1.2整式的乘法-2022-2023學年七年級數(shù)學下冊(北師大版)（原卷版）

1.2整式的乘法知識點一知識點一單項式×單項式單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。注：=1\*GB3①單項式乘單項式，結果仍為單項式；=2\*GB3②單項式相乘時，注意不要漏掉無相同之母的項。知識點二知識點二單項式×多項式根據(jù)乘法分配律，用單項式乘以多項式的每一項，再把所得的積相加。即：p(a+b+c)=pa+pb+pc注：單項式乘以多項式的積仍是一個多項式，積的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同；如果式中含有乘方運算，仍應先算乘方，在算乘法。知識點三知識點三多項式×多項式先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。注：運算過程中，需要關注符號的變化（負負得正，正負為負）；乘法運算的結果中，如果有同類項，需要合并同類項，化為最簡形式。題型一整式乘法中的求值問題【例題1】已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q為正整數(shù)），則m的值不可能是（）A．37 B．13 C．20 D．36解題技巧提煉p（a+b+c）=pa+pb+pc；（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn【變式11】（1）已知：則的值是_____（2）如果記那么_____（3）若則x=_____（4）若則_____【變式12】若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，則ab﹣a+b的值是（）A．﹣11 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣55【變式13】若x+y＝2，xy＝﹣1，則（1﹣2x）（1﹣2y）的值是．【變式14】在計算（2x+a）（x+b）時，甲錯把b看成了6，得到結果是：2x2+8x﹣24；乙錯把a看成了﹣a，得到結果：2x2+14x+20．（1）求出a，b的值；（2）在（1）的條件下，計算（2x+a）（x+b）的結果．題型二整式乘法中的不含某項問題【例題2】關于x的代數(shù)式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化簡后不含有x2項和常數(shù)項．（1）分別求m，n的值．（2）求m2020n2021的值．解題技巧提煉先按照多項式乘以多項式將括號打開，再根據(jù)不含項的系數(shù)為0得到方程，解方程即可得到答案.【變式21】已知(－2x)·(5－3x＋mx2－nx3)的結果中不含x3項，則m的值為()A．1 B．－1 C．－ D．0【變式22】若多項式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的的乘積中不含x2和x3的項，求m+n的值．【變式23】已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展開式中不含x3和x2項．（1）求m、n的值；（2）當m、n取第（1）小題的值時，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【變式24】【知識回顧】七年級學習代數(shù)式求值時，遇到這樣一類題“代數(shù)式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值與x的取值無關，求a的值”，通常的解題方法是：把x、y看作字母，a看作系數(shù)合并同類項，因為代數(shù)式的值與x的取值無關，所以含x項的系數(shù)為0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，則a＝﹣3．【理解應用】（1）若關于x的多項式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值與x的取值無關，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值與x無關，求y的值；【能力提升】（3）7張如圖1的小長方形，長為a，寬為b，按照圖2方式不重疊地放在大長方形ABCD內，大長方形中未被覆蓋的兩個部分（圖中陰影部分），設右上角的面積為S1，左下角的面積為S2，當AB的長變化時，S1﹣S2的值始終保持不變，求a與b的等量關系．【變式25】先化簡，再求值：已知代數(shù)式化簡后，不含有x2項和常數(shù)項.（1）求a、b的值；（2）求的值.題型三整式乘法的計算【例題3】計算：（1）?12（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）解題技巧提煉根據(jù)整式乘法的法則，進行計算.【變式31】計算的結果是（）A． B． C． D．【變式32】化簡5a?（2a2﹣ab），結果正確的是（）A．﹣10a3﹣5ab B．10a3﹣5a2b C．﹣10a2+5a2b D．﹣10a3+5a2b【變式33】計算：（1）2x2y（x?12（2）（x﹣2y）（y﹣x）．【變式34】計算：（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．【變式35】小奇計算一道整式的混合運算的題：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇將第一個多項式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的結果為4x2+13x+9．（1）求a的值．（2）請計算出這道題的正確結果．題型四整式乘法的應用【例題4】有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕的A區(qū)就會自動減去a，同時B區(qū)就會自動加上3a，且均顯示化簡后的結果．已知A，B兩區(qū)初始顯示的分別是25和﹣16（如圖所示）．