C，由題意得：①當(dāng)點(diǎn)C剛好與點(diǎn)P重合時(shí)，則AC＝BC＝0﹣（﹣1）＝1，故點(diǎn)B表示的數(shù)為：x＝1；②當(dāng)點(diǎn)C剛好與點(diǎn)Q重合時(shí)，則AC＝BC＝2﹣（﹣1）＝3，故點(diǎn)B表示的數(shù)為：x＝5，綜上所述，點(diǎn)B表示的數(shù)的取值范圍是：1≤x≤5．故答案為：1≤x≤5．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸上點(diǎn)的表示方法以及線段中點(diǎn)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的表示方法以及線段中點(diǎn)的知識(shí)點(diǎn)．【變式5】（2020·湖南邵陽(yáng)·校聯(lián)考一模）如圖，點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)M、N分別是的中點(diǎn)．(1)若，求線段的長(zhǎng)；(2)若C為線段上任一點(diǎn)，滿足，其它條件不變，你能猜想的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的答案．(3)若C在線段的延長(zhǎng)線上，且滿足，M、N分別為的中點(diǎn)，你能猜想的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)畫(huà)出圖形，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)，圖形見(jiàn)解析；結(jié)論理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)M、N分別是的中點(diǎn)，可得，從而得到，即可求解；（2）根據(jù)M、N分別是的中點(diǎn)，可得，從而得到，即可求解；（3）根據(jù)M、N分別是的中點(diǎn)，可得，從而得到，即可求解．【詳解】（1）解∶∵M(jìn)、N分別是的中點(diǎn)，∴，∵，∴；（2）解∶∵M(jìn)、N分別是的中點(diǎn)，∴，∵，∴；（3）解∶，理由如下∶如圖，∵M(jìn)、N分別是的中點(diǎn)，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算，明確題意，準(zhǔn)確得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．核心考點(diǎn)二角與角平分線例1（2021·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一束光線先后經(jīng)平面鏡，反射后，反射光線與平行，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)B作，過(guò)點(diǎn)C作，與相交于點(diǎn)E；根據(jù)余角性質(zhì)計(jì)算得；根據(jù)平行線性質(zhì)，得，結(jié)合角平分線性質(zhì)，計(jì)算得；再根據(jù)余角性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】如下圖，過(guò)點(diǎn)B作，過(guò)點(diǎn)C作，與相交于點(diǎn)E∵，∴∴∵與平行∴∵，∴∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線、角平分線、垂線、余角的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，從而完成求解．例2（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線l1，l2，l3被直線l4所截，若l1l2，l2l3，∠1＝126°32'，則∠2的度數(shù)是___________．【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得，根據(jù)等量等量代換得，進(jìn)而根據(jù)鄰補(bǔ)角性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖l1l2，l2l3，，，，∠1＝，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角，平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的角平分線，，交于點(diǎn)E．(1)求證：．(2)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)相等，見(jiàn)解析【分析】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）利用平行線的性質(zhì)可得，

則AD=

AE，從而有CD

=

BE，由(1)

得，，可知BE

=

DE，等量代換即可．【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，∴．∵，∴，∴．（2）．理由如下：∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即．由（1）得，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，熟練掌握平行與角平分線可推出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．角在幾何學(xué)中，是由兩條有公共端點(diǎn)的射線組成的幾何對(duì)象。這兩條射線叫做角的邊，它們的公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)。一般的角會(huì)假設(shè)在歐幾里得平面上，但在歐幾里得幾何中也可以定義角。角在幾何學(xué)和三角學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)完全相同的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線。注：角平分線類(lèi)型的題目，輔助線一般都是過(guò)角平分線上的向兩邊作垂線?！咀兪?】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，已知，直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線a上，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形的直角與平角之間的關(guān)系可得到與互余，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可知的度數(shù)．【詳解】解：如圖，∵直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線上，∴∵，∴故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【變式2】（2022·江蘇南京·南京大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，銳角三角形中，直線l為的中垂線，直線m為的角平分線，l與m相交于P點(diǎn)．若，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)角平分線定義求出，根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)得出，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出方程，求出方程的解即可．【詳解】解：平分，，直線l是線段的垂直平分線，，，，，，解得：，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，能求出是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式3】（2022·湖南永州·統(tǒng)考二模）如圖，已知，是角平分線且，作的垂直平分線交于點(diǎn)F，作，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出、根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵，是角平分線，∴，在中，，∴，由勾股定理得：，∵的垂直平分線交于點(diǎn)F，∴，∴的垂直，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式4】（2022·四川眉山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，，，、分別平分、，，則的周長(zhǎng)是______．