4.2指數函數教學設計-2024-2025學年高一上學期數學人教A版

《指數函數》第一課時教學設計教材分析內容分布指數函數內容位于2019年人教A版數學教材必修第一冊第四章第二節(jié)。本單元包括指數函數的概念、圖象和性質，共2課時，第1課時的主要內容是指數函數的概念，第2課時的主要內容是指數函數的圖象和性質。本節(jié)教學內容為第1課時指數函數的概念。內容解析本節(jié)是再函數的概念和性質、冪函數、指數及其運算性質的基礎上，進一步研究指數函數的概念、圖象和性質。指數函數作為基本初等函數之一，是函數內容的重要組成部分；是對數函數、等比數列、概率統(tǒng)計、導數等高中數學內容的基礎，其思想方法與其他數學內容還有緊密的聯(lián)系；同時作為重要的函數模型還有廣泛的應用，又是分析和解決大量數學問題和實際問題的重要工具。指數函數是一類具體的函數，有了研究冪函數的經驗，便可以按研究一個函數的基本方法去研究指數函數的主要內容。指數函數的概念體現了指數函數變量間對應關系的本質，是研究其圖象和性質的基礎。指數函數的概念教學應該在函數概念的基礎上，重點揭示指數增長或衰減的規(guī)律：在自變量增加1個單位，相應的函數值之比為常數，這反映了指數函數變化規(guī)律的特征。在教學時要引導學生通過實例抽象概括出這個特點。在指數函數中，教科書通過表格、圖象，學生能直觀地感受指數函數地變化規(guī)律。教科書以兩地景區(qū)游客流量變化的問題為例，首先利用表格中的數據反映了游客人次的增長變化。再通過圖象，A景區(qū)呈現線性增長，B景區(qū)呈現非線性增長。然后為了定量刻畫變化規(guī)律，教科書引導學生通過減法和除法發(fā)現數據中蘊含的規(guī)律，一種變化的本質是相鄰兩年的增量不變，另一種變化的本質是相鄰兩年的增長率不變。這兩種規(guī)律分別是線性增長和指數增長，將指數函數與一次函數直線增長的進行對比，引入指數函數，突出指數函數爆炸性增長的特點，體現學習指數函數的必要性。再以碳14的衰減的問題為例，介紹指數函數衰減的特點，以幫助學生更好地把握指數函數的變化規(guī)律。學情分析已有基礎學生已經在第三章中學習過函數的概念和性質，并且已經學習過冪函數，體會了“概念—圖象—性質”的研究具體函數的一般思路。在上一節(jié)中學習了指數，已將指數的范圍擴展到全體實數。能力發(fā)展通過具體實例引入，引導學生從實際情境中抽象出指數函數，培養(yǎng)分析、歸納問題的能力，提升數學抽象素養(yǎng)。數學核心素養(yǎng)提升數學抽象的能力，體會數形結合的思想方法，滲透直觀想象的素養(yǎng)。教學目標目標通過具體的兩個實例，了解指數函數的實際意義，理解指數函數的概念；通過對指數函數概念的研究，學生能夠從實際問題中通過觀察、數學運算、歸納、數形結合等方法抽象出數學概念，提升數學抽象和直觀想象素養(yǎng)。目標解析能結合教材中游客增長和碳14衰減的問題，通過運算發(fā)現其中具體的增長和衰減規(guī)律，體會實際問題中的變量間的關系。從實例中知道指數函數的有關特征，知道指數函數的含義和表示，能夠從具體情境中辨認出指數函數，并能闡述出指數函數與冪函數之間的區(qū)別，清楚其定義域和底數a的取值范圍。通過具體實例抽象為具體函數、再由具體函數概括為指數函數的過程中，提升數學抽象素養(yǎng)。借助圖象觀察函數變化趨勢，通過對比一次函數發(fā)現指數函數爆炸性增長的特點，體會數形結合的數學思想方法。重、難點抽象、概括指數函數的概念是本節(jié)課的重點和難點。因為學生需要通過觀察、分析、探究等一系列的思維活動，由具體的問題和圖象進行歸納、演繹，并通過抽象概括得出其本質，從而得到指數函數的概念，所以在這個過程中學生可能會遇到困難。在實例1中不僅要能想到將游客人次的變化用圖象直觀表示，還要能結合圖象對已知數據進行運算后發(fā)現變化規(guī)律，并能根據實例1和實例2得到的兩個解析式概括出統(tǒng)一的函數關系式。這些對學生的思維能力要求較高。所以在教學中，教師要給學生探索和發(fā)現的機會，給予學生恰當的指導。當學生不能從實例1的數據中發(fā)現游客人次的變化規(guī)律時，可引導學生先根據已知數據作出圖象進行觀察，然后啟發(fā)學生對數據進行運算，通過運算得到每年與上一年旅游人次的比例為常數，從而結合圖象發(fā)現變化規(guī)律的本質。