例如：第一次按鍵后，A，B兩區(qū)分別顯示：25﹣a，﹣16+3a．（1）那么第二次按鍵后，A區(qū)顯示的結果為，B區(qū)顯示的結果為．（2）計算（1）中A、B兩區(qū)顯示的代數(shù)式的乘積，并求當a＝2時，代數(shù)式乘積的值．解題技巧提煉根據(jù)題意列出代數(shù)式；再利用整式乘法法則進行計算【變式41】我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學語言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)中的數(shù)量關系，對幾何圖形做出代數(shù)解釋和用幾何圖形的面積表示代數(shù)恒等式是互逆的．課本上由拼圖用幾何圖形的面積來驗證了乘法公式，一些代數(shù)恒等式也能用這種形式表示，例如(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2就可以用圖①或圖②等圖形的面積表示．(1)填一填：請寫出圖③所表示的代數(shù)恒等式：______________________________；(2)畫一畫：試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示：(a＋b)(a＋3b)＝a2＋4ab＋3b2.【變式42】我們經(jīng)常利用圖形描述問題和分析問題．借助直觀的幾何圖形，把問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路．（1）在整式乘法公式的學習中，小明為了解釋某一公式，構造了幾何圖形，如圖1所示，先畫了邊長為a，b的大小兩個正方形，再延長小正方形的兩邊，把大正方形分割為四部分，并分別標記為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，然后補出圖形Ⅴ．顯然圖形Ⅴ與圖形Ⅳ的面積相等，所以圖形Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ的面積和與圖形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面積和相等，從而驗證了公式．則小明驗證的公式是；（2）計算：（x+a）（x+b）=；請畫圖說明這個等式．【變式43】為迎接十四運，某小區(qū)修建一個長為（3a﹣b）米，寬為（a+2b）米的長方形休閑場所ABCD．長方形內筑一個正方形活動區(qū)EFGH和連接活動區(qū)到矩形四邊的四條筆直小路（如圖），正方形活動區(qū)的邊長為（a﹣b）米，小路的寬均為2米．活動區(qū)與小路鋪設鵝卵石，其它地方鋪設草坪．（1）求鋪設草坪的面積是多少平方米；（2）當a＝10，b＝4時，需要鋪設草坪的面積是多少？【變式44】（1）如圖是小穎家新房的戶型圖，小穎的爸爸打算把兩個臥室以外的部分都鋪上地磚，至少需要多少平方米的地磚？如果某種地磚的價格為每平方米a元，那么購買地磚至少需要多少元？（2）如果房屋的高度是h米，現(xiàn)在需要在客廳和兩個臥室四周的墻上貼墻紙，那么至少需要多少平方米的墻紙？如果某種墻紙的價格為每平方米b元，那么購買所需的墻紙至少要多少元？（計算時不扣除門、窗所占的面積，忽略墻的厚度）【變式45】已知有甲、乙兩個長方形，它們的邊長如圖所示，面積分別為S1，S2．（1）S1與S2的大小關系為：S1S2．（2）若一個正方形的周長與甲的周長相等．①求該正方形的邊長（用含m的代數(shù)式表示）．②若該正方形的面積為S3，試探究：S3與S2的差（即S3﹣S2）是否為常數(shù)？若為常數(shù)，求出這個常數(shù)，如果不是，請說明理由．題型五整式乘法中的規(guī)律探究【例題5】觀察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…（1）分解因式：x5﹣1＝；（2）根據(jù)規(guī)律可得（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝（其中n為正整數(shù)）；（3）計算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）．解題技巧提煉根據(jù)題目中的已知總結出一定的規(guī)律，進而解題【變式51】閱讀下文，回答問題：已知：（1x）（1+x）=1x2．（1x）（1+x+x2）=_______;（1x）（1+x+x2+x3）=_______;（1）計算上式并填空；（2）猜想：（1x）（1+x+x2+…+xn）=

；（3）你能計算399+398+397…+32+3+1的結果嗎？請寫出計算過程（結果用含有3冪的式子表示）.【變式52】探究規(guī)律，解決問題：（1）化簡：（m﹣1）（m+1）＝，（m﹣1）（m2+m+1）＝．（2）化簡：（m﹣1）（m3+m2+m+1），寫出化簡過程．（3）化簡：（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1）＝．（n為正整數(shù)，mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1為n+1項多項式）（4）利用以上結果，計算1+3+32+33+…+3100的值．【變式53】觀察以下等式：（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216…（1）按以上等式的規(guī)律，填空：（a+b）（）＝a3+b3（2）利用多項式的乘法法則，證明（1）中的等式成立．（3）利用（1）中的公式化簡：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）【變式54】如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“智慧數(shù)”，例如，3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧數(shù)”在正整數(shù)中，從1開始，第2018個智慧數(shù)是_____．【變式55】探究應用：（1）計算：（x﹣1）（x2+x