【答案】15【分析】先根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)證明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性質(zhì)得，，則的周長(zhǎng)．【詳解】解：平分，平分，，，，，，，，，等角對(duì)等邊，的周長(zhǎng)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．【變式5】（2022·浙江紹興·一模）（1）問(wèn)題背景如圖①，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分線交直線AC于D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD，交直線BD于E，CE交直線BA于M．探究線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系得到的結(jié)論是________．（2）類(lèi)比探索在（1）中，如果把BD改為△ABC的外角∠ABF的平分線，其他條件均不變（如圖②），（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展延伸在（2）中，如果，其他條件均不變（如圖③），請(qǐng)直接寫(xiě)出BD與CE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______．【答案】（1）問(wèn)題背景：BD=2CE（2）類(lèi)比探索：結(jié)論BD=2CE仍然成立，證明見(jiàn)解析（3）拓展延伸：BD=CE【分析】（1）根據(jù)角平分線及全等三角形的判定和性質(zhì)得出△BME△BCE（ASA），CE=ME，結(jié)合圖形得出∠ADB=∠M，sin∠ADB=sin∠M，再由正弦函數(shù)證明即可；（2）根據(jù)題意，證明方法同（1）類(lèi)似，證明即可；（3）根據(jù)②得，將線段間的數(shù)量關(guān)系代入即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠CBD，在△BME和△BCE中，，∴△BME△BCE（ASA），∴CE=ME，∵CE⊥BD，∠BAC=90°，∴∠ABD+∠M=90°，∠ADB+∠ABD=90°，∴∠ADB=∠M，∴sin∠ADB=sin∠M，即，∵AB=AC，∴BD=CM，∴BD=2CE；（2）結(jié)論BD=2CE仍然成立．證明：∵BD是∠ABF的平分線，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠3=∠4，在△CBE和△MBE中，，∴△CBE△MBE（ASA），∴CE=ME，∴CM=2CE，∵∠D+∠DCM=∠M+∠DCM=90°．∴∠D=∠M，∴sin∠D=sin∠M，∴，∵AB=AC，∴BD=CM=2CE；（3）解：同（2）可得，CE=ME，∵，∴，∴BD=CE．故答案為：BD=CE．【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解三角形的應(yīng)用，角平分線的計(jì)算等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．核心考點(diǎn)三相交線例1（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD，垂足為O．若∠1＝54°，則∠2的度數(shù)為（

）A．26° B．36° C．44° D．54°【答案】B【分析】根據(jù)垂直的定義可得，根據(jù)平角的定義即可求解．【詳解】解：EO⊥CD，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的定義，平角的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．例2（2021·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，與相交于點(diǎn)O，是的平分線，且恰好平分，則_______度．【答案】60【分析】先根據(jù)角平分線的定義、平角的定義可得，再根據(jù)對(duì)頂角相等即可得．【詳解】解：設(shè)，是的平分線，，平分，，又，，解得，即，由對(duì)頂角相等得：，故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、平角的定義、對(duì)頂角相等，熟練掌握角平分線的定義是解題關(guān)鍵．例3（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，E是邊AC上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠C=∠BEC，又由對(duì)頂角相等可證得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵∴∠C=∠BEC，∵∠BEC=∠AED，∴∠AED=∠C，∵AD⊥BD，∴∠D=90°，∵，∴∠D=∠ABC，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種。如果兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱這兩條直線相交。相交線會(huì)形成三線八角【變式1】（2022·廣西百色·統(tǒng)考一模）如圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠COB，若∠BOD=70°，則∠COE的度數(shù)是（）A．45° B．70° C．55° D．110°【答案】C【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得∠COB=110°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)課可得∠COE=∠COB，進(jìn)而得到答案．【詳解】解：∵∠BOD=70°，∴∠COB=110°，∵OE平分∠COB，∴∠COE=∠COB=55°，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角，關(guān)鍵是掌握鄰補(bǔ)角互補(bǔ)．【變式2】（2023·山東泰安·?？家荒＃┤鐖D，等邊的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊向上作等腰，連接，則AE的最小值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作射線，可證點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，可得，則點(diǎn)在的角平分線上運(yùn)動(dòng)，即當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作射線，是等邊三角形，，，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，點(diǎn)在的角平分線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度有最小值，，，的最小值為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，垂線段最短，四點(diǎn)共圓，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【變式3】（2021·吉林長(zhǎng)春·校考二模）如圖，在中，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，以，為鄰邊作平行四邊形，則對(duì)角線的最小值為_(kāi)_．【答案】【分析】過(guò)作于，依據(jù)是等腰直角三角形，即可得出，依據(jù)，即可得到當(dāng)時(shí)，的最小值等于的長(zhǎng)，進(jìn)而得到答案．【詳解】解：如圖所示，過(guò)作于，，，是等腰直角三角形，，四邊形是平行四邊形，，當(dāng)時(shí)，的最小值等于的長(zhǎng)，對(duì)角線的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4】（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PD，則PA＋2PD的最小值________．