江西省宜春市豐城市第九中學(xué)2025屆高三上學(xué)期第一次段考數(shù)學(xué)試題（解析版）

豐城九中2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)第一次段考試卷一、單選題（每小題5分，共40分）1.依據(jù)“割圓術(shù)”，由圓內(nèi)接正六邊形算得的圓周率的近似值是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)半徑為的圓內(nèi)接正邊形的周長為，圓的直徑為，解三角形求正六邊形的周長，由可得結(jié)論.設(shè)圓的半徑為，該圓的內(nèi)接正邊形的周長為，圓的直徑為，則，如圖連接圓心與正六邊形的各頂點，由正六邊形的性質(zhì)可得，又，所以，所以，所以，又所以，當(dāng)時，.故選：B.2.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的補集，并集運算求解即可.由題意可知，所以，所以，故選：D3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合充分必要條件的定義即可得答案.是增函數(shù)，又，，又是增函數(shù)，則，故充分性成立；是增函數(shù)，，，又增函數(shù)，，故必要性成立.即“”是“”的充要條件.故選：.4.若函數(shù)在處有最小值，則常數(shù)、的值是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知，利用輔助公式、差角的正弦公式進行求解.由題意得：，其中，∵在處有最小值?2，∴，且，解得，令，得，∴，∴.故A，B，C錯誤.故選：D.5.已知函數(shù)滿足對任意實數(shù)，都有成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知函數(shù)在R上遞減，結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性列式求解即可.因為函數(shù)滿足對任意實數(shù)，都有成立，不妨假設(shè)，則，可得，即，可知函數(shù)在R上遞減，則，解得：，所以的取值范圍是.故選：D.6.嘉興河流眾多，許多河邊設(shè)有如圖所示的護欄，護欄與護欄之間用一條鐵鏈相連.數(shù)學(xué)中把這種兩端固定的一條均勻?柔軟的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀稱為懸鏈線（Catenary）.已知函數(shù)的部分圖象與懸鏈線類似，則下列說法正確的是（）A.為奇函數(shù) B.的最大值是C.在上單調(diào)遞增 D.方程有2個實數(shù)解【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而確定最值，即可判斷ABC；對D解出，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可判斷.對A，∵，則為偶函數(shù)，A錯誤；對BC，又∵，根據(jù)，在R上均單調(diào)遞增，則在在R上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，故C錯誤；則，即的最小值為，B錯誤；對D，法一：因為為偶函數(shù)，且最小值為，，并且根據(jù)C中的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，且時，，所以有2個實數(shù)解，故D正確.法二：令,，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知方程有2個實數(shù)根,故D正確.,故選：D7.已知，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)“1”技巧，利用均值不等式求解即可.，，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立.故選：A.8.已知函數(shù)滿足且，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為（）A0 B.1 C.5 D.10【答案】B【解析】【分析】將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，畫出函數(shù)圖象找交點個數(shù)即可.由題意，知4為函數(shù)的一個周期且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．當(dāng)時，由函數(shù)的解析式，兩出函數(shù)的大致圖象如圖所示．當(dāng)時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有一個交點；當(dāng)時，總有．而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且，，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間上沒有交點．綜上，函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為1．故選：B．【點睛】方法點睛：數(shù)形結(jié)合的重點是“以形助數(shù)”，在解題時要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維．使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時要準(zhǔn)確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解．二、多選題（每小題6分，共18分）9.已知函數(shù)的一個零點到一條對稱軸的最小距離為，則下列說法中正確的是（）A.B.是函數(shù)的一條對稱軸C.的對稱中心為D.在的值域為【答案】ACD【解析】【分析】零點到一條對稱軸的最小距離為四分之一個周期，據(jù)此求出,再由周期的計算公式求出，由此可知的表達式，進而可求的對稱軸、對稱中心，及時的值域.對于A,由題意得,則,所以,故正確;對于時,,故B錯誤;對于C,由,解得,所以函數(shù)的對稱中心為，故正確;對于時,,所以當(dāng)，即x=1時，,當(dāng)，即時，,所以,故正確.故選:.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.若是上增函數(shù)，則B.當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值C.當(dāng)時，函數(shù)有兩零點D.當(dāng)時，在點處的切線與只有唯一個公共點【答案】AB【解析】【分析】對A：借助導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于零恒成立即可得；對B：借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得；對C：舉出反例即可得；對D：計算出在點處的切線方程后，聯(lián)立，解出方程即可得.對A：，由是上的增函數(shù)，則有恒成立，即，解得，故A正確；對B：由，則當(dāng)時，，故有兩個不等實根，設(shè)這兩個根分別為且，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)有兩個極值，故B正確；對C：令，對，有，若，則，此時有兩個非零不等實根，即有三個零點，故C錯誤；對D：當(dāng)時，，則，，由，則在點處的切線為，令，即有，解得或，故在點處的切線與有兩個公共點，故D錯誤.故選：AB.11.已知函數(shù)與的定義域均為，，且為偶函數(shù)，則下列選項正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于對稱 B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A．利用偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合賦值法即可得解；B．利用賦值法即可得解；CD．利用抽象函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性得到與的周期均為4，進而求得與，從而得解．A．為偶函數(shù)，，即有，則的圖象關(guān)于對稱，A正確，符合題意；B．，令，可得，又，，B正確，符合題意；C．