專題03一元二次方程(考點剖析)-2018-2019學(xué)年浙江省八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末必考點復(fù)習(浙教版)(原卷版+解析)2

專題03一元二次方程【考點剖析】1、一元二次方程的相關(guān)概念（1）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．注意：判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．（2）一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．2、一元二次方程的解法（1）解一元二次方程-配方法將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．（2）解一元二次方程-公式法把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進而確定a，b，c的值（注意符號）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．（3）解一元二次方程-因式分解法因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．3、根與系數(shù)的關(guān)系（1）若二次項系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．（2）若二次項系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2，x1x2，反過來也成立，即（x1+x2），x1x2．（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件．一元二次方程的定義【典例】例1．方程（m﹣3）（m﹣2）x+5＝0．（1）m為何值時，方程是一元二次方程；（2）m為何值時，方程是一元一次方程．【鞏固練習】1．已知方程（m﹣2）（m﹣3）x+1＝0．（1）當m為何值時，它是一元二次方程？（2）當m為何值時，它是一元一次方程？2．已知關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0．（1）當m為何值時，該方程為一元二次方程？（2）當m為何值時，該方程為一元一次方程？一元二次方程的解【典例】例1．若a是方程x2﹣3x+1＝0的根，計算：a2﹣3a______．【鞏固練習】1．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一個解為x＝﹣1，則m的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．32．m是方程x2+x﹣1＝0的根，則式子2m2+2m+2017的值為（）A．2016 B．2017 C．2018 D．20193．已知m是方程x2﹣2x﹣2019＝0的一個根，則2m2﹣4m的值等于（）A．2019 B．﹣2019 C．4038 D．﹣4038解一元二次方程【典例】例1．小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0時出現(xiàn)了錯誤，其解答過程如下：x2﹣2x＝﹣1（第一步）x2﹣2x+1＝﹣1+1（第二步）（x﹣1）2＝0（第三步）x1＝x2＝1（第四步）（1）小明解答過程是從第______步開始出錯的，其錯誤原因是______________________；（2）請寫出此題正確的解答過程．例2．解方程：（1）x（2x﹣1）+2x﹣1＝0；（2）3x2﹣6x﹣2＝0．【鞏固練習】1．用配方法解方程x2﹣6x+7＝0，將其化為（x+a）2＝b的形式，正確的是（）A．（x+3）2＝2 B．（x﹣3）2＝16 C．（x﹣6）2＝2 D．（x﹣3）2＝22．用配方法解下列方程時，配方有錯誤的是（）A．x2+8x+9＝0化為（x+4）2＝25 B．x2﹣2x﹣99＝0化為（x﹣1）2＝100 C．2t2﹣7t﹣4＝0化為 D．3x2﹣4x﹣2＝0化為3．用配方法解關(guān)于x的方程x2+px+q＝0時，此方程可變形為（）A． B． C． D．4．用適當方法解下列方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）3x2﹣2＝4x．5．解下列方程：（1）2x2+4x﹣1＝0；（2）2x（x+2）＝x+2．6．用適當?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?）3x2﹣10x+3＝0；（2）（2x﹣3）（x+1）＝（2﹣x）（x+1）．7．解方程：（1）（x﹣2）（x+4）＝6；（2）（x+1）2﹣9（x+3）2＝0．根的判別式【典例】例1．已知，關(guān)于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x﹣a＝0．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程有一個根是負數(shù)，求a的取值范圍．例2．已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m為實數(shù)且m≠1）．（1）求證：此方程總有兩個實數(shù)根；（2）如果此方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．【鞏固練習】1．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣3）＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤22．一元二次方程x2﹣3x+3＝0根的情況是（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．不能確定3．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2mx+4m+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則m2﹣2m的值為__________．4．若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是__________________．5．已知關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0總有實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下，當m在取值范圍內(nèi)取最小整數(shù)時，求原方程的解．