【答案】6【分析】直接利用已知得出∠CAB=60°，再將原式變形，進(jìn)而得出PA+PD最小值，進(jìn)而得出答案．【詳解】過(guò)點(diǎn)A作∠CAN=30°，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AN于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)P，∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=，∴∠CAB=60°，則∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD），，此時(shí)PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題主要考查了胡不歸問(wèn)題，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．【變式5】（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，，，平分交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求的大小；(2)若，求的大小．【答案】(1)25°(2)23°【分析】（1）先由平行線的性質(zhì)求出∠ABC=180°∠BCD=180°130°=50°，再根據(jù)解平分線的定義求解即可；∠BAD=180°∠ADC=180°48°=132°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出（2）先由平行線的性質(zhì)求出∠AEB=180°∠BAD∠ABE=23°，最后由對(duì)頂角性質(zhì)得解．【詳解】（1）解：∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC=180°∠BCD=180°130°=50°，∵平分∴∠ABE=∠ABC==25°；（2）解：∵，∴∠BAD+∠ADC=180°，∴∠BAD=180°∠ADC=180°48°=132°，∵∠BAD+∠ABE+∠AEB=180°，又由（1）知：∠ABE=25°，∴∠AEB=180°∠BAD∠ABE=180°132°25°=23°，∴∠DEF=∠AEB=23°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線定義，三角形內(nèi)角和定理，對(duì)頂角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．核心考點(diǎn)四平行線的判定例1（2020·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可對(duì)B進(jìn)行判斷；求出∠C，根據(jù)大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊可對(duì)D進(jìn)行判斷；求出可對(duì)C進(jìn)行判斷．【詳解】，，故選項(xiàng)A正確；，，又，，故選項(xiàng)B正確；，，，，故選項(xiàng)D正確；，，而，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握性質(zhì)與判定是解答此題的關(guān)鍵．例2（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，木棒AB、CD與EF分別在G、H處用可旋轉(zhuǎn)的螺絲鉚住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，將木棒AB繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與木棒CD平行的位置，則至少要旋轉(zhuǎn)___°．【答案】20【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行，得出當(dāng)∠EHD＝∠EGN=80°，MN//CD，再得出旋轉(zhuǎn)角∠BGN的度數(shù)即可得出答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)G作MN，使∠EHD＝∠EGN=80°，∴MN//CD，∵∠EGB＝100°，∴∠BGN=∠EGB∠EGN=100°80°=20°，∴至少要旋轉(zhuǎn)20°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，以及圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．例3（2020·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB的延長(zhǎng)線上，連接AD．（1）求證：；（2）若AB=4，BC=1，求A，C兩點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)之和．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△ABD為等邊三角形，則可證，即再根據(jù)平行線的判定證明即可．（2）利用弧長(zhǎng)公式分別計(jì)算路徑，相加即可求解．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：是等邊三角形所以∴；（2）依題意得：AB=BD=4，BC=BE=1，所以A，C兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)之和為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系及弧長(zhǎng)公式是解答的關(guān)鍵．平行線判定的五種方法：在同一平面內(nèi)，兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。也可以簡(jiǎn)單的說(shuō)成：1.同位角相等，兩直線平行。在同一平面內(nèi)，兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。也可以簡(jiǎn)單的說(shuō)成：2.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。在同一平面內(nèi)，兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。也可以簡(jiǎn)單的說(shuō)成：3.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。4、在同一平面內(nèi)，兩條直線同時(shí)垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行；5、兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，這兩條直線互相平行；【變式1】（2022·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，直線、被、所截，下列條件中能說(shuō)明的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可．【詳解】，∴（同位角相等，兩直線平行），故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定定理并靈活運(yùn)用．【變式2】（2021·福建廈門(mén)·?？级＃┤鐖D，已知，按以下步驟作圖：①在射線上取一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，交射線于點(diǎn)；②連接，分別以點(diǎn)、為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)、；③連接，．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B．點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱C．若，則 D．【答案】C【分析】根據(jù)等弧所對(duì)圓周角相等可以判斷；根據(jù)平行線的判定可以判斷；根據(jù)，，可得垂直平分，可以判斷；根據(jù)，得，由，可得為等邊三角形，進(jìn)而可以判斷．