在這里，對數據進行哪些運算才有利于發(fā)現規(guī)律，是學生已有知識經驗中缺乏的，教學中需要引導學生注意，并對“增加量”“增長率”的作用的強調。教學設計問題驅動，情境導入實例1：請閱讀下面的信息，回答問題。隨著中國經濟高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式。由于旅游人數不斷增加，A，B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應對措施，A地提高了景區(qū)門票價格，B地則取消了景區(qū)門票。表1給出了A，B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次。時間/年A景區(qū)B景區(qū)人次/萬次年增加量/萬次人次/萬次年增加量/萬次20016002782002609930931200362011344352004631113833920056411042744200665094754820076611152853200867110588602009681106556720106911072974201170211811822012711990392201372110100510220147321111181132015743111244126問題1：比較兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現了怎樣的變化規(guī)律？學生活動預測：讓學生先從表格中獲得一些感性的認識，學生可能會發(fā)現：兩地的游客每年都在增加，A景區(qū)增加的速度比較均衡，B景區(qū)的游客增加速度比A景區(qū)要快等，然后引導學生對定量刻畫數據變化規(guī)律的思考。追問：（1）能否更加直觀地呈現這些數據？學生活動預測：在函數的三種表示中，圖象法是最直觀的，學生不難想到。追問：（2）根據圖象并結合增加量，說明兩地游客人次的變化情況。教師活動：教師可借助GGB畫出散點圖，用圖象直觀呈現數據的變化規(guī)律。根據圖象學生可發(fā)現，A景區(qū)的散點圖基本呈一條直線，可以用一次函數模型來刻畫（要多問一句，為什么要用一次函數刻畫它？僅僅是因為函數圖象呈一條直線嗎？更重要的是它們的增加量為同一個常數，符號一次函數的特點）；B景區(qū)的散點圖是一條曲線，這里比較難確定，學生可能會認為是二次函數，可以讓學生先嘗試寫出二次函數的解析式，再發(fā)現其余點不符合二圖2B景區(qū)散點圖圖1A景區(qū)散點圖次函數解析式。然后教師再引導學生對數據進行定量分析。圖2B景區(qū)散點圖圖1A景區(qū)散點圖追問：（3）我們發(fā)現，用“增加量”不能刻畫B景區(qū)游客人次的變化規(guī)律，能不能換一個量來刻畫？學生活動預測：學生或許想不到利用“增長率”，教師可適當地介紹“增長率”。追問：（4）在常見地一些數據統(tǒng)計中，比如，國民收入、經濟增長、工業(yè)產量等，除了考慮增加量外，還會進一步分析增加的速度，即增長率。從2001年起，將B景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次，看看能否發(fā)現什么規(guī)律？可以借助計算器計算。學生活動預測：學生通過運算能夠得到，B景區(qū)游客人次年增長率為常數，進而將其用函數來描述。教師活動：教師在黑板上利用數學符號語言表示出得到這個等式的過程。設經過年后游客人次為2001年的倍，則圖3函數圖象圖3函數圖象【設計意圖】選擇這一實際情境，一是基于培養(yǎng)學生數學閱讀、信息表征能力以及了解國家經濟水平的現狀；二是引導學生對數據作出定性和定量的分析，這是數學建模的第一步；三是為了通過該實例的解決，回答“指數函數是怎樣的函數模型”這一問題。圖5良渚遺址圖4良渚遺址實例2：展示良渚遺址的圖片，作簡單介紹。圖5良渚遺址圖4良渚遺址（有關良渚遺址的視頻，在課程結束后可觀看）圖7良渚遺址出土的玉琮圖6良渚遺址出土文物圖7良渚遺址出土的玉琮圖6良渚遺址出土文物良渚遺址位于浙江省杭州市余杭區(qū)良渚和瓶窯鎮(zhèn)，1936年首次發(fā)現。