根與系數(shù)的關(guān)系【典例】例1．若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩個根，求下列代數(shù)式的值．（1）;（2）x12+x22;（3）（x1﹣x2）2;（4）;（5）（x1﹣2）（x2﹣2）;（6）（x1）（x2）．例2．關(guān)于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0．（1）如果方程有實數(shù)根，求k的取值范圍；（2）設(shè)x1、x2是方程的兩根，且x12+x22＝6+x1x2，求k的值．【鞏固練習】1．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的兩個實數(shù)根分別為x1＝2，x2＝4，則m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．22．若x1和x2為一元二次方程x2+2x﹣1＝0的兩個根．則x12x2+x1x22值為（）A．4 B．2 C．4 D．33．閱讀材料：設(shè)一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根為x1、x2，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：x1+x2，x1?x2，請根據(jù)該閱讀材料計算：已知x1、x2是方程x2+6x+3＝0的兩實屬根，則的值為（）A．10 B．8 C．6 D．44．已知x1、x2是方程x2+2x﹣3＝0的兩個根，（1）求x1+x2；x1x2的值；（2）求x12+x22的值．5．關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，且（1+x1）（1+x2）＝3，求k的值．專題03一元二次方程【考點剖析】1、一元二次方程的相關(guān)概念（1）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．注意：判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．（2）一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．2、一元二次方程的解法（1）解一元二次方程-配方法將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．（2）解一元二次方程-公式法把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進而確定a，b，c的值（注意符號）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．（3）解一元二次方程-因式分解法因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．3、根與系數(shù)的關(guān)系（1）若二次項系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．（2）若二次項系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2，x1x2，反過來也成立，即（x1+x2），x1x2．（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件．一元二次方程的定義【典例】例1．方程（m﹣3）（m﹣2）x+5＝0．（1）m為何值時，方程是一元二次方程；（2）m為何值時，方程是一元一次方程．【答案】見解析【解析】解：（1）∵關(guān)于方程（m﹣3）（m﹣2）x+5＝0是一元二次方程，∴m2﹣7＝2且m﹣3≠0，解得m＝﹣3．故m為﹣3時，方程是一元二次方程；（2）∵關(guān)于（m﹣3）（m﹣2）x+5＝0是一元一次方程，∴m﹣3＝0且m﹣2≠0或m2﹣7＝1或m2﹣7＝0，解得m＝3或m＝±2或m＝±故m為3或±2或±時，方程是一元一次方程．【點睛】（1）根據(jù)一元二次方程的定義得到：m2﹣7＝2且m﹣3≠0，由此可以求得m的值；（2）由一元一次方程的定義得到：m﹣3＝0且m﹣2≠0或m2﹣7＝1，由此可以求得m的值．本題考查了一元二次方程、一元一次方程的定義．注意，一元一次方程的未知數(shù)的系數(shù)不等于零，一元二次方程的二次項系數(shù)不等于零．【鞏固練習】1．已知方程（m﹣2）（m﹣3）x+1＝0．（1）當m為何值時，它是一元二次方程？（2）當m為何值時，它是一元一次方程？【答案】見解析【解析】解：（1）∵方程（m﹣2）（m﹣3）x+1＝0為一元二次方程，∴，解得：m＝±，所以當m為或時，方程方程（m﹣2）（m﹣3）x+1＝0為一元二次方程；（2）∵方程（m﹣2）（m﹣3）x+1＝0為一元一次方程，∴或m2＝1或m＝0，解得，m＝2或m＝±1，m＝0，故當m為2或±1時，方程方程（m﹣2）（m﹣3）x+1＝0為一元一次方程．2．已知關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0．（1）當m為何值時，該方程為一元二次方程？（2）當m為何值時，該方程為一元一次方程？【答案】見解析【解析】解：（1）∵關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0為一元二次方程，∴m2﹣1≠0，解得m≠±1，即當m≠±1時，方程為一元二次方程；（2）∵關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0為一元一次方程，∴m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，即當m為﹣1時，方程為一元一次方程．一元二次方程的解【典例】例1．若a是方程x2﹣3x+1＝0的根，計算：a2﹣3a______．【答案】0【解析】解：∵a是方程x2﹣3x+1＝0的根，∴a2﹣3a+1＝0，則a2﹣3a＝﹣1，a2+1＝3a，所以原式＝﹣1+1＝0，故答案為：0．【點睛】由方程的解的定義得出a2﹣3a+1＝0，即a2﹣3a＝﹣1、a2+1＝3a，整體代入計算可得．本題主要考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握方程的解的定義及整體代入思想的運用．【鞏固練習】1．