，，，①，②，將①②式分別與聯(lián)立，化簡得：，，，，，，即與的周期均為4，，，，，又函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，，，，C錯誤，不符合題意；D．又，，，，，，，D正確，符合題意．故選：ABD．三、填空題（每小題5分，共15分）12.已知，則______.【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可.因為，所以，故，解得，而，故答案為：13.已知函數(shù)，若，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的解析式及，可得，再代入，利用基本不等式求解好即可.解：因為，所以，所以，，又因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故答案為：【點睛】方法點睛：利用基本不等式時，注意三個條件缺一不可.14.已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式的解集中有且僅有2個正整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】原不等式解集有且只有兩個整數(shù)解等價于的解集中有且僅有兩個正整數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論后者的單調(diào)性后可求參數(shù)的取值范圍.設(shè)，則，而的定義域為，故為上的奇函數(shù)，（不恒為零），故為上的單調(diào)減函數(shù)，又即為：，也就是，故，故的解集中有且僅有兩個正整數(shù)，若，則當(dāng)時，，此時不等式的解集中有無數(shù)個正整數(shù)解，不合題意；若，因為，，故的解集中不會有1,2，其解集中的正整數(shù)解必定大于等于3，不妨設(shè)，則的解集中有且僅有兩個正整數(shù)，設(shè)，，故在上為增函數(shù)，由題設(shè)可得，故，故答案為：.【點睛】思路點睛：不等式解集中的正整數(shù)解的個數(shù)問題，可通過參變分離轉(zhuǎn)化水平的動直線與確定函數(shù)圖像的位置關(guān)系來處理.四、解答題15.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)．（1）求的解析式；（2）求當(dāng)時，函數(shù)的值域．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)定義及性質(zhì)，列式計算求出a，b作答.（2）由（1）的結(jié)論，求出函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)求出值域..【小問1】由函數(shù)是上的奇函數(shù)，則有，解得，即，，，即，，解得，經(jīng)驗證得，時，是奇函數(shù)，所以.【小問2】由（1）知，，當(dāng)時，，因此當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以所求值域為.16.已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.（1）求的解析式；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有且只有兩個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識求得.（2）根據(jù)在區(qū)間上的圖象列不等式來求得的取值范圍.【小問1】將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象，再將所得函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，所以.【小問2】因為，所以.，即在區(qū)間上有且只有兩個實數(shù)解，于是函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有且只有兩個交點，，，所以.畫出在區(qū)間上的圖象如下圖所示，所以，所以.所以實數(shù)的取值范圍是.17.豐義村位于海鹽縣通元鎮(zhèn)，在村民共同努力下近年來先后獲得“浙江省新時代美麗鄉(xiāng)村精品村”和“全國鄉(xiāng)村治理示范村”稱號，完成了從傳統(tǒng)自然村落到網(wǎng)紅景區(qū)村的華麗變身．目前村里有一塊三角形區(qū)域待開發(fā)使用，其中（單位：百米）．現(xiàn)規(guī)劃于該區(qū)域中建造一座觀景亭，始終滿足．（1）求區(qū)域的最大面積；（2）當(dāng)時，求的值；（3）若打算從觀景亭出發(fā)鋪設(shè)三條垂直到達區(qū)域邊界的景觀道，其中到達邊界的景觀道造價為1百元/米，到達邊界的景觀道造價為百元/米．目前村委會籌集到2萬元項目資金，問：這部分資金能否保障無論觀景亭選址何處，工程均能順利完工？【答案】（1）（百米）（2）（3）這部分資金可以保障無論觀景亭選址何處，工程均能順利完工【解析】【分析】（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)可得即可由三角函數(shù)的性質(zhì)求解最值，（2）由余弦定理即可求解，（2）根據(jù)三角恒等變換得，即可由三角函數(shù)的最值求解.【小問1】記，則（百米）．當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，故最大值為【小問2】此時，在中，．【小問3】易得，記造價為萬元，則，（時取到最大值）故這部分資金可以保障無論觀景亭選址何處，工程均能順利完工．18.已知是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且，若，時，有.（1）證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）解不等式；（3）若對所有，，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）不等式的解集為（3）實數(shù)的取值范圍【解析】【分析】（1）設(shè)且，再利用函數(shù)的奇偶性和已知的條件，結(jié)合單調(diào)性定義即可證得結(jié)論；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得解；（3）將已知變形為恒成立，設(shè),對，恒成立，即,解不等式組求得的取值范圍.【小問1】且，則，因為，，由已知可得，，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；【小問2】因為，又在上為增函數(shù)，所以，解得，所以不等式的解集為；【小問3】由在上為增函數(shù)，所以，，所以對所有，，恒成立，等價于對任意恒成立，設(shè)，對，恒成立，所以，解得，所以或或，所以實數(shù)的取值范圍.【點睛】方法點睛：二次函數(shù)的“軸動區(qū)間定”求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的一次函數(shù)問題，借用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題更簡便.19.若函數(shù)在上存在，使得，，則稱是上的“雙中值函數(shù)”，其中稱為在上的中值點.（1）判斷函數(shù)是否是上的“雙中值函數(shù)”，并說明理由；（2）已知函數(shù)，存在，使得，且是上的“雙中值函數(shù)”，是在上的中值點.①求的取值范圍；②證明：.【答案】（1）是上的“雙中值函數(shù)”，理由見解析（2）①0,+∞；②【解析】【分析】（1）利用定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)直接計算解方程即可；（2）①根據(jù)定義知，利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及最值計算范圍即可；②根據(jù)條件先轉(zhuǎn)化問題為，構(gòu)造差函數(shù)，利用多次求導(dǎo)判定其單調(diào)性去函數(shù)符號即可證明.【小問1】函數(shù)是上的“雙中值函數(shù)”．理由如下：因為，所以.因為，，所以令，得，即，解得.因為，所以是上的“雙中值函數(shù)”.【小問2】①因為，所以.因為是上的“雙中值函數(shù)”，所以.由題意可得.設(shè)，則.當(dāng)時，，則為減函數(shù)，即為減函數(shù)；當(dāng)時