這里的巨型城址，面積近630萬平方米，包括古城、水壩和多處高等級建筑?？脊艑W家推測出古城存在時期為公元前3300年—2300年。你知道考古學家是通過什么來測定遺址的年代嗎？補充課外知識：在考古界通過碳14含量來測定生物樣本的年代已經是一種成熟的技術手段。因為碳14的衰變極有規(guī)律，其精確性可以稱為自然界的“標準時鐘”，當生物死亡后，它機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率）。追問：（1）若衰減率為p，能否刻畫出生物體內碳14含量與死亡年數之間的關系嗎？學生活動預測：學生能根據已知條件，設死亡生物體內碳14含量為y，把剛死亡的生物體內碳14含量看成1個單位，則死亡n年后，生物體內碳14含量為。追問：（2）科學家發(fā)現，當生物死后，它機體內原有的碳14含量大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”。根據半衰期的時間，你能確定出p的值嗎？學生活動預測：學生能夠根據已知條件得出，生物死亡5730年后體內的碳14含量為，則，可求出，從而。在這個問題中，生物死亡時間x與碳14含量y之間的函數解析式為。追問：（3）在這個函數中，x的取值范圍是什么？學生活動預測：學生能夠根據x的實際含義知道，。教師可利用GGB畫出函數圖象。課外知識補充：國家文物局指出:良渚遺址群將成為實證中華五千年文明史的圣地。2012年良渚遺址被列入《中國世界文化遺產預備名單》。2019年“良渚古城遺址”申報世界文化遺產成功，自此中國世界遺產總數位居世界第一。目前，在杭州開發(fā)了開放了良渚博物院和美麗州公園，大家有機會要去參觀一下，親身感受中華五千年的文明?！驹O計意圖】通過碳14衰減的規(guī)律，引出用函數刻畫指數衰減的問題，為抽象得到指數函數作準備。同時向學生普及課外知識，進行課程思政教育，增強國家文化自信！概念生成，辨析探究教師提問：（1）通過以上兩個實例的分析，從游客人次增長和碳14衰減的圖象看，它們的變化有什么共同特征？教師提問：（2）我們得到了兩個函數，。它們有什么共同特征？學生活動預測：學生能通過函數圖象發(fā)現指數增長和衰減的特點，并通過解析式進行歸納概括出指數函數的特點，抽象出指數函數的定義。在這個過程中學生可能會聯(lián)想到冪函數，這時教師可將冪函數當作先行組織者，讓學生自己總結出二者的區(qū)別，并形成指數函數的定義。教師提問：（3）指數函數其中的底數a的范圍是什么？學生活動預測：學生也許不能一下子準確的說出指數函數底數a的取值范圍，因此教師要進行引導。當a=0時，會出現什么情況？當a<0時，又會出現什么情況？通過共同分析得出指數函數底數a的取值范圍?！驹O計意圖】通過分析、比較兩個實例，概括出它們的共同本質特征，從而得到指數函數概念的本質屬性，得出指數函數的概念。例題示范，概念運用例1：已知指數函數【設計意圖】通過求函數解析式，并根據函數解析式求出不同函數值，從指數函數的對應關系和變化規(guī)律的角度理解指數函數的概念。練習1：判斷下列函數是否為指數函數（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【設計意圖】通過辨析，呈現正例和反例促進學生對指數函數概念的深刻理解。練習2：已知函數，,求函數解析式?！驹O計意圖】利用函數的不同表達形式，從不同角度推動學生對指數函數概念的理解，進一步明確概念，學會表示指數函數。變式訓練，鞏固概念例2：（1）在實例1中，如果平均每位游客出游一次可給當地帶來1000元門票之外的收入，A景區(qū)的門票價格為150元，比較15年間A,B兩地旅游收入變化的情況。（2）在實例2中，某生物死亡后，過了10000年，它體內碳14的含量衰減為原來的百分之幾？【設計意圖】在引入概念的兩個實例的基礎上，利用指數函數概念進一步解決與兩個實例有關的問題，從問題出發(fā)又回到問題，從而鞏固對概念的理解，體現出課程的完整性。練習3：設一位學生原有的知識含量為1,若該學生每天可以基于前一天的知識量增長1%，試求出一年后（365天）該學生的知識量。若該學生每天基于前一天的知識量下降1%，試求出一年后（