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一個解為x＝﹣1，則m的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【答案】C【解析】解：根據(jù)題意，將x＝﹣1代入x2﹣2x+m＝0，得：1+2+m＝0，解得m＝﹣3，故選：C．2．m是方程x2+x﹣1＝0的根，則式子2m2+2m+2017的值為（）A．2016 B．2017 C．2018 D．2019【答案】D【解析】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，∴m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，∴2m2+2m+2017＝2（m2+m）+2017＝2+2017＝2019．故選：D．3．已知m是方程x2﹣2x﹣2019＝0的一個根，則2m2﹣4m的值等于（）A．2019 B．﹣2019 C．4038 D．﹣4038【答案】C【解析】解：根據(jù)題意，將x＝m代入方程，得：m2﹣2m﹣2019＝0，則m2﹣2m＝2019，∴2m2﹣4m＝2（m2﹣2m）＝2×2019＝4038，故選：C．解一元二次方程【典例】例1．小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0時出現(xiàn)了錯誤，其解答過程如下：x2﹣2x＝﹣1（第一步）x2﹣2x+1＝﹣1+1（第二步）（x﹣1）2＝0（第三步）x1＝x2＝1（第四步）（1）小明解答過程是從第______步開始出錯的，其錯誤原因是______________________；（2）請寫出此題正確的解答過程．【答案】見解析【解析】解：（1）小明解答過程是從第一步開始出錯的，因為把方程兩邊都加上1時，方程右邊為1．故答案為一；不符合等式性質(zhì)1；（1）x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝±，所以x1＝1，x2＝1．【點睛】（1）先把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊加上9，然后把方程左邊寫成完全平方的形式即可；（2）先把方程兩邊加上1，再把方程兩邊加上1，利用完全平方公式得到（x﹣1）2＝2，然后利用直接開平方法解方程．本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．例2．解方程：（1）x（2x﹣1）+2x﹣1＝0；（2）3x2﹣6x﹣2＝0．【答案】見解析【解析】解：（1）x（2x﹣1）+2x﹣1＝0，（2x﹣1）（x+1）＝0，2x﹣1＝0，x+1＝0，x1，x2＝﹣1；（2）3x2﹣6x﹣2＝0，b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣2）＝60，x，x1，x2．【點睛】（1）先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能選擇適當?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵．【鞏固練習】1．用配方法解方程x2﹣6x+7＝0，將其化為（x+a）2＝b的形式，正確的是（）A．（x+3）2＝2 B．（x﹣3）2＝16 C．（x﹣6）2＝2 D．（x﹣3）2＝2【答案】D【解析】解：x2﹣6x+7＝0，x2﹣6x＝﹣7，x2﹣6x+9＝﹣7+9，（x﹣3）2＝2，故選：D．2．用配方法解下列方程時，配方有錯誤的是（）A．x2+8x+9＝0化為（x+4）2＝25 B．x2﹣2x﹣99＝0化為（x﹣1）2＝100 C．2t2﹣7t﹣4＝0化為 D．3x2﹣4x﹣2＝0化為【答案】A【解析】解：A、x2+8x+9＝0化為（x+4）2＝7，所以A選項的配方錯誤；B、x2﹣2x﹣99＝0化為（x﹣1）2＝100，所以B選項的配方正確；C、2t2﹣7t﹣4＝0先化為t2t＝2，再化為，所以C選項的配方正確；D、3x2﹣4x﹣2＝0先化為x2x，再化為（x）2，所以D選項的配方正確．故選：A．3．用配方法解關(guān)于x的方程x2+px+q＝0時，此方程可變形為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵x2+px+q＝0∴x2+px＝﹣q∴x2+pxq∴（x）2故選：B．4．用適當方法解下列方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）3x2﹣2＝4x．【答案】見解析【解析】解：（1）x2+4x﹣1＝0，x2+4x＝1，x2+4x+4＝1+4，（x+2）2＝5，x1＝﹣2+，，x2＝﹣2；（2）3x2﹣2＝4x，3x2﹣4x﹣2＝0，b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）＝40，x，x1，x2．5．解下列方程：（1）2x2+4x﹣1＝0；（2）2x（x+2）＝x+2．【答案】見解析【解析】解：（1）x2+2x，x2+2x+11，（x+1）2，x+1＝±，所以x1＝﹣1，x2＝﹣1；（2）2x（x+2）﹣（x+2）＝0，（x+2）（2x﹣1）＝0，x+2＝0或2x﹣1＝0，所以x1＝﹣2，x2．6．用適當?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?）3x2﹣10x+3＝0；（2）（2x﹣3）（x+1）＝（2﹣x）（x+1）．【答案】見解析【解析】解：（1）∵a＝3，b＝﹣10，c＝3．∴b2﹣4ac＝（﹣10）2﹣4×3×3＝64x，所以x1＝3，x2；（2）（2x﹣3）（x+1）+（x﹣2）（x+1）＝0，（x+1）（2x﹣3+x﹣2）＝0，x+1＝0或3x﹣5＝0，所以x1＝﹣1，x2．7．解方程：（1）（x﹣2）（x+4）＝6；（2）（x+1）2﹣9（x+3）2＝0．【答案】見解析【解析】解：（1）x2+2x﹣14＝0，x2+2x+1＝15，（x+1）2＝15，x+1＝±，所以x1＝﹣1，x2＝﹣1；（2）[x+1﹣3（x+3）][x+1+3（x+3）]＝0，x+1﹣3（x+3）＝0或x+1+3（x+3）＝0，所以x1＝﹣4，x2．根的判別式【典例】例1．已知，關(guān)于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x﹣a＝0．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程有一個根是負數(shù)，求a的取值范圍．【答案】見解析【解析】（1）證明：∵x2+（a﹣1）x﹣a＝0是關(guān)于x的一元二次方程，∴△＝（a﹣1）2+4a＝a2+2a+1＝（a+1）2≥0，∴方程總有兩個實數(shù)根；（2）解：由求根公式得，x，∴x1＝1，x2＝﹣a，∵該方程有一個根是負數(shù)，∴﹣a＜0，∴a＞0．