【詳解】解：由作法得，，，所以選項(xiàng)的結(jié)論正確；連接，，，，所以選項(xiàng)的結(jié)論正確；，，垂直平分，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以選項(xiàng)的結(jié)論正確；，，，為等邊三角形，，所以選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系和垂徑定理．【變式3】（2022·新疆阿克蘇·統(tǒng)考一模）如圖，將木條a，b與c釘在一起，，若要使木條a與b平行，則的度數(shù)應(yīng)為_(kāi)_____．【答案】50°##50度【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行，求出∠1的度數(shù)．【詳解】解：∵∠1=∠2時(shí)，a∥b，∴若要使木條a與b平行，∠1=∠2=50°，故答案為：50°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟記平行線的性質(zhì)定理與判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式4】（2021·云南昆明·統(tǒng)考一模）如圖，小紅看到工人師傅用角尺畫(huà)出工件邊緣的垂線和，即可得到．請(qǐng)你幫小紅從下列真命題中找到工人師傅畫(huà)圖的一個(gè)依據(jù)．真命題為：①連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；②在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行（選自人教版初中數(shù)學(xué)教科書(shū)七年級(jí)下冊(cè)第14頁(yè)例）；③在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線；④經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行．”這個(gè)依據(jù)是__________．（只需填序號(hào)）【答案】②【分析】根據(jù)垂直于同一條直線的兩條直線平行判斷即可．【詳解】解：由題意：a⊥AB，b⊥AB，∴（在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行），故答案為：②．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，平行公理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【變式5】（2023·湖北武漢·?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)A，B，C，D在一條直線上，與交于點(diǎn)G，，，．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得；（2）根據(jù)可得，根據(jù)可得，因?yàn)?，根?jù)等量代換即可求出．【詳解】（1）證明：，；（2）解：，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．核心考點(diǎn)五利用平行線求角度或證明例1（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，直線，截線c，d相交成30°角，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由鄰補(bǔ)角的定義可求得，再由平行線的性質(zhì)可得，利用三角形的外角性質(zhì)即可求∠2．【詳解】解：如圖，∵，∴，∵，∴，∵∠A＝30°，∠2＝∠4＋∠A，∴，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．例2（2022·寧夏·中考真題）如圖，直線，的邊在直線上，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，邊交直線于點(diǎn)，則______．【答案】50【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，再由平角的定義求出的度數(shù)，即可利用平行線的性質(zhì)得到答案．【詳解】解：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，∵∠AOB=55°，∴，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同位角相等和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn).(1)如圖①，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC邊于點(diǎn)E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長(zhǎng)；(2)在圖②，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點(diǎn)F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）(3)如圖③，點(diǎn)F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】(1)2(2)圖見(jiàn)詳解(3)直線BC與⊙F相切，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）由題意易得，則有，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求解；（2）作DT∥AC交AB于點(diǎn)T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求；（3）作BR∥CF交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，連接CR，證明四邊形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出，推出CD⊥DF，然后問(wèn)題可求解．【詳解】（1）解：∵DE∥AB，∴，∴，∵AB=5，BD=9，DC=6，∴，∴；（2）解：作DT∥AC交AB于點(diǎn)T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求；如圖所示：點(diǎn)F即為所求，（3）解：直線BC與⊙F相切，理由如下：作BR∥CF交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，連接CR，如圖，∵∠DFA=∠A，∴四邊形ABRF是等腰梯形，∴，∵△FBC的面積等于，∴，∴CD⊥DF，∵FD是⊙F的半徑，∴直線BC與⊙F相切．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定是解題的關(guān)鍵．兩條直線平行，同位角相等；兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；【變式1】（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，，直線截，于，，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再由，，即可推出，則．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，按圖進(jìn)行翻折，使，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平行線的性質(zhì)以及翻折的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵，∴，．∵，∴．由翻折的性質(zhì)可知，，，．∵，，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，為邊上一點(diǎn)，連接，，且與交于點(diǎn)，若，則_________．【答案】##【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得，，即可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得；證明，由三角形面積公式可得，再由，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用．【變式4】（2022·四川綿陽(yáng)·?？