【點睛】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式即可得出結(jié)論；（2）利用一元二方程的求根公式求出兩根，即可得出結(jié)論．此題主要考查了一元二次方程的根的判別式，公式法解一元二次方程，熟記一元二次方程的求根公式是解本題的關(guān)鍵．例2．已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m為實數(shù)且m≠1）．（1）求證：此方程總有兩個實數(shù)根；（2）如果此方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．【答案】見解析【解析】解：（1）證明：依題意，得△＝（m﹣4）2﹣4（m﹣1）×（﹣3）＝m2﹣8m+16+12m﹣12＝m2+4m+4＝（m+2）2．∵（m+2）2≥0，∴方程總有兩個實數(shù)根；（2）∵（x+1）[（m﹣1）x﹣3]＝0，∴x1＝﹣1，，∵方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，且m是正整數(shù)，∴m﹣1＝1或m﹣1＝3，∴m＝2或m＝4．【點睛】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，配方法，偶次方的非負性證明；（2）利用因式分解法解出方程，根據(jù)題意求出m．本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解法，掌握一元二次方程根的判別式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【鞏固練習】1．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣3）＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2【答案】C【解析】解：根據(jù)題意得：△＝22+4（m﹣3）＝4+4m﹣12＝4m﹣8≥0，解得：m≥2，故選：C．2．一元二次方程x2﹣3x+3＝0根的情況是（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．不能確定【答案】C【解析】解：∵△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×3＝9﹣12＝﹣3＜0，∴方程沒有實數(shù)根，故選：C．3．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2mx+4m+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則m2﹣2m的值為__________．【答案】【解析】解：根據(jù)題意得：△＝（﹣2m）2﹣4＝4m2﹣8m﹣2＝0，整理得：4m2﹣8m＝2，等式兩邊同時除以4得：m2﹣2m，故答案為：．4．若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是__________________．【答案】k＞0且k≠1【解析】解：∵原方程是關(guān)于x得一元二次方程，∴k﹣1≠0解得：k≠1，又∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴△＝4+4（k﹣1）＞0，解得：k＞0，即k得取值范圍是：k＞0且k≠1，故答案為：k＞0且k≠1．5．已知關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0總有實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下，當m在取值范圍內(nèi)取最小整數(shù)時，求原方程的解．【答案】見解析【解析】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0總有實數(shù)根，∴m+1≠0且△≥0，即4m2﹣4（m+1）×（m﹣3）≥0，解得m，∴m的取值范圍為m且m≠﹣1；（2）∵m的取值范圍為m且m≠﹣1，∴m的最小整數(shù)為0，∴方程變形為：x2﹣3＝0，∴x＝±，根與系數(shù)的關(guān)系【典例】例1．若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩個根，求下列代數(shù)式的值．（1）;（2）x12+x22;（3）（x1﹣x2）2;（4）;（5）（x1﹣2）（x2﹣2）;（6）（x1）（x2）．【答案】見解析【解析】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩個根，∴x1+x2，x1x2．（1）3；（2）x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×（）；（3）（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×（）；（4）；（5）（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+424；（6）（x1）（x2）＝x1x2+22．【點睛】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2和x1x2的值，然后把它們的值代入代數(shù)式可以求出代數(shù)式的值．本題考查的是一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根的和與兩根的積，然后把兩根的和與兩根的積代入代數(shù)式求出代數(shù)式的值．例2．關(guān)于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0．（1）如果方程有實數(shù)根，求k的取值范圍；（2）設(shè)x1、x2是方程的兩根，且x12+x22＝6+x1x2，求k的值．【答案】見解析【解析】解：（1）根據(jù)題意得△＝（2k+1）2﹣4k2≥0，解得k，即k的范圍為k；（2）根據(jù)題意得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2，∵x12+x22＝6+x1x2，∴（x1+x2）2＝6+3x1x2，∴（2k+1）2＝6+3k2，整理得k2+4k﹣5＝0，解得k1＝1，k2＝﹣5，∵k，∴k的