级＃┤鐖D，線段，與相交于點(diǎn)，，于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，則的度數(shù)是______．【答案】15°##15度【分析】根據(jù)可得，由，可得，結(jié)合，即可求解．【詳解】解：∵，∴∵，∴.∴∵平分，∴，∵，∴，∴故答案為：15°．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形兩個(gè)銳角互余是關(guān)鍵．【變式5】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）已知，點(diǎn)D是的邊上一點(diǎn)．(1)如圖甲，，垂足為E，平分交邊于點(diǎn)F，交邊于點(diǎn)O，求證：；(2)如圖乙，交邊于點(diǎn)E，平分交邊于點(diǎn)O，，垂足為點(diǎn)F，求；(3)如圖丙，在線段上找一點(diǎn)O作，使經(jīng)過(guò)點(diǎn)D且與相切．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫(xiě)出作法過(guò)程，不證明）【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析．【分析】（1）由，易證，由“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”得到，結(jié)合角平分線得到，最后依據(jù)“等角對(duì)等邊”可證明；（2）由題意易得，由平分線得到，易證得；（3）過(guò)點(diǎn)D作交邊于點(diǎn)E，點(diǎn)E作平分交邊于點(diǎn)O，點(diǎn)O作，垂足為點(diǎn)F，以點(diǎn)O為圓心，為半徑作圓，為所求．【詳解】（1）證明：如圖甲，，，，，平分，，，；（2）證明：如圖乙，，，，平分，，在與中，，；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)D作交邊于點(diǎn)E，點(diǎn)E作平分交邊于點(diǎn)O，點(diǎn)O作，垂足為點(diǎn)F，以點(diǎn)O為圓心，為半徑作圓，與相切，由（2）可知，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義、角平分線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、等角對(duì)等邊、全等三角形的證明和性質(zhì)、尺規(guī)作圖；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及尺規(guī)作圖方法．核心考點(diǎn)六命題例1（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）下列命題中是假命題的是（

）A．三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半B．如果兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角一定相等C．從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角D．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半【答案】B【分析】利用三角形的中位線定理、鄰補(bǔ)角性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；B.如果兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角不一定相等，故此選項(xiàng)是假命題，符合題意；C.從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角，是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B【點(diǎn)睛】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解三角形的中位線定理、鄰補(bǔ)角性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)．例2（2021·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形都相似④對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形都相似【答案】1【分析】根據(jù)多邊形的判定方法對(duì)①進(jìn)行判斷；利用菱形的定義對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)菱形的性質(zhì)對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似的定義可對(duì)④進(jìn)行判斷．【詳解】解：所有的正方形都相似，所以①正確；所有的菱形不一定相似，所以②錯(cuò)誤；邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形，形狀不一定相同，即：邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形不一定相似所以③錯(cuò)誤；對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，即不一定相似，所以④錯(cuò)誤；故答案是：1．【點(diǎn)睛】本題考查了判斷命題真假，熟練掌握?qǐng)D形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．例3（2020·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖是某劇場(chǎng)第一排座位分布圖：甲、乙、丙、丁四人購(gòu)票，所購(gòu)票分別為2，3，4，5．每人選座購(gòu)票時(shí)，只購(gòu)買(mǎi)第一排的座位相鄰的票，同時(shí)使自己所選的座位之和最?。绻础凹住⒁?、丙、丁”的先后順序購(gòu)票，那么甲購(gòu)買(mǎi)1，2號(hào)座位的票，乙購(gòu)買(mǎi)3，5，7號(hào)座位的票，丙選座購(gòu)票后，丁無(wú)法購(gòu)買(mǎi)到第一排座位的票．若丙第一購(gòu)票，要使其他三人都能購(gòu)買(mǎi)到第一排座位的票，寫(xiě)出一種滿足條件的購(gòu)票的先后順序______．【答案】丙，丁，甲，乙【分析】根據(jù)甲、乙、丙、丁四人購(gòu)票，所購(gòu)票數(shù)量分別為2，3，4，5可得若丙第一購(gòu)票，要使其他三人都能購(gòu)買(mǎi)到第一排座位的票，那么丙選座要盡可能得小，因此丙先選擇：1，2，3，4．丁所購(gòu)票數(shù)最多，因此應(yīng)讓丁第二購(gòu)票，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：丙先選擇：1，2，3，4．丁選：5，7，9，11，13．甲選：6，8．乙選：10，12，14．∴順序?yàn)楸?，丁，甲，乙．（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加法，認(rèn)真審題，理解題意是解題的關(guān)鍵．命題（判斷）是指一個(gè)判斷句的語(yǔ)義（實(shí)際表達(dá)的概念），這個(gè)概念是可以被定義并觀察的現(xiàn)象。命題不是指判斷句本身，而是指所表達(dá)的語(yǔ)義。當(dāng)相異的判斷句具有相同的語(yǔ)義的時(shí)候，他們表達(dá)相同的命題。在數(shù)學(xué)中，一般把判斷某一件事情的陳述句叫做命題?！咀兪?】（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）下列命題是真命題的是（

）A．每個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形是正多邊形 B．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形C．兩直線平行，同位角互補(bǔ) D．過(guò)線段中點(diǎn)的直線是線段的垂直平分線【答案】B【分析】根據(jù)正多邊形的定義、矩形的判定方法、平行線的性質(zhì)、垂直平分線定義分析判斷即可．【詳解】解：A、每個(gè)內(nèi)角都相等，每條邊都相等的多邊形是正多邊形，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；B、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，正確，是真命題，符合題意；C、兩直線平行，同位角相等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；D、過(guò)線段中點(diǎn)的垂直于線段的直線是線段的垂直平分線，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形的定義、矩形的判定方法、平行線的性質(zhì)、垂直平分線定義．【變式2】（2023·山東東營(yíng)·?？家荒＃┈F(xiàn)有以下命題：①斜邊中線和一個(gè)銳角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；②一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)平移所得的圖形中，各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行且相等；③通常溫度降到以下，純凈的水會(huì)結(jié)冰是隨機(jī)事件；④一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；⑤在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；⑥在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．其中真命題的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定，平移的性質(zhì)，隨機(jī)事件的概念，角和垂線的有關(guān)性質(zhì)，平行公理進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．【詳解】解：①斜邊中線和一個(gè)銳角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，故該命題是真命題；②一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)平移所得的圖形中，各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行且相等或在同一直線上，故原命題是假命題；③通常溫度降到以下，純凈的水會(huì)結(jié)冰是必然事件，故原命題是假命題；④一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故原命題是假命題；⑤在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故該命題是真命題；⑥在同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故原命題是假命題，綜上可得：真命題有2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、隨機(jī)事件、角和垂線的有關(guān)性質(zhì)、平行公理等知識(shí)．【變式3】（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）給出下列命題：①頂角相等的兩等腰三角形相似；②底角相等的兩等腰三角形相似；③兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似；④有一角對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形相似，其中真命題有_____（填序號(hào)）．【答案】①②③【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理，結(jié)合等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，分析即可．【詳解】解：①頂角相等的兩等腰三角形相似，符合有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，是真命題；②底角相等的兩等腰三角形相似，符合有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，是真命題；③兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似，符合兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似，是真命題；④有一角對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形不一定相似，原命題是假命題．故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理、相似三角形的判定，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相似三角形的判定定理．【變式4】（2022·北京門(mén)頭溝·統(tǒng)考二模）電腦系統(tǒng)中有個(gè)“掃雷”游戲，游戲規(guī)定：一個(gè)方塊里最多有一個(gè)地雷，方塊上面如果標(biāo)有數(shù)字，則是表示此數(shù)字周?chē)姆綁K中地雷的個(gè)數(shù)．如圖1中的“3”就是表示它周?chē)陌藗€(gè)方塊中有且只有3個(gè)有地雷．如圖2，這是小明玩游戲的局部，圖中有4個(gè)方塊已確定是地雷（標(biāo)旗子處），其它區(qū)域表示還未掀開(kāi)，問(wèn)在標(biāo)有“A”~“G”的七個(gè)方塊中，能確定一定是地雷的有________（填方塊上的字母）．【答案】B、D、F、G【分析】根據(jù)題意，初步推斷出C對(duì)應(yīng)的方格必定不是雷，A、B對(duì)應(yīng)的方格中有一個(gè)雷，中間D、E對(duì)應(yīng)方格中有一個(gè)雷且最右邊的“4”周?chē)?個(gè)方格中有3個(gè)雷，由此再觀察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推斷出A、C、E對(duì)應(yīng)的方格不是雷，且B、D、F、G對(duì)應(yīng)的方格是雷，由此得到本題答案．【詳解】解：由題圖中第三行第一列的“1”可知,第二行第一列是雷。用假設(shè)法推理如下：①假設(shè)A是雷，則由B下方的2可知：B不是雷；C不是雷；與C下方的“2”發(fā)生矛盾。假設(shè)不成立，則A不可能是雷；②假設(shè)B不是雷，由B下方的“2”可知：C是雷，由C下方的“2”可知：D是雷；與D下方的“2”發(fā)生矛盾。假設(shè)不成立，則B是雷；③假設(shè)A不是雷，B是雷，則由B下方的“2”可知，C不是雷；由C下方的“2”可知，D是雷；由D下方的“2”可知：E不是雷；由E下方的“3”可知，F(xiàn)是雷；由F下方的4可知：G是雷，∴B、D、F、G一定是雷．故答案為：B、D、F、G．【點(diǎn)睛】本題主要考查了推理論證，本題給出掃雷游戲的圖形，要求我們推理A、B、C、D、E、F對(duì)應(yīng)方格是否為雷，著重考查了掃雷的基本原理和推理與證明的知識(shí)．【變式5】（2022·江蘇鹽城·校聯(lián)考一模）蘇科版數(shù)學(xué)七（下）教材中有這樣一段閱讀材料：著名的反例：公元1640年，著名數(shù)學(xué)家費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)：，，，，而3、5、17、257、65537都是質(zhì)數(shù)，于是費(fèi)馬猜想：對(duì)于一切自然數(shù)n，都是質(zhì)數(shù)．可是，到了1732年，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)：．這說(shuō)明了是個(gè)合數(shù)，從而否定了費(fèi)馬的猜想．這個(gè)故事告訴我們，舉反例是說(shuō)明一個(gè)數(shù)學(xué)命題不成立的常用方法．(1)代數(shù)中的反例：①用舉反例說(shuō)明“”是個(gè)假命題時(shí)，a的取值范圍是______．②請(qǐng)你舉反例說(shuō)明“反比例函數(shù)，y隨x的增大而減小”是個(gè)假命題．(2)幾何中的反例：學(xué)習(xí)全等三角形判定時(shí)，我們知道“兩邊相等和一相等邊所對(duì)的角也相等的兩個(gè)三角形不一定全等”，即“SSA”不全等．請(qǐng)借助已給的，用三種方法在圖形基礎(chǔ)上構(gòu)造一個(gè)三角形，使得構(gòu)造出的三角形滿足以下三個(gè)條件：①有兩邊分別與AC和BC相等；②與BC相等邊所對(duì)的角等于；③構(gòu)造出的三角形與不全等．要求：①用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖的痕跡，并寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明；②不可借助已構(gòu)造出符合條件的三角形利用全等變換作圖．【答案】(1)①；②舉例見(jiàn)解析(2)畫(huà)圖見(jiàn)解析【分析】（1）①當(dāng)時(shí)，則解得：或再分別在小于0，大于0小于1，大于1的范圍內(nèi)舉例即可；②舉例：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)自變量變大，函數(shù)值也變大，從而可作判斷；（2）方法一：利用等腰三角形的性質(zhì)構(gòu)建三角形即可；方法二：利用角平分線的定義構(gòu)建三角形即可；方法三：利用對(duì)頂角相等，結(jié)合等腰三角形構(gòu)建三角形即可．（1）解：①當(dāng)時(shí)，則解得：或當(dāng)時(shí)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，此時(shí)所以“”是個(gè)假命題時(shí)，a的取值范圍是②對(duì)于反比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)自變量變大，函數(shù)值也變大，所以“反比例函數(shù)，y隨x的增大而減小”是個(gè)假命題．（2）解：方法一：如圖，延長(zhǎng)，以為圓心，為半徑畫(huà)弧，交的延長(zhǎng)線于，連接CD，則中，滿足但是兩個(gè)三角形不全等．方法二：以A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)F，以點(diǎn)M為圓心，MF為半徑畫(huà)弧，與前弧在AB的另一側(cè)交于點(diǎn)G，作射線AG，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線AG于點(diǎn)D，以D為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接DE，得三角形ADE，則中，滿足但是兩個(gè)三角形不全等．方法三：以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AC的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，以點(diǎn)D為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，E（點(diǎn)E在外側(cè)）連接DE，得三角形ADE，則中，滿足但是兩個(gè)三角形不全等．【點(diǎn)睛】本題考查的是反證法的應(yīng)用，舉反例的應(yīng)用，全等三角形的判定，復(fù)雜的作圖，特別是掌握兩個(gè)三角形中滿足兩邊及其中一邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等是解本題的關(guān)鍵．【新題速遞】1．（2023秋·貴州黔東南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)和線段的長(zhǎng)度關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，算出和的長(zhǎng)，即可解答．【詳解】解：∵是線段的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查線段的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的性質(zhì)和線段的計(jì)算方法．2．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用反證法證明：“若，則”，應(yīng)先假設(shè)（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，結(jié)論的反面成立，即可得出答案．【詳解】解：用反證法證明：“若，則”，應(yīng)先假設(shè)．故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反證法，要掌握一些常見(jiàn)結(jié)論的否定方法．如“大于”的否定是“不大于或小于等于”，“小于”的否定是“不小于”等等．3．（2023·云南昭通·?？家荒＃┤鐖D，直線c與直線a、b都相交．若，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等，得出，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得出．【詳解】解：如圖，∵，和是對(duì)頂角，∴，∵，∴，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．4．（2023秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，一塊含有角的直角三角尺的頂點(diǎn)E位于直線上，平分，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行，可以得出內(nèi)錯(cuò)角相等，，由平分，角平分線的性質(zhì)得，，故可以得出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∵平分，，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，解本題要熟練掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)．5．（2022春·廣東揭陽(yáng)·七年級(jí)校考期中）如圖，直線，點(diǎn)A，B分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G在上，，和的角平分線交于點(diǎn)D，若，則m的值為（）A．70 B．74 C．76 D．80【答案】D【分析】先由平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出m的值．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作，，，，，，，由題意可得為的角平分線，為的角平分線，，，，，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是中斜邊（不與A，C重合）上一動(dòng)點(diǎn)，分別作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，若，當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則的最小值是（）A．3 B． C． D．4【答案】B【分析】證四邊形是矩形，得，由勾股定理求出，當(dāng)時(shí)，最小，然后由面積法求出的最小值，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：連接，如圖所示：∵于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，∴四邊形是矩形，，∴，與互相平分，∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴，當(dāng)時(shí)，最小，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理以及面積法等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·貴州銅仁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知在中，與的平分線交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F的直線交于點(diǎn)D，交于的E，且．有下列結(jié)論：①；②是等腰三角形；③的周長(zhǎng)18；④；⑤；⑥．其中正確的有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)，可得，故①正確；從而得到，再由平分，可得，從而得到是等腰三角形，故②正確；根據(jù)平分，可得，從而得到，進(jìn)而得到，故⑥正確；再證得，可得，的周長(zhǎng)，故③正確；再求出，可得，從而得到，故④錯(cuò)誤；再由三角形內(nèi)角和定理可得，故⑤錯(cuò)誤，即可．【詳解】解：∵，∴，故①正確；∴，∵平分，∴，∴，∴，∴是等腰三角形，故②正確；∵平分，∴，∴，∴，∴，故⑥正確；∵，∴，∴，∴，∴的周長(zhǎng)，故③正確；∵，平分，平分，∴，∴，∴，故④錯(cuò)誤；∴，故⑤錯(cuò)誤；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．8．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，，點(diǎn)P是延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，邊與點(diǎn)M，邊與點(diǎn)N，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，證明P、M、N、B四點(diǎn)是以為直徑的圓上，設(shè)此圓心為O，連接、，則，由勾股定理，可得，所以當(dāng)取最小值時(shí)，值最小，再過(guò)點(diǎn)C作于D，求得，在中，求出，即可求解．【詳解】解：連接，∵，，∴，∴點(diǎn)P、M、N、B在以為直徑的圓上，設(shè)此圓心為O，連接、，∴，由勾股定理，可得，∴當(dāng)取最小值時(shí)，值最小，∴當(dāng)于P時(shí)，此時(shí)值最小，則值最小，過(guò)點(diǎn)C作于D，∴，∵，，∴，，∵，∴∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，垂線段最短，本題綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)定理和將求最小值轉(zhuǎn)化成求最小值是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·廣東深圳·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線，使，將一塊透明的三角尺直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，并繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)直線恰好平分銳角時(shí)，_____．【答案】或【分析】由角平分線的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義即可求出的度數(shù)．【詳解】解：當(dāng)N在上方，平分，，，當(dāng)N在下方，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，鄰補(bǔ)角的定義，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·廣東韶關(guān)·七年級(jí)校考期中）兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．這個(gè)命題的結(jié)論是_____．【答案】?jī)?nèi)錯(cuò)角相等【分析】命題的一般敘述形式為“如果……那么……”，其中，“如果”所引出的部分是題設(shè)（條件），“那么”所引出的部分是結(jié)論．【詳解】解：兩條直線平行被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等的題設(shè)是兩條平行直線被第三條直線所截，結(jié)論是內(nèi)錯(cuò)角相等，故答案為：內(nèi)錯(cuò)角相等．【點(diǎn)睛】本題考查了命題，找準(zhǔn)原命題的題設(shè)與結(jié)論是正確解答本題的關(guān)鍵．11．（2023春·江蘇·七年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考周測(cè)）如圖，將為的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，則的度數(shù)為_(kāi)____________．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)D，可證，利用平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)D．中，，．，．，，，，，故按為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線性質(zhì)，平行公理的推論，三角板中的角度計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．12．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在中，，點(diǎn)N是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)M為邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別為的中點(diǎn)，則的最小值是___________．【答案】##2.4##【分析】連接，當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)的值也最小，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積求出，再求出答案即可．【詳解】解：連接，∵點(diǎn)D、E分別為的中點(diǎn)，∴，當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)的值也最小，由勾股定理得：，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，勾股定理，三角形的中位線，垂線段最短等，熟知三角形的中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，且，點(diǎn)D是斜邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，連接，則線段的最小值為_(kāi)__________．【答案】##【分析】由勾股定理求出的長(zhǎng)，再證明四邊形是矩形，可得，根據(jù)垂線段最短和三角形面積即可解決問(wèn)題．【詳解】解：連接，∵，且，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)，的面積=，∴，∴的最小值為；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．14．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形中，，，，P為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于______．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)P作，由平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合題意可得出，進(jìn)而得出，再由勾股定理可求出，即說(shuō)明，進(jìn)而說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)C、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，且為的長(zhǎng)，最后根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可求解．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為Q，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)C、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，且為的長(zhǎng)，∴此時(shí)．∵，∴，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線并理解當(dāng)點(diǎn)C、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，且為的長(zhǎng)．15．（2022秋·福建福州·七年級(jí)福州黎明中學(xué)校考期末）如圖，已知線段．(1)延長(zhǎng)線段至點(diǎn)C，使得（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，取的中點(diǎn)D，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分